I. Valoración de Activos Financieros

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1 I. Valoración de Activos Financieros February 10, 2016 I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

2 1 Introducción 2 Rendimiento y riesgo 3 Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento 4 Referencias I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

3 Introducción cómo se determina el precio o rendimiento de activos con distintas características? por qué si el rendimiento de los activos de Bolsa (US, 6% stocks) -activos con riesgo- es mayor que el rendimiento de los bonos (US, 1% bonds) -activos sin riesgo-, la gente compra bonos? qué factores determinan el tipo de interés que ofrece un activo financiero en función de su vencimiento? Curva de rendimiento estudiaremos un modelo en que los hogares deciden sobre consumo y ahorro y sobre el portafolio de activos a mantener: la ecuación básica para determinar el precio de un activo surge de las condiciones de primer orden del problema de optimización del hogar CUESTIONES PRÁCTICAS: están los activos financieros sobrevalorados/infravalorados en los mercados? I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

4 Introducción A la luz de la teoría podemos adoptar dos posibles enfoques contrastar la teoría y concluir si explica los datos o si necesita ser mejorada asumir que la teoría es correcta y concluir sobre si los activos están correctamente valorados en los mercados: identificar potenciales oportunidades para el inversor La idea central de la teoría de valoración de activos el objetivo es valorar un flujo incierto de ingresos/pagos futuros el precio de un activo depende del valor esperado descontado de los pagos asociados a ese activo además, las fuentes de riesgo macroeconómico afectan a los precios del activo También podemos aprender sobre actitud de individuos frente al riesgo I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

5 La economía Rendimiento y riesgo economía sin producción cada hogar/individuo/familia vive 2 períodos y obtiene una renta exógena en cada período los hogares derivan utilidad del consumo en cada período y son impacientes economía con incertidumbre agregada: z es una variable aleatoria que determina el valor de la renta exógena y, tal vez, el rendimiento de un activo consideraremos 2 tipos de activos financieros uno CON RIESGO (acción) con precio pt y cuyo pago futuro es x t+1(z) uno SIN RIESGO (bono) cuyo precio normalizamos a 1 y con rendimiento (bruto) fijo Rt+1 b podríamos estudiar cualquier otro tipo de activo financiero! I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

6 El problema del hogar El problema de optimización de un hogar en esta economía max u(c t) + βe t u(c t+1 (z)) {a t,b t,c t,c t+1(z)} sujeto a las restricciones presupuestarias c t + p t a t + b t = y t c t+1 (z) = a t x t+1 (z) + b t R b t+1 + y t+1 (z) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

7 La solución La resolución del problema de optimización del hogar da lugar a una serie de expresiones cuya interpretación resulta muy interesante u (c t ) = βr b t+1e t u (c t+1 (z)) (1) que podemos escribir como p t u (c t ) = βe t u (c t+1 (z))x t+1 (z) (2) 1 = βr b t+1e t u (c t+1 (z)) u (c t ) p t = βe t u (c t+1 (z))x t+1 (z) u (c t ) (3) (4) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

8 La solución: el rendimiento del activo sin riesgo De la ecuación (3) tenemos 1 R b t+1 = βe t u (c t+1 (z)) u (c t ) En ausencia de incertidumbre y bajo el supuesto de una función de utilidad CES (5) Comentarios: Rt+1 b = 1 β (c t+1 ) σ c t 1 El tipo de interés es mayor cuando los individuos son impacientes (menor β) 2 El tipo de interés es mayor cuanto mayor es el crecimiento del consumo 3 Además, el tipo de interés es más sensible al crecimiento del consumo cuanto mayor sea σ (esto significa que la elasticidad de sustitución intertemporal es menor: los individuos están más deseosos de tener un perfil de consumo equilibrado) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

9 La solución: el precio del activo con riesgo De la ecuación (4) y utilizando Exy = ExEy + cov(x, y) p t = E t m t+1 (z)e t x t+1 (z) + cov(m t+1 (z), x t+1 (z)) (6) Donde m t+1 = βu (c t+1(z)) u (c t) 1 = E Rt+1 b t m t+1 (z) (factor de descuento estocástico), por lo que A partir de ahora Rt+1 a xt+1(z) (z) = p t I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

10 La solución: el precio del activo con riesgo De las ecuaciones (5) y (6) obtenemos p t = E tx t+1 (z) R b t+1 + cov(m t+1, x t+1 ) (7) Comentarios: 1 el precio del activo se puede expresar como la suma de dos términos un término que mide el valor presente descontado de los pagos futuros un término que corrige por el riesgo 2 el segundo término NO está presente si el consumo es constante o el individuo tiene una función de utilidad lineal (neutral al riesgo) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

11 La solución: el precio del activo con riesgo 3 el precio de un activo es menor si su pago tiene covarianza positiva con la evolución del consumo (recuerda que cov(m t+1, x t+1 ) = cov(u (c t+1(z)),x t+1) u (c t) y que la utilidad marginal del consumo es decreciente). En este caso el activo hace que el consumo del individuo sea más volatil y resulta poco atractivo para los individuos aversos al riesgo 4 ocurre al contrario si la covarianza es negativa: en este caso el activo actua como seguro!, es decir, ofrece pagos altos cuando el individuo está recibiendo rentas bajas y pagos bajos cuando el individuo está recibiendo rentas altas. Por ello, el activo es más atractivo para los individuos aversos al riesgo y estás dispuestos a pagar por ese activo un precio mayor 5 por tanto, lo relevante para determinar el precio de un activo es la covarianza entre el pago y el factor de descuento y NO la varianza del pago. La razón es que al consumidor lo que le preocupa es la VOLATILIDAD DE SU CONSUMO, no la de un activo en particular I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

12 La solución: el premio al riesgo Multiplicando (7) por R b t+1 y dividiendo p t tenemos otra expresión interesante E t R a t+1 R b t+1 = R b t+1cov(m t+1, R a t+1) (8) Comentarios: 1 La diferencia entre el rendimiento esperado de un activo con riesgo y el de un activo sin riesgo depende de la covarianza entre el consumo y el pago del activo con riesgo: si dicha covarianza es positiva el rendimiento del activo con riesgo debe ser mayor 2 Nótese que las preferencias afectan al factor de descuendo estocástico m t+1, en particular el grado de aversión al riesgo I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

13 Resumiendo Lo relevante para determinar el precio de un activo financiero NO es la varianza de su rendimiento, sino la covarianza entre el rendimiento de ese activo financiero y el consumo I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

14 Contrastación del modelo Es este modelo capaz de explicar el diferencial entre el rendimiento de los activos con y sin riesgo que se observa en los datos y que documentamos en la primera diapositiva? Es este modelo capaz de explicar la volatilidad de los precios de los activos financieros? Las predicciones de esta teoría no se ajustan a los datos, salvo para valores poco plausibles de la aversión al riesgo: equity premium puzzle (Mehra and Prescott (JMOE, 1985)) Por esta razón la literatura explora distintas extensiones del modelo, por ejemplo distintas funciones de utilidad (hábitos, preferencias Epstein-Zin) mediciones alternativas de los rendimientos de los activos a explicar (McGrattan and Prescott (AER 2003)): tratamiento fiscal la medición del equity premium en otros países (Dimson, Marsh and Stauhlon (2001) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

15 Otros comentarios: el modelo en equilibrio general Hasta aquí hemos estudiado cómo se determina el precio dada la distribución conjunta del consumo (utilidad marginal) y del pago del activo, pero podríamos tratar de determinar el consumo dados los precios de los activos y los pagos, qué es antes el huevo o la gallina? qué variable es exógena y qué variable es endógena? necesitaríamos cerrar la economía para determinar conjuntamente el consumo y los precios: necesitamos modelizar el lado de la producción. Por ejemplo, si tenemos una economía con dotaciones de consumo dadas no almacenables, los precios de los activos deben ajustarse para que los individuos estén satisfechos con los perfiles de consumo que les corresponden en cada periodo Sin embargo, no es necesario modelizarlo todo si sólo estamos interesados en estudiar los precios de los activos y conocemos el modelo estadístico del consumo I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

16 Otros comentarios: una expresión general para el precio de un activo Con el análisis en las diapositivas anteriores basado en un modelo de consumo obtenemos una expresión para el precio de un activo. De forma general se podría decir que el precio de un activo se obtiene como resultado de aplicar un factor de descuento m a unos pagos futuros x (bajo el supuesto de que no existen oportunidades de arbitraje) p t = Em t+1 x t+1 (9) En el modelo desarrollado con anterioridad obtuvimos una expresión concreta para factor de descuento m, pero otros modelos podría producir otras...de otra forma, el modelo desarrollado nos permite pasar de una expresión general como la (9) a una expresión particular como la (4) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

17 Otros comentarios: una expresión general para el precio de un activo Si en la expresión (9) dividimos por p t tenemos que 1 = E t m t+1 (z)r a t+1 (z) que podemos reescribir como 1 = E t m t+1 (z)e t R a t+1(z) + cov(m t+1 (z), R a t+1(z)) (10) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

18 Otros comentarios: Beta pricing model A partir de la expresión (10) es posible expresar el rendimiento esperado del activo con riesgo como (dividimos por E t m t+1 (z) y teniendo en cuenta que 1 para un activo sin riesgo tenemos que = E Rt+1 b t m t+1 (z)) ER a = R b + ( cov(m, Ra ) )( var(m) var(m) E(m) ) (11) que podemos escribir como ER a = R b + β a,m λ m (12) se conoce como beta pricing model (CAPM) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

19 Otros comentarios: Beta pricing model ER a = R b + β a,m λ m λ m es igual para cualquier activo financiero con risgo (precio del riesgo), pero β a,m varía de un activo a otro (cantidad de riesgo) contrastación con datos de sección cruzada el modelo Fama-French(1993) de tres factores: añade dos nuevos factores al model CAPM, market value and book-to-market I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

20 Otros comentarios: Frontera media-varianza Otra expresión interesante que podemos obtener a partir la ecuación (10) 1 = E t m t+1 R a t+1 = E t m t+1 E t R a t+1 + ρ mt+1,r a t+1 sd(m t+1)sd(r a t+1) (13) Dividiendo por E t m t+1 y recordando que E t m t+1 = 1 R b t+1 E t R a t+1 = R b t+1 ρ mt+1,r a t+1 sd(m t+1 ) E t m t+1 sd(r a t+1) (14) Por tanto E t R a t+1 R b t+1 sd(m t+1) E t m t+1 sd(r a t+1) (15) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

21 Otros comentarios: Ratio de Sharpe La expresión anterior puede también escribirse como E t R a t+1 Rb t+1 sd(r a t+1 ) sd(m t+1) E t m t+1 (16) Bajo determinados supuesto E t R a t+1 Rb t+1 sd(r a t+1 ) σsd( lnc) (17) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

22 Otros comentarios: ĺıneas de investigación Teorías sobre el factor estocástico de descuento basadas en comportamiento de inversores racionales: diversas extensiones de CCAPM behavioral finance: agentes no racionales y factores institucionales I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

23 Otros comentarios: burbujas 1 Burbujas Pensemos en un activo que paga un dividendo dt+1, el otro componente del pago (x t+1) de este activo es el precio de venta del activo p t+1. Bajo ciertos supuestos p t = d + pt+1 R = s=1 d R + p t+m s limm R = d m R 1 + p t+m limm R m El primer término de la expresión representa el valor fundamental del activo, el segundo término es la burbuja Por qué hay burbujas? animal spirits sunspots self-fulling prophecies I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

24 Otros comentarios: hipótesis de mercados eficientes 2 El precio del activo como un paseo aleatorio p t+1 = p t + ɛ t Donde ɛt es ruido blanco La mejor predicción del precio mañana es el precio hoy I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

25 La economía Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento economía sin producción cada hogar/individuo/familia vive 3 períodos y obtiene una renta exógena en cada período los hogares derivan utilidad del consumo en cada período economía con incertidumbre agregada, z es una variable aleatoria que determina el valor de la renta exógena en la economía hay dos tipos de activos financieros: bono a CORTO PLAZO (1 período, b1t) bono a LARGO PLAZO (2 períodos, b2t) el rendimiento en un bono tipo i (con i = 1, 2) en el período t lo denotamos por r it, el precio se normaliza a 1 I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

26 Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento El problema del hogar El problema de optimización: max u(c t) + βeu(c t+1 (z t+1 )) + β 2 Eu(c t+2 (z t+2 )) {b 1t,b 2t,c t,c t+1,c t+2} sujeto a las restricciones presupuestarias c t + b 1t + b 2t = y t c t+1 (z t+1 ) + b 1t+1 = b 1t (1 + r 1t+1 ) + y t+1 (z t+1 ) c t+2 (z t+2 ) = b 1t+1 (1 + r 1t+2 (z t+2 )) + b 2t (1 + r 2t+2 )(1 + r 2t+2 ) + y t+2 (z t+2 ) En esta economía hay dos formas de disponer de 1 unidad de consumo en t + 2 comprar bonos a largo plazo en t comprar bonos a corto plazo en t y reinvertir en bonos a corto plazo en t + 1 I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

27 Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento La solución Las condiciones de primer orden son u (c t ) = βe t (1 + r 1t+1 )u (c t+1 (z 1t+1 )) (18) u (c t ) = β 2 E t (1 + r 2t+2 )(1 + r 2t+2 )u (c t+2 (z 1t+2 )) (19) además, en t + 1 u (c t+1 (z)) = βe t+1 (1 + r 1t+2 (z 1t+2 ))u (c t+2 (z 1t+2 )) (20) por lo que E t u (c t+1 (z 1t+1 )) = βe t E t+1 (1 + r 1t+2 (z 1t+2 ))u (c t+2 (z 1t+2 )) (21) que por la Ley de Expectativas Iteradas E t u (c t+1 (z 1t+1 )) = βe t (1 + r 1t+2 (z 1t+1 ))u (c t+2 (z 1t+2 )) (22) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

28 Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento La solución en un caso particular Bajo el supuesto de función de utilidad logarítmica y en equilibrio general: 1 (1 + r 1t+1 ) = βy t E y t+1 (z t+1 ) (1 + r 2t+2 ) 2 1 = β 2 y t E y t+2 (z t+2 ) 1 = E β(1 + r 1t+2(z t+1 ))y t+1 (z t+1 ) y t+2 (z t+2 ) Bajo ciertos supuestos podemos llegar a la siguiente expresión: r 2t+2 r 1t+1 + Er 1t+2 (z t+1 ) 2 (23) (24) (25) (26) I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

29 Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento Algunas conclusiones De acuerdo con esta teoría, el tipo de interés ANUAL de los bonos a 2 años es una media de los tipos de interés ANUALES de los bonos a 1 año, uno de ellos incierto La forma de la curva de tipos proporciona información sobre las expectativas de los futuros tipos de interés a corto plazo y, en consecuencia, del ciclo económico (ver ecuación (24)). Por tanto, la curva de tipos es un instrumento de análisis de coyuntura económica El hecho de que los tipos a largo dependan de los tipos a corto, refuerza la importancia de la poĺıtica monetaria. Además, son importantes los esfuerzos de la autoridad monetaria por transmitir su poĺıtica futura de tipos de interés, pues con ello influye en las expectativas y de esta manera en los tipos de interés a largo plazo I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30

30 Referencias Cochrane,J. (2001), Capítulo 1. Wickens, M. (2008), Capítulo 10. I. Valoración de Activos Financieros February 10, /30