Palabras claves Sigmas álgebras, Hidrología estocástica, variable aleatoria, espacios de probabilidad

Transcripción

1 APLICACIÓN DEL MODELO PEARSON WIENER EN LA DINÁMICA DE LOS CAUDALES MAXIMOS DIARIOS EN EL RÍO FONCE EN SAN GIL (SANTANDER) CON FINES DE PROTECCION CONTRA LA SOCAVACIÓN DE PUENTES. Cárdenas Jiménez. Christian Camilo. Estudiante de Ingeniería Civil, Universidad Militar Nueva Granada / Facultad de Ingeniería, Grupo de Investigación Visión Colombia Hídrica Rivera. María Esther. Correo maes@unipamplona.edu.co, Licenciada en Físico- Matemáticas, Ph. D. en Hidrología, Universidad de Pamplona. Grupo de Investigaciones Ambientales, Agua, Aire y Suelo Rivera. Hebert Gonzalo. Correo hidropronostico@yahoo.com. Ingeniero Hidrólogo, Ph. D. en Hidrología, Universidad Militar Nueva Granada. Grupo de Investigación Visión Colombia Hídrica (Recibido: 25 de Junio de 2014; Aprobado: 04 de Julio de 2014) Resumen La incertidumbre en los procesos hidrológicos se tiene en cuenta tanto en la Hidrología estadística como en la Hidrología estocástica. La primera promueve el desarrollo y aplicación de modelos que laboran con situaciones con incertidumbre (modelos de leyes de distribución de probabilidades, modelos de series de tiempo, modelos de lógica difusa, red neuro-difusa, cadena de Markov y los modelos del tipo Monte Carlo, entre muchos otros) y la segunda promueve y aplica modelos que se soportan en los conceptos modernos de variable aleatoria construida a partir de espacios de probabilidad, σ-álgebras y espacios medibles. En este trabajo se aborda la unión de la hidrología estadística con la estocástica desde el enfoque del modelo Pearson Wiener, el cual contempla las curvas conocidas de Pearson (desde la I hasta la XII) y la construcción de espacio de probabilidad con soporte en las sigmas álgebras de Borel. Esta unión permite apreciar la interpretación del comportamiento de los caudales máximos anuales en el río Fonce (San Gil, Santander). La investigación contó con el apoyo adicional del Instituto IGAC y Corporación CAS. El presente trabajo es el resultado del Proyecto de Investigación Científica de la Universidad Militar Nueva Granada ING-1544 del año 2014, el cual se desarrolla junto con la Universidad de Pamplona (Norte de Santander).Recursos financieros de la Vicerrectoría de Investigaciones UMNG. Palabras claves Sigmas álgebras, Hidrología estocástica, variable aleatoria, espacios de probabilidad Abstract-The uncertainty in hydrological processes is taken into account both statistical and stochastic hydrology. The first promotes the development and application of models that work with situations with uncertainty (model laws of probability distribution, time series models, models of diffuse logic, neuro-fuzzy network, Markov chain and Monte Carlo type models among many others) and the second promotes and applies models that are supported in modern concepts of random variable constructed from probability spaces, σ-algebras and measurable spaces. In this work take into account the union of statistical hydrology and stochastic from the perspective of the Pearson model - Wiener, which includes curves known Pearson (from I to XII) and the construction of probability space with support in the Borel sigma algebras? This binding allows you to appreciate the interpretation of the behavior of the maximum annual flows in the river Fonce (San Gil, Santander). The research was supported by the IGAC Institute and CAS Corporation. This work is the result of the Scientific Research Project of New Granada Military University ING-1544 of 2014, which was developed together with the University of Pamplona (Norte de Santander). Keywords Sigma s algebras, stochastic hydrology, random variable, probability spaces 1

2 I. INTRODUCCIÓN La rápida transición entre los dos eventos recientes el Niño y la Niña, han traído consigo severas oscilaciones climáticas, produciendo desbordamientos de ríos y sequías, dejando obsoletas las estructuras de contención y destruyendo puentes vehiculares en algunos municipios del país. La ola invernal ocurrida entre los años de 2010 y 2011, produjeron en Colombia un gran impacto, generando inundaciones de grandes áreas de tierras, afectando a un gran número de pobladores, en su mayoría campesino; además de provocar grandes movimientos de tierra, producidos principalmente por el fenómeno de socavación, debido a los grandes caudales que transportaron los ríos, causando el colapso de estructuras como puentes vehiculares en mayor proporción. Surge incertidumbre en la toma de decisiones respecto al control de los cuerpos hídricos no sólo por estas oscilaciones climáticas, sino también por cuestiones de índole instrumental en las mediciones de sus características hidrológicas (grandes porcentajes de error en las mediciones de variables hidrológicas, como es el caso de los caudales máximos en cuyos valores el error puede superar incluso el 60%). En el país se tiene experiencia en la emisión de pronósticos de los comportamientos de caudales de los ríos en Colombia desde la década de los años setenta (cuando expertos holandeses plantearon los primeros modelos para el río Magdalena); sin embargo, sus éxitos son pocos en los aspectos cuantitativos, debido principalmente a los altos márgenes de incertidumbre que conllevan los datos de las variables hidrológicas que se utilizan en los modelos. Por otro lado, las evaluaciones de los procesos de la socavación en puentes y, en general, en estructuras hidráulicas, es un tema sobre el que no se ha dicho la última palabra, sobre todo en metodologías para determinar la profundidad de socavación al presentarse una creciente en tiempo real. Todo ello nos permite aseverar que existe una gran necesidad en estudiar la incertidumbre en el comportamiento de los procesos hidrológicos, sobre todo en las variables de caudales y sedimentos. En la actualidad se han realizado numerosos estudios sobre el comportamiento diario de los caudales máximos de ríos en Colombia, sin embargo, es importante explorar la aplicación de la teoría de procesos estocásticos para interpretar su comportamiento y así lograr prever su dinámica a futuro. La modelación hidrológica vigente para el diseño de obras civiles contempla una serie de premisas tales como la estacionariedad en la serie estadística de datos y el cumplimiento de la propiedad de ergodicidad de la serie. La comprobación de estas dos propiedades se suele omitir no sólo en las clases de hidrología en las universidades, sino además por los expertos en consultoría. En la teoría de la hidrología estocástica se afirma que el comportamiento de los incrementos de los caudales máximos es no estacionario y presentan características de independencia; por ello, el modelo Pearson- Wiener afirma que los movimientos de los caudales son erráticos y es posible lograr su simulación mediante la teoría de procesos estocásticos. 2

3 La investigación desarrollada por Norbert Wiener y Andrei Kolmogorov, en los años 20 del siglo XX en trabajos independientes, creó una nueva forma de describir a los procesos sociales y naturales desde el enfoque probabilístico. Ambos científicos unieron los conceptos de la teoría de la topología con la teoría de probabilidades. De esta unión conceptual surge el espacio de probabilidad: la probabilidad P es una medida definida en un espacio medible, el cual se conforma por el espacio muestral Ω y por una σ-algebra de Borel Ƒ. Precisamente estos tres conceptos modernos de la teoría moderna de probabilidades son los que diferencian los alcances prácticos de la Hidrología Estocástica en comparación con los que ha brindado tradicionalmente la Hidrología Estadística (conocida también como Hidrología Probabilística). Por estas razones es necesario simular el comportamiento de los caudales máximos en río Fonce con soporte en la teoría moderna de procesos estocásticos. Con ello, se espera generar alternativas eficientes mediante su aplicación individualmente o conjuntamente con la metodología tradicional o por lo contrario descartar su aplicabilidad en el tema. En este trabajo se aborda la unión de la hidrología estadística con la estocástica desde el enfoque del modelo Pearson Wiener, el cual contempla las curvas conocidas de Pearson (desde la I hasta la XII) y la construcción de un espacio de probabilidad con soporte en las sigmas álgebras de Borel. II. DESARROLLO DEL ARTÍCULO a. Familia de Curvas Pearson Vs Distribuciones: En la actualidad se conocen una serie de distribuciones de distribución de probabilidades, las cuales fueron desarrolladas por diversos estadísticos e ingenieros. Algunas de estas son la distribución Normal, distribución Log-Normal, distribución Exponencial, distribución Gumbel, distribución Gamma, distribución del Valor Extremo Tipo I y Tipo II, distribución Beta, distribución Beta prima, distribución t-student, entre otras. A pesar del gran impacto y utilidad de estas distribuciones, se sabe (Elderton, 1938) que el científico y matemático Karl Pearson para el año de 1895 ya había propuesto en su familia de curvas Pearson todas las distribuciones ya mencionadas; sin embargo, su trabajo fue desconocido por los estadísticos e ingenieros que debieron afrontar los retos del diseño hidrológico desde entonces. La familia de curvas Pearson se representa con un sistema compuesto por doce familias de distribuciones o histogramas, las cuales son soluciones a la Ecuación 1. (Pearson, 1895). Ecuación 1. 3

4 Para aplicar el modelo estocástico Pearson-Wiener y para demostrar la igualdad de las distribuciones con la familia de curvas Pearson, fue necesario recopilar información acerca de los caudales máximos anuales del rio Fonce (San Gil, Santander), entre el periodo de 1955 y Cabe aclarar que a pesar de que estos caudales corresponden a caudales máximos anuales, a su vez, son estimaciones de caudales máximos diarios. Basados en esta premisa, cada caudal máximo anual es un caudal máximo diario presentado en un mes y año determinado, los cuales corresponden al periodo de años ya mencionado ( ). Tabla 1. Caudales máximos anuales Año Caudal máximo (Q ) Fuente 1. Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM). 4

5 Además se optó por escoger los caudales máximos anuales del rio Fonce (San Gil, Santander), con el fin de estimar con mayor grado de seguridad el caudal de diseño al cual debe estar sujeto el diseño de cualquier estructura que pase cerca o sobre el rio. Teniendo el caudal de diseño, la estimación del nivel de socavación que podría ocurrir en el lugar tendría un mayor grado de exactitud, permitiendo proteger las cimentaciones de cualquier puente, en este caso los del puente Rojas Pinilla ubicado sobre el Rio Fonce (San Gil, Santander). Por otro lado, al obtener una estimación confiable del nivel de socavación, al cual está sometida la cimentación del puente, reduciría en gran porcentaje el colapso de puentes en nuestro país. b. Socavación en Puentes: Según (Muñoz, Edgar, 2000), las causas de colapso de puentes en Colombia, basado en un estudio realizado a 63 puentes, los casos de fallas totales y parciales, el 70% se producen por fenómenos hidráulicos, tales como socavación. En Colombia los puentes que han fallado por este fenómeno, no tuvieron en su etapa de diseño un estudio hidrológico e hidráulico, ya que el criterio fundamental de diseño de la cimentación obedeció más a la capacidad portante, que a la socavación probable. Además una estimación confiable del nivel de socavación daría valides y confiabilidad a las metodologías utilizadas por los diseñadores y constructores para la estimación de la socavación, debido a que no existe una metodología unificada para ello. La carencia de confiabilidad en el cálculo del nivel de socavación se debe su variación durante el corto plazo en el cual se produce la degradación, donde los flujos son inestables y las características dinámicas y geométricas son complejas; la corriente interactúa con mezclas variadas de sedimentos cuyos rangos van desde arenas aluviales hasta arcillas y rocas meteorizadas; es claro que durante una creciente sus características pueden cambiar drásticamente y de manera aleatoria. El problema se complica aún más a menudo, por la gran variedad de formas, alineamientos y posiciones usadas para pilas y estribos y por la presencia de desechos flotantes y basuras atrapadas que cambian la geometría y el patrón de flujo. (Valbuena, 2000) c. Proceso Wiener: La aplicación de la hidrología estadística tradicional no es suficiente para describir el comportamiento de los caudales máximos en el rio Fonce, dado que se trata de un proceso no estacionario a partir del año 1980 aproximadamente. En este sentido se requiere aplicar la teoría moderna de probabilidades, la cual está relacionada con los conceptos de sigmas álgebras, espacios medibles y espacio de probabilidad. Para el procesamiento de datos se realizó un análisis de frecuencias, el cual es un procedimiento que tiene como finalidad estimar la frecuencia de ocurrencia o probabilidad de ocurrencia de eventos extremos pasados o futuros. El análisis tradicional de frecuencias de datos hidrológicos requiere que los datos sean homogéneos e independientes. La restricción de homogeneidad asegura que todas las observaciones provengan de la misma población, es decir que la cuenca hidrográfica no se haya modificado con la construcción de estructuras hidráulicas sobre la corriente principal (por ejemplo, que no haya nuevas estructuras hidráulicas, desviaciones, 5

6 cambios en el uso de la tierra, etc.), y los datos disponibles sean representativos de caudales futuros. Para el estudio, se procesaron los datos mediante la elaboración de la tabla de frecuencias y el Test Ji-cuadrado para comprobar la igualdad que existe entre las funciones de distribución y la familia de curvas Pearson. Por otro lado por medio del Test Ji-Cuadrado se calculó la probabilidad para completar el espacio de probabilidad el cual está compuesto por (Ω, Ƒ, Р).Finalmente utilizando el método Pearson-Wiener se estimó el caudal de diseño para periodos de retorno de 2, 3, 5, 10, 25, 50, 100 y 200 años para los datos de caudales máximos del Rio Fonce, con el fin de estimar el nivel de socavación del puente Rojas Pinilla (San Gil, Santander). III. CÁLCULOS Para seleccionar Ω se elaboró la tabla de frecuencias de los caudales máximos del río Fonce, con base a 7 intervalos, los cuales fueron calculados por la ecuación de Sturges. Seguidamente se obtuvo el histograma, el cual obedece un comportamiento idéntico a una función de distribución Normal o Pearson Tipo V. Tabla 2. Frecuencias absolutas y relativas Intervalo Límite inferior Límite superior Frecuencia absoluta Frecuencia Relativa Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia Relativa acumulada Total Fuente 2. Elaboración Propia 6

7 Gráfica. 1. Histograma frecuencia Vs Clases Fuente 3. Elaboración Propia Se estimaron y graficaron las distribuciones Normal, Log-Normal, Gamma, Exponencial, Gumbel, Valor extremo Tipo I Y Tipo II; realizando este ejercicio se evidencio un comportamiento idéntico de las curvas de las distribuciones y familia de curvas Pearson. Límite superior Normal Log-Normal Tabla 3. Resultados distribuciones Gamma Exponencial Gumbel EV-I EV-II Fuente 4. Elaboración Propia 7

8 Gráfica. 2. Probabilidad de ocurrencia Vs Caudal Fuente 5. Elaboración Propia En la Tabla 4. Comparación Distribuciones vs Curvas Pearson, se detalla la igualdad que existe entre la distribución Normal, Log-Normal, Gamma, Gumbel, Exponencial, Valor Extremo Tipo I y Valor Extremo Tipo II, con la familia de curvas Pearson. Tabla 4. Comparación Distribuciones vs Curvas Pearson DISTRIBUCION Normal Log-Normal Gamma Gumbel Exponencial Valor Extremo Tipo I Valor Extremo Tipo II DITRIBUCION CURVA PEARSON Tipo I, Tipo III, Tipo IV y Tipo V Tipo IV y Tipo VI Tipo III Tipo III Tipo III Tipo III Tipo III Fuente 6. Elaboración propia 8

9 Generando las sigmas algebras se estipulo Ω como un intervalo cerrado. Posteriormente se genera la sigma álgebra de Borel, comprobando las siguientes propiedades. Seguidamente se generó el espacio de probabilidad conformado por (Ω, A) y la medida de probabilidad P. Para ello se aplicó el Test Ji-Cuadrado con el fin de calcular la probabilidad, para completar el espacio de probabilidad (Ω, Ƒ, Р). Según Tabla 5. Test Ji-Cuadrado la distribución Normal o Tipo V, se ajusta al comportamiento de los caudales máximos anuales del rio Fonce (San Gil, Santander), por ende las probabilidades correspondientes a la distribución Normal serán utilizadas para completar el espacio de probabilidad. Tabla 5. Test Ji-Cuadrado Distribució n Normal Log-Normal Pearson III Exponencial Gumbel Distribució n EV-I EV-II Clase X^2 X^2 X^2 X^2 X^2 X^2 X^ X^2 PROMEDIO Fuente 7. Elaboración Propia Para finalizar se estimó el caudal de diseño mediante la distribución Normal, Log- Normal, Gamma, Gumbel, Exponencial, Valor Extremo Tipo I y Valor Extremo Tipo II; con el objetivo de estimar el nivel de socavación del Puente Rojas Pinilla. 9

10 Normal (Pearson Tipo V): Para empezar se calculó la Media y Desviación Estándar de la muestra de caudales máximos anuales, posteriormente se calcula la probabilidad de ocurrencia, para los periodos de retorno de 2, 3, 5, 10, 25, 50, 100 y 200 años. Seguidamente se determina la variable estandarizada por medio de la tabla de la ley Normal y finalmente se estima el caudal de diseño del caudal de diseño. Log-Normal (Pearson Tipo IV y Tipo VI): En esta función de distribución los logaritmos en base diez se distribuyen de una forma normal o Tipo V, en este orden de ideas se debe calcular el logaritmo en base diez de la variable aleatoria, que en este caso son caudales máximos anuales (m3/s), posteriormente se realiza el mismo procedimiento ejecutado en la distribución Normal o Tipo V. Gamma (Tipo III): En la función de distribución Tipo III se calculan los mismos parámetros iniciales de la distribución Tipo V (μ, σ), además del coeficiente de asimetría ϒ, con la finalidad de hallar los parámetros que compone la función Gamma, es decir, α, β, δ, finalmente se calcula la probabilidad de ocurrencia. Luego se procede a estimar el caudal de diseño. Gumbel (Pearson Tipo III): La función de distribución Gumbel al igual que las distribuciones Pearson Tipo V y Tipo III, es necesario determinar la media μ y desviación estándar σ de la muestra de datos. Posteriormente se calculan los parámetros α y σ, los cuales son parámetros característicos de la función de probabilidad Gumbel, se calcula la probabilidad de ocurrencia mediante y por último se calcula la estimación del caudal de diseño. Exponencial (Pearson Tipo III): Para la distribución exponencial solo es necesario calcular la media de los datos de caudales máximos anuales, con el fin de calcular el parámetro λ, el cual es el número de promedio de sucesos por unidad de tiempo, inmediatamente se determina la probabilidad de ocurrencia y finalmente se estima el caudal de diseño. Valor extremo Tipo I (Pearson Tipo III): En la función distribución de valores extremos Tipo I es necesario determinar tanto la media μ y la desviación estándar σ de los caudales máximos anuales. Seguidamente se calcula el parámetro α y υ. Posteriormente se calcula la probabilidad de ocurrencia mediante la, finalmente se calcula la estimación del caudal de diseño. 10

11 Valor extremo Tipo II (Pearson Tipo III): Finalmente para efectuar la distribución de valores extremos Tipo II, es preciso establecer la media μ y la desviación estándar σ de los caudales máximos anuales, consecutivamente se debe calcular el coeficiente de variación, posteriormente se calcula υ, mediante parámetro k, parámetro estimado mediante la curva característica de la distribución de Valor Extremo Tipo II que relaciona el coeficiente de variación y el parámetro k. Debido a que el denominador de υ está en función de Gamma (Γ(1-1/k)), es necesario utilizar las tablas matemáticas usuales para hallar el denominador de υ. Posteriormente se calcula la probabilidad de ocurrencia. Conociendo los valores de υ y k, se puede calcular la estimación del caudal de diseño. Las estimaciones de caudales de diseño para periodos de retorno 2, 3, 5, 10, 25, 50, 10 y 200 años, fueron: Tabla 6. Resultados caudales de diseño PERIODO NORMAL LOG-NORMAL GAMMA GUMBEL EXPONENCIAL EV-I EV-II DE RETORNO (T) Fuente 8. Elaboración Propia Como se puede observar las estimaciones del caudal de diseño va en aumento a medida que el periodo de retorno va incrementando para cualquier distribución, como se observa en la Gráfica. 3. Curva de estimaciones del caudal de diseño vs Periodo de retorno. 11

12 Gráfica. 3. Curva de estimaciones del caudal de diseño vs Periodo de retorno Fuente 9. Elaboración Propia IV. ANÁLISIS DE RESULTADOS Durante la primera fase de la investigación se pudo comprobar la igualdad entre las curvas Pearson y las distribuciones ya conocidas actualmente, evidenciando un comportamiento idéntico de sus curvas y sus ecuaciones matemáticas, puesto que el origen de las ecuaciones de las distribuciones como la Normal, Log-Normal, Gamma, Gumbel, Exponencial y Valor Extremo Tipo I y Tipo II se fundamentan y/u obedecen a la simplificación de la ecuación principal de la investigación de Karl Pearson desarrollada en 1895, este develamiento ratificando al matemático como padre de la estadística. Por otro lado se pudo probar que los procesos estocásticos son idóneos para el análisis de variables hidrológicas, debido a que estas pertenecen a fenómenos no estacionarios; fenómenos que solo pueden ser interpretados y analizados mediante procesos estocásticos. Basados en esto, se aplicó el proceso estocástico Pearson- Wiener, realizando la construcción del espacio de probabilidad (Ω, Ƒ, Р) con los caudales máximos anuales del Rio Fonce (San gil, Santander), obteniendo un resultado exitoso, debido a que el comportamiento de los datos obedece a la teoría del proceso Wiener y las leyes que rigen a las sigmas algebras de Borel. Mediante este desarrollo matemático quizás se pueda crear una nueva metodología para el análisis de variables hidrológicas que genere menos incertidumbre a la metodología utilizada actualmente, generando predicciones de caudales más acertadas o reales. Con esto se espera aumentar el porcentaje de confiabilidad en las predicciones del nivel de socavación. Permitiendo diseñar y construir puentes probablemente inmunes al fenómeno de socavación, disminuyendo los colapsos de los puentes vehiculares en nuestro país. 12

13 V. CONCLUSIONES La hidrología estadística tradicional aborda satisfactoriamente los problemas que tratan procesos estacionarios con las leyes de distribución de probabilidades. Sin embargo, cuando se tienen comportamientos de caudales con procesos no estacionarios, como lo es el caso de los caudales máximos del río Fonce (San Gil, Santander), es recomendable acudir al conocimiento que produce la hidrología estocástica. La hidrología estocástica, entendida como la rama de la hidrología que estudia el comportamiento espacio-temporal del agua en los cuerpos hídricos aplicando la teoría moderna de probabilidades, hace énfasis en la búsqueda de movimientos erráticos en los diferentes procesos hidrológicos (precipitaciones, niveles del agua, velocidades del agua, caudales, etc.). Para ello, recurre a la teoría del proceso estocástico de Wiener en el cual son fundamentales los conceptos de sigmas álgebras (σ-álgebras), filtración, martingala, espacio de probabilidad, variable aleatoria y proceso estocástico (en el sentido moderno). Para pasar de la hidrología estadística a la estocástica es necesario tratar las diferentes leyes teóricas de distribución de probabilidades desde su origen en el modelo de curvas de frecuencias de Pearson, y desde su ecuación diferencial determinista llegar al modelo de Fokker-Planck-Kolmogorov, en donde reinan los conceptos de sigma álgebra, espacio medible, espacio de probabilidad, martingala, filtración y otros. De acuerdo con el análisis realizado al comportamiento de los caudales máximos del río Fonce en San Gil (Santander) se concluye que se trata de una trayectoria de un proceso estocástico no estacionario y es posible simularle desde el enfoque del modelo Pearson-Wiener. La aplicación del modelo Pearson-Wiener podría revolucionar en nuestro país la forma de procesar variables hidrológicas, pues el modelo utilizado actualmente, es decir, el modelo estadístico, no es el adecuado para el procesamiento de este tipo de variables, teniendo en cuenta que las variables hidrológicas no pertenecen a fenómenos estacionarios sino a fenómenos no estacionarios, los cuales obedecen y deben ser interpretados mediante modelos estocásticos como ya se mencionó anteriormente. 13

14 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Banco Interamericano de Desarrollo BID. (2012). Valoración de daños y pérdidas Ola invernal en Colombia Bogotá D.C: Marcela Giraldo Benjamín, J. (1970). Probabilidad y Estadística en Ingeniería Civil. Bogota D.C: Mc Graw-Hill. Gumbel, E. (2004). Statistics of Extremes. New York: Dover Publications: INC. Elderton, W. (1938). Frequency Curves and Correlations. Cambridge: Cambridge University Press. Rivera, H. G. (2013). Aplicación del modelo del proceso estocástico Wiener al comportamiento diario de los caudales máximos mediante el uso de σ-álgebras. Caso de estudio: rio Fonce en San Gil (Santander). Bogotá: UMNG. Valbuena. (2000). Socavación en puentes. Bogotá: Universidad javeriana. 14

15 15