. Sistemas Acoplados. SISTEMAS ACOPLADOS..... SISTEMA ACOPLADO..... MATRIZ DE GANANCIA RELATIVA...6.3. DESACOPLAMIENTO...0.4. VERSIÓN GOODWIN....4.. Matriz de Ganancia Relativa...5.4.. Acoplamiento como Perturbación...7.4.3. Control en Adelanto + Control Descentralizado....0.5. BIBLIOGRAFÍA...5 00 Sistemas Acoplados.doc
00 Sistemas Acoplados.doc.. Sistema Acoplado yd Gc m y yd Gc m y = + = + y s s m s s m s y s s m s s m s = m s Gc s yd s y s = m s Gc s yd s y s
00 Sistemas Acoplados.doc 3 Asumiendo un lazo abierto yd Gc m y m ( s ) = 0 y y y G = + y c d Gc [.] G = y + c d Gc
00 Sistemas Acoplados.doc 4 Los dos lazos cerrados, ( ) ( ) y + G = G y + G y G y c c d c d c y + G = G y G y + G y c c d c c d [.] y = P y + P y d d y = P y + P y P d d donde [.3] ( )( ) G + G G G = P = Q Q c c c c P G = P = Q c Q= + G + G G G c c c c G + G G c c c Q [.4]
Ejemplo de Matlab 00 Sistemas Acoplados.doc 5
00 Sistemas Acoplados.doc 6.. Matriz de Ganancia Relativa m m ( t) = cte y y yd Gc m m y y Ensayo : Escalón en Ensayo : Escalón en m t = cte Se calcula la ganancia estática: m y m con y y t = cte Se calcula y m y m m y
00 Sistemas Acoplados.doc 7 y m m Ganancia relativa: λ = y m Propiedades: y : λ = 0: mno tiene efecto sobre y. No se puede usar mpara controlar y : λ = : mno tiene efecto sobre y. No hay interacción. 0< λ < : ay interacción. A menor λ, mayor interacción. 3: 4: λ < 0: ay interacción, pero inversa. Muy peligroso.
00 Sistemas Acoplados.doc 8 Matriz de Ganancia Relativa: λ λ Λ= λ λ y m y m m λ = λ = y m y m Propiedades: y m y λ y = y : λ + λ = λ + λ = λ + λ = λ + λ = m m m y λ y = y : Solo se necesita conocer una de las cuatro. 0 3: Λ= 0. No hay acoplamiento y se controla m y m y 4: 5: 0 Λ= 0. No hay acoplamiento y se controla m y m y m m 0,5 0,5 Λ= 0,5 0,5. ay acoplamiento pero es indistinto controla con una u otra m y
00 Sistemas Acoplados.doc 9 6: 0, 5 0,75 Λ= 0,75 0, 5 7: Caso λ >.. Recomendable controlar m y m y 7. Si se controla m y m y, implica y m > y m m. Disminuye el efecto de m y sobre y, cuando se cierra el otro lazo. ay que aumentar la ganancia. Problemas de control. 7. Si se controla m y m y, implica λ, λ < 0. Acción de control inversa. - La Matriz de Ganancia Relativa es cuadrada. Si tenemos más entradas que salidas o viceversa, debemos analizar todas las combinaciones posibles.
00 Sistemas Acoplados.doc 0.3. Desacoplamiento = + = + y s s m s s m s y s s m s s m s aciendo m = G y y m [ ] c d m = G y s y s m c d D D = =
00 Sistemas Acoplados.doc yd yd Gc Gc D D m m y y
00 Sistemas Acoplados.doc.4. Versión Goodwin Ejemplo.. Planta Acoplada G G G = 0 0 0 0 0 G G [.5] G G k = G = s + 3s+ s+ k 6 = G = s + s+ s + 5s+ 6 0 0 0 0 [.6] a- Punto de Operación : k = k = 0. No hay interacción. Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado: T = 0 s 9 + 4s + 9 T 0 GC GC C T = G T = + ( ) se puede despejar los controladores necesarios: C = ( s + s+ ) 4,5 3 ( + 4) s s C ( s + s+ ),5 5 6 = s s ( + 4)
00 Sistemas Acoplados.doc 3 b- Punto de Operación : k = k = 0,. Funciona aceptablemente (ver simulación c- Punto de Operación 4: k =, k =. Inestable.
00 Sistemas Acoplados.doc 4 El diseño SISO es limitado. La relación entre referencia y salida, se puede escribir como Y [ ] R I G0C G0C Y = + R donde G G G = 0 0 0 0 0 G G C C Si hacemos : k =, k = [ ] 0 = 0 C 4 3 5 4 3 9s 40,5s 67,5s 8s 8 3s 30s 05s 50s 7s I G0C G0C + + + = d s 4 3 4 3 s s s s s s s s con 6 5 4 3 4,5 3,5 63 36 9 + 40,5 + 67,5 8 8 d s = s + 0s + 5s + 34,5s + 64,5s 8s 8 que implica inestabilidad.
00 Sistemas Acoplados.doc 5.4.. Matriz de Ganancia Relativa ( 0) G ( 0) λ = G ij 0 ij 0 ji donde G 0 0 ij es el elemento ij de la matriz de ganancia estática G 0 0 ji es el elemento ji de la inversa de la matriz de ganancia estática
00 Sistemas Acoplados.doc 6 G 0 En el ejemplo, k s + 3s+ s+ = k 6 s + s+ s + 5s+ 6 k k k k k k Λ= kk k k k k, G ( 0) 0 k kk kk = = k k k k k k k 0 a- Punto de Operación : k = k = 0. No hay interacción. Λ= 0,0 0,0 b- Punto de Operación : k = k = 0,. Λ= 0,0,0 c- Punto de Operación 3: k =, k =. Inestable. Λ=
00 Sistemas Acoplados.doc 7.4.. Acoplamiento como Perturbación Un sistema acoplado se puede interpretar como un sistema diagonal más incertidumbres. Ejemplo.. Continúa el ejemplo anterior, G 0 k s + 3s+ s+ = k 6 s + s+ s + 5s+ 6 Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado: T 9 0 = s + 4s+ 9 0 0 se toma G 0 0 s + 3s+ = 6 0 s + 5s+ 6 y se diseña con ese modelo
00 Sistemas Acoplados.doc 8 Ejemplo.3. Otro ejemplo, 0s + 0,5 s+ ( s+ )( s+ ) G = 0s + 0,5 ( s+ )( s+ ) s+ 0 s + se toma G0 = 0 s + la matriz de ganancia relativa es,059 0,059 Λ= 0,059,059 Parecería que habría que controlar - y -
00 Sistemas Acoplados.doc 9 Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado: 9 0 T0 = s + 4s+ 9 0 y se diseña con ese modelo, los controladores resultan C s ( s + ) ( + 4) 9 0 s s = 9( s + ) 0 s( s+ 4) Pero con este esquema, los polos en lazo cerrado serán 6;, 49 ± j4,69; 0, 3 ± j,36; 0,5 Una posible solución es bajar considerablemente la ganancia de los controladores.
00 Sistemas Acoplados.doc 0.4.3. Control en Adelanto + Control Descentralizado. Supongamos acoplamiento en un solo sentido. El efecto de msobre y se podría pensar como una perturbación medible e intentar corregirlo por medio de un control en adelanto. yd yd Gc Gc u D m m y y = D m s s m s D s s =
00 Sistemas Acoplados.doc una opción simple es D = k = ff ( 0) ( 0)
00 Sistemas Acoplados.doc Ejemplo.4. Planta Acoplada con FF G 0 s + 3s+ s+ = 0,5 6 s + s+ s + 5s+ 6 acoplamiento más fuerte desde a haciendo resulta D ( 0) = kff = = ( 0) m s m s m s Y = G0 = G0 G0 m 0 = s m s m s donde
00 Sistemas Acoplados.doc 3 s s + 3s+ s + 3s+ G 0 = 0,5 6,5s + 4,5s+ 9 s + s+ ( s + s+ )( s + 5s+ 6) en este caso 0 Λ= 0 Si se rediseña el controlador para, nuevamente, tener una respuesta en lazo cerrado: 9 0 T0 = s + 4s+ 9 0 los controladores quedan:
00 Sistemas Acoplados.doc 4 C s s + 3s+ 4,5 0 T s + 4s = = G( T) 9( s + s + )( s + 5s + 6) 0 ( s + 4s)( 6,5s + 4,5s+ 9)
00 Sistemas Acoplados.doc 5.5. Bibliografía - Chemical Process Control. Stephanopoulos, George. Prentice-all 984. Capítulo 4. - Control System Design. Goodwin, Graham, Salgado, Mario, Graebe, Stefan. Prentice-all - 000. Capítulo.
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