CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFA MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO 10

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1 MOVIMIENTO PERÍODO II FECHA 23 de julio de 2018 NIVEL MEDIA TÉCNICA ESTÁNDAR: CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFA MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO 10 Describe la trayectoria y la posición de un cuerpo en movimiento respecto a un sistema de referencia. LOGROS: Identificar y describir el cambio de posición, la trayectoria y el desplazamiento de un cuerpo respecto a un sistema de referencia. Aplicar los conceptos de velocidad media y velocidad instantánea para analizar el movimiento de un cuerpo en una dimensión. Aplicar los conceptos de aceleración media y aceleración instantánea en el análisis de movimiento en una dimensión. CONCEPTOS BÁSICOS CINEMÁTICA Es una parte de la mecánica, que se ocupa de describir el movimiento de los objetos. la cinemática, se centra y limita a estudiar la trayectoria de un cuerpo en función del tiempo. Para llevar a cabo su estudio y su propósito, la cinemática utiliza un sistema de coordenadas que le es muy funcional a la hora de describir las trayectorias de los cuerpos. El mencionado sistema se denomina Sistema de Referencia y se manifiesta de la siguiente manera: la velocidad es el ritmo con el cual se marca el cambio de posición, la aceleración por su lado, es el ritmo con el que cambia la velocidad, entonces, velocidad y aceleración son las dos principales cantidades que describirán como cambia la posición de un cuerpo en función del tiempo. EL MOVIMIENTO ES RELATIVO Cuando hablamos del movimiento de un objeto se dice que éste es relativo, ya que siempre debemos decir respecto a qué o quién lo describimos. Analicemos el movimiento de un pasajero que viaja sentado en un tren llamado sistema de referencia en movimiento-; para un posible observador ubicado en el andén sistema de referencia en reposo- tanto el pasajero como el tren se mueven respecto él, mientras que el pasajero dirá que él se encuentra en reposo respecto al vehículo. Sin embargo, tanto el observador como el pasajero se mueven simultáneamente respecto a la Tierra y ésta, a su vez, gira sobre sí misma y también respecto al Sol, en una órbita elíptica.

2 Cada observador puede asumir que quien se mueve es el otro. Figura 1: el movimiento de un cuerpo es relativo. SISTEMA DE REFERENCIA El análisis de un evento físico nos exige determinar dónde ocurrió y cuándo se presentó el fenómeno. Para hacerlo, elegimos arbitrariamente un punto en el espacio y respecto a él describimos y explicamos el evento; a ese punto le hacemos corresponder un sistema de coordenadas X, Y, Z, como el que se muestra en la siguiente figura; se asume que en el origen del sistema se halla el observador, quien describirá la situación de interés. Figura 2: Coordenadas rectangulares de un punto P(x, y, z) con respecto a un sistema de referencia. Fuente: Diseño del autor REPOSO En la siguiente figura vemos a un perro sentado a tres m de un niño. Se escoge como origen del sistema de referencia el sitio donde se encuentra el niño y en el eje X se sitúa los tres m a los que está el animal; 2

3 la ubicación del perro se denomina coordenada de posición del cuerpo. Cuando la coordenada de posición de un cuerpo se mantiene constante se dice que se encuentra en reposo respecto a ese sistema de referencia. Por ejemplo, un estudiante puede estar ubicado en el origen del sistema de referencia. Figura 3: Animal en reposo con respecto al observador. MOVIMIENTO Un objeto - en este caso el animal- se encuentra en movimiento cuando cambia su coordenada de posición en el sistema de referencia. Al cambio de posición se le denomina desplazamiento. Figura 4: Movimiento del animal con respecto al sistema de referencia. TRAYECTORIA Es el camino que describe el movimiento que sigue un objeto. Gráficamente es la línea que resulta de unir las diferentes posiciones del objeto. Los objetos pueden moverse en diferentes trayectorias, como se puede observar en los siguientes ejemplos: 3

4 Figura 5: Diferentes trayectorias. c. X En tres dimensiones; una mariposa por ejemplo vuela en el plano XY y avanza en dirección Z, como se puede observar en la figura 5. En dos dimensiones; si se lanza un balón de fútbol de manera que forme un ángulo con la horizontal, se dice que se mueve en dos dimensiones porque el movimiento del balón tiene una componente vertical y una horizontal respecto a un origen fijo, como se muestra en la figura 5. En una dimensión o en línea recta: un automóvil se mueve a lo largo de una carretera recta y horizontal. En la figura 5 se puede apreciar que en este movimiento restringido sólo hay dos direcciones posibles, una positiva y otra negativa respecto al sistema de referencia. COORDENADAS DE POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO Las coordenadas de posición del punto P en el plano donde se ubica un cuerpo, pueden expresarse respecto a un sistema de referencia con notación vectorial así: r = xi + yj = (x, y) tal como se muestra en la figura 6, es decir, a cada cuerpo podemos asociarle un vector de posición respecto al sistema de referencia elegido. 4

5 La distancia entre el observador (origen del sistema de referencia) y el objeto es: r = x 2 + y 2 y la dirección es: θ = tan 1 ( y x ) Figura 6: Coordenadas de un punto en el plano XY Las siguientes ecuaciones son las coordenadas polares del vector y corresponden a las componentes rectangulares del mismo así: r x = r cos θ = x, r y = r sen θ = y Recordar que la distancia entre los puntos P 1 = (x 1, y 1 ) y P 2 = (x 2, y 2 ) se denota con d en la figura 7, d corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo P 1 QP 2. Para hallar su valor aplicamos el teorema de Pitágoras: d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Figura 7: Distancia entre dos puntos. Ejemplo: X 2 X 1 Carolina está en la posición r= (3 m) i + (5 m) j respecto a su casa. Encontrar a qué distancia se halla Carolina de donde vive y la dirección (ángulo) en la que se encuentra. 5

6 Solución: De acuerdo con la figura siguiente se puede encontrar la distancia aplicando las ecuaciones anteriores: Figura 8: Coordenadas de la posición de Carolina con respecto a su casa. y la dirección es: θ = tan 1 ( 5 3 ) = 59 VECTOR DESPLAZAMIENTO Supongamos que un objeto en este caso una araña se mueve en dirección vertical, desde la coordenada y 1 hasta la y 2, tal como muestra en la siguiente figura: Figura 9: La araña se desplaza en forma horizontal. El vector desplazamiento y j respecto al origen 0 del sistema de coordenadas, es el cambio de posición del objeto dado por la coordenada de posición final y 2 menos la coordenada de posición inicial y 1, es decir, la magnitud del vector desplazamiento y está dada por (y 2 y 1 ). La componente vectorial en 6

7 dirección vertical del desplazamiento es: y j = (y 2 y 1 )j, donde significa cambio, en este caso «cambio de posición». Según el sistema de referencia, el vector desplazamiento puede ser positivo o negativo. Un mismo cambio en la posición puede ser positivo para un observador y negativo para otro, pues depende de dónde esté ubicado cada uno. El desplazamiento es una cantidad de carácter vectorial. Algunas unidades de desplazamiento son: metro (m); centímetro (crn), kilómetro (km), pie (ft), pulgada (pulg) y milla (mi). Las dimensiones del desplazamiento son: [ y] = [L]. VECTOR VELOCIDAD MEDIA Figura 10: Gráficos de posición en función del tiempo para un objeto con trayectoria unidimensional en el eje Y y en el eje X. La velocidad media se define como el vector desplazamiento dividido por intervalo de tiempo: v mx = x t = (x 2 x 1 ) (t 2 t 1 ) i v my = y t = (y 2 y 1 ) (t 2 t 1 ) j Las unidades del vector velocidad media son: m/s, cm/s, km/h, mi/h y pie/s. En la figura anterior, se ve que la tangente del ángulo θ en el triángulo formado por el cambio en la posición y y el cambio en el tiempo t en la dirección vertical es: tan θ = y t = v my Si el objeto se mueve en dirección horizontal, la tan θ del triángulo es: 7

8 tan θ = x t = v mx De este resultado concluimos que la componente (en la dirección X y Y) del vector velocidad media es igual a la pendiente de la recta que une la posición inicial y la posición final del objeto. VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA Ya analizamos movimientos en intervalos de tiempo t. Ahora, estudiaremos cómo se determina la velocidad de un objeto en un "instante". Un instante es un tiempo muy corto, como el que tardamos en pestañear o en disparar el obturador de una cámara fotográfica. Para que podamos comprender cómo se determina la velocidad instantánea, imaginémonos un auto que se mueve en una carretera recta, en dirección horizontal, como lo vemos en el gráfico de la posición en función del tiempo de la siguiente figura: Figura 11: La velocidad instantánea es un vector tangente a la curva en un punto de un gráfico de posición en función del tiempo. Observemos que el auto parte de una posición x 0 distinta a cero, luego avanza hasta una posición x 1, después a una posición x 2 y, por último, a una posición x 3, en los tiempos t 0, t 1, t 2 y t 3, respectivamente. Para calcular la componente horizontal de la velocidad media del auto entre t 0 y el t 3 tenemos: v m = x t = (x 3 x 0 t 3 t 0 ) Si tomamos, ahora un intervalo de tiempo más pequeño, la velocidad media (línea roja) será: v m = x t = (x 2 x 0 t 2 t 0 ) 8

9 Elaboró: MsC. Jorge Cardeño Espinosa BIBLIOGRAFÍA Barrera, P. (2014). Física 1. Con estándares y competencias. Bogotá, Colombia: Norma. Bautista, M. y Saavedra, O. (2008). Nueva Física 1. Bogotá, Colombia: Santillana. 9