MATH 119 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Transcripción

1 MATH 119 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN, Universidad Metropolitana, Universidad del Turabo Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2003 Derechos Reservados Prep. DIC Sylvia Y. Cosme Montalvo MBA Rev. 25 MAR 2008

2 TABLA DE CONTENIDO Páginas Prontuario 3 Taller Uno 10 Taller Dos 17 Taller Tres 24 Taller Cuatro 30 Taller Cinco 34 Anejos Anejo A 36 Parámetros Específicos para Evaluar Asistencia y Participación Anejo B 38 Los Mapas Conceptuales: Un Instrumento Constructivista de Aprendizaje Anejo C 48 Estudio de Caso Anejo D 52 Rúbrica para evaluar presentación oral caso de estudio Anejo E 54 Rúbrica para evaluar presentación escrita caso de estudio

3 Prontuario Título del Curso: Matemáticas Aplicadas a la Administración Codificación: MATH 119 Duración: Pre-requisito: Cinco Semanas College Board mínimo de 410 o curso requerido de acuerdo a la Prueba de Ubicación Descripción: Estudio de los conceptos matemáticos fundamentales aplicados en la administración de empresas. Énfasis en funciones, desigualdades, sistemas de ecuaciones lineales y sucesiones matemáticas. Detalle de la representación gráfica de las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas y sus aplicaciones a las finanzas y economía. Se presenta el uso de las funciones en la administración de empresas a través de los conceptos financieros de interés simple, interés compuesto, valor presente, valor futuro, modelo de costo lineal, depreciación, utilidades y leyes de oferta y demanda. MATH 119 capacitará al estudiante para aplicar efectivamente los principios, conceptos y tecnologías que frecuentemente se utilizan en los procesos cuantificables que contribuyen a la toma de decisiones en las empresas. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

4 Objetivos Generales: Al finalizar el curso el/la estudiante: 1. Determinar la solución de ecuaciones utilizando las propiedades de las igualdades. 2. Solucionar desigualdades lineares en una variable. 3. Distinguir entre interés simple e interés compuesto. 4. Calcular interés simple e interés compuesto para variados instrumentos financieros. 5. Estimar los pagos periódicos de un instrumento financiero dado. 6. Aplicar las fórmulas de valor presente y valor futuro. 7. Hallar las soluciones de ecuaciones cuadráticas a través de diferentes métodos. 8. Definir y resolver diferentes tipos de funciones. 9. Resolver situaciones en áreas de la administración de empresas que requieren el conocimiento de funciones; tales como costos, inversiones, depreciación, oferta y demanda. 10. Trabajar con aplicaciones de funciones utilizadas en áreas de la administración de empresas. 11. Resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de los métodos mayormente utilizados e incorporando la tecnología. 12. Solucionar ejercicios de aplicación con sistemas de ecuaciones lineales. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

5 13. Apreciar el uso del análisis matemático como una herramienta esencial para la investigación en el área empresarial. Texto: Arya, Jagdish C., Lardner, Robin W. (2002). Matemáticas Aplicadas a la administración y a la economía. (4 ta. ed.) México: Prentice Hall. Referencias: Haeussler, Ernest F., Paul, Richard S. (2003). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. (10 ma ed). Prentice Hall. Barnett, Raymond A., Ziegler, Michael R. (1995). Essentials of College Mathematics. (3 rd.ed.) New Jersey: MacMillan. Piotr Marian, Wisniewsk, Gutiérrez Benegas, Ana. (2003). Introducción a las Matemáticas Universitarias. McGraw Hill. Cleaves, Cheryl S. (2002). Business Mathematics. Prentice Hall. SUAGM Cabo Rojo Reserva C582b Bittinger, Marvin L. (2000). Intermediate Algebra, Alternative Version. (8th.ed.). Addison Wesley. Material suplementario: Provee práctica adicional. Contiene repasos que refuerzan los conceptos y destrezas aprendizas en los talleres. Presenta un listado de recursos que ayudan a un mejor entendimiento de temas específicos dentro de las diferentes áreas de las matemáticas. Expone diferentes actividades constructivistas que refuerzan y motivan al estudiante en el desarrollo del aprendizaje de los conceptos del pre-cálculo. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

6 Proyectos para desarrollar con Excel y enlaces a variados sitios. y Meta Search Engines para la búsqueda de temas y conceptos específicos. El estudiante debe obtener una calculadora científica o con funciones de finanzas, ya que es una de las herramientas principales para poder realizar eficientemente las tareas y actividades provistas para cada taller. Evaluación: 1. Trabajos para realizar previo a cada taller 15% Antes de cada taller el/la estudiante deberá completar una variedad de actividades que incluyen preguntas y situaciones guías que le ayudarán en el proceso de comprensión de conceptos que se desarrollarán en la práctica de las actividades que se efectuarán en el taller. Los mismos, constarán de una selección de ejercicios asignados por el facilitador y de la búsqueda en la Internet de información básica conceptual. Deberán entregarse a partir de la primera reunión. Cada trabajo tiene un valor de 25 puntos para un total de 100. No entregar éstos en el tiempo establecido conlleva un descuento de 5 puntos por cada tardanza en la entrega. 2. Cuatro (4) trabajos cooperativos 20% El/la estudiante tendrá la oportunidad de trabajar en grupo con diferentes compañeros matriculados en el curso MATH 119. El facilitador estará a cargo de incorporar los grupos en cada uno de los talleres. Cada grupo trabajará una situación asignada que resolverá y presentará a la clase. (Ver rúbrica para presentaciones orales). La solución del trabajo se entregará al finalizar la presentación del mismo en cada taller con el nombre de todos los participantes por grupo en la hoja provista por el facilitador. Habrá cuatro (4) trabajos cooperativos a partir del Taller Uno, cada uno de ellos con un valor Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

7 de 25 puntos para un total agregado de 100. En el Taller Cinco, no se realizará esta actividad. 3. Dos (2) pruebas 20% En el Taller Dos y Taller Cuatro, una vez discutidas las tareas realizadas previo a cada taller, el/la estudiante estará capacitado para contestar una prueba. La misma constará de una selección de ejercicios prácticos que fortalecerán las destrezas y conceptos analizados y tendrá un valor de 50 puntos cada una, para un total de Trabajo Final: Caso de Estudio 20% Durante el Taller Cinco, el/la estudiante presentará un análisis de caso relacionado a una aplicación matemática en la administración de empresas. Este, será un trabajo en grupo. Sin embargo, la evaluación considerará ambas: variables de desempeño individual y grupal. El facilitador seleccionará aleatoriamente a los estudiantes que integrarán los grupos. Cada uno de los grupos tendrá la oportunidad de trabajar y presentar un caso asignado por el facilitador que cubre los conceptos cubiertos en clase. Esta actividad tiene un valor de 150 puntos. El facilitador informará la composición de los grupos en el Taller Dos. 5. Examen final 20% Durante las últimas 2 horas del Taller 5 se estará administrando un examen final. El mismo constará de una selección de ejercicios sobre conceptos y destrezas presentadas durante el transcurso de los talleres y tendrá un valor del 20% de la nota total. Este requisito es compulsorio para todos los participantes del curso, no habrá ninguna excepción. 6. Asistencia y Participación 5% La asistencia a todos los talleres es necesaria e indispensable. En caso de ausencia, el/la estudiante debe realizar todas las gestiones necesarias para Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

8 comunicarse con el facilitador de manera que pueda prepararse adecuadamente para la próxima reunión. Todas las actividades realizadas en el taller ausente, sujetas a evaluación, serán consideradas y ponderadas de acuerdo con los parámetros específicos. Es decir, es vigente la pérdida de puntuación por cada trabajo del cual no fue partícipe el/la estudiante por causa de la ausencia. (Ver anejo A: Parámetros Específicos para Evaluar Asistencia y Participación) 7. Escala de evaluación: La evaluación final se calculará a base de promedios ponderados pero considerando la escala estándar de porcientos. Porciento Nota A B C D F Descripción de las normas del curso: 1. La asistencia es obligatoria. De tener que ausentarse, es deber del estudiante comunicarse con el Facilitador para excusarse y reponer todo trabajo. 2. El Facilitador se reserva el derecho de aceptar la excusa y el trabajo presentado y ajustar la evaluación, según entienda necesario. 3. Matemáticas Aplicadas a la Administración, MATH 119, es un curso de naturaleza acelerada y requiere que el/la estudiante se prepare antes de cada taller, según especifica el módulo. Se requiere que el/la estudiante dedique de 10 a 15 horas semanales para prepararse para cada taller. 4. El/la estudiante no deberá incurrir en plagio. Es decir, todos los trabajos deben ser de su autoría y tiene que dar crédito a cualquier referencia. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

9 5. Si el facilitador realiza algún cambio, los mismos se le comunicarán al estudiante en el Taller Uno. Además, entregará los acuerdos por escrito a los estudiantes y al Programa. 6. El Facilitador establecerá el medio y proceso de contacto con el estudiante. 7. El uso de teléfonos celulares está prohibido durante los talleres. 8. No está permitido traer niños o familiares a los salones de clases. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

10 Taller Uno Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller Uno, el/la estudiante podrá: 1. Resolver ecuaciones lineales en una variable utilizando los principios de adición y de multiplicación. 2. Solucionar ejercicios de aplicación traduciendo las situaciones expuestas a ecuaciones lineales en una variable. Los mismos incluyen los conceptos de costo, demanda, oferta y punto de equilibrio. 3. Resolver una desigualdad lineal en una variable utilizando los principios de adición y multiplicación. 4. Solucionar ejercicios de aplicación relacionados con áreas de la administración de empresas traduciendo las situaciones expuestas a desigualdades lineales en una variable. 5. Resolver aplicaciones de ecuaciones cuadráticas con los siguientes métodos: raíz cuadrada, factorización y fórmula cuadrática. 6. Hacer la gráfica de una ecuación lineal en dos variables y determinar la pendiente y el intercepto de la misma. 7. Encontrar la ecuación de una línea dadas la pendiente y el intercepto en y; cuando se conoce la pendiente y un punto que pasa por la recta; cuando se dan dos puntos en el plano. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

11 Direcciones Electrónicas: Ecuaciones de una variable, desigualdades, líneas rectas Tareas a realizar antes del Taller Uno: 1. El/la estudiante accederá las direcciones electrónicas provistas para el Taller Uno. Deberá estudiar los temas de ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable, desigualdades y líneas rectas. El/la estudiante entregará la tarea requerida a continuación en un cartapacio, debidamente identificando su nombre, curso, sección y día. 2. Tarea para entregar: Buscar información y ejemplos sobre los términos siguientes y desarrollar un mapa conceptual (Ver Anejo B: Los Mapas Conceptuales: Un Instrumento Constructivista de Aprendizaje). Si alguno de estos conceptos se define y denota con símbolos, deberá incorporarlo en su representación del mapa conceptual: Ecuación lineal Desigualdad lineal Sistema Cartesiano de Coordenadas y su relación con las líneas rectas y las ecuaciones cuadráticas Pendiente Par ordenado Fórmula cuadrática Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

12 Métodos de factorización Interés anual Valor después de un año Utilidad Ingreso Costos Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias. 3. Una vez realice las lecturas y la búsqueda en Internet de los conceptos y ejemplos de los términos asignados, analizará las siguientes situaciones aplicando su conocimiento a base de su experiencia comparativa o intuición. a. Una compañía de ventas le provee a sus representantes un auto para uso oficial. Para efectos de facilitar el análisis, suponga que el representante es usted. El reto de la compañía consiste en determinar si compra o alquila el auto que le proveerá. Luego de analizar las diferentes propuestas, tiene las siguientes opciones: Comprar el auto con un desembolso inicial de $50,000, más 24 mensualidades fijas de $3,500 que incluye el seguro. Al término de los 24 meses, el auto se puede vender en $59,400, a éste se le conoce como el valor de rescate. Alquilar un auto por $2,200 mensuales más $0.15 por milla recorrida y un pago único de $7,500 por concepto de seguro para automóvil con vigencia de dos años. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

13 La compañía estima que en promedio, usted como representante viaja 850 millas al mes y este estimado permanecerá constante por los próximos dos años. Cuál opción es la más conveniente para la empresa en términos de costos más bajos? b. Muchas veces nos cuestionamos, para qué sirven las ecuaciones algebraícas? Particularmente, la mayoría de las ocasiones las utilizamos implícitamente. Analice el siguiente caso y opine a base de su experiencia análoga. José Ramírez es vendedor de pauta de medios de comunicación; específicamente anuncios de prensa. José debe elegir entre las siguientes opciones: Sueldo base mensual de $2,500 más 10% de comisión sobre las ventas netas realizadas en el mes. Sueldo mensual de $1,500 más 12% de comisión sobre las ventas netas realizadas en el mes. Sueldo base mensual de $3,000 más 8.5% de comisión sobre las ventas netas realizadas durante el mes. Comisión de 15% sobre las ventas realizadas durante el mes. Cada opción tiene un valor de $6,000. Qué le recomendaría usted a José Ramírez? Por qué? Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

14 Actividades 1. El facilitador se presentará y explicará los objetivos, metodología de facilitación, expectativas y criterios de avalúo del curso MATH 119. Durante su exposición, corroborará que todo estudiante esté matriculado(a) en el curso. Además, se verificará que el/la estudiante tenga el módulo y algún libro de texto de referencia. Se indicarán canales de comunicación alternos para contactar al facilitador durante la semana. El facilitador establecerá el horario y días de contacto. 2. Luego de que todos los participantes del curso se presenten, se procederá con la selección del representante estudiantil. También, se informarán los avisos vigentes que circulen de las oficinas del Programa AHORA, tales como nuevos cursos, fechas de receso académico, fecha de reunión del representante estudiantil. 3. Trabajo para realizar previo al Taller Uno: el/la estudiante entregará la tarea asignada. Se presentarán y discutirán todas las preguntas asignadas y se aclararán todas las dudas. 4. El facilitador repartirá una selección de ejercicios de práctica de los conceptos de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, desigualdades y líneas rectas que se resolverán en el salón. 5. Trabajo cooperativo: el facilitador dividirá al grupo en subgrupos según la cantidad de estudiantes matriculados. Los grupos no deberán exceder de 4 estudiantes. Cada grupo trabajará uno de los siguientes ejercicios. Tendrán 30 minutos para resolver, discutir y presentar el resultado. El mismo se entregará en un papel que incluirá procedimiento y el nombre de cada uno de los participantes en el ejercicio, una vez presentados los resultados. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

15 Nota: El facilitador tiene a su discreción asignar otra selección de ejercicios que cubran los temas del taller. a. Un laundry ofrece servicio 8 horas diarias de lunes a sábado y cierra los domingos. El establecimiento maneja 20 transacciones por hora y el promedio de ingresos por transacción es de $ El costo de mano de obra es de $20 por hora y el alquiler del local y el equipo de $1,500 semanales. El único costo adicional para el operador es en materia prima: C dólares por transacción. Exprese la utilidad semanal en términos del costo. Suponga que el laundry obtiene actualmente utilidades de $2,300 semanales. El costo de materia prima, C, aumentará 15% el mes entrante. Los precios al cliente aumentarán 5%. Asumiendo que ningún otro factor varía y que el negocio no decae, cuál será la nueva utilidad por semana? Una empresa de bienes de consumo está interesada en tener anuncios publicitarios en radio y televisión con el propósito de alcanzar el mismo número de clientes en ambos medios. Cada minuto de publicidad en la estación de radio seleccionada, en la hora más importante cuesta $225 y cubre 15,000 clientes, mientras que en televisión el minuto está a $2,500 y alcanza 100,000 clientes potenciales. Cuántos minutos deberá pautar la compañía en cada medio si el presupuesto asignado es de $150,000? Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

16 Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x, en cientos de miles de botellas a la semana está dado por x =24 2p cuando el precio es p. Qué valor de p dará un ingreso total de $7 millones semanales? Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana? b. Un fabricante puede ofrecer 2,000 pares de zapatos al mes a un precio de $30 por par de zapatos, mientras la demanda es de 2,800 pares. A un precio de $35 el par, puede ofrecer 400 pares más. No obstante, con este aumento de precio la demanda se reduce en 100 pares. Suponiendo que las relaciones sean lineales, determine las relaciones de demanda y oferta Encuentre el precio y la cantidad en equilibrio. c. Un ganador de la Loto desea invertir su premio de $2,500,000 en dos inversiones al 6% y al 8%. Cuánto debería invertir en cada una de las inversiones si proyecta devengar ingresos anuales de $10,000? Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

17 Taller Dos Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller Dos, el/la estudiante podrá: 1. Definir e identificar una función: lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica. 2. Utilizar la notación de funciones en la solución de ejercicios. 3. Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. 4. Convertir de notación exponencial a logarítmica y viceversa. 5. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. 6. Hacer la gráfica de funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. 7. Solucionar aplicaciones con funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas a situaciones del área de la administración de empresas que incluyen los conceptos de costo, inversión y ganancia. 8. Utilizar la calculadora para evaluar exponentes y logaritmos. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

18 Direcciones Electrónicas: Taller Dos Funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas Tareas a realizar antes del Taller Dos: 1. El/la estudiante buscará información y ejemplos sobre el concepto de funciones dando mayor énfasis a las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Accederá las direcciones electrónicas para buscar los conceptos que se cubrirán en el Taller Dos o en su lugar, leerá en el libro de texto sugerido, los capítulos que cubren el tema. Podrá utilizar alguna de las referencias indicadas en la bibliografía en caso de no tener el libro de texto sugerido. Deberá enfocar su lectura o búsqueda en aquellos capítulos que cubran los temas de Funciones y Gráficas y Funciones Logarítmicas y Exponenciales. 2. El/la estudiante entregará la tarea asignada a continuación en un cartapacio identificando su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

19 Tarea para entregar: Desarrolle un archivo con tarjetas indexadas individuales con cada uno de los términos a continuación. En la parte frontal de cada tarjeta incluirá la definición de cada concepto. Por la parte de atrás detallará ejemplos, dibujará o presentará gráficamente el concepto. Cada estudiante debe venir preparado para compartir sus hallazgos y desarrollo de su tarjetero ya que a base de este ejercicio se tendrá en clase una actividad colaborativa tipo concurso. Relación Gráfica de una relación Función Gráfica de una función Función lineal Función cuadrática Exponente Función exponencial Propiedades de las funciones exponenciales Gráfica de una función exponencial Función logarítmica Propiedades de las funciones logarítmicas Notación logarítmica Relación entre las funciones exponenciales y las logarítmicas Demuestre una aplicación de las funciones exponenciales. John Napier Contraste ecuación de función Pasos para construir gráfica de una función Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

20 Una vez el/la estudiante haya completado la búsqueda en Internet o en las referencias sugeridas de los términos y conceptos relevantes y desarrollado su archivo con tarjetas indexadas, podrá contestar los ejercicios a continuación. Nota: El facilitador podrá asignar otra selección de ejercicios que cubran los temas del taller, según su experiencia y necesidades del grupo. a. En una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo t (tiempo medio en horas) y dada por: A(t) = t - 0.1t 2 1. Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre a. Al principio de la prueba b. 1 hora después c. 2.5 horas después de iniciada b. El número de unidades vendidas semanalmente de cierto producto depende de la cantidad x en dólares invertida en publicidad y está dada por la función y = x 0.3x 2. Cuánto debería invertir a la semana en publicidad para obtener un volumen de ventas máximo? Cuál es este volumen de ventas máximo? c. Una compañía adquiere una máquina en $10,000. Cada año el valor de la máquina decrece en un 20%. Exprese el valor en la forma be kt, en donde b y k son constantes y el tiempo t =0 corresponde a la fecha de adquisición. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

21 Actividades 1. El facilitador repartirá ejercicios de aplicación sobre funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Particularmente, se enfatizarán aquellos relacionados con costos, inversiones, oferta y demanda. Luego de la explicación y solución de los mismos, se realizará el trabajo cooperativo. 2. Trabajo para realizar previo al Taller Dos: El/la estudiante entregará la tarea asignada luego de efectuado el trabajo colaborativo. 3. Trabajo cooperativo: (Nota: el facilitador pudiera sugerir otro ejercicio colaborativo informándoselo al estudiante previo al taller) Concurso: a. El concurso constará de una comparación organizada de los ejemplos y ejercicios que el/la estudiante realizó en el trabajo previo al Taller Dos vs sus compañeros de clase. El mismo tiene un valor de 25 puntos y duración de 45 minutos. b. El/la estudiante se sentará junto a sus compañeros asignados al grupo según selección aleatoria del facilitador. c. Una vez el facilitador establezca los grupos, comenzará el concurso. d. No debe haber interrupciones cuando un estudiante esté contestando o participando activamente. Una interrupción conlleva un descuento de 2 puntos al grupo al que pertenece el integrante que efectuó la interrupción. e. Cada ejercicio tendrá que solucionarse en el orden en que ha sido preguntado por el facilitador. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

22 f. El facilitador indicará el tiempo que tienen los grupos para solucionar el ejercicio indicado. g. Si un grupo contesta correctamente antes del tiempo indicado, tendrá una bonificación de 3 puntos. h. Si ningún grupo contesta en el tiempo indicado, el facilitador concederá 2 minutos adicionales. Si en este tiempo no se presenta la contestación correcta, no habrá puntuación adjudicada. i. Si un grupo da la respuesta incorrecta al ejercicio, se le dará oportunidad a otro grupo para contestar. j. Si algún grupo muestra un resultado parcialmente correcto, se le adjudicará la mitad de la puntuación del ejercicio. Se le dará oportunidad a otro grupo para que conteste y si la respuesta es la adecuada se le adjudicará la otra mitad de la puntuación al otro grupo. k. Todo estudiante tendrá la oportunidad de participar y acumular puntos individuales de acuerdo a su desempeño. La puntuación individual oscilará entre 5 y 10 puntos, dependiendo de la contestación al ejercicio. l. El grupo que más respuestas correctas obtenga, recibirá una bonificación de 5 puntos sobre la puntuación acumulada. 4. Caso de Estudio: una vez el facilitador informe la composición de los grupos, hará entrega de los casos de estudios a trabajarse en grupo y para entregar en el Taller Cinco. Se detallará y explicará a base del Anejo C: Estudio de Caso. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

23 4. Prueba: Una vez finalizadas las actividades previas, el/la estudiante contestará la primera prueba. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

24 Taller Tres Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller Tres, el/la estudiante podrá: 1. Definir los siguientes términos: interés simple interés compuesto principal tasa de interés anual período / término anualidad anualidad ordinaria amortización valor futuro de una anualidad valor presente de una anualidad 2. Reconocer y utilizar las fórmulas y ecuaciones de interés simple, interés compuesto, valor futuro de una anualidad y valor presente de una anualidad. 3. Calcular la tasa de interés efectiva utilizando una calculadora científica o financiera. 4. Obtener el valor futuro y el valor presente de una anualidad utilizando una calculadora científica o financiera. 5. Resolver ejercicios de aplicación utilizando interés simple y compuesto. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

25 Direcciones Electrónicas: Taller Tres Matemáticas financieras Tareas a realizar antes del Taller Tres: 1. El/la estudiante buscará información y ejemplos sobre los conceptos de la matemática financiera desglosados en los objetivos del Taller Tres. Accederá las direcciones electrónicas o en su lugar utilizará el texto sugerido u otra de las referencias indicadas en la bibliografía. Deberá enfocar su búsqueda en los temas de matemáticas financieras. 2. El/la estudiante entregará la tarea en un cartapacio debidamente identificando su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias. a. Haga un álbum cuya primera parte incorporará anuncios y recortes de periódicos, revistas o cualquier otro medio impreso que demuestre la aplicación de los siguientes términos: (Sugerencia: busque, pero no se limite, a los anuncios de bancos) Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

26 i. Interés simple e interés compuesto ii. Principal, tasa de interés anual y período / término iii. iv. Anualidad Anualidad ordinaria v. Amortización vi. Valor futuro de una anualidad vii. Valor presente de una anualidad b. Para cada término presentado, defina y presente la fórmula en la parte inferior o en la página posterior en la cual presente el ejemplo tomado del medio impreso. c. Una vez haya terminado con la primera parte del álbum, el/la estudiante incorporará a la segunda parte del mismo los siguientes ejercicios con sus respectivas contestaciones: i. Un hombre obtiene un préstamo sin intereses por $1,530 de un amigo y acuerda saldarlo en 12 pagos. Él paga $100 como primer abono y luego aumenta cada uno de los pagos subsiguientes por una cantidad igual con respecto a la anterior. De cuánto será su último abono? En cuánto difiere cada abono del anterior? ii. iii. Si $1,200 se invierten al 9% de interés anual, calcule el valor de la inversión luego de 4 años. Wilnelia planifica comprarse un auto nuevo que tiene un precio de $25,000. Ella intenta obtener un préstamo por la cantidad total y pagarlo en 48 meses a un interés mensual de 2.5%. Cuál será su pago mensual? Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

27 Actividades 1. Trabajo para realizar previo al Taller Tres: El/la estudiante entregará la tarea asignada. Se discutirán todos los conceptos y ejemplos sobre matemática financiera. 2. El facilitador repartirá ejercicios de aplicación sobre matemáticas financieras. Particularmente, se enfatizarán aquellos relacionados con interés simple y compuesto, anualidades, valor presente y valor futuro. Luego de la explicación y solución de los mismos, se realizará el trabajo cooperativo. 3. Trabajo cooperativo: el facilitador dividirá al grupo en subgrupos de no más de cuatro estudiantes. Cada grupo trabajará el ejercicio siguiente. El grupo seleccionará a un(a) portavoz que presentará los resultados. Tendrán una hora para resolver, discutir y presentar el ejercicio. El mismo se entregará en un papel que incluirá procedimiento y el nombre de cada uno de los participantes en el ejercicio, una vez los resultados se presenten. (Nota: el facilitador pudiera sugerir otro ejercicio colaborativo informándoselo al estudiante previo al taller) Trabajo Cooperativo: Concepto de Interés Este ejercicio estudia el fenómeno del crecimiento exponencial partiendo del modelo económico de interés anual. Se podrá observar y analizar qué sucede cuando el interés anual se compone con mayor frecuencia. El comportamiento observado, llevará al estudiante a hacer conciencia de las realidades del crecimiento exponencial en eventos de la naturaleza, en donde los aumentos son continuos más que discretos. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

28 La cantidad de dinero en una cuenta bancaria que paga a una tasa de interés i por un período t en años, comenzando con un principal, p, de dólares es: m = p(1+i) t Por ejemplo, $100 al 5% de interés por 7 años dan un rendimiento de: m = 100(1.05) 7 a. Suponga que George Washington depositó $1.00 in el Banco Continental en La cuenta ha pagado el 5% de interés hasta el año Qué cantidad debe haber en la cuenta si nunca hubo retiro? b. Luis y Madeline van a tener un bebé. Desean planificar un fondo para los estudios del hijo que esperan. Quieren depositar algún dinero en una cuenta que rinda el 10% de interés para que cuando su hijo(a) tenga 18 años en la cuenta se reflejen $20,000. Cuánto dinero deben depositar? Una anualidad es una cuenta (por ejemplo una IRA) en la cual un individuo deposita cierto dinero cada año. La cuenta paga un interés en la cantidad depositada. La cantidad de dinero en la cuenta luego de n años de depositar r dólares cada año a una tasa de interés, i, es: (1 + i) s = r i n 1 (1 + i) Por ejemplo: Si un individuo hubiese abierto una IRA en 1980 y depositado $2000 cada año, al 8% de interés por un período de 16 años la IRA tendría: s = = Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

29 a. Si usted hubiese comprado IRAs desde que cumplió los 21 años y deposita $2,000 cada año, al 4% de interés, cuánto dinero tendrá cuando cumpla 65 años? b. Asuma la misma situación que el ejercicio anterior pero ahora, usted desea acumular $1,000,000 en su IRA cuando alcance los 65 años y se retire. Cuánto deberá depositar en su IRA cada año? (Asuma que la ley contributiva no tiene tope en este tipo de depósito) 3. El/la estudiante aclarará dudas preliminares con el facilitador relacionadas al desarrollo del caso de estudio asignado que se presentará en el Taller Cinco. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

30 Taller Cuatro Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller, el/la estudiante podrá: 1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales a través del método: gráfico, sustitución y eliminación. 2. Determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente o inconsistente, dependiente o independiente. 3. Resolver aplicaciones en situaciones de finanza y economía utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales. 4. Definir e identificar una matríz 5. Determinar la dimensión de una matríz. 6. Sumar, restar y multiplicar matrices. 7. Resolver aplicaciones utilizando matrices. Direcciones Electrónicas: Taller Cuatro Sistemas de ecuaciones lineales: matrices Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

31 Tareas a realizar antes del Taller Cuatro: 1. El/la estudiante accederá las direcciones electrónicas provistas para buscar los conceptos que se cubrirán en el Taller Cuatro. Leerá de las referencias sugeridas los capítulos que expongan los conceptos de sistemas de ecuaciones lineales y matrices. El/la estudiante entregará la tarea en un cartapacio debidamente identificando su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias. Desarrolle una tabla comparativa sobre las fortalezas y debilidades de los tres métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales: gráfico, eliminación, sustitución. Cuáles crees son las ventajas de utilizar un sistema de ecuaciones al resolver un ejercicio de aplicación? Desarrolle una representación visual (mapa conceptual, pictografía, dibujos, según su preferencia) en la que demuestre cómo luce un sistema de ecuaciones consistente, inconsistente, dependiente, independiente. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x + 2y = 3 2x-3y = -1 Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

32 Cómo se define una matriz y cuál es su relación con los sistemas de ecuaciones lineales? Detalle las condiciones para que se puedan efectuar las operaciones de suma, resta y multiplicación de matrices. Actividades 1. Trabajo para realizar previo al Taller Cuatro: El/la estudiante entregará la tarea asignada y se presentarán y discutirán todas los ejercicios asignados. Se aclararán todas las dudas de esta tarea. 2. El facilitador repartirá ejercicios de aplicación sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Luego de la explicación y solución de los mismos, se realizará el trabajo cooperativo. 3. Trabajo cooperativo: el facilitador dividirá al grupo en subgrupos de cuatro a cinco estudiantes. Cada grupo trabajará el ejercicio siguiente. También seleccionará a un(a) portavoz que presentará los resultados. Tendrán una hora para resolver, discutir y presentar el ejercicio asignado. (Nota: el facilitador pudiera sugerir otro ejercicio colaborativo informándoselo al estudiante previo al taller) En los pasados tres años, cuatro niñas y niños escuchas, Luis, Pedro, María y Salomé, han tenido la misión de recaudar fondos para apoyar un hogar de envejecientes. Con este objetivo, cada año vendieron chocolates de tres tipos: blanco, amargo y semiamargo. Cada caja contiene 20 chocolates. Los mismos se venden individualmente y los dos últimos años los vendieron todos. Las tablas provistas resumen la información para el primer año: Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

33 Cajas de chocolate Tipo de Chocolate Precio por caja ($) Precio de venta por pieza ($) Niños(as) Blanco Amargo Semiamargo Blanco 50 4 Luis Amargo 30 3 Pedro Semiamargo 40 3 María Salomé A base de está información, determine: Quién obtuvo mayor ganancia el primer año? Quién hizo la menor inversión? El segundo año, compraron las mismas cantidades de cajas de chocolate, pero el precio por caja para el segundo año fue 10% mayor que el del primer año, mientras que el tercer año fue de $65, $45 y $40, para el chocolate blanco, amargo y semiamargo, respectivamente. Además, los niños conservaron los precios de venta del primer año. Responda a las dos preguntas anteriores para el segundo y tercer año. 4. Prueba: Una vez finalizadas las actividades previas, el/la estudiante contestará la segunda prueba. 5. El/la estudiante aclarará dudas preliminares con el facilitador relacionadas al desarrollo del caso de estudio asignado y que se presenta durante el Taller Cinco. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

34 Taller Cinco Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller, el/la estudiante podrá: 1. Aplicar los conocimientos adquiridos en el curso MATH 119 y presentar efectivamente los resultados del estudio de caso realizado. Tareas a realizar antes del Taller Cinco: 1. El/la estudiante se reunirá con el grupo al que fue asignado durante el Taller Dos para estudiar, practicar y repasar el estudio de caso que presentará en el Taller Cinco. Actividades 1. Presentación de casos. 2. Al finalizar las presentaciones, el facilitador le solicitará al grupo que manifiesten, a través de un pictograma, bosquejo, dibujo u otro recurso seleccionado, la pertinencia de los casos presentados en sus respectivas áreas de trabajo. 3. Al finalizar la actividad de presentación de casos, se le administrara a los estudiantes el examen final. El mismo tendrá una duración de 2 horas e incluirá los conceptos y ejercicios presentados durante el transcurso de los talleres. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

35 Anejos Páginas Anejo A 36 Parámetros Específicos para Evaluar Asistencia y Participación Anejo B 38 Los Mapas Conceptuales: Un Instrumento Constructivista de Aprendizaje Anejo C 48 Estudio de Caso Anejo D 52 Rúbrica para evaluar presentación oral de estudio de caso Anejo E 54 Rúbrica para evaluar presentación escrita de estudio de caso Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

36 Anejo A Parámetros Específicos para Evaluar Asistencia y Participación La evaluación de asistencia y participación en los cinco talleres constituye el 20% de la evaluación final del curso MATH 119. Es requisito insustituible la asistencia a todas las cinco reuniones. Las actividades realizadas en el taller ausente, sujetas a evaluación, serán consideradas y ponderadas de acuerdo con los parámetros específicos. Por lo tanto, si el/la estudiante se ausenta y entrega los trabajos posteriormente, su puntuación comenzará con descuento porcentual previamente establecido para cada actividad realizada en la respectiva reunión; como se demuestra a continuación: Actividad Puntos Descontados Trabajos a realizar previo a cada taller Trabajo cooperativo Prueba corta Caso de estudio 5 por cada taller que entregue tarde Todos / Pierde los puntos 5 / Debe reponer en el siguiente taller Luego de efectuar el trabajo cooperativo. Todos / Pierde los puntos La asistencia y participación considera las siguientes variables: Tardanzas: Por cada tardanza, se le descontarán 5 puntos de la evaluación final de Asistencia y Participación. Participación: Del 1 al 5, siendo 5 la puntuación mayor por cada taller, aportaciones o preguntas que el/la estudiante haya efectuado. Aportaciones efectivas son aquellas preguntas, Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

37 presentaciones o ayudas que dirijan al grupo hacia un mejor entendimiento de los temas discutidos. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

38 Anejo B Los Mapas Conceptuales: Un Instrumento Constructivista de Aprendizaje I. Introducción y Fundamentación Teórica: La noción de mapa conceptual, se desarrolló a partir de la década del setenta en el Departamento de Educación de la Universidad de Cornell, EEUU, y ha constituido desde entonces, una perspectiva de trabajo teórico-experimental de gran atención, para profesores, investigadores educativos, psicólogos y estudiantes en general. Surgieron como una forma de instrumentalizar la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel en especial, en lo referente a la evolución de las ideas previas que poseen los estudiantes. Fueron desarrollados por un grupo de investigadores cercanos a J.D. Novack, mediante un programa denominado Aprender a Aprender, en el cual, se pretendía entre otros, un objetivo medular; liberar el potencial de aprendizaje en los seres humanos que permanece sin desarrollar y que muchas prácticas educativas entorpecen más que facilitan. De ahí que se inicia todo un movimiento en busca de estrategias pedagógicas que favoreciera dicha práctica educativa, los mapas conceptuales constituyeron un instrumento imprescindible. El concepto de Mapa Conceptual puede ser definido como "el recurso esquemático que representa un conjunto de significados conceptuales incluidos en una estructura (jerárquica) de proposiciones" y se fundamenta "particularmente" en los siguientes principios teóricos del aprendizaje significativo. La necesidad de conocer las ideas previas de los sujetos, antes de iniciar nuevos aprendizajes, es decir, revela la estructura de significados que poseen los sujetos, con el propósito de establecer aprendizajes interrelacionados y no aislados y arbitrarios. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

39 La idea que en la medida que el nuevo conocimiento es adquirido significativamente, los conceptos preexistentes experimentan una diferenciación progresiva. En la medida que los significados de dos o más conceptos, aparecen relacionados de una nueva manera y significativa tiene lugar una reconciliación integradora. Una forma más gráfica de definir el mapa conceptual y vincularlo con el aprendizaje significativo, sería "considerarlo en cierto modo homogéneos a los mapas de carreteras, los conceptos representarían las ciudades y las proposiciones las carreteras que les enlazan además, no todas las ciudades tienen la misma densidad y población, ni los conceptos del mapa idéntico poder explicativo " (González, 1992, p. 150). Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

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41 II. Principios Metodológicos en la construcción de Mapas Conceptuales Algunos principios metodológicos que pueden tenerse en cuenta en la elaboración de los mapas conceptuales a partir de las ideas de Novack, J, y Gowin, B, son los siguientes: 1. Un primer principio se refiere a la importancia de definir qué es un concepto y qué es una proposición. El concepto puede ser considerado como aquella palabra que se emplea para designar cierta imagen de un objeto o de un acontecimiento que se produce en la mente del individuo. La proposición consta de dos o más términos conceptuales unidos por palabras de enlace para formar una unidad semántica. 2. Un segundo principio incluye los supuestos de la diferenciación progresiva y la reconciliación integradora sobre todo la idea de que le es más fácil al individuo que aprende a relacionar los conceptos de un todo más amplio y ya aprendido, que formularlo a partir de componentes diferenciados. Un rasgo característico del mapa conceptual es la representación de la relación de los conceptos, siguiendo el modelo general a lo específico, en donde las ideas más generales o inclusivas, ocupen el ápice o parte superior de la estructura y las más específicas en la parte inferior. 3. Un tercer principio, se refiere a la necesidad de relacionar los conceptos en forma coherente, siguiendo un ordenamiento lógico. Esta operación puede hacerse a través de las denominadas palabras de enlace, como por ejemplo: para, por, donde, como, entre otros. Éstas permiten, junto con los conceptos, construir frases u oraciones con significado lógico y proposicional. 4. Un cuarto principio, es la necesidad de elaborar los mapas conceptuales, siguiendo un ordenamiento lógico que permita lograr la mayor posibilidad de interrelación, donde se logre un aprendizaje supra ordinario y Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

42 combinatorio, es decir que permita reconocer y reconciliar los nuevos conceptos con los ya aprendidos y poder combinarlos. En otras palabras, el mapa debe permitir "subir y bajar", esto es, explorar las relaciones entre todos los conceptos. 5. Un quinto principio, es la función o utilidad del mapa conceptual como instrumento de evaluación, ya sea como una actividad de inicio, o de diagnóstico, que presente lo que el alumno ya sabe. También durante el transcurso del desarrollo de un tema específico, o como una actividad de cierre que permita medir la adquisición y el grado de asimilación por parte del alumno sobre el problema de estudio. Lo que ayuda a obtener información sobre el tipo de estructura cognoscitiva que el alumno posee y medir los cambios en la misma medida que se realiza el aprendizaje. Este aprendizaje puede lograrse en forma socializada o individualmente. III. Criterios para evaluar el mapa conceptualmente: Existen diferentes criterios que el docente debe tener presente a la hora de evaluar un mapa conceptual. Los principales criterios son: 1. Jerarquía de conceptos. Es decir, cada concepto inferior depende del superior en el contexto de lo que ha sido planteado. 2. Cantidad y calidad de conceptos. 3. Buena relación de los significados entre dos conceptos conectados por la línea indicada y las palabras apropiadas. 4. Que exista una conexión significativa entre un segmento de la jerarquía y el otro, es decir, debe existir ligámenes significativos y válidos entre conceptos. 5. Que existan ejemplos o eventos específicos relacionados con los conceptos más generales. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

43 Estrategias para iniciar la elaboración de mapas conceptuales en el aula: A continuación, se presentan algunas sugerencias para iniciar con los alumnos la elaboración de los mapas conceptuales. En primer lugar, antes de iniciar toda actividad para la elaboración de los mapas conceptuales, el docente debe clarificar a los estudiantes los siguientes aspectos con el fin de lograr el máximo entendimiento para su puesta en marcha. Para iniciar, el docente debe: 1. Explicar qué es un concepto, una proposición y su importancia. 2. Explicar la importancia de la jerarquía entre conceptos. 3. Explicar la importancia de formar oraciones con sentido lógico, es decir, unidades semánticas. 4. Iniciar la confección del mapa. A continuación se le presenta al lector, dos actividades mediante las cuales pueden trabajar los mapas conceptuales. Los Mapas Conceptuales como una forma de explicar las ideas de los alumnos, requiere realizar algunas actividades como: 1. Repasar los conceptos básicos sobre la elaboración de los mapas conceptuales. 2. Escribir en la pizarra cualquier concepto, por ejemplo árbol, lluvia y preguntar a los estudiantes si crea alguna imagen mental. Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev

44 3. Pedir a los estudiantes que digan todas las palabras que se relacionan con este concepto y escribirlos en la pizarra. 4. Nombrar una serie de palabras como: donde, como, con, entre otras. Preguntar A los estudiantes si estas palabras crean alguna imagen mental. Indique que éstos no son términos conceptuales sino, que son palabras de enlace. Es decir, palabras que se utilizan para unir dos o más conceptos y formar frases con significado. 5. Escribir en la pizarra unas cuantas frases cortas, formadas por dos conceptos y una o varias palabras de enlace; con el objetivo de ilustrar cómo el ser humano utiliza conceptos y palabras de enlace para transmitir algún significado, por ejemplo: El árbol es frondoso. 6. Pedir a los estudiantes que formen por sí solos unas cuantas frases cortas y que identifiquen las palabras de enlace y los conceptos. 7. Ordenar los conceptos de los más generales a los más específicos. Que impliquen que los conceptos más generales son los que tienen un mayor poder explicativo, es decir, más información, y que permiten aglutinar a otros más específicos o con menos información. 8. Pedir a los estudiantes que elaboren el mapa conceptual. Indíqueles que para conseguir una buena presentación de los significados proporcionales, tal como ellos lo entienden, hay que rehacer el mapa una, dos o más veces. Los Mapas Conceptuales como una forma de construir conocimientos a partir de materiales impresos: Esto requiere: 1. Repasar los conceptos básicos sobre la elaboración de mapas conceptuales. 2. Elegir uno o dos párrafos de un libro de texto o de cualquier otro material impreso y hacer que los estudiantes lo lean y seleccionen los conceptos más Prep Sylvia Y. Cosme Montalvo Rev