1 La Caminata Aleatoria. La caminata aleatoria es un modelo probabilístico clásico que tiene aplicaciones en biología, nanzas, teoría de colas, control, etc [7]. Suponer que una partícula se mueve a lo largo de la recta real. Si al tiempo n, esta partícula ocupa una posición, digamos n, entonces su posición al tiempo n + 1 es n+1 = n + n ;en dónde n es el n esimo incremento de la caminata, el cuál puede ser negativo, positivo, o incluso cero en general. : Dada una sucesión de variables aleartorias independientes e idénticamente distribuidas (v.a.i.i.d.) ( i ) i1 que toma valores en ( 1; 1), la sucesión 0 = 0; n = 1 + + n ; n 1 (1) es llamada caminata aleatoria. Se introducen ahora algunas características importantes de las caminatas aleatorias.
1. La primera época de ascenso estricto L = inf fk : k > 0; k 1g (2) 2. La primera altura de ascenso estricto ~X = L (3) 3. El máximo total de la caminata aleatoria M = sup k (4) 0k<1 La siguiente gura ilustra las de niciones anteriores. Tanto L como ~X pueden ser variables aleatorias. Así que, si E [] < 0, entonces
q = P (L = 1) > 0 (5) El máximo total de la caminata es una característica muy importante y tiene numerosas aplicaciones [16]. Como 0 = 0 tenemos que M 0: Sea T 0 = 0 y se de ne de manera recursiva T n+1 = inf n k : k > Tn ; k > T n o ; n 1 (6) y ~X n = Tn 1 +1 + ::: + Tn = Tn Tn 1 ; n 1 (7) La gura siguiente ilustra la primera de estas de niciones:
Puede probarse que T n T n 1 ; ~X n ; n 1 son v.a.i.i.d. y además L; ~X d = Tn T n 1 ; ~X n ; n 1 (8) Por tanto la probabilidad condicional de T n+1 = 1 dado que T n < 1 es igual a la probabilidad q de nida en (5). Sea 0 = min fn : T n = 1; n 1g (9) Se sigue de los argumentos anteriores que P 0 = k = q(1 q) k 1 ; k 1 (10)
es decir, 0 tiene una distribución geométrica truncada en cero con parámetro q. Además, el máximo total de la caminata aleatoria puede escribirse como (M = 0 para 0 = 1) M = T 0 1 = ~X 1 + ::: + ~X 0 1 (11) Se está ahora en presencia de una di cultad, a saber: la variable aleatoria depende de la sucesión ~X n n1. Ésta aprece de manera común cuando se reduce una suma de variables aleatorias a una suma geométrica, este problema se soluciona al introducir la siguiente distribución condicional: H(x) = P ~X xjl < 1 (12)
y la sucesión de v.a.i.i.d. (X n ) n1 que tienen la distribución común H(x) que no depende de 0 : Como consecuencia de la fórmula de probabilidad total se tiene que M = ~X 1 + ::: + ~X 0 1 d = X 1 + ::: + X 0 1 (13) Debido a la Proposición??, = 0 1 tiene una distribución geométrica con parámetro q: Se sigue de (??) que: P (M x) = P X 1 + ::: + X 0 1 x = 1X k=1 q(1 q) k 1 F = q + (1 q) 1X k=1 (k 1) X (x) q(1 q) k 1 F k X (x) = q + (1 q)p (X 1 + ::: + X 0 x) = P (X 1 + ::: + X x) (14).
2 El Proceso de Riesgo Suponer que una compañía de seguros con un cierto capital inicial u debe pagar ciertas cantidades aleatorias de dinero a sus asegurados en caso de sufrir algún percance, los cuales ocurren también de manera aleatoria. Así mismo, la compañía recibe el pago de primas por parte de sus clientes a una taza c > 0 por unidad de tie mpo determinísticamente. Suponer además que los montos de reclamaciones (Z i ) i1 ; forman una sucesión de v.a.i.i.d. y que los tiempos en que éstas ocurren (T i ) i1 ; forman un proceso de renovación que es independiente de (Z i ) i1. Por tanto, tenemos que los tiempos de inter-arribo ( i = T i T i 1 ) i1 ; con T 0 = 0; son v.a.i.i.d. Suponer también que las sucesiones (Z i ) i1 y ( i ) i1 son independientes. Se de ne el proceso de riesgo R(t);
t 0 de la compañía al tiempo t por: R(t) = u + ct Q(t) X i=1 Z i (15) En dónde Q(t) = max fk : T k t; k 0g es el número de reclamaciones ocurridas en el intervalo [0; t]. Se considerarán sólo sumas de riesgo positivas en el sentido de que P (Z 1 > 0) = 1. Debido al carácter aleatorio de las reclamaciones, existe una probabilidad positiva (u) de que el proceso de riesgo sea negativo eventualmente. La cantidad (u) es llamada probabilidad de ruina y su estimación es una parte importante de los estudios en actuaría. : Notar que, si se inicia con un capital inicial u, la probabilidad de que el proceso de riesgo se encuentre por debajo de este nivel inicial es (0); ya que el proceso de riesgo
tiene incrementos estacionarios e independientes. Así, la probabilidad de que el proceso de riesgo se encuentre por debajo de su nivel inicial es la misma para cualquier u, pero se sabe que cuando u = 0; dicha probabilidad es (0): Se reducirá ahora el modelo de Riesgo a una caminata aleatoria para aplicar los resultados de la Sección anterior y así expresar la probabilidad de ruina en términos de la distribución de una suma geométrica. Sea R n el nivel del proceso de riesgo justo después de la n-ésima reclamación, con R 0 = u el capital inicial de la compañía, como se muestra en la siguiente la gura Entonces, la sucesión (R n ) n1 puede expresarse como una caminata aleatoria R n+1 = R n + (c n+1 Z n+1 ) ; n 0 (16)
De acuerdo a las suposiciones hechas, la ruina sólo puede alcanzarse en los instantes T n, por tanto, la probabilidad de ruina (u) puede de nirse en términos de la caminata aleatoria (R n ) n1 como sigue: (u) = P min n1 R n < 0jR 0 = u! (17) Se introducen ahora nuevas variables: n = u R n ; n 0 (18) Entonces 0 = 0 y de las ecuaciones (16) y (18) se tiene que n+1 = n + Z n+1 c n+1 ; n 0 (19)
La notación n = Z n c n (20) reduce la ecuación (19) que determina la caminata aleatoria asociada con el proceso de riesgo a la forma estándar de la De nición 1. Puede ahora reescribirse la probabilidad de ruina (u) como (u) = P max n1 n > u! (21) Por lo tanto, (u) coincide con la probabilidad de que el máximo total de la caminata aleatoria de nida en (19) excede el nivel u (el capital inicial). Como consecuencia de los resultados de la Sección anterior, es posible representar la probabilidad de ruina en términos de una suma geométrica
(u) = P 0 X @ k=1 1 X k > ua (22) en dónde X k son v.a.i.i.d. con la distribución de nida en (12) de la caminata asociada al proceso de riesgo (19). Como consecuencia de la Nota 2, el parámetro de la variable aleatoria geométrica es!! q = P max n 0 n1 = P max n1 R n u = 1 (0) (23) Debido a la igualdad (14), la expresión (22) puede escribirse en la forma: (u) = 1 P 0 X @ k=1 1 X k ua (24)
Hemos conseguido; como lo muestra la ecuación (24), expresar la probabilidad de ruina en términos de la distribución de una suma geométrica.