tan Cuando se tienen dos o más vectores que deben ser sumados o restados, recordar que:

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1 1 VECTORES PARA RECORDAR Si A = (a, b) y B = (c, d) entonces: A B ( a c, b d), A B ( a c, b d), V x V cos, V y V sen x A x ( a, b) ( xa, xb), R x y V = V + V, donde i (1,0,0 ) j (0,1,0 ) k = (0, 0, 1) V 1 y tan, A = ai +bj + ck Vx ESTRATEGIA PARA OPERAR CON VECTORES Cuando se tienen dos o más vectores que deben ser sumados o restados, recordar que: - Seleccionar el sistema de coordenadas - Dibujar cada vector y darle un nombre - Encontrar las componentes de cada vector - Usar el teorema de Pitágoras para encontrar el módulo del vector resultante - Usar la función trigonométrica adecuada para encontrar la dirección del vector resultante, es decir, el ángulo que forma con el eje x. EJERCICIOS 1. Dados los vectores V =3i ˆ _ j ˆ +k; ˆ 1 V =3i ˆ _ 4j ˆ _ 3kˆ ; V 3 = _ ˆi +j ˆ + kˆ Hallar los módulos de: a. V 1 b. V 1+ V + V 3

2 c. V 1-3 V + 5 V 3. Desde un avión de reconocimiento que vuela a una altura de 500 m, el piloto observa dos embarcaciones que se encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión de 6 4, y 37 18, respectivamente; encuentre la distancia X entre las embarcaciones. 3. Una persona en su trote diario desde su casa, corre 7 Km. al norte, Km. al oeste, 7 Km. al norte, Km. al norte y 11 Km. al este. A qué distancia se encuentra la persona de su casa? 4. Un vector de 5 unidades se orienta en dirección positiva del eje x, y otro de 3 unidades se orienta en 30º. Determine la suma y la resta de estos vectores, gráfica y analíticamente. 5. Hallar el módulo del vector de origen O(0;-5) y extremo P(-4;3). 6. Un vector tiene módulo a = 5 y su primera componente es a1 = 3, cuál es la segunda componente?. 7- Hallar las componentes del vector de módulo situado en el plano xy que forma un ángulo de 30º con el eje x. 8. Qué son cantidades escalares? 9. Qué son cantidades vectoriales? 10. Cuáles son las características de un vector? 11. Qué operaciones pueden realizarse con cantidades vectoriales? 1. La magnitud del desplazamiento de una partícula puede ser mayor que la distancia recorrida? Explique. 13. De las siguientes cantidades cuáles son vectores: Fuerza, Temperatura, Volumen, Número de espectadores en un programa de televisión, Altura, Velocidad.

3 3 14. Proponga tres ejemplos de cantidades escalares y tres de cantidades vectoriales. 15. A = 13i + 7j y B = 4i 14j Obtenga los vectores A + B y A B. a. En términos de los vectores unitarios b. En términos de la magnitud y dirección con respecto al eje X. 16. Dos estaciones de rastreo A y B detectan un satélite. La estación A reporta la posición del satélite de 451 al Este sobre la línea que une A con B. La estación B, que se encuentra a 600 Km. al Oeste de A, detecta al satélite a 0º sobre la línea que une A con B. Cuál será la altura a la que se encuentra el satélite, sobre la línea que une las estaciones? 17. Si una cierta esquina de un cuarto es seleccionada como el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, una mosca esta avanzando lentamente sobre una pared adyacente a uno de los ejes. Si la mosca se localiza en un punto con coordenadas (m, 1m) a. Qué tan lejos se encuentra de la esquina del cuarto? b. Cuál es su localización en coordenadas polares? 18. Un inspector estima la distancia a través de un río con ayuda del siguiente método: Permanecer frente a un árbol en la orilla opuesta, él camina 100m a lo largo de la orilla del río, luego mira hacia el árbol. El ángulo desde su línea hacia el árbol va a ser 35º Qué tan ancho es el río? (Rta. = 70m) 19. Un objeto se mueve 00ft horizontalmente y luego sube 135ft en un ángulo de 30º sobre la horizontal. Luego viaja 135ft en un ángulo de 40º debajo de la horizontal. Cuál es su desplazamiento desde su punto de inicio? NOTA: Use el método gráfico (R: 41ft a.63º) 0. El vector A tiene las componentes (8, 14, -4) unidades respectivamente: a) Obtenga la expresión del vector A en términos de los vectores unitarios, b) Determine una expresión para un vector B de ¼ de la longitud de A apuntando en la misma dirección de A, c) Calcule una expresión en términos de los vectores unitarios para un vector de tres veces la longitud de A apuntando en la dirección opuesta a la dirección de A. (R: a) 8i + 1j - 4k, b) i 3j k. c) 4i 36j + 1k) 1. El vector A tiene una componente en el eje de las X negativas de 3 unidades de longitud y componente en Y de unidades de longitud. a) Determinar una expresión para A en términos de los vectores unitarios, b) Determinar la magnitud y dirección de A, c) qué vector B resulta cuando regresas a A un vector sin componente en X y con componente en Y negativa de 4 unidades de longitud. (R: a) 3i + j, b) 3.61 a 146º, c) 3i 6j). Dos vectores A y B de 3 y 5 unidades de magnitud respectivamente, forman un ángulo de 37º. Determine analíticamente la magnitud de la suma y de la diferencia entre ambos vectores. 3. Hallar el vector resultante entre los vectores A y B de 4 y 3 unidades de magnitud respectivamente, que forman un ángulo de 60º entre ellos. 4. un avión se mueve hacia el norte con una rapidez de 30 Kph, cuando es sometido a la acción del viento que sopla con rapidez de 40 Kph en dirección este. Encontrar el movimiento resultante del avión

4 5. Supongamos que dos personas caminan perdidas por un desierto plano y hostil de manera tal que finalizado cada día anotan en su diario de viaje lo siguiente: Día 1: caminamos 30 kilómetros en línea recta hacia el norte; no encontramos agua. Día : hoy solo hemos logrado caminar 0 kilómetros en línea recta, en dirección norte 37º hacia el este (N 37º E); nos encontramos extenuados. No encontramos agua. Día 3: fin hemos encontrado agua. El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00 horas, luego de caminar en línea recta durante 0 kilómetros hacia el sur. Nos encontramos a salvo. 6. La rapidez del agua de un río es 5km/h uniforme hacia el este. Un bote que se dirige hacia el norte cruza el río con una rapidez de 10 km/h respecto al agua. a) Calcular la rapidez del bote respecto a un observador en la orilla del río. b) En qué dirección debe dirigirse el bote si se quiere llegar al frente de la orilla opuesta? c) Cuál es ahora su rapidez respecto a la tierra? 4 7. Un auto viaje 0 km. hacia el norte, y a partir de allí 35 km. a 60 en dirección noroeste. Encuentre el módulo y la dirección del vector desplazamiento total. 8. Un cartero tiene un recorrido como se muestra en el diagrama. Encuentre gráfica y analíticamente el desplazamiento resultante, en módulo, dirección y sentido. (ver gráfico) 9. Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en una dirección que forma un ángulo de 5 con la dirección este. El viento está soplando a 30 Km./h en la dirección noroeste, formando un ángulo de 0º

5 con la dirección norte. Cuál es la "velocidad con respecto a tierra" real del aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este? Dos vectores A vectores A y B de 3 y 5 unidades de magnitud respectivamente, forman un ángulo de 37º. Determine analíticamente la magnitud de la suma y de la diferencia entre ambos vectores. 31. Supongamos que dos personas caminan pérdidas por un desierto plano y hostil de manera tal que finalizado cada día anotan en su diario de viaje lo siguiente: Día 1: caminamos 30 kilómetros en línea recta hacia el norte; no encontramos agua. Día : hoy solo hemos logrado caminar 0 kilómetros en línea recta, en dirección norte 37º hacia el este (N 37º E); nos encontramos extenuados. No encontramos agua. Día 3: fin hemos encontrado agua. El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00 horas, luego de caminar en línea recta durante 0 kilómetros hacia el sur. Nos encontramos a salvo. El relato anterior puede traducirse en términos de los desplazamientos diarios y del desplazamiento final en forma analítica. 3. Un excursionista inicia una excursión caminando primero 5.0 Km. hacia el Sureste ( ángulo?) desde su campamento base. En el segundo día camina 40.0 Km. en una dirección 60.0 al norte del este, punto en el cual descubre la torre de un guardabosque. a. Determine la componente del desplazamiento diario del excursionista.

6 6 b. Determine las componentes del desplazamiento resultante de R en términos de vectores unitarios. c. Determine la magnitud y la dirección del desplazamiento total. 33. Mi casa está a 6 cuadras al este y 8 cuadras al norte del edificio en el cual trabajo. Cuál es la distancia en línea recta entre estos puntos. Qué ángulo forma con el este esta línea recta? (R= 10 calles, 53 noreste.) 34. Un caballero astuto, tuerto y con un perico, rompió el mapa de un tesoro en seis pedazos. El primero muestra un gran árbol y tan sólo dice: comenzar aquí. Aunque no guardan orden alguno, los otros cinco pedazos especifican: 3 metros al este, 5 metros al norte, 5 metros al sureste, 5 metros al sur y 6.5 metros al oeste. Encuentre el tesoro. 35. Un bombero se apresura a subir una escalera de 6 metros que forma un ángulo de 67.4 con el piso. Cuál es el desplazamiento vertical con sus pies al llegar arriba