2) Despeje de la incógnita: Lo que multiplica a la incógnita pasa dividiendo al otro miembro de la ecuación y lo que divide pasa multiplicando.

Transcripción

1 1.- ECUACIONES Concepto de ecuación Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números, letras y operaciones entre ellos. A las letras les llamamos incógnitas. Por ejemplo, x + = 9 es una ecuación. Resolver una ecuación es averiguar lo que tiene que valer la incógnita para que se cumpla la igualdad. Por ejemplo, la solución de la ecuación x + = 9 es x = 7 porque para x = 7 se cumple la igualdad. Para resolver ecuaciones se suelen usar unas reglas, llamadas reglas de equivalencia. Con ellas pasamos de una ecuación a otra equivalente (con las mismas soluciones) pero más simple. Se usan principalmente dos reglas: 1) Transposición de términos: Se pasan los términos de un miembro a otro cambiándoles de signo. ) Despeje de la incógnita: Lo que multiplica a la incógnita pasa dividiendo al otro miembro de la ecuación y lo que divide pasa multiplicando. Algunas ecuaciones las podemos resolver sin aplicar las reglas de equivalencia. 1) 5x4 65x4365x4x 5 ) Ejemplos: 3x7 =33x7=53x=1 x=4 3) x(x + 1) = 13 x =11 4) x 6 1 x 6 x 14 x 7 Despeje de variables Para despejar la incógnita o variable en una ecuación o fórmula podemos seguir los siguientes pasos: 1º) Se efectúan los paréntesis y se quitan denominadores, si los hubiera. º) Si en el miembro donde está la incógnita a despejar hubiese más términos, se pasan al otro miembro cambiándoles de signo. 3º) Se aplica la regla del despeje de la incógnita. x b c Ejemplo: Despeja la letra x en la fórmula a = 3 3a c =x b 3ac 3ac x x b b ACTIVIDADES 1 Despeja de forma directa la x usando las reglas de equivalencia: a) x + a = b b) ax = b c) ax b = d) x b a e) x b f) x a = b g) ax = 3b h) x b a c 3a Resuelve sin aplicar reglas de equivalencia: a) 3x1 5 b) 3 5x 13 = 9 c) 3 x+6 = 81 d) x(x + ) = 63 e) 5 x Página 1 -

2 3 Usando las reglas de equivalencia despeja la variable que se pide: 9C a) v=v at, despeja "a" b) v = v At, despeja t c) F 3, despeja C 5 d) e = 3v at,despejat x e) a = b, despejax f) E = 5 E + mx, despeja x 4 En química se estudia la relación entre el volumen y temperatura de un gas a presión constante, V V que es T T a) Despeja T en función de las demás variables b) Si a presión constante un determinado gas ocupa un volumen de 6 m 3 a una temperatura de ºC, a qué temperatura ocupará un volumen de 15 m 3? 5 Un estudio hecho a un tipo de sardinas revela que la velocidad v, en cm/sg, con que nadan en función de su longitud L, en cm y el nº de veces n que mueven sus aletas por segundo viene dada L(3n4) por la fórmula v. 4 a) Despeja n en función de V y L b) Una sardina de 16 cm de longitud nada a una velocidad de 4 cm/sg, cuántas veces por segundo mueve sus aletas?.- ECUACIONES DE PRIMER Y º GRADO Ecuaciones de primer grado o lineales Son ecuaciones donde la incógnita está elevada a 1 y se pueden escribir de la forma ax = b. Por ejemplo, la ecuación x = 3 es de 1er grado. Si al resolver la ecuación se llega a una identidad, por ejemplo =, entonces la ecuación es una identidad y cualquier número es solución. Si se llegara a una contradicción, por ejemplo = 3, entonces la ecuación es incompatible, es decir no tiene solución. Ecuaciones de º grado Son aquellas en las que la incógnita está elevada al cuadrado. Se pueden escribir de la forma ax + bx + c =, con a. Para resolver ecuaciones de º grado podemos usar la fórmula b x b 4ac a La expresión D = b b D 4ac se llama discriminante de la ecuación. La fórmula es x a Si D > la ecuación tiene soluciones, porque la raíz cuadrada nos da un nº positivo Si D = la ecuación tiene 1 solución (doble), porque la raíz cuadrada nos da cero Si D < la ecuación no tiene solución, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo 1 x Ejemplo: x b D x = Db 4ac3 4..( ) 5x a. 4 8 x 4 - Página -

3 Cuando la ecuación de º grado es incompleta conviene resolverla sin usar la fórmula. - Si falta el término de x se despeja x y se halla la raíz cuadrada: ax + c = x = c a x = c a. Ejemplo: 64 5x = x = 64 5 x = Si falta el término independiente se saca factor común x: ax x + bx = x(ax + b) = x b ax b x a Ejemplo: x + x = x(x + 1) = x x 1 x 1 x Hay veces en que tenemos que aplicar propiedades, realizar operaciones o reducir a común denominador para llegar a una ecuación de primer o º grado. 1) x x3 Ejemplos: Resolución: Usando que los productos cruzados deben ser iguales: (x + 3) = 14( 3x) 4x + 36 = 8 + 4x 64 = 18x x ) x (x ) 1 x x 5x5 1 x1 3x 1x1 1 x1 1 Resolución: 3x1x11x16x 1 x ) 3(x + ) + (x + 1)(x 1) = 3x(x 5) + 11 Resolución: 3(x 4x 4) x 1 3x 15x 11 3x 1x 1 x 1 3x 15x 11 x x 7xx(x7) x 7 Resolución de problemas usando ecuaciones Para resolver problemas usando ecuaciones lee el enunciado y extrae los datos y la incógnita. Escribe la ecuación que los relaciona. Resuelve la ecuación e indica cuál es la solución del problema. Por último comprueba la solución. - Página 3 -

4 Ejemplos 1) Jorge, Amalia y Lorena son aficionados a los videojuegos. Supongamos que Jorge tiene tres videojuegos más que Amalia y Lorena tiene la quinta parte de los que tiene Jorge. Si entre los tres tienen 19 videojuegos, cuántos videojuegos tiene cada uno? Número de videojuegos de Jorge: x3 x3 x3 Resolución: Número de videojuegos de Amalia: x x3 x 19x x3 Número de videojuegos de Lorena: 5 x3 x3 19 1x15 x x77 x Luego, Jorge tiene 1 videojuegos, Amalia 7 y Lorena ) Dos pueblos A y B distan entre sí 36 km. Juan sale caminando de A hacia B a una velocidad de 4 km/h. Al mismo tiempo Roberto sale de B hacia A a 5 km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse y la distancia a cada pueblo. Resolución: La distancia que recorre cada uno es igual a la velocidad por el tiempo t 4t + 5t = 36 9t = 36 t = 4. Tardan 4 h en encontrarse. Distancia al pueblo A: 4t = 4.4 = 16 km Distancia al pueblo B: 5t = 5. 4 = km 3) Un camión sale de Madrid a las 9 de la mañana a 8 km/h. Cuando lleva minutos de camino sale un coche también de Madrid por la misma ruta a una velocidad de 9 km/h. A qué distancia de Madrid alcanzará el coche al camión y a qué hora? : 6 1 Resolución: Observa que min h h. 6 3 Sea t el tiempo que está circulando el camión. Entonces el tiempo que está circulando el coche 1 es minutos menos, es decir, t 3 Como, evidentemente, los dos recorren la misma distancia desde que salen hasta que se encuentran: 1 8t 9(t ) 8t 9t 3 3 1t t 3. La dis tancia sería entonces Por tanto, el coche alcanzará al camión a las 1 de la mañana a 4 km de Madrid 4) Halla la edad actual de Pedro si dentro de 11 años será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Edad actual depedro: x (x13) Resolución: Edad depedro dentro de11 años: x11 x11 x x 6x169 Edad depedro hace13 años: x x 1 años x 8x147x x7 (no válida,puespedro tiene más de 13 años - Página 4 -

5 5) Un solar tiene forma de rectángulo de 5 m de diagonal. El lado menor mide 1 menos que el mayor. Determina el perímetro y la superficie del solar. Resolución: Fíjate en el dibujo Usando el teorema de Pitágoras 5 = x + (x 1) 5 = x + x x + 1 x : 17 x 4 x 4 = x 1x1x x3 (no válida) La parcela sería de 4 m de largo y 3 m de ancho. Luego, el perímetro sería P = = 14 m y el área A = 4. 3 = 1 m. 6) Calcula el perímetro de un jardín rectangular que mide 5 m más de largo que de ancho y cuya superficie vale 34 m Resolución: Ancho: x, Largo: x5x(x5) 34 x 5x34 x 531 x13 x Ancho:13, Largo:18.Perímetro: m x18 (no válida) 1 Resuelve las siguientes cuestiones: ACTIVIDADES a) Indica el número de soluciones de la ecuación de º grado ax + bx + c = (dos, una o ninguna) en función del valor del discriminante D = b 4ac. b) Indica cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones: 1) 36 x = ) x + 4 = c) Plantea una ecuación con los siguientes datos: La mitad de mi edad más su triple da 49 años. d) Un pañuelo cuesta x y una camisa cuesta el doble. Entre los dos cuestan 4. Plantea una ecuación y averigua cuánto vale la camisa. e) Un rectángulo de 1 cm de superficie mide el triple de largo que de ancho. Plantea una ecuación y averigua cuánto mide de largo. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5x = 3x b) 4x + x + 5 = c) 81 49x = d) x = 5x e) x = x f) (x 1)(x + 1) + 5(3x x ) = (x ) 9 g) 3(x + ) + (x + 1)(x 1) = 3x(x 5) + 11 h) (x )(x + ) 3(x 1) + (x x ) = 5 3 Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima parte del menor sea igual a la quinta parte del menor. 4 En un zoológico el doble de panteras menos 7 es igual al número de tigres. La tercera parte de tigres, más 8 es igual al número de leones. Si en total son 17 animales, cuántos animales hay de cada especie? - Página 5 -

6 5 Un camión sale de Granada a Madrid a una velocidad de 75 km/h. A la misma hora sale de Madrid a Granada un coche a una velocidad de 1 km/h. Si la distancia entre Madrid y Granada es de 4 km, calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia del punto de encuentro a cada una de las ciudades. Suponemos velocidades constantes. 6 Borja y María son novios y viven en Barcelona y Granada, respectivamente. Supongamos que la distancia de Granada a Barcelona es, aproximadamente, 9 km. Todos los sábados salen con su coche a las 1 de la mañana, María a 9 km/h y Borja a 6 km/h. Calcula a qué distancia de Granada se encuentran y a qué hora. Suponemos velocidades constantes. 7 A las 9 de la mañana sale una furgoneta de Madrid a 8 km/h y horas después sale un coche en el mismo sentido a 1 km/h. Halla a qué distancia de Madrid le alcanza y a qué hora. Suponemos velocidades constantes. 8 Dos coches salen de Málaga por la misma carretera y en el mismo sentido, pero uno media hora más tarde que el otro. El que sale primero lleva una velocidad de 85 km/h, y el segundo de 11 km/h. A qué hora lo alcanzará? A qué distancia de Málaga? 9 Dentro de siete años la edad de un alumno será el cuadrado de la edad que tenía hace cinco años. Qué edad tiene hoy? 1 Dentro de 16 años la edad de Paloma será el cuadrado de la edad que tenía hace 14 años. Cuál es la edad actual de Paloma? 11 Halla las dimensiones de un jardín rectangular de 4 m de superficie, sabiendo que el ancho es 8 m menor que el largo. 1 Calcula el perímetro de un solar rectangular que mide 9 m menos de ancho que de largo y cuya superficie vale 136 m. 13 Queremos construir una caja a partir de un cartón rectangular de dimensiones 4 cm x 18 cm, recortando en cada esquina un cuadrado de lado x. Cuánto debe valer x para que la superficie de la caja sea 143 cm? Actividades del libro: 1, 4, 67, 69, 96, 1 y ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS Ecuaciones factorizadas Son ecuaciones que vienen expresadas como un producto de factores igual a cero, es decir son de la forma p(x). q(x).. =. Para resolver este tipo de ecuaciones se iguala a cero cada factor y luego se resuelven las ecuaciones que resulten. x x 5 (3x 5) 3x 5 x 3 Ejemplo: x(3x 5) (x + 1)(x + 9) = x 1 x 1 x 9 x 9 (no tiene solución) - Página 6 -

7 Ecuaciones de grado superior no factorizadas Son aquellas de la forma p(x) =, siendo p(x) un polinomio de grado mayor que. Para resolverlas se factoriza el polinomio hasta obtener al menos factores de grado menor o igual que dos, quedando entonces una ecuación factorizada. Ejemplo: x 4 8x 3 + 5x x = 3 x(4x 8x 5x1) x(x1)(4x 4x1) x ; x1 x1 ; 4x 4x1 x x 8 ACTIVIDADES 1 Indica cuáles son las soluciones de las ecuaciones: a) x(x + 3) = b) (x + 1)(x 4)(x + )(x 3) = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 x 3 36x + 36x = b) 3x 4 48x = c) x 4 5x 3 + 7x 3x = d) x 4 x 3 5x + 6x = 3 Queremos construir una caja a partir de un cartón rectangular de dimensiones 4 cm x 18 cm, recortando en cada esquina un cuadrado de lado x. Cuánto debe valer x para que el volumen de la caja sea 64 cm 3? Actividad del libro: SISTEMAS DE ECUACIONES Concepto de ecuación lineal Una ecuación lineal con dos incógnitas es la que se puede expresar de la forma ax + by = c, por ejemplo, x 3y = 4 es una ecuación lineal con dos incógnitas. Resolver una ecuación es averiguar el valor de las todas las incógnitas para que se cumpla la igualdad. En general, las ecuaciones lineales con dos o más incógnitas tienen infinitas soluciones. Hay algunas ecuaciones lineales que no tienen solución. Por ejemplo, x + y = 5. Estas ecuaciones se llaman incompatibles Observa la ecuación x y = 1. Si la representas gráficamente verás que la gráfica es una recta en el plano. Los puntos de la recta son precisamente las soluciones de la ecuación. En general, una ecuación lineal con dos incógnitas se representa por una recta en el plano. Cada punto de la recta se corresponde con una solución de la ecuación. Concepto de sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo, x5y 4 x 3y 9 es un sistema de ecuaciones lineales. Resolver un sistema es averiguar el valor de las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones a la vez. - Página 7 -

8 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales Sólo existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales en cuanto al número de soluciones: deter min ados ( S. C. D.) ( tienen solución única) sistemas compatibles in det er min ados ( S. C. I ) ( tienen inf initas soluciones) sistemas incompatibles ( S. I.) ( no tienen solución) axby c Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a xb y c a b Si Es un S.C.D. Las ecuaciones representan rectas secantes. a b Lasoluciónesel puntodecorte Se puede demostrar que a b c Si Es un S.C.I. Las ecuaciones representan rectas coincidentes. a b c a b c Si Es un S.I. Las ecuaciones representan rectasparalelas. a b c Ejemplos: 1) 1x + 5y = 5 6x3y = 3 Como S.C.I.(tiene inf initas soluciones); Interpretación geométrica:rectas coincidentes ) x + y = x y = 1 1 Como S.C.D.(tiene solución única); Interpretación geométrica:rectas secantes 1 1 Resolucióngráfica:Sedibujanlasrectas y seobservaquesecortanenelpunto( 4,3).Lasoluciónes x4,y 3 3) 6x + 3y = 5 x y = 1 Como S.I.(no tiene solución); Interpretación geométrica:rectas paralelas 1 1 Resolución de sistemas lineales con dos incógnitas Los métodos más usados para resolver sistemas son el método de sustitución, igualación y el de reducción. Método de sustitución: Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra u otras ecuaciones. De esta forma se llega a otro sistema con una incógnita menos. Si es necesario se vuelve a repetir el proceso hasta llegar a una ecuación con una incógnita. x y 1 Ejemplo: + = x = 1 y. Sustituimos: ( 1 y) 3y = 18. Resolviendo obtenemos y = 4. x 3y= 18 Hallamos x: x = 1 y = 1 ( 4) x = 3 Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita en las todas las ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas. De esta forma se llega a otro sistema con una incógnita menos. Se vuelve a repetir el proceso hasta llegar a una ecuación con una incógnita. Método de reducción: Consiste en buscar otro sistema equivalente, o sea con las mismas soluciones, en el que los coeficientes de la x (o de la y) sean números iguales u opuestos. Esto se consigue multiplicando las ecuaciones por números adecuados. Luego se suman o restan las ecuaciones, 3x4y 6 según convenga para llegar a tener una sola incógnita. Ejemplo: x7y 5 6x8y 1 (3x 4y6). Resolución: 6x1y 75 3x4( 3) 63x1 6x (x 7y5).3 9y 87 y3 - Página 8 -

9 Resolución de problemas usando sistemas Para resolver problemas usando sistemas de ecuaciones lee el enunciado, extrae los datos y las dos incógnitas. Después debes obtener las dos ecuaciones que los relaciona. Resuelve el sistema e indica cuál es la solución del problema. Por último comprueba la solución. Ejemplos 1) Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4,5, y otros a 3,6, obteniendo de la venta 31,5. Cuántos libros vendió de cada clase? xnº delibros de 4,5 xy84 xy84 4,5x3,6y 31,5 (x y84).45 45x45y378 res tando las ecuaciones 9y 675 y75 45x36y315 45x36y315 Como xy84 x9.luego, vendió 9 libros de 4,5 y 75 de 3,6 Resolución: y nº delibros de 3, x 36y 315 ) Un comerciante mezcla aceite de 1,1 /litro con otro aceite de,8 /litro para conseguir 6 litros de aceite a un precio de,9 /litro. Cuántos litros de aceite ha mezclado de cada tipo? xnº de litros de aceite de1,1 /l xy6 xy6 Resolución: y nº de litros de aceite de,8 /l 1,1x,8y,9. 6 1,1x,8y 5,4.1 xy6 por reducción (xy 6).8 8x8y 48 res tando las ecuaciones 3x 6 11x8y 54 11x8y 54 11x8y 54 x. Como xy6 y 4.Luego, tiene que mezclar litros del primer tipo y 4 del segundo 3) Hace 5 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo y dentro de 15 años tendrá el doble. Halla la edad actual del padre y del hijo. x edad actual del padre x5 4(y 5) x 4y15 Resolución: y edad actual del hijo x 15 (y 15) x y 15 res tando las ecuaciones: y3 y 15. Como x y 15 x 45. Luego, el padre tiene 45 años y el hijo 15 años 4) Ismael y Lucía fueron a pescar. Al final del día Lucía dijo: Si tú me das uno de tus peces, entonces yo tendré el doble que tú. Ismael le respondió: Pero si tú me dieras uno de tus peces entonces yo tendría el mismo número de peces que tú. Cuántos peces tenía cada uno al principio? xnº depeces deismael y1(x1) xy 3 Resolución: ynº depeces delucía x1 y1 xy restando las ecuaciones: x5. Como xy y 7. Luego,Ismael tenía5 peces y Lucía 7 peces - Página 9 -

10 ACTIVIDADES 1 Resuelve las siguientes cuestiones: a) Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que es un sistema.. xy9 b) Calcula el valor de x en el sistema x y 1 xy1 c) Calcula el valor de y en el sistema x y 7 d) Si x = precio de un libro, y = precio de una libreta, plantea una ecuación con dos incógnitas con los siguientes datos: Tres libros y cinco libretas valen 8 e) Si al resolver por el método gráfico un sistema de ecuaciones se obtienen dos rectas que se cortan en el punto de coordenadas (5, ). Cuál es la solución del sistema? f) Si al resolver por el método gráfico un sistema de ecuaciones se obtienen dos rectas paralelas. Cuántas soluciones tiene el sistema? Clasifica los siguientes sistemas e interprétalos geométricamente: 6x8y a) 3x4y7 3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: b) 9x7y31 6x11y 5 5x4y 8 a) x 6y 5 b) 4x5y17 6x7y18 3x4y 6 c) x7y 5 xy x (1 y) d) 3 x 1 y 3x El precio de dos bocadillos y dos refrescos es de 4,. En cambio, un bocadillo y tres refrescos cuestan 4,5. Calcula el precio de cada cosa. 5 Juan y Roberto comentan: Juan: "Si yo te cojo monedas, tendré tantas como tú" Roberto dice: "Sí, pero si yo te cogiera 4, entonces tendría 4 veces más que tú". Cuántas monedas tiene cada uno? 6 En una granja, entre gallinas y conejos hay cabezas y 5 patas. Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja? 7 Hace 8 años la edad de Luis era siete veces la edad de su sobrina Lucía. Pero dentro de 1 años sólo será el doble. Halla la edad actual de cada uno 8 Una pizzería tiene dos tipos de pizzas, margarita a 4 y cuatro quesos a 6. Una noche vendieron 45 pizzas y se recaudaron 6. Cuántas pizzas se vendieron de cada clase? 9 Un comerciante dispone de dos clases de té: té de Ceilán a 3,6 /kg y té de la India a 4,8 /kg. Cuántos kg hay que mezclar da cada clase de té para obtener 3 kg de una mezcla a 4,5 /kg? - Página 1 -