GUÍA PARA LAS SOLUCIONES DE LA PRÁCTICA 2 DE ECONOMETRÍA T.A: MªDolors Navarro Bergas Ejercicio Resultados de la estimación por MCO del modelo (). Modelo : estimaciones MCO utilizando las observaciones 98:-24:4 Variable dependiente: Y ) const -2,69276,66347-4,66 <, *** 2) M 5,,566372 2,6E+3 <, *** 3) I -3,359,73966-46,349 <, *** 4) G -5,94,59976-836,4 <, *** Media de la var. dependiente = 52,36 D.T. de la var. dependiente = 49,647 Suma de cuadrados de los residuos = 2,6249 Desviación típica de los residuos =,64649 R-cuadrado =,999989 R-cuadrado corregido =,999989 Estadístico F (3, 96) = 2,99648e+6 (valor p <,) Estadístico de Durbin-Watson =,332 Coef. de autocorr. de primer orden =,843872 Criterio de información de Akaike (AIC) = -73,826 Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -62,669 A parte de comentar el coeficiente estimado asociado a cada regresor y su significatividad, era importante darse cuenta de que el estadístico DW que aparece en la tabla de resultados anteriores indica la presencia de autocorrelación positiva en los residuos. Para demostrarlo se podían usar la siguiente tabla de DW: Valores críticos al 5% del estadístico de Durbin-Watson Número de variables explicativas (excluyendo la constante): 2 3 4 5 dl du dl du dl du dl du dl du n =,65,69,63,72,6,74,59,76,57,78 Inspección de los residuos: presentan autocorrelación, en particular siguen un proceso AR(), cosa que ya el DW hacía intuir y los correlogramas y gráfico siguientes reafirmam:
.4 uhat con respecto a uhatret (con ajuste m nimo-cuadr tico).3.2. uhat -. -.2 -.3 -.4 -.5 -.4 -.3 -.2 -...2.3 uhatret FAC de uhat +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 FACP de uhat +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 Para tranformar el modelo siguiendo el procedimiento Cochrane-Orcutt, es necesario realizar primero la estimación de los residuos sobre su y guardar el coeficiente de los últimos; esto es: Modelo 2: estimaciones MCO
utilizando las 99 observaciones 98:2-24:4 Variable dependiente: uhat 6) uhatret,843872,5427 5,55 <, *** El modelo no tiene término constante. El estadístico F se calcula como en la sección 4.4 del libro 'Introductory Econometrics' de Ramanathan. El R-cuadrado es el cuadrado de la correlación entre los valores observado y ajustado de la variable dependiente. Media de la var. dependiente =,6 D.T. de la var. dependiente =,62577 Suma de cuadrados de los residuos =,7479 Desviación típica de los residuos =,8733 R-cuadrado =,757 R-cuadrado corregido =,757 Ahora podemos tranformar las variables del modelo de acuerdo con la siguiente regla: Xtranformada=X-rhoestimado*Xretardada donde X representa la matriz de regresores, esto es incluye la constante, la masa monetaria, la inversión bruta y el gasto público. Ytransformada=Y-rhoestimado*Yretardada Y es la variable dependiente, el PNB. Procedemos y estimamos de nuevo el modelo transformado por MCO: Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 99 observaciones 98:2-24:4 Variable dependiente: Ytr ) consttr -2,7934,636-43,54 <, *** 8) Mtr 4,9998,244522 6,E+3 <, *** 9) Itr -3,4,395-997,26 <, *** ) Gtr -5,626,26946 -,9E+3 <, *** El modelo no tiene término constante. El estadístico F se calcula como en la sección 4.4 del libro 'Introductory Econometrics' de Ramanathan. El R-cuadrado es el cuadrado de la correlación entre los valores observado y ajustado de la variable dependiente. Media de la var. dependiente = 8,68 D.T. de la var. dependiente = 63,964 Suma de cuadrados de los residuos =,728732 Desviación típica de los residuos =,875835 R-cuadrado =,999998 R-cuadrado corregido =,999998 Estadístico F (4, 95) =,32793e+7 (valor p <,) Estadístico de Durbin-Watson =,64777
Coef. de autocorr. de primer orden =,24867 Criterio de información de Akaike (AIC) = -97,295 Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -86,95 Comprobamos que los residuos del nuevo modelo no presentan autocorrelación..25.2.5. uhat3.5 -.5 -. -.5 -.2 -.2 -...2 uhat3ret FAC de uhat3 +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 FACP de uhat3 +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 También deberíais fijaros en que el DW para el modelo transformado se acerca a la zona de no autocorrelación ( se aproxima al 2), lo que ocurre es que cae en la zona de indeterminación; por ello no es concluyente aunque los gráficos anteriores indican que efectivamente se ha corregido la autocorrelación.
Ejercicio 2 Estimación del modelo (2) por MCO: Modelo : estimaciones MCO utilizando las 98 observaciones 98:3-24:4 Variable dependiente: C ) const,2893,56956 2,264,25869 ** 3) Cret,499752,485524,293 <, *** ) Y,643285,46254 3,98 <, *** Media de la var. dependiente =,2258 D.T. de la var. dependiente = 3,8258 Suma de cuadrados de los residuos = 28,996 Desviación típica de los residuos =,48323 R-cuadrado =,773256 R-cuadrado corregido =,768482 Estadístico F (2, 95) = 6,987 (valor p <,) Estadístico de Durbin-Watson = 2,9855 Coef. de autocorr. de primer orden = -,5287 Criterio de información de Akaike (AIC) = 358,332 Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = 366,87 Además de presentar como regresor la variable endógena retardada los residuos del modelo siguen un MA() con lo que hay autocorrelación. Ct- y los residuos están correlacionados, los estimadores por MCO del model (2) son incosistentes. Al comentar los coeficientes estimados para los regresores debíais daros cuenta de que los valores se alejaban de los que se os daba en el enunciado, que se consideraban los esperados, deduciendo que la estimación sufría algún tipo de problema. También podíais comentar que el estadístico DW para esta primera estimación caía en la zona de autocorrelación negativa, si usabais la misma tabla de antes lo podíais ver: Valores críticos al 5% del estadístico de Durbin-Watson Número de variables explicativas (excluyendo la constante): 2 3 4 5 dl du dl du dl du dl du dl du n =,65,69,63,72,6,74,59,76,57,78 No obstante debíais ir con cuidado al comentar este dato, puesto que los gráficos que a continuación se muestran indicaban la presencia de un término auto correlacionado que seguía un MA(). Ante tal situación el contraste DW es poco potente pues está diseñado para detectar procesos AR() en los residuos. Inspección de los residuos: existe autocorrelación y es del tipo MA().
FAC de uhat +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 FACP de uhat +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 uhat con respecto a uhatret (con ajuste m nimo-cuadr tico) 4 3 2 uhat - -2-3 -4-3 -2-2 3 uhatret El apartado 2 de este ejercicio debía contestarse de manera teórica de acuerdo con lo que habías visto en clase con Montse. En concreto, al tener un modelo con la
variable endógena retardada como regresor y un término de perturbación autocorrelacionado de manera MA(), es posible demostrar que la esperanza entre los regresores y residuos no es nula, E(X U)#; siendo esto así se incumple uno de los supuestos de la estimación por MCO, con lo que los estimadores obtenidos en el apartado anterior ( en concreto el asociado a Ct-) son inconsistentes. En el apartado 3 dado el anterior comentario, había que explicar que una manera de resolver el problema de la inconsistencia de la estimación por MCO consiste en usar la estimación por variables instrumentales, VI. Primero pero debías decirme qué variable usarías como instrumento; esa variable podía ser la renta retardada ya que no estaba correlacionada con el término de perturbación y sí lo estaba con el consumo ( de acuerdo con el modelo establecido y dado que el coeficiente asociado era diferente de zero), y por tanto con el consumo retardado que es el regresor que causa problemas. Aquí también podías añadir la explicación que tenéis en los apuntes de clase. Finalmente en el apartado 4 debías estimar el modelo por VI (recordad que Gretl no tiene una opción de estimación por VI propiamente dicha y que recurríamos a la estimación de MCO en dos etapas). Los resultados se detallan a continuación: Estimación por VI usando como instrumento la renta retardada un período ( mediante la estimación por MCO en dos etapas en Gretl) Modelo 5: estimaciones MC2E utilizando las 98 observaciones 98:3-24:4 Variable dependiente: C Instrumentos: Cret ) const 2,95678,2555 5,884 <, *** ) Y,562422,3957 8,7 <, *** 3) Yret,66847,38227 24,43 <, *** Media de la var. dependiente =,2258 D.T. de la var. dependiente = 3,8258 Suma de cuadrados de los residuos =,972 Desviación típica de los residuos =,979646 R-cuadrado =,999 R-cuadrado corregido =,99899 Estadístico F (2, 95) = 47973,7 (valor p <,) Estadístico de Durbin-Watson = 2,225 Coef. de autocorr. de primer orden = -,985 Criterio de información de Akaike (AIC) = -74,272 Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -66,57 Era importante que comentaseis que tras la estimación por VI los coeficientes estimados sí coincidían con sus valores esperados ( valores que se enunciaban al principio del ejercicio), con lo que la estimación ahora sí era consistente. Inspección de los residuos de la estimación por VI.
FAC de uhat3 +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 FACP de uhat3 +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 Si os fijabais en los diferentes gráficos de los residuos del nuevo modelo estimado por VI, todo parecía indicar que la autocorrelación había desaparecido. Este comentario es correcto pero debe ser interpretado con cautela. Como ya se explicó en las clases prácticas en ningún momento hemos aplicado método alguno para corregir la autocorrelación, las VI NO son una manera de corregir la autocorrelación, las VI sirven para paliar el hecho de que uno de los regresores está relacionado con el término de perturbación. El hecho de que la autocorrelación se haya corregido es simple casualidad, seguramente debido a una errata en la generación de los datos. Errata que me atribuyo personalmente.
.25 Residuos de la regresi n (= C observada - ajustada).2.5..5 residuo -.5 -. -.5 -.2 -.25 98 985 99 995 2 25 NOTA: Al evaluar vuestras prácticas a parte de los resultados y gráficos que me presentéis se valorarán las explicaciones de los pasos que seguís y sobretodo su justificación en base a lo visto en clase de la parte teórica.