Historia y Filosofía de la Lógica

Transcripción

1 Historia y Filosofía de la Lógica Pablo Cobreros pcobreros@unav.es Tema 3: El sistema básico de la lógica modal

2 Introducción Historia reciente Interés filosófico: contextos intensionales Lógica modal proposicional Lenguaje Semántica: idea intuitiva Semántica formal Deducción Tableaux Ejemplos Resumen Resumen

3 Historia reciente Historia reciente I La lógica modal es tan antigua como la lógica de Aristóteles. Sin embargo, su historia reciente se remonta a C. I. Lewis y su crítica del condicional clásico. En Conditionals and the Algebra of Logic (1912) Lewis argumenta que el condicional presentado por Russell y Whitehead en sus Principia Mathematica no es adecuado para representar el significado del condicional del lenguaje ordinario. Problemas del condicional clásico ( Paradojas de la implicación material ) 1. Si hoy es lunes entonces mañana es martes y si hoy es miércoles entonces mañana es jueves. Por lo tanto, o bien, si hoy es lunes entonces mañana es jueves, o bien, si hoy es miércoles entonces mañana es martes. 2. No es el caso que si Dios existe entonces castigará a los buenos. Por lo tanto, Dios existe.

4 Historia reciente Problemas con el condicional material 1. (p q) (r s) (p s) (r q) 2. (p q) p 3. q p q 4. p p q 5. (p q) r (p r) (q r)

5 Historia reciente Condicional estricto Lewis desarrolla un condicional distinto conocido como implicación estricta (mejor llamarlo condicional estricto ). La idea clave es que para que un condicional sea verdadero, es necesario que exista, entre el antecendente y el consecuente, una relación más fuerte que la expresada por el condicional material: Condicional estricto: A B ssi Necesariamente (A B) La propuesta de Lewis, por tanto, requería una explicación del significado lógico de las nociones de necesidad y posiblidad. La lógica modal tuvo mala prensa durante bastante tiempo. Esto se debe a diversas circunstancias. El caso es que la lógica modal creció en interés filosófico, matemático e informático a partir de los papers de Kripke en los años 60.

6 Interés filosófico: contextos intensionales Extensión e intensión Qué constituye el significado de una expresión? Términos singulares = referencia Predicados = extensión La lógica clásica (de primer orden) es extensional en el sentido de que el valor de verdad de un enunciado, así como las inferencias válidas, dependen exclusivamente de la extensión de sus expresiones. Sin embargo, la extensión de una expresión es sólo una parte del significado de la expresión. Por ejemplo, El lucero vespertino y El lucero matutino no significan exactamente lo mismo (como muestra el hecho de ser a posteriori). Tampoco animal con corazón y animal con riñón significan lo mismo aunque tengan la misma extensión.

7 Interés filosófico: contextos intensionales Contextos extensionales, contextos intensionales Intuitivamente, una afirmación se sitúa dentro de un contexto extensional cuando el valor de verdad de la afirmación depende sólo de la extensión de los términos que aparecen en ella. Una marca característica de contextos extensionales es la validez de la regla de sustitución de términos con la misma referencia. Esta regla nos dice que si dos términos tienen la misma referencia, entonces podemos sustituir cualquier ocurrencia del primero por una ocurrencia del segundo sin alterar el valor de verdad del enunciado. Por ejemplo, Giorgione y Barbarelli tienen la misma referencia de modo que de 1 podemos inferir válidamente 1*: 1 Giorgione era un pintor italiano 1 Barbarelli era un pintor italiano Esta regla, por supuesto, es válida en lógica clásica de primer orden. Existen, sin embargo, multitud de contextos en los que la regla no es válida.

8 Interés filosófico: contextos intensionales Contextos de cita 2 Giorgione fue llamado así por su estatura 2 + Barbarelli fue llamado así por su estatura 2 Giorgione fue llamado Giorgione por su estatura

9 Interés filosófico: contextos intensionales Contextos de cita 2 Giorgione fue llamado así por su estatura 2 + Barbarelli fue llamado así por su estatura 2 Giorgione fue llamado Giorgione por su estatura

10 Interés filosófico: contextos intensionales Otros contextos intensionales Contextos de creencia: 3 Felipe cree que Tegucigalpa está en Nicaragua 3 + Felipe cree que la capital de Honduras está en Nicaragua Contextos modales: 4 Necesariamente ocho es mayor que siete 4 + Necesariamente el número de los planetas es mayor que siete La lógica y semántica modal proporciona modelos formales que reproducen este tipo de contextos, que explican por qué falla la regla de sustitución y que, en definitiva, han impulsado la investigación en el estudio de expresiones que generan contextos de este tipo.

11 Interés filosófico: contextos intensionales Otros contextos intensionales Contextos de creencia: 3 Felipe cree que Tegucigalpa está en Nicaragua 3 + Felipe cree que la capital de Honduras está en Nicaragua Contextos modales: 4 Necesariamente ocho es mayor que siete 4 + Necesariamente el número de los planetas es mayor que siete La lógica y semántica modal proporciona modelos formales que reproducen este tipo de contextos, que explican por qué falla la regla de sustitución y que, en definitiva, han impulsado la investigación en el estudio de expresiones que generan contextos de este tipo.

12 Interés filosófico: contextos intensionales Caso proposicional Aunque no entraremos en la lógica modal de primer orden, el caracter intensional de la lógica modal tiene también su reflejo en la lógica modal proposicional. En la lógica proposicional clásica el valor de verdad de un enunciado complejo depende directamente del valor de verdad de sus enunciados componentes. 5 Si Luis es soltero entonces Luis no está casado 5 Si el número de los planetas es siete entonces Luis no está casado 6 Necesariamente si Luis es soltero entonces Luis no está casado 6 + Necesariamente si el número de los planetas es siete entonces Luis no está casado

13 Interés filosófico: contextos intensionales Caso proposicional Aunque no entraremos en la lógica modal de primer orden, el caracter intensional de la lógica modal tiene también su reflejo en la lógica modal proposicional. En la lógica proposicional clásica el valor de verdad de un enunciado complejo depende directamente del valor de verdad de sus enunciados componentes. 5 Si Luis es soltero entonces Luis no está casado 5 Si el número de los planetas es siete entonces Luis no está casado 6 Necesariamente si Luis es soltero entonces Luis no está casado 6 + Necesariamente si el número de los planetas es siete entonces Luis no está casado

14 Lenguaje Vocabulario El lenguaje de la lógica modal incluye en su vocabulario las mismas expresiones que el lenguaje clásico más dos nuevos operadores: Variables proposicionales: p, q, r... Constantes lógicas:,,, Operadores modales: y

15 Lenguaje Gramática La gramática definirá inductivamente las secuencias de signos que pueden recibir una interpretación: p, q (A B) A A A El lenguaje así descrito es unívocamente legible. Además, también omitiremos os paréntesis externos (si es que los hay). Las fórmulas del lenguaje modal tendrán este aspecto: p p p p (p q) ( p q) p p (p p) (p p)

16 Semántica: idea intuitiva Mundos posibles Interpretar es dar significado a la parte extralógica del vocabulario: I(p) = Wittgenstein fue domador, I(q) = Quine era un filósofo americano. En el lenguaje proposicional clásico, éste tipo de interpretaciones es suficiente para determinar el valor de verdad de cualquier enunciado compuesto: p q, p q, (p q)... Sin embargo, estas interpretaciones no son suficiente para decirnos el valor de verdad de enunciados con expresiones modales: p? q? Podemos pensar en un mundo posible como un punto en un espacio de posibilidades en el que todas las oraciones atómicas toman un valor de verdad (nótese que, en este sentido, un mundo posible es simplemente una interpretación clásica). En una primer aproximación podemos pensar en una interpretación para el lenguaje modal como un conjunto M de mundos posibles, eso es, un conjunto M de interpretaciones clásicas. A es verdadero en M ssi A es verdadero en todo mundo posible en M.

17 Semántica: idea intuitiva Posibilidad relativa I El bosquejo anterior se acerca a lo que queremos, pero no deja hueco a la idea de posibilidad relativa. Llamemos t 1 al día de hoy y t 2 a mañana. El clásico ejemplo de Aristóteles dice que no está determinado si mañana habrá una batalla naval. Consideremos que p es la afirmación: En t 2 hay una batalla naval. Podemos visualizar la situación: t 1 t 2 w 0 3 w 1: batalla naval w 2: (batalla naval) p y p son verdaderas en w 0, pero la primera es falsa en w 2 y la segunda falsa en w 1. Esto es así porque w 1 y w 2 son posibilidades para w 0 pero w 1 no es una posibilidad para w 2 ni w 2 para w 1.

18 Semántica: idea intuitiva Posibilidad relativa II Para poder reflejar la posibilidad relativa, nuestra noción formal de interpretación incluirá una relación de accesibilidad entre mundos posibles. En nuestro ejemplo anterior las flechas indican la accesibilidad entre mundos posibles: t 1 t 2 w 0 3 w 1 : batalla naval w 2 : (batalla naval) Naturalmente, si significa necesariamente los mundos posibles tienen que ser accesibles para sí mismos. Hablaremos de esto más adelante.

19 Semántica formal Definición: Una interpretación M para el lenguaje modal proposicional es una estructura W, R, I, en la que W es un conjunto de objetos, R una relación en W y I una función que asigna valores de verdad a pares p, w en los que p es cualquier variable proposicional y w cualquier objeto en W. W es un conjunto de mundos posibles en los que las oraciones atómicas tomarán un valor de verdad. R es una relación entre mundos posibles que captura la idea de posibilidad relativa. I es una función de interpretación. I es igual a la interpretación para el lenguaje clásico excepto que las oraciones atómicas toman valores de verdad en mundos posibles. Diremos que I asigna a p el valor verdadero en el mundo w de esta manera: I w (p) = 1.

20 Semántica formal Extensión de una interpretación Una interpretación M = W, R, I para las variables proposicionales tiene un único modo de extenderse a todas las fórmulas del lenguaje de acuerdo a las siguientes cláusulas: I w ( A) = 1 ssi I w (A) = 0 I w (A B) = 1 ssi I w (A) = 0 o I w (B) = 1 I w ( A) = 1 ssi para todo mundo posible w tal que wrw, I w (A) = 1 I w ( A) = 1 ssi para algún mundo posible w tal que wrw y I w (A) = 1. Las definiciones para los operadores clásicos son idénticas excepto que la asignación de valores es relativa a mundos posibles. Los mundos posibles juegan un papel esencial en el significado de los operadores modales. A será verdadero en un mundo w cuando A sea verdadero en todo mundo accesible desde w; A será verdadero en w cuando sea verdadero en al menos un mundo accesible desde w.

21 Semántica formal Apuntes y son operadores duales en el sentido de que A es equivalente a A y A equivalente a A. Ejercicio: muestre que para cualquier interpretación y w en esa interpretación, I w ( A) = I w ( A). Un punto ciego es un mundo posible que no accede a ningún otro mundo (ni siquiera a sí mismo). En los puntos ciegos todas las fórmulas de la forma A son verdaderas mientras que las de la forma A son falsas. Pregunta: Por qué, para cualquier A, A es verdadero y A es falso en cualquier punto ciego? I w ( A) = 1 ssi w (wrw I w (A) = 1) I w ( A) = 1 ssi w (wrw I w (A) = 1).

22 Semántica formal Apuntes y son operadores duales en el sentido de que A es equivalente a A y A equivalente a A. Ejercicio: muestre que para cualquier interpretación y w en esa interpretación, I w ( A) = I w ( A). Un punto ciego es un mundo posible que no accede a ningún otro mundo (ni siquiera a sí mismo). En los puntos ciegos todas las fórmulas de la forma A son verdaderas mientras que las de la forma A son falsas. Pregunta: Por qué, para cualquier A, A es verdadero y A es falso en cualquier punto ciego? I w ( A) = 1 ssi w (wrw I w (A) = 1) I w ( A) = 1 ssi w (wrw I w (A) = 1).

23 Semántica formal Gráficos Consideremos la fórmula (p p). Ésta fórmula es verdadera (entre otras) en la siguiente interpretación: W, R, I donde W = {w 0, w 1 }, w 0 Rw 1, w 1 Rw 1 y I w1 (p) = 1. Sin embargo, a menudo es posible y recomendable dibujar un gráfico para representar la interpretación: Figure: Interpretación para (p p) w 0 w1 p

24 Semántica formal Consecuencia lógica Clave: La consecuencia lógica para el lenguaje modal sigue la misma motivación que la consecuencia lógica para el lenguaje proposicional clásico: preservación de verdad (en todo mundo) en toda interpretación. Definición: A es una consecuencia lógica de Γ, escrito Γ A, ssi: para toda interpretación M y todo mundo w en la interpretación, si I w (B) = 1 para todo B Γ entonces I w (A) = 1. En otras palabras, Γ A si y sólo si no hay ninguna interpretación M con un mundo w tal que I w (B) = 1 para todo B Γ y I w (A) = 0. Una fórmula A es válida justo cuando es verdadera en todo mundo en toda interpretación.

25 Semántica formal Satisfacibilidad La satisfacibilidad funciona del modo esperado: un conjunto de fórmulas Γ es satisfacible si y sólo si hay alguna interpretación M = W, R, I y algún mundo posible w en W, tal que I w (B) = 1, para todo B en Γ. Del mismo modo que en el caso del lenguaje proposicional clásico, para cualquier conjunto de fórmulas Γ y cualquier fórmula A, Γ A si y sólo si Γ { A}) no es satisfacible. Ejercicio: muestre que Γ A ssi Γ { A}. En la siguiente sección presentaremos un sistema de tableaux para el lenguaje modal en el que este hecho será la base de nuestro sistema.

26 Tableaux Idea básica: la misma que para el lenguaje proposicional clásico La idea que subyace a las tablas para el lenguaje modal es análoga a la que subyace a las tablas para el lenguaje proposicional clásico: las tablas describen un procedimiento sistemático para encontrar una interpretación que satisfaga un conjunto de fórmulas. Si conseguimos probar que Γ { A} no es satisfacible, habremos probado que Γ A. En el caso de que una tabla completa para Γ { A} esté abierta, podremos construir un contra-modelo siguiendo una de sus ramas abiertas para mostrar que Γ A.

27 Tableaux Las tablas para el lenguaje modal Las tablas del lenguaje modal son árboles iguales a los presentados en el capítulo anterior excepto que en cada nodo del árbol tendremos: o bien un par A, i donde A es una fórmula e i un número natural o bien algo de la forma irj, donde i y j son números naturales. Intuitivamente, los números naturales designan mundos posibles. En los nodos en los que aparezca una fórmula y un número, se afirma que la fórmula en cuestión es verdadera en el mundo nombrado por el número. En los nodos en los que aparezca algo de la forma irj se afirma que el mundo nombrado por i accede al nombrado por i.

28 Tableaux Reglas para los operadores clásicos Cuando nos pidan probar que Γ A, situaremos en los nodos de la lista inicial a cada miembro B de Γ seguido de 0 más A seguido de 0. Las reglas para los operadores clásicos son iguales que las dadas en el capítulo anterior excepto que las cosas son relativas a mundos posibles. Por ejemplo, la regla para el condicional será: Table: Regla para A B A B, i A, i B, i Ejercicio: Describa las reglas para (A B), (A B), (A B), (A B), (A B), A.

29 Tableaux Reglas para operadores modales Table: Reglas que introducen la negación A, i A, i A, i A, i Table: Reglas que eliminan el operador A, i A, i irj irj A, j A, j (Para todo j) (Para un nuevo j)

30 Tableaux Definiciones Definición: Una rama cerrada es una rama en la que hay dos nodos A, i y A, i. De otro modo, la rama estará abierta. Una tabla cerrada, aquella que tiene todas sus ramas cerradas. Definición: Una rama completa es aquella que, o bien está cerrada, o bien hemos aplicado todas las reglas que se podían aplicar a las fórmulas que hay en la rama. Una tabla completa es aquella que tiene todas sus ramas completas. Definición: A es una consecuencia deductiva de Γ, escrito Γ A, si y sólo si hay al menos una tabla cerrada para Γ { A}.

31 Ejemplos Ejemplo Ejemplo: (p q) p q (p q), 0 ( p q), 0 p, 0 q, 0 p, 0 q, 0 0r1 p q, 1 p, 1 q, 1 p, 1 q, 1

32 Ejemplos Ejemplo Ejemplo: ( (p q) (q s)) ( p s) ( (p q) (q s)) ( p s), 0 ( (p q) (q s)), 0 ( p s), 0 (p q), 0 (q s), 0 p, 0 s, 0 s, 0 0r1 s, 1 (q s), 1 (p q), 1 p, 1 q, 1 s, 1 p, 1 q, 1

33 Ejemplos Contramodelos Cuando una tabla completa para Γ { A} está abierta, esto indica que Γ A (nuestras tablas, por supuesto, son completas; ver Priest 2008: secc. 2.9). Siguiendo una de las ramas abiertas de la tabla, podemos construir el correspondiente contramodelo (que las tablas son completas garantizan que esto siempre es posible). En el siguiente tema veremos con más detalle la receta; de momento dejo que lo penséis por vuestra cuenta para resolver alguno de los ejercicios.

34 Resumen Resumen En este tema hemos visto: Origen: condicional estricto Interés: contextos intensionales Lenguaje y semántica Tableaux En realidad hay muchos sistemas de lógica modal. El sistema introducido en este tema es el sistema básico de la lógica modal normal. En el siguiente tema veremos algunas extensiones de este sistema y cómo distintos sistemas son más o menos adecuados para distintas lecturas informales de y.