Triángulos. Construcción de triángulos Medianas y alturas de un triángulo Mediatrices y bisectrices de un triángulo Teorema de Pitágoras

Transcripción

1 11 Triángulos onstrucción de triángulos Medianas y alturas de un triángulo Mediatrices y bisectrices de un triángulo Teorema de Pitágoras Has hecho alguna vez una construcción con varillas de metal? Has intentado hacer un cuadrado?; si tiras de sus vértices, verás que se deforma. Sin embargo, esto no ocurre en el triángulo. El triángulo es un polígono que tiene una estructura indeformable. Si te fijas en la estructura de muchos puentes, en una torre, en una grúa o en un andamio, te darás cuenta de que las formas poligonales de más de tres lados contienen segmentos que las dividen en triángulos para que no se puedan deformar. 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

2 1 onstrucción de triángulos RNÉ LULIST 925,67 : 6,04 piensa y calcula tendiendo a los datos, se pueden dibujar los siguientes triángulos? Justifica la respuesta. a) Tres lados cuyas longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un lado de 8 cm y dos ángulos que están junto a él, de 60 y onstrucción de triángulos Para construir triángulos basta con conocer algunos datos. Se estudian tres casos: a) onstruir un triángulo conocidos los tres lados Suma de los ángulos de un triángulo La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 doblar M a M a M a doblar M b b b c doblar N N N N c c Para poder construir un triángulo con tres lados conocidos, la longitud del lado mayor debe medir menos que la suma de los otros dos lados. Se dibuja el segmento que representa al lado a. Sobre los extremos, que son dos vértices, se dibujan arcos de circunferencia con radios iguales a la longitud del lado b y del lado c, respectivamente. El punto de intersección es el otro vértice. EJERIIO RESUELTO 1 Dibuja el triángulo de lados: a = 3 cm, b = 2,5 cm y c = 2 cm b = 2,5 cm a = 3 cm b = 2,5 cm a = 3 cm c = 2 cm b = 2,5 cm a = 3 cm b) onstruir un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman Se dibuja el segmento que representa el lado a. Desde un extremo, que es el vértice del triángulo, se levanta el ángulo conocido. Se lleva el lado b sobre este lado del ángulo y se unen los extremos de los lados a y b EJERIIO RESUELTO 2 Dibuja el triángulo de lados: a = 5 cm, b = 3 cm y ángulo = 40 c = 2 cm b = 3 cm b = 3 cm 40 a = 5 cm 40 a = 5 cm c) onstruir un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos contiguos Para construir un triángulo con un lado y los ángulos contiguos conocidos, se debe cumplir que la suma de los dos ángulos sea menor que 180 Se dibuja el segmento que representa al lado a. Desde sus extremos, que son dos vértices del triángulo, se levantan los ángulos conocidos. El punto de intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice. 202 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

3 EJERIIO RESUELTO 3 Dibuja un triángulo de lado a = 4 cm y ángulos = 70 y = 50 lasificación de los triángulos a) Según sus lados: Equilátero 50 a = 4 cm a = 4 cm Igualdad de triángulos Dos triángulos son iguales si los lados y los ángulos de uno son iguales, respectivamente, a los del otro. Isósceles EJEMPLO b c a c a a = a b = b c = c = = = Escaleno b) Según sus ángulos: cutángulo b En la práctica, para saber si dos triángulos son iguales no se necesita comparar los tres lados y los tres ángulos. De la construcción de triángulos se deducen los siguientes criterios de igualdad de triángulos: a) Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados respectivamente iguales. b) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales. c) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y los dos ángulos contiguos respectivamente iguales. Rectángulo Obtusángulo aplica la teoría 1 Dibuja un triángulo cuyos lados midan a = 4,4 cm, b = 3,1 cm y c = 2,5 cm 2 Es posible dibujar un triángulo cuyos lados sean 12 cm, 4 cm y 6 cm? Justifica tu respuesta. 3 onstruye un triángulo cuyos lados sean a = 4,4 cm y b = 2,8 cm, y el ángulo comprendido entre ellos = 72 4 Dibuja un triángulo con dos ángulos conocidos = 70, = 80, y el lado a = 2,5 cm 5 Es posible dibujar un triángulo con los ángulos = 120 y = 70 y el lado b = 5 cm? Justifica tu respuesta. 6 Si tienes dos triángulos isósceles que son rectángulos, puedes decir que son iguales? Justifica tu respuesta. 11. Triángulos _matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

4 2 Medianas y alturas de un triángulo RNÉ LULIST ( ) piensa y calcula Mide los segmentos G y G en los triángulos de la figura. Expresa la relación que existe entre ellos. G G 2.1 Medianas de un triángulo aricentro: G G Una mediana de un triángulo es el segmento que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto. El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. Se representa con la letra G El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, de forma que uno es el doble que el otro, es decir, el segmento que tiene como extremos el vértice y el baricentro mide el doble que el segmento cuyos extremos son el baricentro y el punto medio del lado opuesto. G = 2 G G = 2 G G = 2 G El baricentro está siempre situado en el interior del triángulo y es su centro de gravedad. Si se sujeta un triángulo rígido por el baricentro, el triángulo se mantiene en equilibrio. EJERIIO RESUELTO 4 alcula la distancia a la que está el baricentro G del vértice y del punto medio del lado c = 6 cm G La distancia G = = 4 cm La distancia G = = 2 cm 204 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

5 2.2 lturas de un triángulo La altura de un triángulo es el segmento perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación. El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas. Observa que una altura es perpendicular al lado, pero que esta puede caer fuera del triángulo. Triángulo cutángulo Rectángulo Obtusángulo En el interior del triángulo: En el vértice del ángulo recto: En el exterior del triángulo: Posición del ortocentro O: Ortocentro O: Ortocentro O: Ortocentro En un triángulo rectángulo dos alturas coinciden con los catetos. aplica la teoría 7 onstruye un triángulo cuyos lados sean a = 6 cm, b = 4 cm y c = 3 cm. Dibuja en él las tres medianas y señala el baricentro. omprueba midiendo que el baricentro divide a las medianas en dos segmentos y que uno es el doble del otro. 8 Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3,2 cm y 4,5 cm y en él las medianas y el baricentro. Mide los segmentos de cada mediana. Qué deduces? 9 onstruye un triángulo de lados 4,5 cm, 3,8 cm y 3 cm. Dibuja las alturas y señala el ortocentro. 10 onstruye un triángulo de lados 5 cm, 4 cm y 3 cm, y dibuja sus alturas. Señala el ortocentro y estudia su posición. 11 De un triángulo se sabe que el lado a mide 3 cm y que la mediana que va desde el vértice al lado a mide 3,5 cm. on estas condiciones dibuja un triángulo: a) cutángulo. b) Isósceles. c) Obtusángulo. 11. Triángulos _matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

6 3 Mediatrices y bisectrices de un triángulo RNÉ LULIST : 190 piensa y calcula El triángulo de la figura es equilátero. ómo se llama el segmento M? uánto miden los ángulos dibujados? M 3.1 Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento por su punto medio. Para trazar la mediatriz de un segmento se sigue el procedimiento: P P P Q Mediatriz P P Q Q a) Se toma una abertura del compás mayor que la mitad del segmento. Q b) on centro en y en, se dibujan unos arcos que se cortan en los puntos P y Q Q c) La mediatriz es la recta que une los puntos P y Q Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento: P = P y Q = Q 3.2 isectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Para trazar la bisectriz de un ángulo se sigue el procedimiento: P P O O O a) Se dibuja un arco con centro en el vértice O del ángulo. El arco corta a los lados del ángulo en los puntos y b) on centro en y, se trazan dos arcos del mismo radio que se cortan en el punto P c) La bisectriz del ángulo es la semirrecta que tiene como origen O y pasa por P O Q d P d R La bisectriz de un ángulo se puede definir como la semirrecta cuyos puntos equidistan de las semirrectas que forman los lados del ángulo. Fíjate que la distancia de un punto P a un lado es la longitud del segmento perpendicular al lado que tiene como extremos P y un punto Q del lado: PQ = PR 206 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

7 3.3 Mediatrices de un triángulo Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de las tres mediatrices. Está a la misma distancia de los tres vértices. La circunferencia circunscrita al triángulo es la que tiene como centro el circuncentro y como radio la distancia del centro a uno de los vértices. Triángulo cutángulo Rectángulo Obtusángulo En el interior del triángulo: En el centro de la hipotenusa: En el exterior del triángulo: Posición del circuncentro R O: ircuncentro R O: ircuncentro R O: ircuncentro ircunferencia circunscrita ircunferencia circunscrita ircunferencia circunscrita 3.4 isectrices de un triángulo Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. El incentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres bisectrices. Está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. La circunferencia inscrita en un triángulo es la que tiene como centro el incentro y como radio la distancia del centro al lado. R R O: Incentro R ircunferencia inscrita aplica la teoría 12 Dibuja un segmento de 5 cm de longitud y traza su mediatriz. omprueba midiendo que un punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento. 13 Dibuja un ángulo agudo y traza su bisectriz. omprueba midiendo que un punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo. 14 Dibuja un triángulo de lados 4,5 cm, 3,5 cm y 3 cm. Dibuja el circuncentro y la circunferencia circunscrita. 15 uál es el número mínimo de mediatrices que hay que trazar para hallar el circuncentro? 16 Dibuja un triángulo rectángulo y su circunferencia circunscrita. Dónde está el circuncentro? 17 onstruye un triángulo cuyos lados midan 3,5 cm, 2,5 cm y 2 cm. Dibuja el incentro y la circunferencia inscrita. 18 Dibuja un triángulo equilátero. ómo son las bisectrices y las mediatrices? Dibuja la circunferencia circunscrita y la inscrita. 19 Dibuja un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos midan 4 cm. Dibuja las circunferencias inscrita y circunscrita. 11. Triángulos _matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

8 4 Teorema de Pitágoras RNÉ LULIST : 3 2 piensa y calcula uenta los cuadraditos y expresa la relación que existe entre los lados de cada triángulo rectángulo El teorema de Pitágoras Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. c: cateto a: hipotenusa b: cateto Los lados de un triángulo rectángulo se llaman: atetos: los lados que forman el ángulo recto. Hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto. Fíjate que la hipotenusa siempre es mayor que los catetos. Un triángulo rectángulo es isósceles cuando tiene los dos catetos iguales. El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a 2 = b 2 + c 2 La interpretación geométrica del teorema de Pitágoras es que el área del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los catetos = = Ternas pitagóricas EJEMPLO 3, 4 y = = 25 Una terna pitagórica son tres números naturales que verifican el teorema de Pitágoras. sí, dados tres números, forman un triángulo rectángulo si el cuadrado del mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. 208 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

9 4.3 plicaciones del teorema de Pitágoras alcular la hipotenusa, conocidos los catetos Se escribe: la hipotenusa al cuadrado igual a un cateto al cuadrado más otro cateto al cuadrado. a 2 = b 2 + c 2 EJERIIO RESUELTO 5 alcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3,6 m y 4,8 m a 2 = b 2 + c 2 a 2 = 3, ,8 2 = 12, ,04 = 36 a = 36 = 6 m ( 3.6 x x 2 ) = 6 c = 4,8 m a b = 3,6 m alcular un cateto, conocidos la hipotenusa y el otro cateto Se escribe: un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado igual a la hipotenusa al cuadrado. b 2 + c 2 = a 2 EJERIIO RESUELTO 6 qué altura se llega con una escalera de 2,5 m si se coloca la base a 1 m de la pared? b 2 + c 2 = a c 2 = 2, c 2 = 6,25 c 2 = 5,25 c = 5,25 = 2,29 m ( 2.5 x 2 1 x 2 ) = 2,29 aplica la teoría 20 alcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 7 cm 21 Halla la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m y el otro cateto 9 m 26 Un poste de madera tiene 8 m de altura y se quiere sujetar con tres cables que van desde el extremo superior a un punto del suelo que dista de la base del poste 3 m. Qué longitud de cable se necesita? c a = 2,5 m b = 1 m 22 omprueba cuáles de las siguientes ternas de longitudes forman triángulo rectángulo: a) 3 cm, 4 cm y 5 cm b) 6 m, 8 m y 10 m c) 9 dam, 12 dam y 15 dam d) 5 mm, 6 mm y 7 mm 8 m 23 En un triángulo rectángulo isósceles, calcula la longitud de la hipotenusa si los catetos miden 4 dam 24 Halla la diagonal de un cuadrado de lado 6 m 25 alcula la altura de un triángulo equilátero de 4 cm de lado. 3 m 11. Triángulos _matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

10 Ejercicios y problemas resueltos EJERIIOS DEL TEOREM DE PITÁGORS 7 Dibuja un triángulo rectángulo de catetos b = 4,2 cm y c = 5,6 cm, y calcula su hipotenusa. c = 5,6 cm a a 2 = b 2 + c 2 a 2 = 4, ,6 2 = 17, ,36 = 49 a = 49 = 7 cm 90 b = 4,2 cm 8 Dibuja un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es a = 6 cm, el cateto b = 3,6 cm. alcula la longitud del otro cateto. c a = 6 cm b 2 + c 2 = a 2 3,6 2 + c 2 = ,96 + c 2 = 36 c 2 = 23,04 90 c = 23,04 = 4,8 cm b = 3,6 cm PROLEMS DE PLIIONES DEL TEOREM DE PITÁGORS 9 alcula la longitud de una cinta transportadora en rampa que avanza 32 m en horizontal y asciende 24 m en vertical. Entérate Una cinta transportadora que: vanza en horizontal 32 m Sube verticalmente 24 m Pregunta: Halla la longitud de la cinta. Manos a la obra a c = 24 m b = 32 m a 2 = b 2 + c 2 a 2 = = = a = = 40 Solución La cinta transportadora mide 40 m 210 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

11 10 Un carpintero hace marcos rectangulares de madera para ventanas. Para que el marco no se deforme les pone en la diagonal un listón de madera de 2 m de largo. Si el alto del marco mide 1,2 m, cuánto mide de largo? Entérate La diagonal del marco mide 2 m El alto del marco mide 1,2 m Pregunta: uánto mide el largo? Manos a la obra d = 2 m b Solución c = 1,2 m D El largo del marco mide 1,6 m b 2 + c 2 = d 2 b 2 + 1,2 2 = 2 2 b 2 + 1,44 = 4 b 2 = 2,56 b = 2,56 = 1,6 11 alcula la altura en el trapecio siguiente: b = 10 cm h = 34 cm l = 15 cm Entérate b = 10 cm l = 15 cm h c = 12 cm c = 12 cm Pregunta: uánto mide la altura h? c = = 12 cm Manos a la obra h 2 + c 2 = l 2 h = 15 2 h = 225 h 2 = 81 h = 81 = 9 Solución La altura mide 9 cm 12 alcula la altura de un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Redondea el resultado a un decimal. Entérate Triángulo equilátero de 4 cm de lado. Pregunta: uánto mide la altura del triángulo? Manos a la obra Solución h D 90 l = 4 cm l 2 = 2 cm La altura mide 3,5 cm h 2 + ( l 2) 2 = l 2 h = 4 2 h = 16 h 2 = 12 h = 12 = 3,5 11. Triángulos _matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

12 Ejercicios y problemas propuestos resueltos 1 onstrucción de triángulos 27 onstruye un triángulo cuyos lados midan a = 45 mm, b = 36 mm y c = 33 mm 28 Nos han dado las siguientes tablillas para formar un triángulo. Puedes hacerlo? 29 onstruye un triángulo cuyos lados sean a = 4 cm y b = 3 cm y el ángulo comprendido entre ellos = Dibuja un triángulo con dos ángulos conocidos, = 65, = 70, y el lado a = 2,5 cm. De qué tipo es el triángulo? 31 Son iguales dos triángulos que tienen iguales sus ángulos? Justifica tu respuesta. 32 onstruye un triángulo como el de la figura utilizando el transportador y la regla. 33 onstruye un triángulo con los ángulos = 35 y = 100 y el lado b = 3 cm. De qué tipo es el triángulo? 34 Dibuja un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa de 3 cm y un ángulo de 60 2 Medianas y alturas de un triángulo 35 onstruye un triángulo cuyos lados midan: a = 4 cm, b = 3 cm y c = 2,5 cm. Dibuja en él las tres medianas y señala el baricentro. omprueba midiendo que el baricentro divide a las medianas en dos segmentos y uno es el doble del otro. 36 onstruye un triángulo rectángulo de forma que la altura sobre la hipotenusa coincida con la mediana. 37 onstruye un triángulo de lados 44 mm, 36 mm y 30 mm, y dibuja las tres alturas. 38 Dibuja un triángulo obtusángulo y las tres alturas. Señala el ortocentro. 3 Mediatrices y bisectrices de un triángulo 39 Dibuja un segmento de 3,5 cm y traza su me dia triz con regla y compás. 40 Dibuja un segmento de 3,2 cm y traza su me diatriz usando solo las reglas. 41 Dibuja un ángulo agudo de 40 y traza su bisectriz con regla y compás. 42 onstruye el triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 4,5 cm y dibuja las mediatrices y la circunferencia circunscrita. 43 Señala dónde está el circuncentro y dibuja la circunferencia circunscrita en los siguientes casos: a) Triángulo acutángulo. b) Triángulo rectángulo. c) Triángulo obtusángulo. 44 onstruye un triángulo cuyos lados midan 55 mm, 41 mm y 38 mm. Dibuja el incentro y la circunferencia inscrita. 45 Dibuja un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 30. Dibuja la circunferencia inscrita. 4 Teorema de Pitágoras 46 alcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden: a) 6 cm y 8 cm b) 12 mm y 16 mm c) 5 m y 10 m d) 7 dm y 7 dm 47 Halla la longitud de los catetos: a) b) 7 m 3 m8 dam 48 omprueba cuáles de las siguientes ternas de longitudes forman un triángulo rectángulo: a) 12 cm, 16 cm y 20 cm b) 6 m, 7 m y 10 m c) 4 dam, 5 dam y 12 dam d) 15 mm, 20 mm y 25 mm 49 omprueba que el triángulo de 6 cm, 4,5 cm y 3 cm de lados no es rectángulo, y di si es obtusángulo. 4 dam 212 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

13 50 alcula la longitud de la diagonal del rectángulo de la figura: 6,5 m 52 Deseamos un toldo como el del dibujo, que sobresalga de la pared 90 cm. alcula la longitud, a, de la caída del toldo. d 4,5 m 51 alcula la longitud de la altura del triángulo de la figura: Para ampliar a 90 cm 110 cm 4,5 dm a 2,6 dm Para ampliar 53 onstruye un triángulo cuyos lados midan 30 mm, 35 mm y 45 mm. Mide sus ángulos con el transportador y di cómo es el triángulo según los ángulos. 54 Los lados de un triángulo miden 4,5 cm, 6 cm y 7,5 cm. Dibújalo y di qué tipo de triángulo es. 55 onstruye un triángulo que tenga un ángulo de 50 y que los lados que lo forman midan 4,5 cm y 2,8 cm 56 Dibuja un triángulo que tenga un ángulo de 60, y los lados que lo forman, 3,6 cm y 2,8 cm. Traza las medianas y señala el baricentro. 57 onstruye un triángulo de lado a = 4,5 cm y ángulos = 30 y = 70. Traza las alturas y señala el ortocentro. 58 onstruye un triángulo como el de la figura, dibuja las bisectrices y la circunferencia inscrita. 3,8 cm 5,4 cm 3,8 cm 59 onstruye un triángulo equilátero de 2,8 cm de lado. Traza las mediatrices y dibuja la circunferencia circunscrita. 60 Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2,8 cm y 2 cm. Dibuja la circunferencia circunscrita. 61 onstruye un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 4 cm, y un ángulo agudo de 40. Dibuja las bisectrices. 62 onstruye un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa de 4,2 cm y un ángulo agudo de 45. Dibuja las medianas y señala el baricentro. 63 uánto mide el ángulo en el dibujo? 5 cm 5 cm 57º 5,45 cm 64 onstruye un triángulo isósceles de 3 cm de lado desigual y 4 cm de lados iguales. 65 Dibuja un triángulo isósceles de lado desigual a = 2,5 cm y altura sobre el lado a de 4 cm 66 alcula en cada caso el lado que falta: a) b = 10 dm y c = 6 dm b) b = 12 cm y c = 16 cm c) a = 30 dam y c = 20 dam d) a = 10 m y b = 8 m 67 alcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto es: a) 3 m b) 5 dm c) 4,5 cm d) 12 mm 11. Triángulos _matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

14 Ejercicios y problemas propuestos Problemas 68 onstruye un triángulo del que conocemos el lado c = 5 cm, el lado a = 3 cm y la mediana que va desde el vértice al lado c, que mide 4 cm 69 El perímetro de un cuadrado mide 28 m. uán to mide la diagonal? 75 alcula la longitud de los lados del triángulo que se forma uniendo los tres vértices de un cubo. 5 cm 70 En un rectángulo de lados 4 cm y 7 cm, calcula la longitud de la diagonal. 5 cm 5 cm 71 Halla mentalmente los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son números enteros consecutivos menores que 7 72 alcula la diagonal del ortoedro de la figura: E 7 cm d D D 3 cm F 2 cm 73 Una escalera de bomberos que mide 12 m de largo está situada en la plataforma de un camión a 2 m de altura y a 5 m de la pared. alcula la altura a la que llega la escalera. 5 m 2 m 12 m 74 Sobre la construcción de una pirámide se ha situado una grúa para arrastrar la carga. Qué longitud de cuerda se necesita para subir la carga por la cara de la pirámide? 52 m x 25 m G 76 Un globo está sujeto a una cuerda de 2,5 m y observamos que se ha desplazado 60 cm por el viento. qué altura está el globo? Para profundizar 77 Dibuja un triángulo y traza una paralela a un lado por un vértice. Justifica sobre el dibujo que la suma de los tres ángulos de un triángulo suman Puede ser obtuso el ángulo contiguo del lado desigual de un triángulo isósceles? 79 Puede ser equilátero un triángulo rectángulo? 80 ómo ha de ser un triángulo para que sus medianas coincidan con las tres alturas? 81 ómo ha de ser un triángulo para que solo una mediana coincida con una altura? 82 Dibuja un triángulo cualquiera y encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres vértices. Qué punto es? 83 Si las tres alturas de un triángulo se cortan en un vértice, qué se puede afirmar del triángulo? 84 Una mediatriz de un triángulo es paralela a uno de los lados. ómo es el triángulo? Dibújalo. Dibuja la circunferencia circunscrita. 85 onstruye un triángulo del que conocemos el lado a = 4 cm, el lado b = 3,4 cm y la altura sobre el lado a, que representamos por h a = 2,3 cm c a = 2,5 m b = 60 cm 214 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

15 Matematización en contextos reales Estructuras El triángulo es una figura indeformable. Si se construye un cuadrado con cuatro varillas se deformará. 4 cm 4 cm D 4 cm 4 cm D 4 cm 4 cm D Pero si se le pone una diagonal ya no puede deformarse. Este hecho se aplica en muchas ocasiones a la vida real. 4 cm 4 cm D 86 El dibujo representa un entramado metálico que soporta el tejado de una nave industrial. El entramado es simétrico y la figura FE es un triángulo equilátero. Se sabe que la viga F debe tener un 69,65% de la longitud de la altura del triángulo equilátero. alcula la longitud que deben tener las vigas F y G G 1,37 mf 4 m E D omprueba lo que sabes 1 Define circuncentro y explica su posición según el tipo de triángulo. 2 onstruye un triángulo cuyos lados sean a = 55 mm, b = 45 mm y c = 30 mm. Dibuja en él las tres medianas. 3 onstruye un triángulo de lados a = 6 cm y b = 4 cm, y el ángulo comprendido entre ellos = 65. Dibuja la altura sobre el lado a y mídela. 4 Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm, y su circunferencia inscrita. 5 alcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm 6 Halla la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 m, y el otro cateto, 12 m 7 alcula la altura de un triángulo equilátero de 6 dm de lado. 8 Javier está volando una cometa sujeta por una cuerda de 26 m, y esta se encuentra sobre un río que está a 10 m de Javier. qué altura está la cometa del suelo? 11. Triángulos _matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

16 11. Triángulos rea en tu carpeta personal la carpeta GG11 para guardar todos los ejercicios de esta unidad. 87 Dibuja un triángulo de lados a = 12 cm, b = 10 cm y c = 8 cm, y calcula la amplitud de sus ángulos. 88 Halla el baricentro de un triángulo de lados a = 15 cm, b = 12 cm y c = 9.4 cm SOLUIÓN: SOLUIÓN: a) Elige Opciones/Etiquetado/Solo puntos nuevos. b) Define tres deslizadores numéricos a, b y c de 0 a 20 y de ancho 200 y pon los valores del enunciado. c) Elige Segmento de longitud dada, dibuja el segmento de longitud a. Para cambiar el nombre del primer punto y ponerle, en el menú ontextual del punto elige Renombra. d) Elige ircunferencia (centro, radio), dibuja una circunferencia de centro y radio b e) Dibuja otra circunferencia de centro y radio c f) Elige Intersección y halla la intersección de las dos circunferencias. g) Oculta las dos circunferencias y el segmento, renombra el punto de arriba como h) Elige Polígono, haz clic en,, y otra vez en para cerrarlo. i) Muestra el valor de los lados. j) Muestra la amplitud de los ángulos. Geometría dinámica: interactividad a) Introduce en la arra de entrada los siguientes valores, cada vez uno, a = 7.25, b = 6.4 y c = a) Toma el dibujo del ejercicio anterior y guár- dalo con el nombre Medianas b) Oculta la medida de los lados. c) Selecciona Elige y mueve, haz clic dentro de un ángulo y pulsa la tecla [Supr] d) Introduce en la arra de entrada los siguientes valores: a = 15, b = 12 y c = 9.4 e) Elige Punto medio o centro y dibuja el punto medio de cada lado haciendo clic en cualquier punto de cada lado. f) Elige Segmento y traza las medianas. g) Elige Intersección y halla el baricentro G como intersección de dos medianas. h) Elige Distancia o longitud y mide todos los segmentos de las medianas. i) Selecciona Elige y mueve, haz clic en la medida de uno de los segmentos, y en la arra de estilo elige sin color de fondo, color azul y negrita. j) Elige opiar estilo visual, haz clic en la medida que has modificado el estilo y luego en cada una de los demás. k) omprueba que uno de los dos segmentos de cada mediana es el doble que el otro. Geometría dinámica: interactividad a) Introduce en la arra de entrada los si- guientes valores, cada vez uno: a = 14.5, b = y c = 8.68 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

17 Windows/Linux GeoGebra SÍ FUNION uando escribimos un texto, por ejemplo una longitud, un perímetro o el área de una figura podemos modificar sus características en la barra de estilo; para ello seleccionamos el texto y en la barra de estilo podemos elegir olor de fondo, olor del texto; Negrita ursiva y Tamaño. PRTI 89 Dibuja un segmento y su mediatriz. a) Elige b) Elige Segmento, haz clic en y en Mediatriz, haz clic en cualquier punto del segmento e inmediatamente escribe en el teclado Mediatriz d) Introduce en la arra de entrada los valo- res, cada vez uno, a = 8, b = 7 y c = 5 e) Elige Mediatriz y haz clic en cada lado. f) Halla la intersección de dos mediatrices. Renombra el punto como ircuncentro g) Elige ircunferencia (centro, punto), haz clic en el circuncentro y luego en un vértice del triángulo. h) Dibuja un radio y mídelo. Geometría dinámica: interactividad a) Introduce en la arra de entrada los valores, a = 8, b = 6 y c = Dibuja la bisectriz de un ángulo. Geometría dinámica: interactividad a) rrastra uno de los extremos del segmento y verás cómo va cambiando la mediatriz. 90 Dibuja las mediatrices de un triángulo de lados a = 8 cm, b = 7 cm y c = 5 cm a) Dibuja un ángulo usando dos semirrectas. b) Elige isectriz, haz clic sucesivamente SOLUIÓN: a) Toma el dibujo del ejercicio 87 y guárdalo con el nombre Mediatrices b) Oculta la medida de los lados. c) orra los ángulos. en, y en c) Elige Punto y dibuja el punto D sobre la bisectriz. d) En el menú ontextual de la recta bisectriz, desactiva Mostrar el objeto. e) Dibuja la semirrecta D f) on Elige y mueve coloca bien las letras,, y D Geometría dinámica: interactividad a) rrastra uno de los puntos,, o 11. Triángulos 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28

18 omprueba lo que sabes con GeoGebra 1 Ejercicio (calificación: 10 puntos) Dibuja un triángulo de lados a = 13 cm, b = 11 cm y c = 8 cm y calcula la amplitud de sus ángulos. Redondea el resultado a dos decimales. Solución 1: mplitud del ángulo menor: 37,79 Geometría dinámica: interactividad Introduce en la arra de entrada los siguientes valores: a = 9 cm, b = 8 cm y c = 7 cm Solución 2: mplitud del ángulo menor: 48,19 ORGNIZ TUS IDES TRIÁNGULO es un se tiene si es polígono clasifica rectas notables rectángulo de 3 lados y en equilátero isósceles escaleno y medianas alturas mediatrices bisectrices puntos notables se verifica el teorema de Pitágoras 3 ángulos acutángulo rectángulo obtusángulo baricentro ortocentro circuncentro incentro 218 LOQUE II: Geometría 11_matematicas1eso_2014.indd /01/15 10:28