la igualdad anterior puede escribirse según el Teorema de Green en el plano
|
|
- Juan José Casado Herrera
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Curso de Termodinámica: IMA Fluido ideal de Van der Waals Los gases reales se comportan como gases ideales sólo a bajas densidades o como se suele decir a muy bajas presiones Es por ello que para una mejor descripción se logra utilizando la ecuación de estado denominada de Van der Waals En donde y son constantes características de cada gas. En realidad esta expresión surge como modificación a la ecuación para los gases ideales. En donde y son constantes características de cada gas. En realidad esta expresión surge como modificación a la ecuación para los gases ideales. El parámetro contempla la primera corrección, que surge a raíz de que las moléculas de un gas no son masas puntuales, sino que cada una ocupa cierto volumen ; de este modo el volumen disponible para cada partícula no es el volumen del recipiente, sino que es reducido a. La segunda corrección ( ) está relacionada con la interacción entre las moléculas: cerca de las paredes del recipiente las moléculas no experimentan una fuerza resultante nula, sino que son atraídas por el resto de las moléculas hacia el interior. Esta reducción de la presión debe ser proporcional al número de pares de moléculas interactuantes, o sea al cuadrado del número de moléculas por unidad de volumen. Para definir completamente nuestro sistema debemos agregar a la ecuación de estado ``mecánica'' una ecuación de estado ``térmica''. Es decir, contamos con la ecuación y nos hace falta una relación del tipo para poder integrar. Para construir esta relación, notemos que para que sea un diferencial exacto, debe cumplirse Como la igualdad anterior puede escribirse según el Teorema de Green en el plano
2 es decir que depende de las variables y de manera tal que al derivar con respecto a cada una de ellas se obtiene la misma expresión. Esto solo puede suceder si es función sencilla de Como buscamos corregir la expresión que teníamos para el gas ideal, para el que se cumple, lo más natural parece ser adecuarla escribiendo Con esta segunda ecuación de estado se completa la descripción para el fluido de Van der Waals. Combinando las dos ecuaciones de estado puede escribirse la relación mecánica en términos de y : Ahora sí, estamos en condiciones de integrar la expresión diferencial para queda que la ecuación fundamental resulta por lo que nos Al igual que en el caso del gas ideal, esta ecuación fundamental no satisface el postulado de Nernst. Esto significa que no puede esperarse una buena descripción termodinámica a bajas temperaturas, lo que no implica ninguna preocupación, ya que de antemano sabíamos que ésta era una limitación para ambos modelos. El último comentario que hacemos sobre el fluido de Van der Waals es que la descripción que se logra presenta regiones ``inestables'' para ciertas temperaturas. Como veremos a continuación esto significa que el fluido se separa espontáneamente en dos fases, una líquida y otra gaseosa. Las transiciones de fase de los gases reales suelen estudiarse a partir de las isotermas de un fluido de Van der Waals en un diagrama -. Relación de Van der Waals con parámetros críticos Se busca establecer una relación entre la ecuación de Van der Waals y el estado crítico; es decir deducir ecuaciones para las constantes críticas (Pc, Tc, Vc) en función de las constantes de Van der Waals. Por medio de las constantes de los valores de Van der Waals se pueden calcular a partir de las constantes críticas de un gas.
3 PBcB = = = El punto de inflexión de la curva de P con respecto a V, en el punto crítico, de modo que la derivada de P sobre la derivada de V ( P / V)Tc = 0 y ( ²P / V ²)Tc = 0. Sabiendo el valor de las constantes "a" y "b" obtenidas a través de derivadas se obtiene que: a = 3.Pc.Vc ², b = Vc/3, R = 8.Pc.Vc/3.Tc Despejamos "Pc" en función de "a", Vc en función de "b", y Tc en función de R, obteniendo: a/3.vbcb ², VBcB 3.b, TBcB 8.PBcB.VBcB/3.R Sustituyendo Vc en Pc, obtenemos el valor de Pc: Pc = a /3.(3.b) ². a /3.9.b ² a/27.b ² Obtenido el valor de Pc en función de a y b, se sustituye en la fórmula de Tc (despejado de R). (3) Despejando se obtiene : 24.a/27.b.3.R.. 24.a/81.b.R 8.a/27.b.R 4) Ley del diámetro rectilíneo: Volúmenes críticos, la mejor forma de obtener esta constante crítica es con ayuda de la regla conocida como la ley del diámetro rectilíneo. Esta ley establece que la media de las densidades de cualquier sustancia en el estado líquido y en el de vapor saturado, a la misma temperatura, es una función lineal de la temperatura. Las densidades del líquido y del vapor saturado en equilibrio con el mismo se conocen como densidades ortóbaros, y si Pt es la media aritmética a una temperatura t, entonces (8) pt = p θ + α.t 5) Que establece la ley de estados correspondientes Ley de los estados correspondientes Las reglas de las fases indican que la presión, volúmenes específicos y temperatura de un fluido de composición constante están interrelacionados y no se necesita ninguna otra información acerca de las propiedades de fluido para determinar una variable si se conoce las otras dos. Esto es una función matemática: F(P,V,T)x = 0
4 Que indica que si se conocen dos de tres propiedades P - V - T, entonces la tercera solo puede tener un valor: v = F(P,T) = 0. Las expresiones mencionadas anteriormente, pueden ser muy complicadas de usar como en el caso de la ecuación virial de Benedict o demasiado simple como la ecuación del gas ideal pues no implica el uso de constantes específico para el gas considerado. Sin embargo, muchos investigadores han propuesto que si se pudiera eliminar las constantes específicas de las ecuaciones de estado esto daría como resultado una ecuación de uso mas general y aplicable a muchos compuestos de estructura y composición química semejante. Esto se logra escribiendo las ecuaciones de estado en función de parámetros P-V-T reducidos en lugar de las cantidades absolutas. Una de las consecuencias más notables de esta ecuación fue indicada por HJohannes Diderik Van der WaalsH en Si la presión, volumen y temperatura de un gas se expresan en función de la presión y temperatura, o sea: P = π. Pc V = Φ. Vc T = θ. Tc La ecuación de HVan der WaalsH resulta: Y si se introducen los valores para Pc, Vc, y Tc se tiene que Las magnitudes π, Φ, θ se denominan presión, volumen y temperatura reducida, repetidamente, la ecuación reducida de estado, el aspecto importante de esta ecuación es que resulta perfectamente general y que al no intervenir las constantes a, b y R serán aplicables para todas las sustancias. Además, como se ha deducido de la discusión anterior que la ecuación de Van der Waals puede representar, por lo menos cualitativamente, el comportamiento de una sustancia en fase líquida y en fase gaseosa, la ecuación reducida será igualmente válida para cada una de estas formas, Como es de tercer orden con respecto, existirán tres soluciones a la ecuación por debajo de la temperatura crítica, una correspondiente al líquido, otra al vapor, mientras la primera no tiene significado físico alguna. Un estudio demuestra que si dos o más sustancias cualesquiera tienen la misma presión reducida π, es decir, sus presiones son la misma fracción o múltiplo π de sus presiones críticas respectivas, y se encuentran a temperatura reducidas iguales θ, siendo sus temperaturas las misma, fracción o múltiplo θ, de sus temperaturas críticas respectivas, entonces su volumen reducido Φ será igual, esto es, V/Vc resultará idéntico para todos. Se dice entonces que las sustancias se encuentran en estados correspondientes, y el enunciado anterior se puede tomar como una expresión de la ley de los estados correspondientes.
5 6) Como se definen, y que representan los parámetros reducidos. Los parámetros reducidos Son condiciones de temperatura, presión y volumen corregidas o normalizadas, mediante la división entre sus condiciones reducidas, así: Tr = T/Tc Pr = P/Pc Vr = V/Vc La idea, tal como fue sugerida por HVan der WaalsH, es de que todas las sustancias se comporten en forma similar en su estado reducido, es decir, "corregido". En particular, cualquier sustancia tiene el mismo volumen reducido a la misma temperatura y presión reducida. En términos matemáticos se puede indicar que: f(pr,tr,vr) En donde "r" es cierta constante. Y se puede aplicar a muchas sustancias pues no dependen de constantes específicas se les llama ecuaciones de estado generalizadas. 7) Como se define el factor de compresibilidad Z El factor de compresibilidad Z es un factor que compensa la falta de idealidad del gas, así que la ley de los gases ideales se convierte en una ecuación de estado generalizada. p.v = z.n.r.t Una forma de pensar en z es como un factor que convierte la ecuación en una igualdad. Si sé grafica el factor de compresibilidad para una temperatura dada contra la presión para diferentes gases, se obtienen curvas. En cambio, si la compresibilidad se grafica contra la presión reducida en función de la temperatura reducida, entonces para la mayor parte de los gases los valores de compresibilidad a las mismas temperatura y presión reducidas quedan aproximadamente en el mismo punto. 8) Que significado tiene un valor Z < 1 Un valor para Z 1 significa que el elemento en cuestión es Real, y no ideal. En este caso cuando Z < 1 significa que el elemento no es un gas ideal si no real. 9) Que representa un gráfico de factor de compresibilidad generalizado. Un gráfico de compresibilidad generalizado representa los valores para los valores reducidos de las condiciones que presente un gas, estos gráficos pueden ser utilizados para determinar el valor de Z, con margen de error, el cual suele ser despreciable. Es importante destacar que estos gráficos se presentan con los valores reducidos, la presión reducida en el eje X, el factor de compresibilidad en el eje Y los valore reducidos de temperatura y volumen. Estos son representados por medio de líneas continuas curvadas para la temperatura. En su mayoría en sentido horizontal y levemente caídas o elevadas. También encontramos líneas que realizan cambios bruscos debido a las altas temperaturas; para los valores de volúmenes reducidos encontramos la representación mediante la indicación de líneas segmentadas en sentido vertical y levemente inclinados hacia la derecha. Los valores de estas propiedades se encuentran indicadas al final de las líneas, tanto en las continuas (temperaturas reducidas) como en las segmentadas (volúmenes reducidos). Para construir esta relación, notemos que para que sea un diferencial exacto, debe cumplirse Como
6 la igualdad anterior puede escribirse según el Teorema de Green en el plano es decir que depende de las variables y de manera tal que al derivar con respecto a cada una de ellas se obtiene la misma expresión. Esto solo puede suceder si es función sencilla de Como buscamos corregir la expresión que teníamos para el gas ideal, para el que se cumple, lo más natural parece ser adecuarla escribiendo Con esta segunda ecuación de estado se completa la descripción para el fluido de Van der Waals. Combinando las dos ecuaciones de estado puede escribirse la relación mecánica en términos de y : Ahora sí, estamos en condiciones de integrar la expresión diferencial para queda que la ecuación fundamental resulta por lo que nos Al igual que en el caso del gas ideal, esta ecuación fundamental no satisface el postulado de Nernst. Esto significa que no puede esperarse una buena descripción termodinámica a bajas temperaturas, lo que no implica ninguna preocupación, ya que de antemano sabíamos que ésta era una limitación para ambos modelos. El último comentario que hacemos sobre el fluido de Van der Waals es que la descripción que se logra presenta regiones ``inestables'' para ciertas temperaturas. Como veremos a continuación esto significa que el fluido se separa espontáneamente en dos fases, una líquida y otra gaseosa. Las transiciones de fase de los gases reales suelen estudiarse a partir de las isotermas de un fluido de Van der Waals en un diagrama -. Sin embargo si nosotros ya hemos hallado el potencial de la función de Helmholtz molar para estos sistemas, de manera que podemos aprovechar las simplificaciones que dicha formulación nos provee. Las curvas - están íntimamente relacionadas con
7 las gráficas -, ya que. En la sucesión que se señala en la figura, los estados y corresponden a situaciones de equilibrio estable, al igual que cualquier punto previo al y posterior al. En los estados y, donde la curva - tiene un mínimo y un máximo respectivamente, la curva - presenta puntos de inflexión (cambia su concavidad). Al punto corresponde la misma presión que a y, es decir, posee la misma pendiente en estos tres estados. Como comentamos en capítulos anteriores, si bien el tramo es globalmente inestable, en los tramos y se satisface el criterio de estabilidad local; en el tramo en cambio esto no vale, pues debería ser siempre positiva. La solución estable que construimos con la envolvente de las tangentes inferiores a la curva determina un tramo en el cual la pendiente es constante: Teniendo presente esta relación es posible evaluar el área comprendida entre la isoterma predicha por la ecuación de Van der Waals y la curva estable: El último miembro se anula, ya que la pendiente del segmento recto en el potencial de Helmholtz molar es justamente el cociente sombreadas en la gráfica - son iguales.. Esto implica que las áreas
8 Una forma alternativa de estudiar estas transiciones de fase es analizando el potencial químico en función de. A partir de la relación de Gibbs-Duhem obtiene, para un proceso a constante se Para interpretar la dependencia de con conviene graficar primero como función de, es decir la recíproca de la gráfica anterior ( - ). En ese caso es posible describir cualitativamente ; dicha dependencia es la que se muestra en la figura, y que los sucesivos estados se van correspondiendo con los indicados en ella. Vemos que todos los tramos de las curvas parciales tienen pendiente positiva, correspondiéndose con el hecho de que. También vale la pena observar que, así como resulta trivaluada en cierto intervalo, hay valores de que se corresponden con tres valores para ; puesto que el potencial de Gibbs debe ser mínimo para y dados, queda claro que el valor de estable es el menor de esas tres alternativas. Dicho de otro modo, la curva real es siempre la inferior, como se ha señalado en la figura. A medida que se eleva la temperatura, la diferencia entre los estados que hemos señalado como y se reduce, y también disminuye la separación entre la tangente en los estados análogos al y el segmento recto correspondiente a.
9 En la transición de fase, los estados correspondientes al segmento representan mezcla de las dos fases, cada una conformada por los estados estables identificados como y. La fracción de sistema en la fase está dada por la llamada regla de la palanca, que se deduce fácilmente teniendo en cuenta que el sistema es cerrado. Si el volumen total ocupado por los moles del fluido es y los volúmenes molares de la fase líquida y gaseosa son y, debe cumplirse y como, despejando se obtiene Esto significa que la porción de sistema en una fase es proporcional a la distancia del volumen molar del sistema al volumen molar de la otra fase.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Introducción
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción El presente curso trata sobre álgebra lineal. Al buscarla palabra lineal en un diccionario se encuentra, entre otras definiciones la siguiente: lineal, perteneciente
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesTEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO
2.1 Distancia entre dos puntos1 TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) Demostración
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detallesBLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Crecimiento y decrecimiento. Extremos absolutos y relativos. Concavidad y convexidad. Asíntotas.
Más detalleswww.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,
Más detallesVALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)
VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) En trigonometría plana, es fácil de encontrar el valor exacto de la función seno y coseno de los ángulos de 30, 5 y 60, gracias a la ayuda de
Más detallesECUACIONES DE ESTADO Y CORRELACIONES GENERALIZADAS
ECUACIONES DE ESTADO Y CORRELACIONES GENERALIZADAS CORRELACIONES GENERALIZADAS Factor de Compresibilidad Este factor se establece como una relación entre el volumen del gas real y el volumen de gas ideal
Más detallesN = {1, 2, 3, 4, 5,...}
Números y Funciones.. Números Los principales tipos de números son:. Los números naturales son aquellos que sirven para contar. N = {,,, 4, 5,...}. Los números enteros incluyen a los naturales y a sus
Más detallesEjemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.
Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta
Más detallesConceptos fundamentales en Termodinámica
Conceptos fundamentales en Termodinámica Física II Grado en Ingeniería de Organización Industrial Primer Curso Joaquín Bernal Méndez Curso 2011-2012 Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla
Más detallesFunciones de varias variables.
Funciones de varias variables. Definición. Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f (x), f :D Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y dependía
Más detallesTEMA 12 EL ESTADO GASEOSO
TEMA 12 EL ESTADO GASEOSO Relación presión-volumen ley de Boyle A finales del siglo XVII boyle y Edme Mariotte, estudiaron independientemente la manera cómo cambia el volumen ocupado por un gas a una temperatura
Más detalles2. CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
2. CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES INDICE 2.1. Curvas planas y ecuaciones paramétricas...2 2.2. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación grafica 3 2.3.
Más detallesEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado 11 de noviembre 009 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita método de solución, formula general e incompletas Algebra Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICERRECTORADO BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA QUÍMICA GENERAL
UNIERSIDAD NACIONAL EXERIMENAL OLIECNICA ANONIO JOSÉ DE SUCRE ICERRECORADO BARQUISIMEO DEARAMENO DE INGENIERÍA QUÍMICA QUÍMICA GENERAL UNIDAD I CLASE Nº EL ESADO GASEOSO GAS REAL Gas erfecto: es aquel
Más detallesUNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp.
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II FUNCIONES Ing. Ronny Altuve Esp. Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015 Función Universidad
Más detallesTema 3: Ecuaciones químicas y concentraciones
Tema 3: Ecuaciones químicas y concentraciones Definición de disolución. Clases de disoluciones. Formas de expresar la concentración de una disolución. Proceso de dilución. Solubilidad. Diagramas de fases
Más detallesFecha de realización:... Fecha de entrega:... Comisión:... Apellidos Nombres:...
ASIGNATURA: FÍSICA I TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: GRÁFICOS Y ESCALAS Fecha de realización:... Fecha de entrega:... Comisión:... Apellidos Nombres:... y......... 1. Objetivo del trabajo: Construcción de gráficos,
Más detallesTEMA 5 CINÉTICA QUÍMICA
TEMA 5 CINÉTICA QUÍMICA ÍNDICE 1. Cinética Química 2. Orden de reacción 3. Mecanismo de las reacciones químicas 4. Factores que influyen en la velocidad de reacción 5. Teoría de las reacciones químicas
Más detallesDIFERENCIA ENTRE FLUIDOS Y SÓLIDOS
DIFERENCIA ENTRE FLUIDOS Y SÓLIDOS Se le llama fluido a toda aquella sustancia continua que puede fluir. Los fluidos pueden ser gaseosos y líquidos. Esta es la diferencia fundamental entre un sólido, cuya
Más detallesResolución de un problema básico de Cinética Química: hallar n y k
Resolución de un problema básico de Cinética Química: hallar n y k Apellidos, nombre Departamento Centro Atarés Huerta, Lorena (loathue@tal.upv.es) Departamento de Tecnología de Alimentos ETSIA (Universidad
Más detalleswww.matesxronda.net José A. Jiménez Nieto
NÚMEROS REALES 1. NÚMEROS IRRACIONALES: CARACTERIZACIÓN. En el tema correspondiente a números racionales hemos visto que estos números tienen una característica esencial: su expresión decimal es exacta
Más detallesTema 1. Cálculo diferencial
Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten
Más detallesAnálisis esquemático simplificado de una torre de enfriamiento.
Análisis esquemático simplificado de una torre de enfriamiento. En el diagrama el aire con una humedad Y 2 y temperatura t 2 entra por el fondo de la torre y la abandona por la parte superior con una humedad
Más detallesTERMODINÁMICA DEL EQUILIBRIO CAPÍTULO II. SOLUCIONES QUÍMICAS
Ing. Federico G. Salazar Termodinámica del Equilibrio TERMODINÁMICA DEL EQUILIBRIO CAPÍTULO II. SOLUCIONES QUÍMICAS Contenido 1. Propiedades Parciales Molares 2. Entalpía de Mezcla 3. Efectos caloríficos
Más detallesAplicaciones de las integrales dobles
Aplicaciones de las integrales dobles Las integrales dobles tienen multiples aplicaciones en física en geometría. A continuación damos una relación de alguna de ellas.. El área de una región plana R en
Más detallesIntroducción a la Termodinámica. Conceptos generales
Introducción a la Termodinámica. Conceptos generales 1. Introducción: objetivos de la termodinámica. 2. Sistemas termodinámicos. 3. Propiedades termodinámicas. 4. Equilibrio térmico y Temperatura. a. Escalas
Más detallesTERMODINÁMICA AVANZADA
TERMODINÁMICA AANZADA Ecuación de estado Gases Ideales P = n P = Unidad I: Propiedades y Leyes de la Termodinámica P T 2 = cte T P 3 = cte P 2 = cte Gases ideales Gases reales Gases y vapores T 1 = cte
Más detallesMOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO OBJETIVO Medida experimental de la variación exponencial decreciente de la oscilación en un sistema oscilatorio de bajo amortiguamiento. FUNDAMENTO TEÓRICO A) SISTEMA SIN
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS
GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS 1.- GENERALIDADES Se define lugar geométrico como el conjunto de puntos que verifican una propiedad conocida. Las cónicas que estudiaremos a continuación se definen como lugares
Más detallesCurvas en paramétricas y polares
Capítulo 10 Curvas en paramétricas y polares Introducción Después del estudio detallado de funciones reales de variable real expresadas en forma explícita y con coordenadas cartesianas, que se ha hecho
Más detallesIV UNIDAD TRANSFERENCIA DE MASA
IV UNIDAD TRANSFERENCIA DE MASA La transferencia de masa es la tendencia de uno o más componentes de una mezcla a transportarse desde una zona de alta concentración del o de los componentes a otra zona
Más detallesColegio Beato Carlos Manuel Rodríguez Departamento de Matemáticas. Mapa curricular Algebra I 8 vo grado
Colegio Beato Carlos Manuel Rodríguez Departamento de Matemáticas Mapa curricular Algebra I 8 vo grado Colegio Beato Carlos Manuel Rodríguez Mapa curricular Algebra I 8 vo grado periodo 11 al 22 de agosto
Más detallesProducto cartesiano. X Y = {(x, y) : x X, y Y }. Ejemplo En el tablero de ajedrez, X = números del 1-8, Y = letras de A-H.
Producto cartesiano Motivación: Has oido hablar sobre gente que juega ajedrez sin tener que mirar nunca el tablero?. Esto es posible, y se debe a una herramienta llamada coordenadas de un punto. En un
Más detallesf (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) =
MATEMÁTICAS II - EXAMEN PRIMER PARCIAL - 4/11/11 Grado: Ing. Electrónica Rob. y Mec. Ing. Energía Ing. Organización Ind. Nombre y Apellidos: Ejercicio 1. La curvatura de una función f en un punto x viene
Más detallesPruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta B
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta B 1. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos
Más detallesPRÁCTICA No. 5 Estados del flujo en un canal
PRÁCTICA No. 5 Estados del flujo en un canal Laboratorio de Hidráulica I OBJETIVO: Observar la generación y el comportamiento de diversos estados del flujo en un canal. INTRODUCCIÓN Para poder comprender
Más detallesEjercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Más detallesTabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)
Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas.
ECUACIÓN DE LA RECTA. El punto (, 0) está situado: a) Sobre el eje de ordenadas. b) En el tercer cuadrante. c) Sobre el eje de abscisas. (Convocatoria junio 00. Examen tipo D) Dibujando los ejes de coordenadas
Más detallesExperimento 12 LEY DE CHARLES. Objetivos. Teoría
Experimento 12 LEY DE CHARLES Objetivos 1. Montar un modelo de máquina térmica, 2. Poner a funcionar el modelo para verificar la ley de Charles, 3. Describir y explicar la ley de Charles a la luz de los
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos
NÚMEROS REALES NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de
Más detallesJMLC - Chena IES Aguilar y Cano - Estepa
Termodinámica es la parte de la física que estudia los intercambios de calor y trabajo que acompañan a los procesos fisicoquímicos. Si estos son reacciones químicas, la parte de ciencia que los estudia
Más detallesEn todo momento se supone que el cambio de posición del interruptor es brusco; es decir, se produce en un intervalo nulo de tiempo.
31 32 Se denomina expresión temporal o expresión instantánea a una expresión matemática en la que el tiempo es la variable independiente. Es decir, si se desea conocer el valor de la corriente (o el de
Más detallesEJERCICIO DE EXAMEN DE FISICOQUÍMICA
EJERCICIO DE EXAMEN DE FISICOQUÍMICA 1) En un recipiente de volumen fijo, se tienen los gases ideales 1 y 2 a una presión total P. Si en estas condiciones se introduce un gas ideal manteniendo la presión
Más detallesVALOR ABSOLUTO. Definición.- El valor absoluto de un número real, x, se define como:
VALOR ABSOLUTO Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del al origen
Más detallesMATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77
MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 77 Qué es una función? MATE 3171 En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal.
Más detallesElectricidad y calor. Webpage: 2007 Departamento de Física Universidad de Sonora
Electricidad y calor Webpage: http://paginas.fisica.uson.mx/qb 2007 Departamento de Física Universidad de Sonora Temas 3. Gases ideales y estados termodinámicos. i. Concepto y características del gas ideal.
Más detalles4.1. Movimiento oscilatorio: el movimiento vibratorio armónico simple.
4.1. Movimiento oscilatorio: el movimiento vibratorio armónico simple. 4.1.1. Movimiento oscilatorio características. 4.1.2. Movimiento periódico: período. 4.1.3. Movimiento armónico simple: características
Más detallesTEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media
Más detallesQué son los diagramas Ternarios?
Diagramas Ternarios Qué son los diagramas Ternarios? Diagramas que representan el equilibrio entre las distintas fases que se forman mediante tres componentes, como una función de la temperatura. Normalmente,
Más detallesTema Contenido Contenidos Mínimos
1 Números racionales - Fracciones equivalentes. - Simplificación de fracciones. - Representación y comparación de los números fraccionarios. - Operaciones con números fraccionarios. - Ordenación de los
Más detallesLíneas y Planos en el Espacio
Líneas y Planos en el Espacio Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM de enero de Índice..Introducción.................................................Ecuación paramétrica de la recta.....................................ecuación
Más detallesRepresentación gráfica de funciones. De la fórmula a la tabla. Resolución de problemas
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES Ejes de coordenadas y coordenadas de puntos FUNCIÓN Tipos: - Lineal. - Afín. - Constante. - De proporcionalidad inversa. - Cuadrática.
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
Más detallesDescripción de los 3 estados de la materia. Química General II Estados líquido y sólido. Diagrama de Fases
Descripción de los 3 estados de la materia Química General II Estados líquido y sólido. Diagrama de Fases Estado Líquido El estado líquido se caracteriza por: Retener su volumen pero no su forma. No poder
Más detallesSistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 1) (Selectividad 2005) Sea el siguiente sistema de inecuaciones: 3y 6; x 2y 4; x + y 8; x 0; y 0. Dibuje la región que definen y calcule sus
Más detallesTEMA 1: NÚMEROS REALES
TEMA 1: NÚMEROS REALES 3º ESO Matemáticas Apuntes para trabajo del alumnos en el aula. 1. Fracciones. Números racionales Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un
Más detallesPolinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +...
Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... + a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n -1... a 1, a o números,
Más detallesCAPÍTULO. 1 Conceptos básicos
CAPÍTULO 1 Conceptos básicos 1.4.2 Curva solución de un PVI Como comentamos al hablar sobre las soluciones generales particulares de una ED, ocurre que las soluciones generales contienen una o más constantes
Más detallesrad, y rad = 360 Ejercicio 1 Realizar las conversiones de grados a radianes y de radianes a grados de los siguientes ángulos:
Trigonometría 1.- Ángulos En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean dos unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián
Más detallesCapítulo 12. Sistemas de control
Capítulo 12 Sistemas de control 1 Caso estacionario En un sistema de control el punto de equilibrio se determina resolviendo las ecuaciones que definen el sistema simultáneamente. Supondremos dos procesos
Más detallesTermodinámica. 2 o curso de la Licenciatura de Físicas
Termodinámica 2 o curso de la Licenciatura de Físicas Lección 7 Definición de Sistemas ideales. Entropía de un gas ideal. Propiedades de un gas ideal. Gas perfecto Correcciones al gas ideal: ecuación de
Más detallesProblemas de Física 1 o Bachillerato
Problemas de Física 1 o Bachillerato Conservación de la cantidad de movimiento 1. Calcular la velocidad de la bola m 2 después de la colisión, v 2, según se muestra en la siguiente figura. El movimiento
Más detallesPráctica No 2. Determinación experimental del factor de compresibilidad
Práctica No 2 Determinación experimental del factor de compresibilidad 1. Objetivo general: Determinación del comportamiento de un gas a diferentes presiones, mediante el cálculo experimental del factor
Más detallesFUNCIONES LINEALES Y AFINES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES LINEALES Y AFINES. LA FUNCIÓN LINEAL = m El tren AVE lleva una velocidad media de 40 km/h. La siguiente tabla nos da el espacio que recorre en función
Más detallesTRABAJO Y ENERGIA: CURVAS DE ENERGÍA POTENCIAL:
TRABAJO Y ENERGIA: CURVAS DE ENERGÍA POTENCIAL: Si junto con la fuerza de Van der Waals atractiva, que varía proporcionalmente a r 7, dos atómos idénticos de masa M eperimentan una fuerza repulsiva proporcional
Más detallesTEMA 4: BALANCES DE ENERGÍA. IngQui-4 [1]
TEMA 4: BALANCES DE ENERGÍA IngQui-4 [1] OBJETIVOS! Aplicar la ecuación de conservación al análisis de la energía involucrada en un sistema.! Recordar las componentes de la energía (cinética, potencial
Más detallesUna sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Podemos denotar una sucesión como una lista
Cap 9 Sec 9.1 9.3 Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Podemos denotar una sucesión como una lista a 1, a 2, a 3, a n, Donde cada a k es un término
Más detallesPolinomios. 1.- Funciones cuadráticas
Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas
Más detallesPARTE I TERMODINÁMICA QUÍMICA
PARTE I TERMODINÁMICA QUÍMICA 01-Gonza lez.indd 1 5/6/06 19:26:43 01-Gonza lez.indd 2 5/6/06 19:26:49 Capítulo I Conceptos fundamentales Defi niciones 1,3,9 carácter macroscópico del sistema. Se determina
Más detallesResumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.
Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 0.. Concepto de derivada. Definición. Sea f : S R R, a (b, c) S. Decimos que f es derivable en a si existe: f(x) f(a)
Más detallesrad, y rad = 360 Ejercicio 1 Realizar las conversiones de grados a radianes y de radianes a grados de los siguientes ángulos:
Trigonometría 1.- Ángulos En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean dos unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano
UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del punto medio de un segmento 4. La
Más detallesDETERMINACION DE LA DENSIDAD Y HUMEDAD DE EQUILIBRIO I.N.V. E - 146
E - 146-1 DETERMINACION DE LA DENSIDAD Y HUMEDAD DE EQUILIBRIO I.N.V. E - 146 1. OBJETO Existe dependencia del grado de compactación alcanzado por los suelos, con el contenido de humedad y la magnitud
Más detallesTEORICO-PRÁCTICO N 5: LEYES DE LOS GASES IDEALES
TEORICO-PRÁCTICO N 5: LEYES DE LOS GASES IDEALES FUNDAMENTO TEÓRICO: La materia puede estar en tres estados: sólido, líquido y gaseoso. Los gases, no tienen forma ni volumen fijo, las fuerzas que mantienen
Más detalles; En el caso de fuerzas conservativas, de donde:
MECÁNICA DE FLUIDOS. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Ecuación diferencial de la estática de fluidos en el caso particular de fuerzas conservativas. Analizar la relación entre las superficies equipotenciales y las
Más detallesPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Sesión 5 (En esta sesión abracamos hasta tema 5.8)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Sesión 5 (En esta sesión abracamos hasta tema 5.8) 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Y MUESTRALES 5.1 Distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua
Más detallesREACTIVOS MATEMÁTICAS 3
REACTIVOS MATEMÁTICAS 3 1.- Una es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa por letras. a) Literal. b) Ecuación.
Más detallesTEMA 11. Autovalores y autovectores. Diagonalización y formas canónicas.
TEMA 11 F MATEMÁTICOS TEMA 11 Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas 1 Introducción Definición 1 (Matrices semejantes) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n Decimos que A
Más detallesRESUMEN TEÓRICO DE CLASES
Página 1 RESUMEN TEÓRICO DE CLASES Página 2 Tema 1. Inecuaciones Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos: >; ;
Más detallesRESUMEN DE TEORIA. Primera Parte: Series y Sucesiones
RESUMEN DE TEORIA Primera Parte: Series y Sucesiones SUCESIONES Definición: La sucesión converge a L y se escribe lim = si para cada número positivo hay un número positivo correspondiente N tal que =>
Más detallesAplicaciones de la derivada.
Aplicaciones de la derivada. (Máimos y mínimos) MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Entre los valores q puede tener una unción ( ), puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO 1 UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del
Más detallesUNIDAD 4.- INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro)
UNIDAD 4. INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro) 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por
Más detallesCAPITULO 5 LA DETERMINACIÓN DEL INGRESO DE EQUILIBRIO
Documento elaborado por Jaime Aguilar Moreno Docente área económica Universidad del Valle Sede Buga CAPITULO 5 LA DETERMINACIÓN DEL INGRESO DE EQUILIBRIO OBJETIVO DEL CAPÍTULO Lograr que el estudiante
Más detallesLección 10: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicas
LECCIÓN Lección : Representación gráfica de algunas epresiones algebraicas En la lección del curso anterior usted aprendió a representar puntos en el plano cartesiano y en la lección del mismo curso aprendió
Más detallesCAPÍTULO. Conceptos básicos
CAPÍTULO 1 Conceptos básicos 1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales 1.3.1 Soluciones de una ecuación Ejemplo 1.3.1 Resolver la ecuación: D 0. H Resolver esta ecuación significa encontrar todos los
Más detalles1. Bloques. Sistema. 2. Líneas. 3. Punto de suma. 4. Punto de ramificación o de reparto
ema 4. Diagramas de Bloque Introducción ERÍA DE NRL n diagrama de bloque es una simplificación, una representación gráfica de un sistema físico que ilustra las relaciones funcionales entre los componentes
Más detalles1. Las propiedades de los gases
1. Las propiedades de los gases Para establecer por qué las diferentes sustancias tienen unas propiedades características de cada una de ellas (densidades, puntos de cambios de estado, solubilidad en agua,
Más detallesXI. - PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DEL VAPOR DE AGUA pfernandezdiez.es
XI. - PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DEL VAPOR DE AGUA XI.1.- ESTUDIO DE LOS FLUIDOS CONDENSABLES La necesidad de los fluidos condensables en general y de los vapores en particular, para su utilización industrial,
Más detallesProfesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE
TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES. ÍNDICE 5..- Derivada de una función en un punto. 5...- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5..2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función
Más detallesmediante un punto en dicho diagrama. La temperatura de dicho estado se obtiene haciendo uso de la ecuación de estado.
Función de estado Una función de estado es una propiedad de un sistema termodinámico que depende sólo del estado del sistema, y no de la forma en que el sistema llegó a dicho estado. Por ejemplo, la energía
Más detallesEjercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones:
Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: 1.- Sea la curva paramétrica definida por, con. a) Halle. b) Para qué valor(es) de, la curva tiene recta tangente vertical? 2.- Halle para : a) b)
Más detallesEstabilidad en el dominio de la frecuencia Márgenes de estabilidad. Elizabeth Villota
Estabilidad en el dominio de la frecuencia Márgenes de estabilidad Elizabeth Villota 1 Función de transferencia de lazo Función de transferencia de lazo: 2 Función en lazo cerrado: 2 Diagrama de Nyquist
Más detallesGuía de repaso 5: Gases-Transformación isotérmica
Guía de repaso 5: Gases-Transformación isotérmica 1- a) Cuáles son las cantidades que determinan el estado de un gas? b) Qué significa decir que un gas sufrió una transformación? 2- a) Qué son los gases
Más detallesESTALMAT-Andalucía Actividades 06/07
ACTIVIDAD 1. NÚMEROS RACIONALES esto? a) Efectúa las divisiones 1/3, 1/5, 1/7, 8/2. Son exactas? Se empiezan a repetir las cifras del cociente en algún momento? Cuándo sucede b) Sin efectuar 15/13, di
Más detalles