Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica MATEM - Precálculo III EXAMEN PARCIAL 016 Nombre: código: Colegio: Miércoles 1 de setiembre INSTRUCCIONES 1. El tiempo máximo para resolver este examen es de horas.. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar.. Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de selección única (4 puntos), la segunda es de desarrollo (6 puntos). 4. En los ítems de selección, usted deberá marcar con X la letra que corresponde a la opción que completa en forma correcta y verdadera la expresión dada. Si lo desea, puede usar el espacio al lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas seleccionadas y marcadas con X. 5. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra indeleble. 6. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está desordenada, ésta, no se calificará. 7. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene únicamente las operaciones básicas. 8. Trabaje con calma. Le deseamos el mayor de los éxitos.
PRIMERA PARTE. SELECCIÓN ÚNICA (Valor 4 puntos) 1. Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ln x =? 0 1 infinitas. La solución de 5 x = 75 corresponde a log 5 log 75 ln 75 ln 5 log 75 5 ln 75 ln 5. Considere las siguientes ecuaciones: I. x = log x II. x + = 1 III. 7 x 7 x = 1 Cuáles de ellas tienen soluciones reales? Solamente I Solamente I y III Solamente II y III Solamente III MATEM 016
4. La relación entre el tiempo t el crecimiento de una población P de amebas está dada por t = log ( P ) donde k es la población inicial y t se mide en horas. Si se observa una k población inicial de 6 amebas, cuántas amebas habrá 8 horas después? 48 96 84 156 5. El punto de la circunferencia trigonométrica asociado al número real el cuadrante 6 9 se localiza en I II III IV 1 6. Si el punto, y se ubica en el cuarto cuadrante y pertenece a la circunferencia trigonométrica, entonces el valor de y es 1 7. Si k es un número entero, con certeza se puede asegurar que un valor que no pertenece al dominio de la función tangente corresponde a k k + k + k MATEM 016
8. Considere los siguientes números: r = cos u = sen 6 Se puede asegurar que r < 0 y u > 0 r < 0 y u < 0 r > 0 y u > 0 r > 0 y u < 0 9. El valor de sec ( ) corresponde a - 1 10. El valor de la expresión 1+sen 1 cos 1 corresponde a 0 1 1 4 11. Un número t tal que sec t no está definido corresponde a 4 MATEM 016 4
1. Un intervalo donde es decreciente la función sen: R R corresponde a ]0,[ ]0, [ ], [ ], [ 1. Un punto que pertenece a la gráfica de la función sen: R R corresponde a (0,0) (, ) (, 1) (, 1) 14. Sobre la función cos: R R se puede asegurar que es sobreyectiva decreciente inyectiva periódica 15. La expresión 1 cos( x) es equivalente a sec x csc x cot x tan x MATEM 016 5
16. La expresión sen(x) sen(x+016) es equivalente a cos x cos x sen x sen x 17. La expresión cos (m + ) es equivalente a 6 cos(m) cos(m) + cos(m) cos(m) sen(m) sen(m) sen(m) + sen(m) 18. Una expresión equivalente a 1 cos x csc x sen x corresponde a sen x csc x csc x 19. Considere la función f: R R definida por f(x) = 4 cos x + 1 Cuál es el valor máximo del ámbito? 5 4 1 MATEM 016 6
0. Considere la función f: R R definida por f(x) = cos ( 4x 1 ) Cuál es el periodo? 4 1. Considere las siguientes ecuaciones: I. tan(x) + = 4 II. sen(x) + 1 = Cuáles de ellas tienen soluciones reales? Ambas Ninguna Solamente I Solamente II. Cuál es una solución de la ecuación cos x + 1 = 0 en el intervalo ]0,[? 6 5 6. El dominio máximo de la función arcotangente corresponde a [ 1,1] ], [ R R { + k, k Z} MATEM 016 7
4. El valor de arccos( 1) corresponde a 0 5. El valor de arctan( ) corresponde a 6 4 6. Cuál es el perímetro de un polígono si el lado mide 10 cm y el ángulo central mide 0? 1 cm 60 cm 10 cm 40 cm 7. En un decágono regular la apotema mide 10 cm entonces el lado mide xcm entonces se cumple que x es igual a 10 tan 18 10 tan 6 0 tan 18 0 tan 6 MATEM 016 8
8. En un hexágono regular el área es 6 cm. El semiperímetro, en centímetros, del hexágono es 11 66 9. En un cuadrado la apotema mide 4 cm entonces el área, en centímetros cuadrados, es 8 16 64 0. El cubo de la figura está formado por 7 cubos pequeños. Si el área total de cada uno de ellos es 4 cm. Cuál es, en centímetros cúbicos, el volumen del cubo grande? 64 81 16 648 1. En una pirámide de base cuadrada todas las aristas miden 4cm. Cuántos centímetros mide la altura? 4 MATEM 016 9
. En un cono la altura mide 8cm y el área de la base es 6 cm cuántos centímetros mide la generatriz? 6 10 6 7. Un cono y un cilindro tienen las bases congruentes. La altura del cono es el doble de la altura del cilindro. Si el volumen del cilindro es x cm, cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, del cono? x x x x 4. Una esfera está inscrita en un cubo de 10 cm de arista. Cuál es, en centímetros cuadrados, el área total de la superficie esférica? 400 400 100 500 Fin de la primera parte MATEM 016 10
Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica MATEM - Precálculo III EXAMEN PARCIAL 016 - Miércoles 1 de setiembre Nombre completo: CÓDIGO: COLEGIO: SEGUNDA PARTE. DESARROLLO (Valor 1 puntos) Resuelva en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes problemas, deben aparecer todos los procedimientos realizados para llegar a la respuesta. 1. Determine el conjunto solución de la ecuación: 5 puntos. Solución: log(x + 1) = log(x 1) log 5 5 log(x + 1) = log(x 1) log 5 5 log(x + 1) log(x 1) = log ( x + 1 x 1 ) = x + 1 x 1 = 1 100 00x + 100 = x 1 198x = 101 x = 101 198 Para que la expresión esté bien definida se debe cumplir que x > 1 por lo tanto el conjunto solución es. MATEM 016 11
. Un material radioactivo se coloca en un reactor nuclear. Debido a la desintegración, la cantidad N de miligramos presente después de t años está dada por la ecuación N(t) = 80 0,5 t. Calcule la cantidad de material que queda después de 4 años y el número de años que deben transcurrir para que se haya desintegrado el 87,5% de la cantidad inicial. 5 puntos. Solución a. N(4) = 80 = 0 mg 1 punto b. La cantidad inicial es 80 mg. Si se ha desintegrado el 87,5% entonces quedan 10 mg. 4 puntos. 0,5 t 10 = 80 0,5 t = 1 8 Deben transcurrir 6 años. 0,5 t = t = 6 MATEM 016 1
. Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación en [0,[. 5 puntos. sen y = cos y + 1 Solución sen y = cos y + 1 (1 cos y) = cos y + 1 cos y cos y 1 = 0 cos y + cos y 1 = 0 ( cos y 1)(cos y + 1) = 0 cos y = 1 o cos y = 1 S = {, 5, } MATEM 016 1
4. Determine el volumen de una pirámide si sus cuatro caras son triángulos equiláteros de 6 cm de lado. 6 puntos. Solución Área de la base: 9 cm Radio de la base: cm Si la altura de la pirámide es h entonces Volumen: 9 6 =18 cm 6 = h + ( ) 4 = h 6 = h MATEM 016 14