VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
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- Eva Aguirre Navarro
- hace 7 años
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1 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA 1
2 CONTENIDO 1. Distancia entre dos puntos. 2. Punto medio. 3. Valor Absoluto. 4. Ecuaciones e Inecuaciones con valor Absoluto 2
3 Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica Antes de dar la definición formal de Valor Absoluto vamos a analizar la siguiente situación. Oscar, Alberto y Betty se reúnen, en la casa de Oscar, para realizar un trabajo de la Universidad. La casa de Betty está ubicada a tres cuadras a la izquierda de la casa de Oscar. Casa de Betty Casa de Oscar Casa de Alberto 3 cuadras 5 cuadras La casa de Alberto, por el contrario está ubicada a 5 cuadras a la derecha de la casa de Oscar. 3
4 Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica Representemos la anterior situación en la siguiente recta numérica: B O A 3 cuadras 5 cuadras Donde: Punto B: ubicación casa de Betty Punto A: ubicación casa de Alberto Punto O: ubicación casa de Oscar 4
5 Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica Ahora el punto de reunión es donde Alberto. Cuántas cuadras deben recorrer Oscar y Betty? Casa de Alberto Distancia de la casa de Oscar a la Alberto Distancia de la casa de Betty a la de Alberto Betty: 8 cuadras. Oscar: 5 cuadras 5
6 Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica La distancia entre dos puntos es siempre positiva y se define como la longitud del segmento de recta que tiene como extremos dichos puntos. La distancia entre los puntos A y B, que denotamos d(a,b), es la misma que la distancia entre los puntos B y A, esto es: d(a,b) = d(b, A) A >B I I A < B I I d(a,b) d(b,a) 6
7 Concepto de punto medio entre dos puntos en la recta numérica El punto medio entre dos puntos en la recta numérica, es aquel que divide al segmento comprendido entre ellos en dos partes iguales. El punto medio, equidista (es decir, se encuentra a igual distancia) de los extremos del segmento de recta 7
8 Concepto de punto medio entre dos puntos en la recta numérica Ejemplo 1: Determinar el punto medio del segmento correspondiente a la distancia recorrida del punto -2 al punto 6 El punto medio es 2. Se recorren 8 unidades 8 8
9 VALOR ABSOLUTO Definición: d(x,0)= I x - 0 I = I x I 0< x I I d(0,x)= I 0 - x I = I x I = I x I >x I El valor absoluto de un número real x, denotado por x, se puede interpretar en la recta numérica como la distancia entre el origen y el punto cuya coordenada es x. I IMPORTANTE! Como es una distancia su valor es siempre positivo o cero. En otras palabras, x 0 9
10 VALOR ABSOLUTO Si el punto de referencia no es el origen, sino un punto x 1, la distancia desde este punto de referencia hasta otro cualquiera x 2 se representa como d(x1,x2)=lx1- x2l=lx2-x1l x > x 2 d(x1,x2)=lx1- x2l l l x 1 < x 2 d(x2,x1)=lx2- x1l l l x 1 < > x 2 l l d(x1,x2)=lx1- x2l=lx2-x1l 10
11 Ejemplo 2: d(2, 6) d( 7, 1) 1 ( 7) d( 7, 10) 7 ( 10)
12 Ejemplo 3: VALOR ABSOLUTO Determinar la distancia de -3 a unidades d(-3,15)=i-3-15i=i-18i=18 Distancia mayor que cero Ahora calculemos la distancia de 15 a -3 d(15,-3)=i15-(-3)i=i15+3i=i18i=18 12
13 Ejemplo 4: VALOR ABSOLUTO Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones: 2 5 La distancia de 2 a 5 La distancia de 8 a El doble de la distancia de 4 a 1 La distancia de un número real x a 5 x 5 3 x 1 El triple de la distancia de un número real x a -1 13
14 Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto. 14
15 Recordemos el principio de tricotomía: Para dos números reales a y b cualquiera, se cumple una y solo una de las siguientes situaciones: a es menor que b; a es igual a b a es mayor que b Por tanto: a I a = b I b I b I a I Para dos puntos x 1 y x 2 sobre la recta numérica sucederá una y solo una de las situaciones: 1.- Que x 2 esté a la derecha de x Que x 2 esté a la izquierda de x Que x 2 sea igual a x 1 15
16 Ejemplo 5: VALOR ABSOLUTO Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia de 3 unidades del origen unidades 3 unidades Observando sobre la recta tenemos que hay únicamente dos puntos que cumplen: el 3 y el -3. Por lo tanto, el conjunto solución es En términos de distancia Expresado como valor absoluto es: x - 0 = 3 x 3 d x,0 = 3-3, 3 con conjunto solución: 3, 3 16
17 Ejemplo 6: VALOR ABSOLUTO Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia menor de 3 unidades del origen. 3 Unidades 3 Unidades Observando sobre la recta tenemos que todos los puntos entre el -3 y el 3 cumplen Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo 3, 3 En términos de distancia d x, 0 3 Expresado como valor absoluto es: x 0 3 x 3 con conjunto solución: 3, 3 17
18 Ejemplo 7: VALOR ABSOLUTO Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia mayor de 3 unidades del origen. Observando sobre la recta se tiene que todos los puntos a la izquierda del -3 y a la derecha del 3 cumplen Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo En términos de distancia Expresado como valor absoluto es: x - 0 > 3 x 3 unidades 3 3 unidades d x,0 > 3 -,-3 3, con solución: -,-3 3, 18
19 Ejemplo 8: Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a -3 es de 7 unidades Solución: VALOR ABSOLUTO Observe que ya no es al origen Los valores que cumplen esta condición son: x 10 ó x 4 El conjunto solución es: 10, 4 Escrito lo anterior en términos de valor absoluto x ( 3) x
20 Ejemplo 9 INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO Encontrar el conjunto solución de x 5 7 Solución Gráficamente corresponde a: unidades 7 unidades Los puntos se encuentran en el intervalo 2, 12 20
21 Ejemplo 10 Encontrar el conjunto solución de: x 1 4 Solución Ecuaciones Lineales con valor absoluto Puesto que x 1 x ( 1) Punto de referencia (-1) El problema consiste en encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a 4 unidades de unidades 4 unidades Los valores que cumplen esta condición son x 5 y x 3 Por lo tanto el conjunto solución es: - 5, 3 21
22 Ecuaciones Lineales con valor absoluto Ejemplo 11: - 6 < 0 Encontrar el conjunto solución de x 4 6 Expresión verbal: Todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a - 4 es igual a 6 OJO!!!: distancia = 6? La distancia es una longitud, por lo no puede ser negativa tanto Conclusión: El conjunto solución de la expresión x 4 6 es 22
23 Ejemplo 12: VALOR ABSOLUTO Para el conjunto de puntos representados en la recta numérica Encontrar la expresión correspondiente, en términos de: Distancia: Los puntos cuya distancia a a 4 unidades 2 es menor o igual Valor absoluto: ( 2) 4 x x
24 VALOR ABSOLUTO Ejemplo 13: Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 6, 4 con -6 y a.)si x es igual a -1 x equidista tanto de -6 como de 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como: x ( 6) x 4 x 6 x 4 24
25 VALOR ABSOLUTO Ejemplo 13 (continuación) Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 6, 4 con -6 y b.) Si x está más cerca de -6 que de 4, se tiene: x ( 6) x 4 x 6 x 4 25
26 VALOR ABSOLUTO Ejemplo 13 (continuación) Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 6, 4 con -6 y c.) Si x está más lejos de -6 que de 4, se tiene: x ( 6) x 4 x 6 x 4 26
27 Ecuaciones lineales con valor absoluto Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de x 4 x 3 Solución: Esta expresión, se puede interpretar como los puntos x que equidistan tanto de 4 como de Solo hay un punto x que equidista tanto de 4 como de 3 y es el punto -0,5 = -½. Punto Medio entre -4 y 3-4 -½ 3 El conjunto solución será por lo tanto {-½} 27
28 Ejemplo 15: Solución: VALOR ABSOLUTO Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que estén a más de 4 unidades de 2. Los puntos que satisfacen son aquellos que están a la izquierda de -2 y a la derecha de 6 (sin incluirlos) El conjunto solución es:, 2 6, El enunciado del ejemplo en términos de valor absoluto corresponde a la inecuación: x
29 Ejemplo 16 Expresar en lenguaje corriente VALOR ABSOLUTO x 3 4 Los números reales cuya distancia a 3 es mayor a 4 unidades x 2 5 x x 3 4 Los números reales cuya distancia a 2 es menor ó igual a 5 unidades Los números reales cuya distancia a -1 es igual a 5 unidades Los números reales cuya doble distancia a 3 es mayor a 4 unidades x 2 x 3 Los números reales cuya distancia a 2 es mayor que su distancia a -3 29
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