Parte 1: Nociones elementales Parte 2: Isometrías Parte 3: Homotecias Parte 4: Sistemas de coordenadas Parte 5: Cónicas

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1 Parte 1: Nociones elementales Parte 2: Isometrías Parte 3: Homotecias Parte 4: Sistemas de coordenadas Parte 5: Cónicas Material preparado por: Prof. Ana María Tosetti Revisado y complementado por: Ing. Freddy Rabín Catedrático de Matemática Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 1 de 55

2 Parte 1: Nociones elementales Repasaremos lo principales elementos de la geometría del plano, no se realizará un desarrollo en detalle. Trabajaremos con las nociones intuitivas de punto recta plano y espacio. Se darán algunas definiciones de las figuras más conocidas y de sus propiedades, esta información será muy útil para el desarrollo del resto del curso sobre todo en la parte de geometría analítica Posiciones relativas de dos rectas en el plano Decimos que dos rectas son coplanares cuando existe un plano que las incluye. Dos rectas coplanares son secantes cuando tienen un solo punto en común Dos rectas coplanares son paralelas cuando no son secantes. Por lo tanto dos rectas coplanares son paralelas cuando son coincidentes o no tienen puntos comunes (decimos en este caso que las rectas tienen la misma dirección). SECANTES PARALELAS DISJUNTAS PARALELAS COINCIDENTES A O sea que dos rectas coplanares pueden cumplir: s y r son rectas paralelas si y solo si s y r son rectas secantes si y solo si Rectas que se cruzan Cuando consideramos rectas en el espacio estas pueden ser coplanares o no coplanares a estas últimas también se las denomina alabeadas o rectas que se cruzan. Decimos que dos rectas se cruzan cuando no existe ningún plano que las contenga. En este caso la intersección de las rectas es el conjunto vacio pero a diferencia de las paralelas estas son no coplanares. Por ejemplo las rectas r y r de la figura se cruzan Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 2 de 55

3 Así como también las rectas a y b de esta representación: a b Triángulo Es un polígono de tres lados, determinado por tres puntos no alineados llamados vértices. Propiedades: 1) La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es un ángulo llano ( 180º = radianes) 2) Cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos ( Desigualdad triangular) Clasificación de triángulos La clasificación de triángulos se hace atendiendo a dos criterios: a. Atendiendo a sus lados: Escalenos (los tres lados distintos, también tienen sus tres ángulos distintos)) Isósceles (dos lados iguales, también tienen dos ángulos iguales) Equilátero (los tres lados iguales, también tienen sus tres ángulos iguales ) Escaleno Isósceles Equilátero Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 3 de 55

4 b. Atendiendo a sus ángulos: Rectángulos (si tiene un ángulo recto) Acutángulos (si los tres ángulos son agudos) Obtusángulos (si tiene un ángulo obtuso) Rectángulo Acutángulo Obtusángulo Puntos y rectas notables de un triángulo Mediatrices y circuncentro de un triángulo Llamamos mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Propiedad: Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento y recíprocamente si un punto equidista de los extremos de un segmento pertenece a su mediatriz. Llamamos mediatrices de un triangulo a las mediatrices de sus lados. Las mediatrices de los lados de un triangulo cualquiera, se cortan en un punto C, llamado circuncentro, A El circuncentro está a igual distancia de los tres vértices. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices e incentro de un triángulo Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta interior al ángulo con origen en el vértice del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 4 de 55

5 Propiedad: Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Llamamos bisectrices de un triangulo a las bisectrices de sus ángulos Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto I que está a igual distancia de los tres lados. Este punto se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Alturas y ortocentro de un triángulo Se llaman alturas de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares a un lado por el vértice opuesto. Las tres rectas que contienen las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro. Medianas y baricentro de un triángulo Se llaman medianas a los segmentos que tienen por extremos el punto medio de un lado y el vértice opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado baricentro. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 5 de 55

6 Recta de Euler En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están alineados. La recta a la que pertenecen se llama recta de Euler. Para visualizar mejor esta propiedad es recomendable consultar el siguiente link: Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y, y la medida de la hipotenusa es, se cumple que: Cuadriláteros Llamamos cuadrilátero a un polígono de cuatro lados Clasificación CUADRILÁTEROS CONVEXOS Dos pares de lados paralelos Dos lados paralelos y los otros dos no paralelos Ningún lado paralelo Paralelogramos Trapecios Trapezoides o simplemente cuadriláteros. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 6 de 55

7 1.-PARALELOGRAMO P A R A L E L O G R A M O S RECTÁNGULO CUADRADO ROMBO Lados paralelos dos a dos Los ángulos opuestos son iguales Paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales. Esto es cuatro ángulos rectos. Tiene lados iguales y ángulos iguales. Tiene cuatro ángulos rectos, y por tanto es un rectángulo. Tiene cuatro lados iguales y en consecuencia es un rombo. Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales. 2.-TRAPECIO Dos de sus lados, (normalmente llamados bases) son paralelos. T R A P E C I O S TRAPECIO RECTÁNGULO TRAPECIO ISÓSCELES TRAPECIO ESCALENO Un lado perpendicular a las bases. O bien Tiene dos ángulos rectos. Los lados no paralelos son de igual longitud. Trapecio no rectángulo ni isósceles. A continuación se presentan las fórmulas para calcular el área de las figuras más conocidas. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 7 de 55

8 Para terminar con esta parte del repaso trataremos los conceptos básicos de trigonometría. Razones trigonométricas Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 8 de 55

9 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en A; definiremos las razones seno, coseno y tangente, del ángulo C El seno de C es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa, El coseno de C es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa, La tangente de C es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente Teorema del seno El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 9 de 55

10 Teorema del coseno El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos, en el se relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados: Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 10 de 55

11 Parte 2: Isometrías Denominamos isometría en el plano a una transformación geométrica que conserva las distancias Simetría Axial Una simetría axial de eje e es una transformación, en la cual a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje es la mediatriz del segmento P P. Por ejemplo el correspondiente del triangulo ABC en la simetria axial de eje e es el triangulo A B C Propiedades 1) El eje de simetría es una recta doble y unida. Doble significa que se corresponde con ella misma en la isometría y unida que todos sus puntos son fijos. 2) Las rectas perpendiculares al eje son dobles pero no unidas. 3) El eje contiene a la bisectriz del ángulo determinado por dos semirrectas correspondientes con origen en el eje. 4) Si una recta es paralela al eje de simetría, su transformada también lo es y el eje es paralela media. Les recomiendo consultar el siguiente link: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 11 de 55

12 Simetría central Una simetría central de centro el punto O, es una transformación del plano en él que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'. Propiedades: 1) El único punto unido es el centro. 2) Las rectas por el centro son doble 3) Las rectas correspondientes que no pasan por el centro son paralelas. Les recomiendo consultar el siguiente link: Traslación Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 12 de 55

13 La traslación es una transformación en la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' de forma que. Siendo el vector que define la traslación. La traslación se designa por Tv r, luego r. T v ( A) = A Propiedades 1) No hay puntos unidos (también llamados fijos) si no es el vector nulo (en el caso que lo sea todos los puntos son unidos). 2) Una recta y su correspondiente son paralelas. 3) Las rectas dobles son las de dirección paralela al vector de la traslación. 4) Si el vector de la traslación es el vector nulo esta es la identidad, o sea que cada punto se corresponde con sí mismo. Les recomiendo consultar el siguiente link: Rotación Dados un punto O y un ángulo α, se llama rotación de centro O y ángulo α a una transformación que hace corresponder a cada punto P otro P' de modo que: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 13 de 55

14 El sentido de giro positivo de es el contrario al movimiento de las agujas (antihorario) del reloj. Muchas veces se indica el ángulo en valor absoluto y se indica el sentido diciendo si es antihorario u horario. Propiedades 1) El centro de una rotación pertenece a la mediatriz del segmento determinado por un punto cualquiera y su correspondiente. 2) El ángulo determinado por dos rectas correspondientes es igual al ángulo de rotación. 3) El centro de rotación pertenece a la bisectriz del ángulo formado por dos rectas correspondientes 4) El único punto unido es el centro cuando el ángulo de rotación no es 0. 5) Si el ángulo de rotación es 0 la rotación es la identidad. Les recomiendo consultar el siguiente link: Veamos ahora algunos ejemplos de composición Llamamos composición de isometrías a la aplicación sucesiva de dos o más isometrías. Composición de simetrías axiales de ejes paralelos La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 14 de 55

15 Longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes. La dirección del vector es perpendicular a los ejes. El sentido es el de e a e'. Composición de simetrías axiales de ejes perpendiculares La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 15 de 55

16 Composición de simetrías centrales con el mismo centro Si aplicamos sucesivamente una simetría de centro o con una simetría de centro o, cada punto del plano se corresponde con el mismo, o sea que la composición de simetrías axiales de igual centro es la identidad, en este caso decimos que la isometría es involutiva. Composición de traslaciones Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores u r y v r, se obtiene otra traslación cuyo vector es la suma de los vectores u r y v r. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 16 de 55

17 Composición de Rotaciones con el mismo centro Al aplicar sucesivamente dos Rotaciones de igual centro O y amplitudes α y β en el mismo sentido se obtiene una rotación de igual centro O y amplitud igual a la suma de las amplitudes α+β y en el mismo sentido de las anteriores. Criterios de congruencia de triángulos Decimos que dos figuras son congruentes cuando se corresponden en una isometría, si se trata de triángulos esto significa que tienen, ángulos y lados iguales, existen criterios que nos permiten decir cuando dos triángulos son congruentes, recordemos a continuación cuales son. 1. Criterio (L, L, L) Dos triángulos son congruentes si sus lados respectivamente congruentes: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 17 de 55

18 2. Criterio (L, A, L) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos congruentes. 3. Criterio (A, L, A) Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los dos ángulos adyacentes congruentes. 4. Criterio (L, L, A>) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de estos lados congruentes. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 18 de 55

19 Parte 3: Homotecias Una homotecia de centro O y razón k ( k es un real positivo) es una transformación del plano en la cual a un punto cualquiera P, le corresponde otro punto P' de la semirrecta O P, de manera que. Veamos algunos ejemplos: Si k es un real negativo en al homotecia de centro O y razon k a un punto cualquiera P, le corresponde otro punto P' de la semirrecta opuesta a la O P, de manera que. Veamos algún ejemplo: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 19 de 55

20 Les recomiendo que consulten este link: e1.htm Propiedades Las rectas correspondientes en una homotecia son paralelas Las rectas que pasan por el centro de homotecia son dobles Si la razón de homotecia es 1 la homotecia es la identidad Si la razón de homotecia es -1 la homotecia es una simetría central cuyo centro es el de homotecia Relación entre las áreas de figuras homotéticas Los triángulos de la figura son homotéticos de razón k, se tiene que: La razón entre áreas es el cuadrado de la razón de homotecia. La propiedad anterior se mantiene para cualquier figura. Semejanza La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 20 de 55

21 Les recomiendo consultar este link: metria/homoteciasysemejanzas/semejanza.gif Figuras semejantes Decimos que dos figuras son semejantes cuando se corresponden en una semejanza. Criterios de semejanza de triángulos 1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. 2) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 21 de 55

22 3) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual. Teorema de Thales Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Les recomiendo consultar este link: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 22 de 55

23 Ejercicios (1ª Parte) para esta segunda parte Ejercicio 1 Indicar si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas (justificar). 1. Un triangulo isósceles es equilátero 2. Un triángulo rectángulo es obtusángulo 3. Dos rectas que se cruzan tienen al menos un punto en común 4. Un cuadrado es un rombo 5. En un paralelogramo los ángulos opuestos suman 180º 6. Dos restas paralelas no tienen puntos comunes Ejercicio 2 Elegir la opción correcta (justificar). 1. En una simetría central: a) No hay puntos unidos. b) Las rectas que pasan por el centro de simetría son dobles. c) Las rectas correspondientes son perpendiculares. d) Los segmentos correspondientes son proporcionales en razón 1/ En una traslación: a) Las rectas perpendiculares a la dirección del vector de traslación son dobles. b) Las rectas correspondientes son paralelas a la dirección del vector de traslación. c) El vector de traslación está incluido en la mediatriz del segmento determinado por un par de puntos correspondientes. d) No hay puntos unidos. 3. En una simetría axial: a) Las rectas paralelas al eje son dobles. b) Las rectas perpendiculares al eje son dobles. c) No hay puntos unidos. d) Las rectas correspondientes son perpendiculares. 4. En una homotecia: a) No hay puntos unidos. b) Las rectas correspondientes son perpendiculares. c) Las rectas correspondientes son paralelas. d) Los triángulos correspondientes tienen igual área. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 23 de 55

24 Parte 4: Sistemas de coordenadas Un sistema de de coordenadas ortogonal está formado por dos rectas perpendiculares entre sí, que llamamos ejes, que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo denominamos eje de abscisas y al vertical eje de ordenadas. Se establece una unidad de medida (que puede ser la misma o diferente para los dos ejes) y un sentido positivo y otro negativo en los dos ejes. Un punto del plano queda determinado por un par de números reales, ésta es una relación biunívoca. El par (x,y) son las coordenadas del punto A, x es su abscisa e y es su ordenada. Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas. Por información sobre descartes ver También puede establecerse un sistema de coordenadas en el espacio como lo muestra la siguiente figura. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 24 de 55

25 Cambio de sistema de coordenadas cartesianas Primer caso (traslación del sistema de coordenadas): Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y. Sean (x 0,y 0 ) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X, Y respecto al nuevo sistema de coordenadas X', Y'. Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas coordenadas (x',y') son: x' = x 0 + x y' = y 0 + y Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 25 de 55

26 Segundo caso (rotación de los ejes): Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X, Y. Sea a el ángulo que se giran los ejes. x' = x cosa y sena y' = x sena + y cosa Distancia entre dos puntos La distancia entre los puntos A (a, b) y B (c,d) es: lo que se deduce de aplicar el teorema de Pitágoras Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 26 de 55

27 Coordenadas polares En un sistema de coordenadas polares para ubicar un punto se utiliza la medida del segmento que este punto determina con el origen y el ángulo que este segmento determina con el semieje positivo de abscisas. Cambio de coordenadas cartesianas a polares Si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto, las coordenadas polares de ese punto serán r α donde: 2 2 r = x + y y α queda determinado por el par de ecuaciones x x y y cos( α ) = = y sen( α ) = =. r x + y r x + y Cambio de coordenadas polares a cartesianas Si son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán: x = r cos y = r sen. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 27 de 55

28 Ecuación de la recta La recta (r) corresponde a la ecuación m se denomina pendiente de la recta y es igual a la tangente del ángulo que determina la recta con el semieje positivo de abscisas, n se llama ordenada en el origen y es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas. Si la recta pasa por los puntos A ( y B, m y n se obtienen mediante las siguientes expresiones: La recta que corresponde a la ecuación x = x v se la denomina recta vertical. La recta que corresponde a la ecuación y = y h se la denomina recta horizontal. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 28 de 55

29 Otra forma de determinar la ecuación de una recta Si conocemos la pendiente m y un punto A (x 0,y 0 ) por el que pasa la recta podemos escribir la ecuación de la recta del modo siguiente: y y 0 = m ( x x0 ) Posiciones relativas de dos rectas en el plano Secantes Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto en común. El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas tiene una sola solución. Paralelas no coincidentes Dos rectas son paralelas no coincidentes si no tienen ningún punto en común. El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas tiene solución vacía. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 29 de 55

30 Condición de paralelismo Si dos rectas son paralelas tienen las mismas pendientes. Sean las rectas (r): y= m x +n y (r ): y = m x +n, r r`. Coincidentes Dos rectas son coincidentes si tienen todos los puntos son comunes (si, en definitiva, son la misma recta). El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas tiene infinitas soluciones. Condición de coincidencia Sean las rectas (r): y= m x +n y (r ): y = m x +n, r r` n= n. Rectas perpendiculares Dada una recta: Se trata de determinar qué rectas: son perpendiculares a la primera. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 30 de 55

31 Sabiendo que: Siendo α el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con dicho semieje. Como sabemos que: y si la pendiente de la primera recta es: la de la segunda debe de ser: Esto es, dada una recta cualquiera: Cualquier recta de la forma: es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b. Semiplano Una recta divide al plano en dos regiones, a la unión de cada una de esta regiones con la recta se la denomina semiplano. A la recta se la llama borde del semiplano. Si la ecuación de la recta es: ax + by = c, las regiones en que ésta divide al plano están dadas por las soluciones de las inecuaciones: Ejemplo Sea la recta de ecuación : 3x 2y = 5 ax + by < c ; ax + by > c Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 31 de 55

32 Las regiones que define (los semiplanos que define) son: Ejemplo El conjunto solución del sistema está representado por el grafico siguiente: Ejemplo El conjunto solución del sistema está representado en el grafico siguiente: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 32 de 55

33 Distancia de un punto a una recta Sean el punto A ( y una recta (r): y = ax +b, la distancia entre A y (r) es: d( A, r ) = Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 33 de 55

34 Ángulo entre dos rectas Si m 1 =tan y m 2 =tan, entonces el ángulo entre las rectas y cumple: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 34 de 55

35 Parte 5: Cónicas Cónicas Cuando un plano corta a una superficie cónica obtenemos una curva que llamamos cónica. Dependiendo de la posición del plano respecto al cono obtenemos una curva u otra: Si el plano es perpendicular al eje es una circunferencia Si el plano es oblicuo al eje y corta a todas las generatrices es una elipse. Si el plano es paralelo al eje es una hipérbola Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 35 de 55

36 Si el plano es oblicuo al eje y corta sólo a una generatriz es una parábola. Si el plano pasa por el vértice, decimos que la cónica es degenerada y puede ser un punto, una recta (también llamada recta doble) o un par de rectas concurrentes. Les recomiendo consultar este link: Circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de cada punto al centro se llama radio de la circunferencia. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 36 de 55

37 , y elevando al cuadrado obtenemos la ecuación: Si desarrollamos: y realizamos estos cambios: obtenemos otra forma de escribir la ecuación: Donde el centro es: y el radio cumple la relación: Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que: dando lugar a la existencia del radio. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 37 de 55

38 Observación Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a: Posiciones relativas de una circunferencia y una recta Para hallar los puntos comunes a una circunferencia y a una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas. Se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante,, las siguientes soluciones: 1) Si > 0, dos soluciones: la recta y la circunferencia son secantes. 2) Si = 0, una solución: la recta y la circunferencia son tangente. 3) Si < 0, solución vacía: la recta y la circunferencia son exteriores. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 38 de 55

39 Tangentes a una circunferencia en un punto de la circunferencia Sea la siguiente la ecuación de la circunferencia: No es difícil demostrar que realizando las sustituciones siguientes se obtiene la ecuación de la tangente e la circunferencia en T (, donde T es un punto de la circunferencia. cambia por, cambia por x cambia por, y cambia por Ejemplo Dada la circunferencia de ecuación para encontrar la ecuación de la recta tangente a dicha circunferencia en T (1,4) primero verificamos que P es un punto de la circunferencia (simplemente verificando que las coordenadas de T verifican la ecuación de la circunferencia), luego realizamos los cambios indicados obteniendo: Operando se llega a que la ecuación de la tangente en T es y = 4. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 39 de 55

40 Tangentes a una circunferencia en un punto exterior a la circunferencia Para hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en un punto P exterior, realizamos los cambios indicado en la parte anterior y obtenemos la denominada recta polar, o sea la recta que une los puntos de tangencia T(1) y T(2) cortando la circunferencia con esta recta encontramos dichos puntos y luego hallamos las rectas por T(1) y P y por T(2) y P. Elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Pueden destacarse los siguientes elementos en una elipse: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 40 de 55

41 Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores: Son los segmentos que tienen por extremos un punto cualquiera de la elipse y cada uno de los focos: PF y PF'. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es la semidistancia focal. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor: Es el segmento mayor. Eje menor: Es el segmento menor. de longitud 2a, a es la medida del semieje de longitud 2b, b es la medida del semieje Ecuación de la elipse (1 er caso) Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c, 0) y F(c, 0). b c Cualquier punto de la elipse cumple: Esta expresión da lugar a: Realizando las operaciones llegamos a: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 41 de 55

42 Ecuación de la elipse (2º caso) Si el centro de la elipse C(x 0,y 0 ) y el eje principal es paralelo a Ox, los focos tienen de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F'(X 0 -c, y 0 ). Y la ecuación de la elipse será: Operando se obtiene una ecuación de la forma: Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 42 de 55

43 Pueden destacarse los siguientes elementos en una hipérbola: Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. Radios vectores: Son los segmentos que tienen por extremos un punto cualquiera de la hipérbola y cada uno de los focos: PF y PF' Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b. Asíntotas: Para la hipérbola de la figura, son las rectas de ecuaciones: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 43 de 55

44 Relación entre las medidas de los semiejes: c = a + b Ecuación de la hipérbola (1 er caso) Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas y los focos son: F'(-c,0) y F(c,0), cualquier punto de la hipérbola cumple: Esta expresión da lugar a: Realizando las operaciones llegamos a: Ecuación de la hipérbola (2º caso) Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 44 de 55

45 Si el centro de la hipérbola es C(x 0,y 0 ) y el eje principal es paralelo a Ox, los focos tienen de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F'(X 0 -c, y 0 ), entonces la ecuación de la hipérbola será: Operando obtenemos una ecuación de la forma: Hipérbola equilátera Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su ecuación es (ejes en los ejes de coordenadas): Las asíntotas tienen por ecuación (ejes en los ejes de coordenadas): es decir, las bisectrices de los cuadrantes., Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 45 de 55

46 Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas Para pasar de los ejes Ox, Oy a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de -45 alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como: Ejemplo La ecuación representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y sus focos. Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es decir, x = y. Y como además el punto A pertenece a la curva, tendremos: El semieje a es la distancia del origen al vértice A: Calculemos los focos: Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 46 de 55

47 Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Pueden destacarse los siguientes elementos en una parábola: Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija D. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje. Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 47 de 55

48 Ecuación de la parábola (1 er caso) Aplicando la definición obtenemos la siguiente ecuación: Ecuación de la parábola (2º caso) Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 48 de 55

49 Aplicando la definición obtenemos la siguiente ecuación: Observación 2 2 Una ecuación de la forma a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0 es la ecuación de una cónica. Mediante cambios adecuados de coordenadas puede trasformase esta ecuación en una ecuación reducida del tipo de las que ya vimos. Puede suceder también, como caso particular, que se trate de una cónica degenerada. Puede averiguarse de que género (establecemos tres géneros: hiperbólico, elíptico o parabólico incluyendo los casos degenerados en éstos) es la cónica aplicando la siguiente regla: 2 Si = b 4ac > 0, entonces la cónica es de género hiperbólico. 2 Si = b 4ac < 0, entonces la cónica es de género elíptico. 2 Si = b 4ac = 0, entonces la cónica es de género parabólico. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 49 de 55

50 Ejercicios (2ª Parte) para esta segunda parte Ejercicio 1 En cada caso se pide hallar la ecuación de la recta que: a) Pase por los puntos A = (2,1) y B = (3,2). b) Pase por el punto A (2,0) y sea paralela a la recta de ecuación 4 x 2y = 6. c) Pase por el punto A (2,0) y sea perpendicular a la recta de ecuación y - x +2 = 0 Ejercicio 2 Dado el segmento de extremos en los puntos A = (2,0) y B = (4,2), hallar la ecuación de la mediatriz de dicho segmento. Realizar el ejercicio de dos formas diferentes: hallando la ecuación de la recta perpendicular por el punto medio del segmento e imponiendo a un punto genérico que esté a igual distancia de los extremos del segmento. Ejercicio 3 a) Dadas las rectas: (r): y - x 1 = 0 y (s): y + x -1=0, hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos determinados por dichas rectas. Verificar que son rectas perpendiculares entre sí. Representar geométricamente. b) Repetir la parte a) (hallar las bisectrices y representar gráficamente) considerando las rectas: ( r ) y = x y ( s) y = 1. Ejercicio 4 Dado el triángulo de vértices A = (2,2), B = (1,0) y C = (3,0), hallar las coordenadas de su ortocentro (corte de sus alturas) y su baricentro (corte de sus medianas). Determinar el circuncentro (centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices) del triángulo y verificar la alineación de los tres puntos en la recta de Euler (estos tres puntos notables de cualquier triángulo están alineados). Ejercicio 5 Estudiar las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas. Corroborar con la representación gráfica. a) ( r ): y - 2x = 0 y ( s ) : y = x + 2 b) ( r ): 2x - y -1 = 0 y (s ) 6x +3y = 2 Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 50 de 55

51 Ejercicio 6 Estudiar las posiciones relativas de las siguientes rectas, discutiendo en función de los parámetros reales a y b: ( r ): a y - x = a - 1 y ( s ): y + x = b + 1 Ejercicio 7 a) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A = (2,-1) y de radio 3. b) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A = (3,4) y que pasa por el origen. c) Hallar la ecuación de la circunferencia que tenga por uno de sus diámetros el segmento determinado por los puntos A = (0,2) y B = (-4,6). Ejercicio 8 Hallar las ecuaciones de las circunferencias que sean tangentes a ambos ejes coordenados y que pasen por el punto A = (1,2). Realizar el mismo ejercicio pero pidiéndole que pase por el punto B = (0,1). Siempre habrá dos soluciones al problema planteado?, es decir hallar la ecuación de una circunferencia tangente a ambos ejes y que pase por un punto determinado, en caso que corresponda discutir en función del punto la cantidad de soluciones. Ejercicio 9 Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro pertenezca a la recta de ecuación y=2x+1 y sea tangente a la recta y -1 = 0, en el punto A = (1,1). Resolver el problema de dos formas diferentes: completamente analítica y geométricamente para hallar el centro y radio. Ejercicio 10 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A (1,1), B (1,-1), C (2,0). Resolver el problema de dos formas diferentes: completamente analítica y geométricamente para hallar el centro y radio. Ejercicio 11 Representar gráficamente el conjunto de los puntos ( x, y ) tales que: 2 2 a) ( x 1) + ( y + 2) = b) x + y 2x + 6y = c) x + y 2x + 4y + 5 = d) x + y 2x + 4y + 4 a = 0, discutir en función de a R Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 51 de 55

52 Ejercicio 12 Determinar en los siguientes casos la posición relativa entre la recta y la circunferencia dadas, hallando en los casos que corresponda el o los puntos de corte. Representar gráficamente cada caso. 2 2 a) ( r ): y = x + 2 ( C ): x + y 2x = b) ( r ): x + y = 2 ( C ): x + y 2 = c) ( r ): x + y + 1 = 0 ( C ): x + y 2x 2y = 0 Ejercicio 13 Discutir en función del parámetro real a, la posición relativa de la recta y la circunferencia dadas: ( r ) : y + x = 1+a ( C ) : x + y =. 2 Representar. Ejercicio Dada la circunferencia ( C ) : x + y 3 = 0 y el punto P = ( 2, yp ) Determinar y P 0, tal que P (C). Hallar la ecuación de la recta tangente a (C ) por el punto P. Use o verifique la condición de perpendicularidad entre rectas. Ejercicio Se consideran la circunferencia ( C ) : x + y 2x = 0 y el punto P = (2,1). Representar gráficamente el interior y el exterior de ( C ) y escribir la inecuación que los representa. Verificar que P es exterior a ( C ). Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia desde el punto P. Realizarlo de dos formas diferentes: imponiendo que una recta por el punto corte a la circunferencia en un solo punto e imponiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la recta sea igual al radio. Ejercicio Hallar los puntos de corte de las circunferencias: ( C ) : x + y 2x 0 y 2 2 ( C 2 ) : x + y 2y = 0. Representar gráficamente. 1 = Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 52 de 55

53 Ejercicio 17 Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones: 2 2 x + y x + y 2x 0 x + y 2x 2y x 0 x + y 2y 0 y x 0 y 1 Ejercicio 18 Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos A = (-1,2) y B = (-1,6) es 16. Reconocer y representar dicho lugar. Ejercicio 19 Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen: a) De directriz x = -3, de foco (3, 0). b) De directriz y = 4, de vértice (0, 0). c) De foco (2, 0), de vértice (0, 0). Ejercicio 20 Hallar las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de las directrices de las parábolas: a) b) Ejercicio 21 Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6). Ejercicio 22 Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x. y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (4, 2) y (-2, 2) sea igual a 8. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 53 de 55

54 Ejercicio 23 Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10. Ejercicio 24 Dada la ecuación reducida de la elipse x y = 1 4 9, hallar las coordenadas de los vértices y de los focos. Ejercicio 25 Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2). Ejercicio ( x 6) ( y + 4) Dada la elipse de ecuación + = 1, hallar su centro, vértices y focos. Ejercicio 27 Determinar las coordenadas de los focos y de los vértices de las siguientes hipérbolas. Ejercicio 28 a) x 2 2 y = b) y 2 2 x = = c) x y 4 d) 5 y 4 x = 45 Hallar la ecuación de una hipérbola de eje mayor 8 y distancia focal 10. Ejercicio 29 El eje mayor de una hipérbola mide 12 y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuación. 2 2 Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 54 de 55

55 BIBLIOGRAFÍA: Fernández Val, Walter, Geometría métrica, plano y espacio: 5ta. Ed. Kapeluz. Fernández Val, Walter, Geometría analítica y álgebra: 5ta. Ed. Kapeluz. Zambra, M., Rodríguez, M. y Belcredi, L., Geometría: Colección Mosaicos. Guido Castelnuovo, Lecciones de geometría analítica. Oteyza, E., Lam, E., Gómez, J., Ramírez, A. y Hernández, C., Geometría analítica: Prentice Hall. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 55 de 55