Estadística Los parámetros estadísticos más usuales son: mean(x) Media aritmética mode(x) Moda median(x) Mediana std(x) Desviación típica muestral var(x) Varianza muestral prctile(x,p) Percentil de orden p >> x=[3 45 47 49 5 5 525 55 6 7]; >> mean(x) 5.5 >> mode(x) 5 >> median(x) 5 >> std(x) 3.32 >> var(x).636e+4 >> prctile(x,25) 47 Distribución de Frecuencias >> x=[3.6 4.3 4.5 4.6 4.6 4.8 4.9 4.9 5. 5. 5.8 4.4 4.5 5. 5.6 4.6 4.9 5. 5. 5. 3.9 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 5.3 4.6 5.2 4.9 5.8 4.8 4.5 4.6 4.8 4.9 4.9 5. 5. 5. 5.5 5.6 5.2 4.3 4.8 4.9 4.3 5.3 4.6 5. 5.3 5. 3.8 4.9 5.3 5.7 5.7 5.2 5.2 5. 5.2 5.4 5. 5.4 5.3 5.9 6. 6. 6. 6.3 5.8 5.9 5.8 5.2 4.6 5. 4.2 5.3 4. 5.5]; %Para definir las marcas de clase >> m=[3.75 4.25 4.75 5.25 5.75 6.25]; %Para obtener las frecuencias absolutas en cada clase >> f=hist(x,m) f = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 26
4 29 23 2 2 %Frecuencias absolutas acumuladas >> F=cumsum(f) F = 4 4 43 66 78 8 %Para obtener las frecuencias absolutas en 6 clases >> f=hist(x,6) f = 4 22 28 6 % istograma y Curva Normal >> histfit(x,6) 3 25 2 5 5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 Distribuciones Notables Nombre Función de distribución Percentiles Binomial binocdf(x,n,p) binoinv(p,n,p(éxito)) Poisson poisscdf(x,λλ) Poissinv(p,λ) Normal normcdf(x,μ,σ) norminv(p,μ,σ) Chi-cuadrado nhicdf(x,n) chiinv(p,n) t-student ncdf(x,n) tinv(p,n) F de Snedecor fcdf(x,n,n2) finv(p,n,n2) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 27
PROBABILIDAD Las funciones para cada distribución incluyen: Función de densidad de probabilidad (pdf) Función de distribución (cdf) Inversa de la función de distribución Media y varianza Cálculo de Probabilidades en distribuciones discretas Binomial para n pruebas independientes con p la probabilidad de éxito binopdf(x,n,p) >> binopdf(5,,.5).246 Poisson de media λ poisspdf(x,λ) >> poisspdf(,5).337 Cálculo de la función de distribución en distribuciones continuas Normal de media µ y de desviación típica σ normcdf(x,µ,σ) >> normcdf(,,5).427 Chi cuadrado con n grados de libertad chi2cdf(x,n) >> chi2cdf(,5).374 t-student con n grados de libertad tcdf(x,n) >> tcdf(,5).884 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 28
F-Snedecor con n y m grados de libertad fcdf(x,n,m) >> fcdf(,2,3).5352 Cálculo de los percentiles en distribuciones, es decir, dada la probabilidad encontrar la abscisa x tal que F(x)=P(X x)=probabilidad Binomial para n pruebas independientes con p la probabilidad de éxito binoinv(probabilidad,n,p) >> binoinv(.7,,.5) 3 Poisson de media λ poissinv(probabilidad,λ) >> poissinv(.95,5) 9 Normal de media µ y de desviación típica σ norminv(probabilidad,µ,σ) >> norminv(.95,,).6449 Chi cuadrado con n grados de libertad chi2inv(probabilidad,n) >> chi2inv(.,5).374 t-student con n grados de libertad tinv(x,n) >> tinv(,5).63 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 29
Podemos obtener la media y la varianza de la distribución con las funciones siguientes: Binomial para n pruebas independientes con p la probabilidad de éxito [m,v]=binostat(n,p) >>[m,v]=binostat(8,.3) m = 2.4 v =.68 Poisson de media λ [m,v]poisstat(n,p) >>[m,v]=poisstat(8) m = 8 v = 8 Chi cuadrado con n grados de libertad [m,v]=chi2stat(n,p) >>[m,v]=chistat(8) m = 8 v = 6 t-student con n grados de libertad [m,v]=tstat(n,p) >>[m,v]=tstat(8) m = v =.3333 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 3
Contraste de ipótesis para la Media con n>3 [h,p,ci,t]=ztest(x,μ,s,α,-) % cola izquierda [h,p,ci,t]=ztest(x,μ,s,α) % bilateral [h,p,ci,t]=ztest(x,μ,s,) % cola derecha El valor devuelto de h= indica que el test no rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% por defecto. El valor devuelto de h= indica que el test rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% por defecto, a favor de la hipótesis alternativa >>x=normrnd(,,,35) %Valores aleatorios de N(,) en 35 columnas >> [h,p,ci,z]=z,test(x,,.5) h = %La evidencia es suficiente para rechazar p = %p-valor ci =.33.3444 %Intervalo de confianza para -α z = 38.7944 %Estadístico de contraste Contraste de ipótesis para la Media con n<3 [h,p,ci,t]=ttest(x,μ,α,-) % cola izquierda [h,p,ci,t]=ttest(x,μ,α) % bilateral [h,p,ci,t]=ttest(x,μ,α,) % cola derecha El valor devuelto de h= indica que el test no rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% por defecto. El valor devuelto de h= indica que el test rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% por defecto, a favor de la hipótesis alternativa >>x =[85 2 86 97 85] %Vector con los datos de la muestra : 9 >> [h,p,ci,t]=ttest(x,9,.5) 9 h = %La evidencia no es suficiente para rechazar p =.863 % p-valor ci = 8.535 99.665 % Intervalo de confianza para -α t = tstat:.838 %Estadístico de contraste U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 32
df: 4 %Grados de libertad sd: 7.37 %Desviación típica Contraste de ipótesis para la diferencia de Medias con n<3 y varianzas iguales : x y >> [h,p,ci,z]=ztest(x,y,α,-) : x y : x y >> [h,p,ci,z]=ztest(x,y,α) : x y : x y >> [h,p,ci,z]=ztest(x,y,α,) : x y Prueba de la Bondad del Ajuste (Chi-cuadrado o Pearson) >> [h,p,st] = chi2gof([35 45 55 65 75], 'Ctrs',[35 45 55 65 75], 'Frequency', [6 22 2 9 23]) h = % ipótesis alternativa p =.347 % p-valor st = chi2stat: 6.7247 % estadístico de contraste df: 2 % grados de libertad edges: [3. 4. 5. 6. 7. 8.] O: [6 22 2 9 23] %frecuencias observadas E: [2.636 2.695 27.74 22.929 6.476] %frecuencias esperadas Pruebas con Tabla de contingencia >> n=[56 6 62 59;44 4 38 4] n = 56 6 62 59 44 4 38 4 %frecuencias observadas >> f=sum(n) f = %suma por filas >> c=sum(n') c = 237 63 >> e=(c'*f)/sum(sum(n)) %suma por columnas e = 59.25 59.25 59.25 59.25 4.75 4.75 4.75 4.75 %frecuencias esperadas >> chi=sum(sum((n-e).^2./e)) chi =.7766 %estadístico de contraste >> p=-chi2cdf(chi,3) p =.855 %p-valor U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 33
Disttool Es una herramienta de MATLAB que permite visualizar de forma gráfica las características de cada distribución con la posibilidad de variar sus parámetros. Las funciones que muestra son: Función de densidad o de probabilidad (PDF) Función de distribución (CDF) Por defecto la ventana se abre con la distribución N(,) y representando la función de distribución de probabilidad..8.6.4.2-8 -6-4 -2 2 4 6 8 Obviamente se puede modificar cualquier ventana.8.6.4.2-8 -6-4 -2 2 4 6 8 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 33
Calculamos las probabilidades.8.6.4.2-5 - -5 5 5 Calculamos los percentiles.8.6.4.2-8 -6-4 -2 2 4 6 8 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 34
Cambiamos la distribución.2.8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9.8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC