FACULTAD DE INSTRUMENTACIÓN ELECTRÓNICA ANÁLISIS ESTADÍSTICO Y PROBABILÍSTICO DE LA PRECIPITACIÓN EN XALAPA, VERACRUZ, MÉXICO: PERÍODO

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1 UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INSTRUMENTACIÓN ELECTRÓNICA ANÁLISIS ESTADÍSTICO Y PROBABILÍSTICO DE LA PRECIPITACIÓN EN XALAPA, VERACRUZ, MÉXICO: PERÍODO TESINA Que para evaluar la experiencia educativa Experiencia Recepcional (MEIF), del Programa Educativo de la Licenciatura en Ciencias Atmosféricas Presenta: Tania Sérvulo Carballo M. en G. José Antonio Agustín Pérez Sesma Director M. en Ing. Domitilo Pereyra Díaz Director Xalapa-Enríquez, Veracruz Julio 2015

2 Agradecimientos Agradezco a mi madre por su gran amor y compresión a lo largo de mi vida, porque sin ella nada de esto hubiera sido posible, por guiar mi camino y estar junto a mí en los momentos más difíciles. Sabiendo que jamás encontraré la forma de agradecer su constante apoyo y confianza, sólo espero que comprenda que mis ideales, esfuerzos y logros han sido también tuyos. A mis hermanos por el apoyo que me han ofrecido y los buenos momentos que hemos pasado. A Alejandro por el apoyo a mi madre y ser un gran abuelo. A mi hijo por tantas horas que deje de estar a su lado por trabajar en este proyecto, al que siempre me recibía con grandes abrazos y besos, quien fue mi motivo más grande para culminar este sueño. A Jovani por apoyarme en este proceso. A familia Martínez Gonzales por abrirme las puertas de su hogar. A mis profesores quienes forjaron mi formación como profesional, al grupo de hidrometeorología por darme la oportunidad de trabajar con ellos, en especial a mis directores M. en G. José Antonio Agustín Pérez Sesma y M. en Ing. Domitilo Pereyra por haber confiado en mí para la realización de dicho trabajo. A mi tutor Claudio por sus consejos desde el inicio de este trayecto. A la comisión revisora por sus buenos consejos y contribuciones a este trabajo. Quiero agradecer en particular al M. en G. José Antonio Agustín Pérez Sesma porque sus conocimientos, sus orientaciones, su manera de trabajar, su persistencia, su paciencia y su motivación han sido fundamentales para mi formación. Ha inculcado en mí un sentido de seriedad, responsabilidad y rigor académico sin los cuales no podría tener una formación completa. Ha sido capaz de ganarse mi lealtad y admiración, así como sentirme en deuda con el por todo lo recibido durante el periodo de tiempo que ha durado esta tesina. A mis compañeros de generación y a Anahi, Shekel, Oscar, Yolanda, Norma y Julieta. A mis compañeros de trabajo Silvano, Ivan, David, Victor, Hayde, Alan, Oscar, Yendi y Rodrigo.

3 Dedicado a Dios, a mi madre y a mi hijo.

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5 Contenido Resumen... 1 Capítulo1. Introducción... 2 Capítulo 2. Marco teórico Zona de estudio Parámetros estadísticos Calidad, homogeneidad y consistencia de los datos Prueba de Homogeneidad Período de retorno Funciones de distribución que se ajustan a precipitaciones máximas Distribución Log-Pearson tipo III Función de distribución Doble Exponencial ó Gumbel Coeficiente de determinación Capítulo 3. Metodología Aplicación de la prueba de homogeneidad Cálculo de la precipitación máxima usando la distribución Log-Pearson Tipo III Cálculo de la precipitación máxima usando la distribución Gumbel Método de los momentos Método de mínimos cuadrados Capítulo 4. Resultados Precipitación máxima estimada para períodos de retorno seleccionado Comparación entre las precipitaciones máximas observadas y las estimadas CONCLUSIONES Apéndice A Apéndice B Referencias... 38

6 Resumen Se sabe que existen varias funciones de probabilidad de valores extremos en el ámbito de la probabilidad y estadística, en el presente trabajo se presenta una guía para el ajuste de dos de las funciones antes mencionadas y que son muy usadas en el campo de la hidrología, estas son: la función de probabilidad Log- Pearson tipo III y la función Doble Exponencial Gumbel, en esta última se emplearán diversos métodos para el cálculo de sus parámetros (método de los momentos, mínimos cuadrados y utilizando un software que cuente con el módulo de estadística no lineal) con el fin de verificar cuál de estas técnicas es la que mejor ajusta dichas funciones. Después de haber ajustado las funciones de probabilidad Gumbel y Log-Pearson Tipo III a la muestra de datos de precipitaciones máximas horarias de la Cd. de Xalapa, Veracruz, se puede decir que las dos funciones son recomendables para estimar la precipitación máxima horaria para cierto período de retorno de acuerdo a la obra que se desea construir, tal como lo muestra su coeficiente de determinación ( ). 1

7 Capítulo1. Introducción Debido a sus condiciones geográfica, México experimenta el embate de una gran variedad de fenómenos naturales, entre ellos fenómenos hidrometeorológicos, tales como ciclones tropicales, frentes fríos, entrada de aire húmedo, los cuales pueden ocasionar lluvias intensas que pueden provocar inundaciones, deslaves u otro efectos de esta naturaleza (SEMARNAT, 2011). En cuanto a Veracruz, los sistemas hidrológicos son afectados algunas veces por estos fenómenos. La magnitud de un evento extremo está inversamente relacionada con su frecuencia de ocurrencia, es decir, eventos muy severos ocurren con menor frecuencia que eventos más moderados. En este sentido, la hidrología es una ciencia que está relacionada con los fenómenos naturales involucrados en el ciclo hidrológico. El diseño hidrológico busca interpretar y cuantificar esos fenómenos, con el fin de proporcionar un soporte a estudios, proyectos y obras de ingeniería hidráulica y de medio ambiente (Fattorelli y Fernández, 2011). El diseño y la planeación de obras hidráulicas están siempre relacionados con eventos hidrológicos extremos futuros; por ejemplo, la avenida de diseño para el vertedor de una presa es un evento que tal vez no se ha presentado jamás, o al menos, no en el periodo de datos disponible, pero que es necesario estimar para determinar las dimensiones de la obra. La complejidad de los procesos físicos que tienen lugar en la generación de esta avenida hace, en la mayoría de los casos, imposible una estimación confiable de la misma por métodos basados en las leyes de la Mecánica o la Física. Por ello, como sucede en la mayoría de las ciencias, con mucha frecuencias el estadístico es el camino obligado en la solución de los problemas (Aparicio, 2008). El objetivo del análisis de frecuencia de información hidrológica, es relacionar la magnitud de los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia mediante el uso de distribuciones de probabilidad. Se supone que la información hidrológica analizada es independiente y está idénticamente distribuida, y el sistema hidrológico que la produce (por ejemplo, un sistema de tormenta) se considera 2

8 estocástico, independiente del espacio y del tiempo. La información hidrológica empleada debe seleccionarse cuidadosamente de tal manera que se satisfagan las suposiciones de independencia y de distribución idéntica. En la práctica, usualmente esto se lleva a cabo seleccionando el máximo anual de la variable que está siendo analizada (por ejemplo, el caudal máximo anual ( ), que es el flujo pico instantáneo máximo que ocurre en cualquier momento durante el año), con la expectativa de que observaciones sucesivas de esta variable de un año a otro sean independientes (Chow et al., 1994). Pereyra et al., (1984), realizaron un análisis estadístico y probabilístico de las precipitaciones del periodo (63 años de datos), permitiendo de esta manera conocer las precipitaciones máximas horarias probables, así como las funciones de distribución que mejor se ajustan a eventos extremos de este tipo. También se han realizados trabajos, tales como Gastos máximos probables en ríos del estado de Veracruz, México (Pereyra, et al., 1984); Estimación del gasto máximo para la cuenca del río Tecolutla, México, usando el modelo regional (González, 2012); Análisis Probabilístico Univariado de Datos Hidrológicos (Campos Aranda, 2006), sólo por mencionar algunos, en los que es importante resaltar que las funciones de probabilidad que se ajustan a los datos de precipitación y gasto máximo, resultan ser de suma importancia en el presente trabajo; destacando que estas herramientas estadísticas resultan ser de gran utilidad en el diseño de obras hidráulicas. Capítulo 2. Marco teórico 2.1 Zona de estudio 1 La Ciudad de Xalapa está situada geográficamente a una latitud de 19º norte y longitud de 96º oeste. Su altitud promedio se encuentra a 1,427 metros sobre el nivel del mar. Colinda al norte con los municipios de Banderilla, Jilotepec y Naolinco; al este con los municipios de Naolinco y Emiliano Zapata; al 1 octubre de

9 sur con los municipios de Emiliano Zapata y Coatepec; al oeste con los municipios de Coatepec, Tlalnelhuayocan y Banderilla. Cuenta con un clima semicálido húmedo con abundantes lluvias en verano (54%), Semicálido húmedo con lluvias todo el año (44%), cálido subhúmedo con lluvias en verano (1%) y templado húmedo con lluvias todo el año (1%). Con una rango de temperatura que oscila entre los 18ºC y 24ºC. Por otra parte, en cuanto a la precipitación la máxima anual registrada a partir de 1982 a 2013 fue de mm en el año 2013 y la mínima de mm en Imagen 1. Ciudad Xalapa Enríquez. Fuente Tipos de datos Existen varios tipos de datos usados en la hidrología (Fattorelli y Fernández, 2011): a) Datos históricos de eventos naturales registrados cronológicamente en forma discreta ó continua. Son series de tiempo producto de observaciones y que se pierden si no se registran en el momento de su ocurrencia. A este tipo pertenecen la gran mayoría de los datos hidrológicos e hidrometeorológicos. b) Levantamiento de datos hidrológicos en áreas, como por ejemplo profundidad y calidad de aguas subterráneas, infiltración o sedimentación 4

10 en ríos. Son datos de campo que se toman esporádicamente y no necesariamente, en forma secuencial. c) Medidas en laboratorio, como los son conductividades hidráulicas o calidad de aguas. d) Registro simultáneo de un evento (lluvia-caudal) en dos localidades geográficas diferentes, durante un determinado período de tiempo (generalmente 4 ó 5 años) usados para transferir información ó correlacionar datos con propósitos diversos, como los son análisis de caudales. Cabe mencionar también que los datos hidrológicos, ya sean lluvias o gastos, se presentan en orden cronológico, en ocasiones solo algunos de los valores originales tienen aplicación ya que el análisis de los mismos es regido por una condición crítica, es decir, frecuentemente se basa en usar dos tipos de datos. A unos se les llama serie de valores máximos o extremos y a las otras series de excedentes o de duración parcial. La serie de valores máximos sólo toma en cuenta al valor más grande o más pequeño que estén en el registro para un determinado intervalo constante de tiempo, así, por ejemplo, si este intervalo es de un año y contiene los valores más grandes o pequeños se le designa como una serie de máximos o mínimos anuales, respectivamente. La serie de excedentes está formada por un conjunto de datos, los cuales se seleccionan de tal forma que su magnitud sea mayor a un cierto valor de referencia, es decir, el número de datos de la serie debe de ser igual al número de años del registro (SEMARNAT, 2011). En este trabajo se utiliza el tipo de dato del inciso a), en especifico precipitación máxima horaria de cada año (Tabla 1), cabe mencionar que el período de análisis corresponde a datos de 1920 a 2013, de los cuales el período 1920 a 1982 fueron obtenidos del trabajo sobre el cual se basa la siguiente tesina, mientras que el período 1983 a 2013 fueron proporcionados por el Observatorio Meteorológico ubicado en la ciudad de Xalapa, Veracruz, dependiente del Servicio Meteorológico Nacional. 5

11 Año Precipitación máxima anual (mm/hora) Año Precipitación máxima anual (mm/hora) Año Precipitación máxima anual (mm/hora) Tabla 1. Precipitaciones máxima anuales en una hora, ocurrida en Xalapa, Veracruz, México. 2.3 Parámetros estadísticos Campos Aranda (2006), menciona que durante la selección de un determinado modelo probabilístico o función de distribución de probabilidades, es necesario estimar los parámetros estadísticos de las serie de datos que se analizan, en 6

12 general son necesarias las estimaciones de las medidas de tendencia central, dispersión, asimetría y curtosis, definida a través de: media aritmética ( ), mediana (M), desviación estándar (S), coeficiente de variación (Cv) y coeficiente de asimetría (Cs) y que se describen a continuación. Media aritmética: (1) Donde:, son los valores de la muestra, el número total de valores de la muestra, es la media de la muestra Desviación estándar: (2) Donde:, es la desviación estándar de la muestra, son los valores de la muestra, es la media de la muestra, el número total de valores de la muestra Coeficiente de variación: (3) Donde:, es el coeficiente de variación, es la deviación estándar de la muestra, es la media de la muestra Coeficiente de asimetría: (4) 7

13 Donde:, es el coeficiente de asimetría, es la media de la muestra, el número total de valores de la muestra 2.4 Calidad, homogeneidad y consistencia de los datos Los datos hidrológicos deben ser independientes, homogéneos y lo más representativos posibles de la población (Fattorelli y Fernández, 2011). En general la falta de homogeneidad de los datos es inducida por las actividades humanas como la deforestación, apertura de nuevas áreas de cultivo, rectificación de cauces, construcción de embalses y reforestación. También es producto de los procesos naturales súbitos, como incendios forestales, terremotos, deslizamiento de laderas y erupciones volcánicas (Escalante y Reyes, 2002) Prueba de Homogeneidad Las pruebas estadísticas que miden la homogeneidad de una serie de datos, presenta una hipótesis nula la cual establece que no existe diferencia significativa entre ambas series y una regla para aceptarla o rechazarla (Escalante y Reyes, 2002). En el presente trabajo se llevó a cabo la prueba estadística t de Student. La distribución de probabilidad de t se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W. S. Gosset (Walpole et al.,1999). Escalante y Reyes (2002), mencionan que cuando la causa probable de la pérdida de homogeneidad de la serie sea un cambio abrupto en la media, la prueba del estadístico t es muy útil. Si se considera una serie para, del sitio, la cual se divide en dos conjuntos de tamaño, entonces, el estadístico de prueba se define con la expresión (5) 8

14 Donde, son la media y varianza de la primera parte del registro de tamaño., son la media y varianza de la segunda parte del registro de tamaño. El valor absoluto de se compara con el valor de la distribución t de Student de dos colas que aparece en la tabla 8 del apéndice A, y con grados de libertad y para un nivel de, lo que representa un 95% de confiabilidad. Sí y solo si el valor absoluto de es mayor que el de la distribución t de Student, se concluye que la diferencia entre las medias es evidencia de inconsistencia y por lo tanto la serie se considera no homogénea. 2.5 Período de retorno En el análisis de frecuencias de una serie de la estación, para un conjunto de datos, el primero objetivo es determinar el intervalo de recurrencia o período de retorno en años, de un evento hidrológico dado una magnitud (Escalante y Reyes, 2002). Cuando la variable aleatoria considerada es una magnitud relacionada con algún fenómeno natural (caudales, velocidad de viento), es conveniente referirse a períodos de retorno en lugar de probabilidades de ocurrencia 2. El período de retorno se define como el intervalo promedio de tiempo dentro del cual un evento de magnitud puede ser igualado o excedido por lo menos una vez. Si un evento igual o mayor a ocurre una vez en años, su probabilidad de recurrencia es igual a uno en casos, es decir (Pereyra et al., 1984): (6) En un conjunto de eventos máximos anuales, ya sean gastos o lluvias, el período de retorno que se asocia a cada uno de ellos puede ser estimado con la fórmula de Weibull

15 . (7) Donde m es el número de orden y n el número total de años del registro. Para eventos máximos anuales, los datos se ordenan de mayor a menor donde el lugar que ocupa dentro de la lista el valor más grande corresponde a, mientras que para el mas pequeño, como se muestra en la tabla 2 (SEMARNAT, 2011). Año Precipitación máxima (mm /hora) Número de orden (m) Período de retorno ( ) Año Precipitación máxima (mm /hora) Número de orden (m) Período de retorno ( )

16 Año Precipitación máxima (mm /hora) Número de orden (m) Período de retorno ( ) Año Precipitación máxima (mm /hora) Número de orden (m) Período de retorno ( ) Tabla 2. Períodos de retorno de las precipitaciones máximas anuales horarias, ocurridas en Xalapa, Veracruz, México. Como se mencionó anteriormente, este trabajo pretende ser una guía en el análisis estadístico y probabilístico para valores extremos hidrometeorológicos, se trabajarán con períodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000 y años, respectivamente. En la selección de la avenida de diseño deben considerarse los beneficios que se espera obtener con la construcción de la obra, los problemas constructivos que influyen particularmente en la protección de zonas agrícolas y/o urbanas, los beneficios por la disminución en las pérdidas materiales y humanas entre otros (SEMARNAT, 2011). Las tablas 3, 4 y 5 muestran los períodos de retornos de acuerdo a la zona a proteger o duración de obras. 11

17 Tabla 3. Período de retorno en función de la zona en proteger (SEMARNAT, 2011). Características de la zona a proteger Período de retorno en años Parcelas agrícolas aisladas, sin posible 5 pérdida de vidas humanas Distrito de Riego, sin riesgo de pérdida 25 de vidas humanas Zonas agrícolas poco pobladas 50 Zona industrial y urbana 500 Zona densamente pobladas 1000 Tabla 4. Período de retorno para estructuras menores (SEMARNAT, 2011). Tipo de estructuras (años) Bordos 2 a 50 Zanja para drenaje 5 a 50 Drenaje de aguas pluviales 2 a 10 Drenaje de aeropuertos 5 Drenaje en carreteras 50 Tabla 5. Período de retorno para presas de almacenamiento (SEMARNAT, 2011). Categoría Almacenamiento (Mm³) Altura (M) Pérdida de vidas Daños materiales (Años) Pequeña <1.5 <15 Mediana Categoría Entre 1.5 y 60 Almacenamiento (Mm³) Entre 12 y 30 Altura (M) Ninguna Moderada Considerable Ninguna Moderada Considerable Pérdida de vidas <Costo de la presa ~Costo de la presa >Costo de la presa =Capacidad financiera >Capacidad financiera >Capacidad financiera Daños materiales a ** (Años) 12

18 Mayor (no se tolera falla) >60 >18 Considerable >Capacidad financiera 10000** 2.6 Funciones de distribución que se ajustan a precipitaciones máximas. De las distribuciones de valores extremos hay algunas que tienen mayor aceptación que otras en el análisis de datos hidrometeorológicos, entre las que se pueden mencionar la distribución de valores extremos tipo I o ley de Gumbel y la distribución Log-Pearson tipo III; en este trabajo en particular se trabajará con la función de distribución doble exponencial o Gumbel y la función Log-Pearson tipo III, las cuales se describen a continuación Distribución Log-Pearson tipo III La expresión matemática de distribución de probabilidad que la representa es:. (8) Linsley et al. (1977), menciona que el procedimiento recomendado para el uso de esta distribución consiste en convertir la serie de datos a sus logaritmos y luego calcular los siguientes parámetros: Media. (9) Desviación estándar. (10) Coeficiente de asimetría. (11) El factor de frecuencia depende del periodo de retorno y del coeficiente de asimetría. Cuando el factor de frecuencia es igual al comportamiento de una variable normal estándar. Cuando, se aproxima por Kite (1977) como (12) Donde 13

19 (13) (14). (15) Cuando, es sustituido por en la ecuación (15) y el valor de calculado al utilizar (14) se le asigna un numero negativo (Chow et al., 1994). La tabla 7 que se encuentra en el apéndice A muestra los valores del factor de frecuencia para la distribución Log-Pearson tipo III para diferentes valores del período de retorno y del coeficiente de asimetría Función de distribución Doble Exponencial ó Gumbel La función de distribución doble exponencial o de los valores extremos (también conocida con este nombre en el campo hidrológico), fue empleada por primera vez en el análisis de eventos máximos por Fisher y Tippet (1928), pero debido a que Gumbel fue el primero en emplearla en el análisis de gastos máximos de Estados Unidos de América, se le conoce como función de distribución Gumbel. La función de Gumbel es la siguiente:. (16) Donde: y, son parámetros estadísticos que se pueden obtener por varios métodos. Estos métodos se describen a continuación Método de los momentos Fue desarrollado por K. Pearson y se basa en igualar los momentos muestrales con los correspondientes a la distribución. Usando este método y considerando una población infinita, se obtiene:,. (17) 14

20 Donde es la media y la desviación estándar de los valores de la población. Para una muestra de tamaño finito, Gumbel encontró que: y (18). Donde es la media y la desviación estándar de la muestra, y, y son valores solo función del tamaño de la muestra. Los cuales se muestran en la tabla 8 del apéndice A. La probabilidad complementaria de P(Y) es la probabilidad Pm, de que un máximo anual de magnitud sea igualado o excedido. Por lo tanto (Pereyra et al., 1984), (19) Considerando la ecuación 6, la ecuación 19 se puede expresar de la siguiente manera, (20) Por medio de pasos algebraicos, se despeja la variable obteniéndose: (21) Sustituyendo en esta ecuación los valores de a y c, dados anteriormente y ordenando términos tenemos: a) ó (22) b) 15

21 Expresión que permite inferir acerca de los valores de de retorno,, para cualquier período, conociendo el tamaño N de la muestra de máximos anuales, su media, y su desviación estándar (Pereyra et al., 1984). Chow et al., (1994), encontró que estas distribuciones pueden expresarse en la forma: Donde. (23) precipitación con una probabilidad dada media de las series de precipitaciones máximas desviación estándar de la serie un factor de frecuencias definido por cada distribución. Es una función del nivel de probabilidad asignado a Método de mínimos cuadrados Aplicando este método, la ecuación (21) se puede expresar de acuerdo a Pereyra et al., 1984, como: (24) De donde se puede ver que se trata de la ecuación de una recta, del tipo, ya que y son constantes, se tiene que:,. Los parámetros y se determinan usando las siguientes expresiones: (25) (26) 16

22 Donde (27) (28) es el número de parejas de datos de la muestra, y son las medias de los valores y respectivamente Usando el Software Statistica. Otra manera de obtener los parámetros a y c de la ecuación 22 b), es con la ayuda del software Statistica (usando métodos numéricos, utilizando la técnica de Cuasi- Newton) o cualquier otro paquete que cuente con un módulo para modelos estadísticos no lineales (Imagen 6). Estos parámetros se estiman por métodos numéricos, específicamente la técnica de Quasi-Newton. Imagen 2. Cálculo de los parámetros a y b por el Software Statistica 2.7 Coeficiente de determinación El coeficiente de determinación, denominado R² y pronunciado R cuadrado, es un estadístico usado en el contexto de un modelo estadístico cuyo principal propósito es predecir futuros resultados o probar una hipótesis. El coeficiente determina la calidad del modelo para replicar los resultados, y la proporción de variación de los resultados que puede explicarse por el modelo (Steel R.G.D., y Torrie J.H.,1981). 17

23 El coeficiente de determinación es una medida de la diferencia entre la varianza de los valores observados y la varianza de los valores estimados por la línea de regresión. A mayor valor de, menor es esa diferencia (mejor es la regresión). Para la regresión no explica nada de la varianza de las variables independientes. Cuando son existen desviaciones o errores, se tiene un ajuste perfecto. Donde: es la precipitación máxima observada es la precipitación máxima estima. Capítulo 3. Metodología 3.1 Aplicación de la prueba de homogeneidad La prueba de homogeneidad para este trabajo se aplicó considerando los errores que podrían existir en la base de datos, para ello una de las herramientas de ayuda puede ser el estadístico de prueba t de Student. Para conocer el cálculo del estadístico de prueba t de Student se obtiene Tamaño de la muestra total Media de la muestra total La muestra se divide en dos conjuntos de tamaño Tamaño de la submuestra (1) Media de la submuestra (1) 18

24 Desviación estándar de la submuestra (1) Tamaño de la submuestra (2) Media de la submuestra (2) Desviación estándar de la submuestra (2) El estadístico de prueba para los datos de la ciudad de Xalapa, Veracruz, es el siguiente: El valor absoluto de se compara con el valor de la distribución de Student de dos colas, para grados de libertad y un nivel que se encuentra en la tabla 8 del apéndice A, este es: La serie se considera homogénea si. Como Por lo tanto, la serie de datos para este trabajo es homogénea. 3.2 Cálculo de la precipitación máxima usando la distribución Log-Pearson Tipo III Para esta distribución primero se convierte la serie de datos en su forma logarítmica, luego se calculan los parámetros presentados en las ecuaciones (9), (10) y (11) que se mostraron anteriormente, obteniéndose los siguientes valores: 19

25 De acuerdo con la ecuación (8), faltaría por obtener un parámetro que es el factor de frecuencia, este valor se puede obtener con ayuda de la tabla 7 que se muestra en el apéndice A, conocido el coeficiente de asimetría e interpolando con el período de retorno que se desea analizar. En este trabajo, se obtiene este factor para todos los periodos de retorno que aparecen en la tabla 2, a partir de las ecuaciones (12), (13), (14) y (15). Los cálculos se muestran en la tabla 10 que se encuentra en el apéndice B. Una vez obtenido el factor de frecuencia, se sustituye en la ecuación (8) y se obtiene la precipitación máxima horaria (esta se muestra en la tabla 12). Esta ecuación nos quedaría de la siguiente forma: 3.3 Cálculo de la precipitación máxima usando la distribución Gumbel Para esta distribución primero se procede a calcular los parámetros a y c a partir de los métodos que se muestran a continuación Método de los momentos Para obtener los parámetros y de la ecuación (21), presentados por las ecuaciones (18) y con ayuda de la tabla 8, se obtiene Utilizando las ecuaciones (1) y (2) se tiene que 20

26 Posteriormente sustituyendo estos datos en la ecuación (18) a) y b), se obtiene lo siguiente: Finalmente se sustituyen a y c en la ecuación (21), obteniéndose la expresión datos., que es la ecuación que representa la muestra de Método de mínimos cuadrados Para calcular los valores de y primero procedemos a calcular los valores de la ecuación (27) y (28) con ayuda de la tabla 11 que se encuentra en el apéndice B, obtenemos los siguientes valores: Posteriormente se sustituye en las ecuaciónes (25), (26), obteniendose los siguientes resultados: Pero como, se tiene que, y Sustituyendo estos datos en la ecuación (24), la ecuación que representa a la muestra de datos es la siguiente,. 21

27 . Capítulo 4. Resultados 4.1 Precipitación máxima estimada para períodos de retorno seleccionado. Con los valores obtenidos por los métodos antes mencionados, se obtuvieron los siguientes resultados (tabla 6), en el cual los períodos de retorno utilizados son los mencionados en la tabla 3, 4 y 5. Tabla 6. Precipitaciones máximas esperadas usando las funciones Doble Exponencial y Log-Pearson (Tipo III). Momentos (mm/h) Distribución doble exponencial Mínimo cuadrado (mm/h) Utilizando el software Statistica (Quasi-Newton) (mm/h) Distribución Log- Pearson (mm/h) En la tabla 12, que se encuentra en el apéndice B, se muestran las precipitaciones máximas estimadas para toda la base de datos utilizados en este trabajo y con las cuales se realizaron las gráficas que a continuación se muestran. 4.1 Comparación entre las precipitaciones máximas observadas y las estimadas. En las gráficas 1, 3 y 5 se hace la comparación entre la precipitación máxima observada y la precipitación máxima estimada, esta última obtenida por los diferentes métodos mostrados anteriormente, además a cada gráfica se le anexa 22

28 una más, que muestra la relación que existe entre las precipitaciones máximas observadas y estimadas, así como también se muestra el coeficiente de determinación. Gráfica 1. Comparación entre la precipitación observada y la precipitación estimada (por el método de los momentos). Precipitación máxima estimada (mm/h) y = *x R 2 = Precipitación máxima observada (mm/h) Gráfica 2. Regresión lineal entre la precipitación máxima estimada (método de los momentos) y la observada. 23

29 Gráfica 3. Comparación entre la precipitación observada y la precipitación estimada (por el método de mínimos cuadrados). Precipitación máxima estimada (mm/h) y = *x R 2 = Precipitación máxima observada (mm/h) Gráfica 4. Regresión lineal entre la precipitación máxima estimada (método de mínimos cuadrados) y la observada. 24

30 Gráfica 5. Comparación entre la precipitación observada y la precipitación estimada (obtención de los parámetros con el Software Statistica). Precipitación máxima estimada (mm/h) y = *x R 2 = Precipitación máxima observada (mm/h) Gráfica 6. Regresión lineal entre la precipitación máxima estimada (empleando el Software Statistica) y la observada. Como se observa en las figuras 1, 3 y 5, la función de distribución de probabilidad Gumbel, se ajusta muy bien a los datos observados, al calcularse los parámetros de la ecuación por diversos métodos. Esto lo confirma el coeficiente de determinación, por ejemplo con el método de los momentos indica que el modelo explica el 98.58% de los casos. 25

31 Como se observa las tres diferentes maneras para calcular los parámetros de la ecuación resultaron ser similares en el valor del coeficiente de determinación (gráfica 2, 4 y 6). Por otro lado la función de distribución de probabilidad Log-Pearson Tipo III (mostrada en la gráfica 7) también muestra un buen ajuste a los datos de precipitación máxima observada. Nuevamente, esto lo confirma el coeficiente de determinación (gráfica 8), que en este caso resultó ser un poco más alto que el modelo anterior, explicando el 98.83% de los casos. Gráfica 7. Comparación entre la precipitación observada y la precipitación estimada (Método Log-Pearson Tipo III). 26

32 Precipitación máxima estimada (mm/h) y = *x R 2 = Precipitación máxima observada (mm/h) Gráfica 8. Regresión lineal entre la precipitación máxima estimada (método Log-Pearson Tipo III) y la observada. 27

33 CONCLUSIONES Después de haber ajustado las funciones de probabilidad Gumbel y Log-Normal tipo III a la muestra de datos de precipitaciones máximas horarias, se puede decir que las dos funciones son recomendables para estimar la precipitación máxima horaria, para cierto período de retorno, de acuerdo a la obra que se desea construir. Sin embargo de la tabla 6 se puede decir que el método más apropiado para ajustar la función doble exponencial o Gumbel, para períodos de retorno menor o igual a 25 años, es el método de los momentos, mientras que para obras hidráulicas mas grandes (con período de retorno mayor o igual a 50 años) el método que más se ajusta es por mínimos cuadrados o utilizando un software que cuente con el modulo de estadística no lineal. En esta misma tabla, se observa que para período de retorno de 2 años; la función de probabilidad Log-Pearson tipo III se ajusta relativamente mejor, y para períodos mayores, la función Gumbel lo hace mejor (calculando los parámetros por cualquier método mostrado en el presente trabajo). 28

34 Apéndice A Tabla 7. Valores de Kt para la distribución de Pearson Tipo III 29

35 Tabla 8. Valores de y N N N

36 Tabla 9. Valores críticos de t. Fuente: Robert G.D. Steel y James H. Torrie, (1981)

37 Apéndice B Tabla 10. Secuencia del cálculo para obtener el factor de frecuencia y la Precipitación máxima estimada. Año Precipitación máxima (mm/hora)) m P W Z log p p est

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39 Tabla 11. Secuencia del cálculo para determinar a y c por el método de mínimos cuadrados. Precipitación máxima anual (mm/hora)

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41 Tabla 12. Precipitaciones máximas estimadas (mm/hora). Año Precipitación máxima observada (mm/h) Distribución doble exponencial Mínimo cuadrado (mm/h) Momentos (mm/h) Modelo utilizando el software Statistica (Quasi- Newton)(mm/h) Distribución Log- Pearson (mm/h

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43 Referencias Aparicio-Mijares F. (2011). Fundamentos de hidrología de superficie. Limusa, México. 303 pp. Campos-Aranda D.F. (2006). Análisis Probabilístico Univariado de Datos Hidrológicos. Asociación Mexicana de Hidráulica, Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. 172 pp. 38

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