La frecuencia propia del sistema es la frecuencia fundamental en alguno de sus modos de vibración.

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1 APITULO 8 RESONANIA 8. INTRODUION Todo sistema oscilante tiene una frecuencia característica (oscilaciones que da en un segundo) llamada de resonancia. uando lo sometemos a una fuerza exterior, periódica (se repite cada cierto tiempo), las amplitudes de las oscilaciones cambian, aumentando y disminuyendo; pero si la frecuencia de la fuerza exterior es la misma que la del sistema (acompasado) se produce un fenómeno curioso y es que las amplitudes van aumentando. El fenómeno de resonancia se manifiesta cuando una oscilación excita a un sistema cuya frecuencia propia es igual o un múltiplo entero de la frecuencia de la oscilación. Al referirme a oscilación me refiero a una onda (mecánica o eléctrica) uando digo excita, me refiero a que impulsa al sistema. uando hablo de sistema me refiero a un sistema mecánico o eléctrico cuyo comportamiento es susceptible a ese tipo de oscilación. La frecuencia propia del sistema es la frecuencia fundamental en alguno de sus modos de vibración. El más simple, un columpio (o hamaca) con un niño sentado en ella. Si consideras el sistema como un péndulo, sabrás que tiene una frecuencia propia dada por el peso del niño, sin importar la amplitud de la oscilación (es decir sin importar la altura que está alcanzando el niño al hamacarse). Una persona parada en el piso empuja al niño en la hamaca, cada vez que pasa por su posición. Obviamente la persona ejerce su fuerza una vez por ciclo de la hamacada, por lo tanto la frecuencia de esa fuerza impulsora es igual a la frecuencia propia del sistema niño hamaca, la amplitud de oscilación aumenta (fuerza y movimiento están en fase, están en resonancia) Otro ejemplo es una cuerda de guitarra. Dada su masa, longitud y tensión, tiene bien definidos sus modos de vibración y frecuencias fundamentales. Si de alguna forma generamos un sonido (por ejemplo con el diapasón), que le imponga una fuerza a la cuerda de igual frecuencia que la propia, entonces la vas a ver vibrar, ya que entro en resonancia. Los sistemas de segundo orden (mecánicos o eléctricos) son aquellos donde su co mportamiento están definidos por ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ejemplos, una masa unida a un resorte y un amortiguador (sistema de suspensión del auto), o un circuito con resistencias capacitores e inductores. Estos sistemas tienen una frecuencia a la cual las energías que están en juego se aprovechan al máximo: esa es la frecuencia de resonancia. Un ejemplo eléctrico es el sintonizador del radio. Variando los valores de capacidad (o inductancia) se modifica la frecuencia propia del sistema. Al entrar un grupo de señales de distintas frecuencias, aquella que es la de resonancia prevalece sobre las demás que encuentran una gran resistencia a ser tomadas. La de resonancia se aprovecha al máximo, y es lo que hace que este en "sintonía". Haya corriente (movimiento de electrones) y tensión (fuerza que los impulsa) están en fase, como en el caso del columpio, y también la amplitud es máxima. omo ejemplo mecánico, aparte del de la suspensión del automóvil, es muy famoso el del puente Tacoma Narrows, donde la frecuencia del viento se igualo con la frecuencia de vibración propia del puente, lo que genero que toda la energía se expresara como movimiento del puente, haciendo que se destruyera. Otro ejemplo mecánico son las tropas que marchan en fila. Alguna vez esta marcha igualo la frecuencia propia de un puente haciendo que las vibraciones lo destruyeran. Desde ahi se suelen romper filas antes de cruzar un puente. Entonces la frecuencia de resonancia de un sistema no es más que su frecuencia propia de vibración. 4

2 8. FREUENIA NATURAL (Fn): Es la frecuencia que presenta cada componente por su propia naturaleza y características. Esta frecuencia oscilará si es excitada por agente externo que opere a una frecuencia muy cercana. Por lo tanto, la frecuencia natural es la frecuencia a la que un sistema mecánico seguirá vibrando, después que se quita la señal de excitación. A veces se le llama la frecuencia de resonancia pero eso no es correcto, ya que la frecuencia de resonancia es la frecuencia a la que vibraría el sistema, si no hubiera amortiguación. 8.3 LUGAR GEOMETRIO DE IMPEDANIAS: a) Lugar geométrico de Z e Y de un circuito serie con R variable ircuito RL = = = = =. = = = 0 = 5

3 ircuito R = = = = =. = = = 0 = 6

4 b) Lugar geométrico de Z e Y de un circuito serie con X (inductivo y capacitivo) variable La admitancia será: = = = = = = = = = 0 4 = 4 7

5 =. 4 Radio = y centro ; 0 Plano de admitancia B-G: X inductiva = = La resonancia eléctrica es un fenómeno que se produce en un circuito en el que existen elementos reactivos ( bobinas y capacitores) cuando es recorrido por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la reactancia se anule, en caso de estar ambos en serie o se haga infinita si están en paralelo. Se dice que un circuito eléctrico se encuentra en resonancia cuando se comporta como resistivo puro. La corriente es máxima y la tensión en la resistencia está en fase con la tensión de excitación del circuito. Para el caso del circuito RL serie, la frecuencia angular de resonancia capacitancia del circuito. Por otra parte, el campo magnético generado en la bobina puede estar afectado por distintas causas, entre ellas la cercanía de otra inductancia DISUSIÓN: La condición de resonancia la estudiamos en las oscilaciones forzadas de una masa unida a un muelle elástico. La resonancia de los circuitos RL serie no es un proceso complicado de estudiar. Es algo bien conocido y sobre lo cual se pueden encontrar muchos experimentos realizados. En nuestro caso los resultados experimentales concuerdan mucho con el estudio teórico previo al proceso de obtención de datos. Para todo esto, debíamos conocer bien los valores de cada componente utilizada en el circuito. Lo más complicado fue medir la impedancia de la bobina, pero poniendo a los circuitos en resonancia y, conociendo, por la ec (), pudimos obtener L en cada circuito. Al principio surgieron inconvenientes al no considerar correctamente los valores de las resistencias internas de cada bobina, pero al hacerlo se nos simplificó el estudio y se ajustó mejor la parte experimental con la teórica. 8

6 RESONANIA PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA N 0 Trazar el lugar geométrico de la corriente total y hallar el valor de X, para que la I T atrase el voltaje en 5. *La corriente total: I T I I...(*) Sea: E I X L 00 I 890 cte 590 omo la corriente total ( I T ) debe ser: I I I T T Entonces el L.G. será: 9

7 Del circuito se observa que: I MAX 00 R j Para que: R jx es max imo X 0 Entonces: I MAX 00 40A 50 Aplicando la Ley de osenos en el triangulo sombreado: I I os 8 (8)() T 75...() Además, la potencia disipada puede expresarse como: P 0I os5 5I disipada T I os I T () ()() en: 4os5 IT 64 IT 6ITos75 IT, sabiendo que: os ; os I T 7.38I 64 0 T 0

8 I.87 A I 4.73A T T omo tenemos soluciones; cada uno corresponde a cada alculando I : I T correspondiente. De () : 0os5x.87 I I 7.8A 5 0os5x4.73 I I 3.94A 5 En la rama R-: V I jx V I X En (3) (3) : X X X X 0.35 Existen Soluciones! PROBLEMA N 0 En el circuito geométrico de R es variable y varia de 0 a 0 V MN. X, calcular el ángulo a través del cual VMN puede ser variado y el lugar Solucion : Datos : R : 0 0 X, X es fijo Piden: a) para variar V MN. b) L.G. de V MN. Se observa que:

9 V M Z R jx Z Z V V V, donde : MN M N VAB VAB0 VAB, I R jx Z V I. X, como X es fijo N omo sabemos que: El L.G. de Y (Admitancia) es proporcional al L.G. de I (orriente), puesto que V Por lo tanto, el L.G. de I es el L.G. de Y (Admitancia), sabiendo que: Y Z R jx VAB R 0 ; I K90 90 X VAB R 0X I (0) X jx V AB X I, arctan arctan 5.7 X 0X 0 VAB I K X 5.7 Entonces, el rango del ángulo va desde 5.7 hasta 90 : cte. Ahora, graficando: 5.7,90 V esta en fa se c on I. R omo sabemos: VMN VM VN, VAB VMN VN o VMN VMB VNB radio() r

10 Gráficamente: El L.G. de VMN es el radio del semicírculo. PROBLEMA N 03 Sea el siguiente circuito, hallar: a. Lugar geométrico de la admitancia total. b. Máxima admitancia y mínima admitancia. X c. Valor de y la admitancia en la rama variable para la resonancia. d. Angulo de variación de la admitancia total X Resolución: De la rama conocida(los valores), tenemos: Sea: Z 6 j6 omo: Y Z Y 6 j Y En la rama variable tenemos dos casos: *) uando: X 8.5 *) uando: X 4 3

11 Z 4 j.5 Z 4 j4 Z Z Entonces: Y Y * Maxima Admi tan cia : Y max * Minima Admi tan cia : Ymin Graficando el LUGAR GEOMETRIO(L.G.) de Y T : 4

12 Del grafico observamos que la ADMITANIA DE RESONANIA: YR 0.5Sen Y R 0.4 Sabemos que existe RESONANIA, ya que la grafica cruza el EJE REAL. También tenemos que la rama variable es: Z3 4(0) j X Z3 6(0) X Y3 6(0) X 0.5 X 0 Finalmente el ángulo de la admitancia total es: 48 PROBLEMA N 04 En el siguiente circuito determinar si existe algún valor de RL, para la condición de resonancia, además trazar el lugar geométrico de la admitancia del circuito. Resolución: Para la rama R-, la admitancia tiene un valor fijo que lo podemos representar. Z 4 j5() fijo Y j0. Y Para la rama R-L, como RL varía su lugar geométrico de la admitancia. 5

13 Z RL j0(var) iable Y R L j0 omo se sabe el lugar geométrico (L.G.) de Y es una semicircunferencia de radio El lugar geométrico de las admitancias, será: X 0.05 es radio de la semicircunferencia. (0) 0, en nuestro caso: Y Y Y T Graficando: omo NO hay cruce con el EJE REAL, entonces NO HAY RESONANIA. PROBLEMA N 06 Sea el circuito dado, dibujar el diagrama de impedancias a los terminales A-B del circuito. Para qué condiciones el circuito tiene un factor de potencia unitaria. 6

14 Resolución: La impedancia Z tiene un valor fijo, y lo vamos a representar en el plano, en el eje positivo superior. Z R jx L Y R jx L Para la impedancia Z, que es variable, ya que depende de la variación del valor de X, tenemos: Z R jx R R ; Z R jx Y R jx Ademas: Z total Z Z ; Y total Y Y Graficando: Del grafico se observa que el punto de intersección de la grafica con el eje real es el PUNTO DE RESONANIA, por lo tanto tenemos que: R R 3R Z resonancia Z R R R 7

15 PROBLEMA N 07 Un circuito resonante RL en serie como el de la figura, tiene una inductancia L = 0mH. a) Seleccione y R para que: b) Determine la respuesta H de este circuito para una señal con: Resolución: a) Por lo tanto: Encontramos Q para hallar R: Y como: Por lo tanto: 8

16 b) omo la respuesta del circuito H es: Reemplazando los valores: Por lo tanto: PROBLEMA N 08 Para un circuito resonante RL en serie como el de la figura considere: alcule: Resolución: Encontramos primero por medio de las formulas, para luego encontrar : 9

17 Por lo tanto es: RTA/ ; ;. PROBLEMA N 09 El circuito de la fig. representa la conexión en paralelo de un condensador y una bobina, siendo esta ultima. Hallar la frecuencia de resonancia del circuito. la resistencia óhmica de Resolución: Fig. La admitancia total del circuito es: ) En resonancia, la parte imaginaria es cero; por tanto De donde: Si la resistencia de la bobina es pequeña comparada con la frecuencia de resonancia viene dada por. 30

18 FATOR DE ALIDAD: El factor Q, también denominado factor de calidad o factor de selectividad, es un parámetro que mide la relación entre la energía reactiva que almacena y la energía que disipa durante un ciclo completo de la señal. Es un parámetro importante para los osciladores, filtros y otros circuitos sintonizados, pues proporciona una medida de lo aguda que es su resonancia. Los sistemas resonantes responden a una frecuencia determinada, llamada frecuencia natural, frecuencia propia o frecuencia de resonancia, mucho más que al resto de frecuencias. El rango de frecuencias a las que el sistema responde significativamente es el ancho de banda, y la frecuencia central es la frecuencia de resonancia eléctrica. También se define el factor de calidad para componentes, en particular, para los varactores y cristales. El factor de calidad de circuitos pasivos formados con resistencias, bobinas y condensadores es bajo, inferior a 00, por el efecto de la resistividad del hilo de las bobinas, principalmente, ya que para valores elevados de inductancia se necesitan grandes longitudes de hilo. El uso de circuitos activos, que funcionan como multiplicadores de inductancia o capacidad puede mejorar el Q. Los cristales, que son resonadores piezoeléctricos, llegan a valores de Q de varios miles. En microondas, dependiendo de la frecuencia, las cavidades resonantes pueden llegar a valores de Q extraordinariamente altos, debido a que las únicas partes disipativas son las paredes de la cavidad. Estas pérdidas se minimizan recubriendo de plata la parte interior de la cavidad. Expresiones El factor Q se define como la frecuencia de resonancia (f0) dividida por el ancho de banda (f-f): El factor Q aplicado a un solo componente sirve para caracterizar sus componentes no ideales. Así para una bobina real se tiene en cuenta la resistencia del cable; un valor alto de Q significa una resistencia pequeña y por tanto un comportamiento más parecido a la bobina ideal. En un circuito RL la expresión del factor Q es: Donde w es. Para un circuito R la expresión es: En filtros sirve para ver lo selectivos que son, es decir, para ver el ancho de banda. En principio, un filtro con menor ancho de banda (mayor Q), será mejor que otro con más ancho. También, como se puede deducir de la ecuación, es más difícil hacer filtros de calidad (porque requieren una Q mayor) a alta frecuencia que a baja frecuencia. 3

19 RESONANIA PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N 0 Según el circuito mostrado determine: a) Lugar geométrico de la admitancia b) Máxima admitancia, mínima admitancia Valor de X y la admitancia en la rama variable para resonancia PROBLEMA N 0 Dado el siguiente circuito evaluar: a) El valor de X y X L para que el sistema sea resonante y a su vez la impedancia sea 0/3 entre los bornes a-b. b) Si el sistema resuena a 6 MHz determine Qt ( factor de calidad). PROBLEMA N 03 El circuito resonante paralelo con bobina real de la figura se encuentra funcionando a su frecuencia de resonancia. A dicha frecuencia se sabe lo siguiente: La intensidad eficaz que circula por la capacidad es 0 ma. La tensión eficaz en la resistencia es 50 V. El factor de calidad de la bobina es Qb = 0 (>5). 3

20 A ma r 00 pf Vout 50 k L Se pide: ) Factor de calidad del circuito. ) Frecuencia de resonancia. 3) Valores r y L de la bobina. B - 4) Suponiendo que la bobina es ideal (r=0), cuál sería en este caso la nueva frecuencia de resonancia? PROBLEMA N 04 Un condensador de 400uf y una bobina de 50mH (RL= Ω). A que frecuencia resuenan y determinar el Q de la bobina. Donde: L=50mH, =400uf, RL=Ω. 33