Cálculo de probabilidades

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1 Capítulo 9 Cálculo de probabilidades La Física es una de las ramas más importantes de las Ciencias Naturales. Su objetivo principal es el de describir la Naturaleza de la forma más able posible. Para ello, hace uso de las magnitudes, y su herramienta fundamental es la Matemática. En último término, trata de predecir el futuro, ya sea el del Universo o el de experiencias más modestas como reacciones químicas o experimentos cinemáticos. Su concepción principal es que la Naturaleza se rige por ciertas propiedades, que usualmente se pueden describir en términos matemáticos. De esta forma, cuando un experimento se repite idéntico a otro, controlando todas las variables que intervienen y disponiendo de las mismas condiciones iniciales, los dos deben arrojar los mismos resultados. Se trata entonces de experimentos determinados, pues no hay nada en ellos aleatorio y, de una forma u otra, se puede predecir el resultado eso sí, cuando conocemos la ley física que interviene. No son éstos los experimentos que nos interesan en este tema. Más bien nos centraremos en experiencias de las que, a priori, no podemos predecir el comportamiento, aun cuando las repitamos bajo las mismas condiciones iniciales lanzar un dado o una moneda. En ellas interviene el azar, la suerte o como se quiera decir. Hoy en día, incluso la Física se ha rendido a la necesidad de utilizar la Probabilidad para desarrollar la Mecánica cuántica. 1

2 2 CAPÍTULO 9. CÁLCULO DE PROBABILIDADES 9.1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Una experiencia o experimento aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar. Un suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar. Llamaremos espacio muestral de un experimento aleatorio, y lo denotaremos por E o por, al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento. A cada uno de sus elementos se les denomina puntos muestrales, sucesos elementales o casos. Por ejemplo, al lanzar una moneda, dos monedas o un dado podemos obtener los siguientes sucesos elementales: E 1m = f c; + g ; E 2m = f cc; c+; +c; + + g ; E 1d = f 1; 2; 3; 4; 5; 6 g : 9.2. Sucesos aleatorios Se llama suceso aleatorio o simplemente suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral. Se denotan los distintos sucesos con letras mayúsculas A, B, C,... El conjunto formado por todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos, y se denota por S o por A. Diremos que un suceso A ocurre, se veri ca, se realiza o se presenta si al efectuar una prueba del experimento aleatorio, obtenemos como resultado uno de los sucesos elementales que componen el suceso A. Lema Si el espacio muestral E de un experimento aleatorio es nito y posee n sucesos elementales, entonces su espacio de sucesos asociado S también es nito y posee exactamente 2 n sucesos Distintos tipos de sucesos Existe toda una nomenclatura acerca de los sucesos de una experiencia aleatoria que debemos conocer. Sucesos elementales son los sucesos formados por un único punto muestral, es decir, que no se pueden dividir a su vez en otros sucesos más sencillos. Sucesos compuestos son los sucesos formados por dos o más puntos muestrales. El suceso cierto o suceso seguro es el suceso que siempre ocurre. Se denota por E ya que siempre ha de ocurrir alguno de los sucesos elementales del espacio muestral.

3 9.4. Operaciones con sucesos. Diagramas de Venn 3 El suceso imposible es el que nunca se realiza. Se denota por?, que es el símbolo del conjunto vacío. Dado un suceso A, llamaremos suceso contrario o suceso opuesto o suceso complementario del suceso A, y lo denotaremos por A o por A C, al suceso que se realiza cuando no se realiza el suceso A Operaciones con sucesos. Diagramas de Venn Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un experimento aleatorio. El suceso unión de los sucesos A y B, que se denota por A [ B, es el suceso que se realiza cuando ocurre o bien A, o bien B o bien ambos a la vez. A B El suceso intersección de los sucesos A y B, que se denota por A \ B, es el suceso que se realiza cuando ocurren los sucesos A y B simultáneamente. A B El suceso diferencia entre A y B, que se denota por A B o por AB, es el suceso que se realiza cuando ocurre A pero no ocurre B. Puede expresarse como AB = A \ B. A B

4 4 CAPÍTULO 9. CÁLCULO DE PROBABILIDADES Diremos que un suceso A está contenido en otro suceso B, y lo denotaremos por A B, si siempre que ocurre A también ocurre B. Son inmediatas las siguientes inclusiones. A \ B A A [ B E; A \ B B A [ B E: Recordemos que el suceso contrario de A es el que ocurre cuando no ocurre A, es decir, como en la siguiente gura. A C A Diremos que dos sucesos son incompatibles si su intersección es el suceso imposible, es decir, no pueden ocurrir simultáneamente. En muchas ocasiones, cuando dos sucesos son incompatibles, a su unión se la denota por A[B, utilizando el punto sobre la unión para indicar que los sucesos A y B no tienen nada en común. Diremos que dos o más sucesos son exhaustivos si su unión es el suceso seguro. Lema Las operaciones con sucesos veri can las siguientes propiedades: 1. Asociativas: A [ B [ C = A [ B [ C ; A \ B \ C = A \ B \ C : 2. Conmutativas: A [ B = B [ A; A \ B = B \ A: 3. Distributivas: A [ B \ C = A [ B \ A [ C ; A \ B [ C = A \ B [ A \ C : 4. Sucesos complementarios: A = A; A [ A = E; A \ A =?: 5. Leyes de simpli cación: A [ A \ B = A; A \ A [ B = A:

5 9.5. Sistema completo de sucesos 5 6. Leyes de De Morgan: El complemento de la unión de sucesos es la intersección de sus complementarios. A \ B = A [ B; A [ B = A \ B: Por veri car algunas de estas propiedades, el espacio de sucesos S, dotado de las operaciones unión e intersección, es decir, la terna S; [; \, se denomina un álgebra de sucesos Sistema completo de sucesos En ocasiones, el espacio muestral es demasiado grande y es interesante dividirlo en partes que los separen por completo. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar un dado, es usual considerar los sucesos salir par y salir impar. Estos sucesos trocean el espacio muestral como si fuese una tarta, de manera que su unión es el espacio completo pero no tienen nada en común. De nición Diremos que los sucesos A 1 ; A 2 ; : : : ; A n forman un sistema completo de sucesos para un determinado experimento aleatorio si son exhaustivos su unión es todo el espacio muestral y disjuntos dos a dos distintos son incompatibles. A 1 [ A 2 [ : : : [ A n = E: A i \ A j =?; 8i; j 2 f1; 2; : : : ; ng ; i 6= j: Esto signi ca que cada vez que se realiza el experimento, ocurre uno, y sólo uno, de los sucesos A 1 ; A 2 ; : : : ; A n. Un sistema completo de sucesos permite expresar cualquier otro suceso de la forma B = B \ E = B \ A 1 [ A 2 [ : : : [ A n = B \ A 1 [ B \ A 2 [ : : : [ B \ A n ; 9.1 lo que signi ca que el suceso B ocurre en distintos casos: B \ A 1, B \ A 2,..., B \ A n. Esta descomposición será fundamental a la hora de comprender el teorema de la probabilidad total Experimentos compuestos Un experimento aleatorio se dice compuesto si puede considerarse como la realización de varios experimentos aleatorios más sencillos de manera consecutiva o simultánea. En tal caso, el espacio muestral del experimento compuesto puede verse como el producto cartesiano de los espacios muestrales de las experiencias más sencillas.

6 6 CAPÍTULO 9. CÁLCULO DE PROBABILIDADES Por ejemplo, el experimento que consiste en lanzar dos monedas puede considerarse como la repetición del lanzamiento de una moneda dos veces. Lo mismo ocurre con un dado, y si lanzamos a la vez una moneda y un dado. Supongamos que lanzamos a la vez una moneda y un dado. Sus respectivos espacios muestrales son E 1 = E 1m = f c; + g ; E 2 = E 1d = f 1; 2; 3; 4; 5; 6 g : En el experimento compuesto, denotaremos por c; 3 al suceso que ocurre si en la moneda sale cara y en el dado el número tres. Así, el espacio muestral de la experiencia compuesta es c; 1 ; c; 2 ; c; 3 ; c; 4 ; c; 5 ; c; 6 ; E = E 1 E 2 = : +; 1 ; +; 2 ; +; 3 ; +; 4 ; +; 5 ; +; 6 Observamos que en la moneda podemos conseguir dos resultados distintos cara o cruz, y el el dado, seis. Por eso, en el experimento compuesto, el espacio muestral está formado por doce sucesos elementales. Esto no es casualidad. Lema Principio de multiplicación Si un procedimiento se puede separar en r etapas, de modo que el resultado de una de ellas no in uye en el resultado de las otras etapas, y en cada una de estas etapas se obtienen n 1 ; n 2 ; : : : ; n r resultados, respectivamente, entonces el procedimiento global conduce a n 1 n 2 : : : n r resultados posibles. Ejemplo Supongamos que Ana dispone de dos pares de zapatos, unas zapatillas deportivas, seis pantalones, tres faldas, nueve camisetas y cinco blusas. De cuántas formas distintas se puede vestir para ir al instituto? Para los pies, dispone de tres posibilidades; para tapar las piernas, nueve posibilidades, y para el torso, catorce posibilidades. Entonces, combinándolas adecuadamente, tendremos = 378 combinaciones distintas. Así, podría ir todos los días a clase durante más de dos años sin repetir el modelo que utilice ten en cuenta que el curso dura, como mucho, 175 días. Imagínate las posibilidades que tienes si añades calcetines, ropa interior, sudaderas, camisas, jerseys, abrigos, bufandas, etc Ley de los grandes números. Idea intuitiva de probabilidad Consideremos un experimento aleatorio y elijamos un suceso no imposible A. Repitamos una y otra vez el experimento, de forma independiente, y contemos el número de ocasiones en que ocurre el suceso A. Este número se llama frecuencia absoluta del suceso A y, desde luego, depende tanto del suceso como del número de repeticiones que hagamos del mismo. Quizá

7 9.7. Ley de los grandes números. Idea intuitiva de probabilidad 7 más interesante es considerar su frecuencia relativa, es decir, el cociente entre el número de ocasiones en que ocurre A y el número total de repeticiones del experimento. Esta frecuencia depende de las mismas variables que la frecuencia absoluta, pero tiene la ventaja de que siempre es un número comprendido entre cero y uno. Llamemos f n a la frecuencia relativa del suceso A cuando el experimento se ha repetido n veces. La ley de los grandes números a rma que la sucesión ff 1 ; f 2 ; f 3 ; : : :g es convergente a un número real entre cero y uno, que se interpreta como la probabilidad de que ocurra el suceso A. Por qué converge esta sucesión? Para comprenderlo, consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado, y queremos estudiar la sucesión de frecuencias relativas de apariciones del número 4. Como los números del dado aparecen, aproximadamente, con la misma asiduidad, sería perfectamente lógico que al lanzar el dado 100, 1000 y veces, el número 4 apareciera 15, 168 y 1660 veces, respectivamente. Entonces, las respectivas frecuencias del número 4 serían f 100 = = 00 15; f 1000 = = ; f = = : Desde luego, estas frecuencias dependen tanto del número de repeticiones que se hagan como del número de apariciones del número 4 en las mismas. Así, la sucesión de frecuencias relativas puede uctuar por encima y por debajo del %, según si tenemos una racha buena o mala de apariciones del número 4. Pero, cómo afectaría a estas frecuencias una racha de cinco 4 seguidos? Observa cómo cambian las frecuencias relativas. Con cinco 4 seguidos 8 >< >: f 105 = ; f = f 105 f 100 = f 1005 = ; f = f = ; f = %; %: = %; Al parecer, el error absoluto que se comete entre una aproximación y otra tiende a cero, es decir, la racha de cinco 4 seguidos cada vez afecta menos, pues a pesar de que el numerador se ve incrementado en cinco unidades, el denominador, al ser cada vez más grande, se ve paulatinamente menos afectado por este tipo de rachas. Así, al cociente f n le afecta cada vez menos las uctuaciones del numerador, y la sucesión de frecuencias relativas converge, inevitablemente, a un número entre cero y uno. Teorema Ley de los grandes números La sucesión de frecuencias relativas asociadas a cualquier suceso A de un experimento aleatorio que se repite, de manera independiente, una y otra vez, es una sucesión convergente. Además, su límite es un número entre cero y uno.

8 8 CAPÍTULO 9. CÁLCULO DE PROBABILIDADES 9.8. De nición clásica de probabilidad Consideremos una experiencia aleatoria con un espacio muestral E nito, y supongamos que sus sucesos elementales aparecen con la misma asiduidad al repetir el experimento aleatorio. Llamaremos probabilidad del suceso A 2 S, y la denotaremos por p A, al cociente entre el número de casos del espacio muestral en los que se presenta el suceso A y el número total de casos de la experiencia aleatoria abreviadamente, se dice casos favorables entre casos posibles. p A = número de casos favorables a A número total de casos posibles : Básicamente estamos recurriendo a la siguiente idea. Como el espacio muestral es nito, se puede expresar de la forma E = fx 1 ; X 2 ; : : : ; X n g, donde cada X i es un punto muestral y n es el número de casos posibles. Así, cada suceso aleatorio A debe ser la unión de ciertos sucesos elementales, es decir, A = fx 1 ; X 2 ; : : : ; X m g, donde f 1 ; 2 ; : : : ; m g f1; 2; : : : ; ng. De esta forma, el suceso A es la unión de los sucesos elementales X 1 ; X 2 ; : : : ; X m, por lo que hay m casos posibles en los que ocurre el suceso A. Así, p A = m=n. Con esta de nición, es inmediato que se cumplen las siguientes propiedades: 0 p A 1. p E = 1: p? = 0: Si A \ B =?, entonces p A [ B = p A + p B : p A = 1 p A : Esta de nición posee tres problemas. El primero es que no siempre el espacio muestral es nito. Por ejemplo, si consideramos el experimento en el que le preguntamos a una persona por un número natural, el conjunto de resultados posible no es nito. Por tanto, no podemos considerar esta forma de de nir la probabilidad. Otro problema es que en la misma de nición se intuye, antes de de nirse, la noción de probabilidad, pues hablamos de sucesos elementales que ocurren con la misma asiduidad. Aquí ya está implícita la idea de equiprobabilidad. Finalmente, aun cuando el espacio muestral sea nito, los sucesos elementales pueden no ser equiprobables, por ejemplo cuando un dado está trucado. Para solucionar estos problemas, nos preguntamos cuáles de éstas propiedades son fundamentales a la hora de de nir la noción de probabilidad. Es lo que resolvemos en el siguiente apartado.

9 9.9. Definición axiomática de probabilidad De nición axiomática de probabilidad Sea E el espacio muestral asociado a una experiencia aleatoria y denotemos por S a su álgebra de sucesos. Llamaremos probabilidad o función de probabilidad a cualquier ley p : S! R que a cada suceso aleatorio A 2 S le asocie un número real p A y que cumpla las tres siguientes condiciones: K1 La probabilidad de cualquier suceso aleatorio es no negativa: p A 0: K2 La probabilidad del suceso seguro es uno: p E = 1: K3 La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es la suma de sus probabilidades: A \ B =? p A [ B = p A + p B : Estas tres propiedades se denominan axiomas de Kolmogorov, y constituyen la base de la teoría axiomática de la probabilidad. Llamaremos espacio de probabilidad a cualquier terna E; S; p, donde p es una función de probabilidad de nida sobre el espacio de sucesos S de un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E Consecuencias de los axiomas Lema Sean A; B 2 S cualesquiera sucesos de una experiencia aleatoria con espacio de probabilidad E; S; p. Entonces se veri can las siguientes propiedades. 1. La probabilidad del suceso imposible es nula: p? = 0: 2. La probabilidad del suceso complementario de A es la unidad menos la probabilidad de A: p A = 1 p A :

10 10 CAPÍTULO 9. CÁLCULO DE PROBABILIDADES 3. La función de probabilidad está acotada entre cero y uno: 0 p A 1: 4. Si A B, entonces p B = p A + p BA : En particular, p A p B. 5. Si A 1, A 2,..., A n son sucesos disjuntos dos a dos, entonces p A 1 [ A2 [ : : : [ An = p A 1 + p A 2 + : : : + p A n : 6. La probabilidad de la unión de sucesos es p A [ B = p A + p B p A \ B p A [ B [ C = p A + p B + p C p A \ B p A \ C p B \ C + p A \ B \ C : 7. La probabilidad del suceso diferencia AB, es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el suceso B, es p AB = p A p A \ B = p A [ B p B 8. La probabilidad de la unión de sucesos también puede ser calculada como A B p A [ B = p A + p BA = p B + p AB : 9. Si C es el suceso que ocurre cuando se veri ca uno, y sólo uno, de los sucesos A y B, entonces A B p C = p AB+p BA = p A+p B 2p A \ B :

11 9.11. Ejercicios y problemas Si el espacio muestral es nito, E = fx 1 ; X 2 ; : : : ; X n g, y un suceso aleatorio se expresa como la unión de un cierto número de casos A = fx 1 ; X 2 ; : : : ; X m g, donde f 1 ; 2 ; : : : ; m g f1; 2; : : : ; ng, entonces p A = p X 1 + p X 2 + : : : + p X m aun cuando los sucesos elementales no sean equiprobables. 11. [Ley de LAPLACE] Si el espacio muestral es nito, E = fx 1 ; X 2 ; : : : ; X n g, y está formado por sucesos equiprobables, entonces la probabilidad de cualquier otro suceso A = fx 1 ; X 2 ; : : : ; X m g, donde f 1 ; 2 ; : : : ; m g f1; 2; : : : ; ng, es el cociente entre el número de casos en los que ocurre el suceso A y el número total de casos: p A = m n = número de casos favorables a A número total de casos posibles : Ejercicios y problemas A lo largo de los siguientes ejercicios, utilizaremos la notación 9.4.1, 6, para referirnos al apartado 6 del lema 9.4.1, que no es otro que las leyes de De Morgan. Esta notación nos facilitará referirnos a los resultados que ya hemos enunciado. Ejercicio 1 En una clase de un instituto, el 60 % de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10 % practica ambos deportes. Si además hay un 60 % que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que, escogido un alumno al azar: a juegue sólo al fútbol; b juegue sólo al baloncesto; c practique sólo uno de los dos deportes; d no juegue ni al fútbol ni al baloncesto. Solución : Llamemos F al suceso elegido un alumno al azar de la clase, éste juega al fútbol y B al suceso éste juega al baloncesto. Las probabilidades que se nos dan son: p F [ B = 0 0 6; p F \ B = 0 0 1; p F = 0 0 6: Inmediatamente, la probabilidad de jugar al fútbol es p F = 1 p F = = 0 0 4, y la probabilidad de que juegue al baloncesto se deduce de p B = p F [ B + p F \ B p F = = 0 0 3:

12 12 CAPÍTULO 9. CÁLCULO DE PROBABILIDADES Podemos ahora responder a las preguntas. La probabilidad de que sólo juegue al fútbol es, según el lema , 7: p sólo fútbol = p F B = p F p F \ B = = 0 0 3: La probabilidad de que sólo juegue al baloncesto es: p sólo baloncesto = p BF = p B p F \ B = = 0 0 2: La probabilidad de que practique sólo uno de los dos deportes es la suma de las dos anteriores: p sólo un deporte = p F B + p BF = = 0 0 5: Finalmente, la probabilidad de que no juegue al fútbol ni al baloncesto, aplicando las leyes de De Morgan 9.4.1, 6, es: p F \ B = p F [ B = 1 p F [ B = = 0 0 4: Esto concluye el ejercicio. Ejercicio 2 Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores. b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde. c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. Solución : La tabla solicitada es la siguiente: Pr. Eléctr. Pr. Mecán. Pr. Chapa TOTAL Mañana Tarde TOTAL Entonces, el porcentaje de los que acuden por la tarde es p acuden por la tarde = no acuden por la tarde n o total de casos El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos es = 6 20 = 3 = 30 %: 10 p acuden por prob. mecánicos = no acuden por prob. mecánicos n o total de casos = 11 = 55 %: 20

13 9.11. Ejercicios y problemas 13 Finalmente, entre los que acuden por problemas eléctricos, la probabilidad de acudir por la mañana es por la mañana p con prob. eléctricos = no acuden por la mañana con prob. eléctr. n o acuden con prob. eléctr. = 3 5 = 00 6: Ejercicio 3 La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un periódico es de 0 4. La probabilidad de que adquiera una revista es de 0 3. La probabilidad de que adquiera ambas publicaciones es de 0 2. Calcula la probabilidad de que: a adquiera alguna publicación; b no adquiera ninguna publicación; c adquiera sólo un periódico. Solución : Llamemos P al suceso un cliente al azar de la librería compra un periódico y R compra una revista. Según los datos de que disponemos, p P = 0 0 4, p R = y p P \ R = Entonces la probabilidad de adquirir alguna publicación es p P [ R = p P + p R p P \ R = = 0 0 5: Aplicando las leyes de De Morgan 9.4.1, 6, la probabilidad de no adquirir ninguna publicación es: p P \ R = p P [ R = 1 p P [ R = = 0 0 5: Finalmente, la probabilidad de adquirir únicamente un periódico es, según , 7, p P \ R = p P R = p P p P \ R = = 0 0 2: Ejercicio 4 Sea A y B dos sucesos de manera que p A = 0 0 6, p B = y p A [ B p A \ B = Calcula p A [ B y p A \ B. Solución : Si llamamos x = p A [ B e y = p A \ B, tenemos la ecuación x lado, sabemos que y = Por otro x + y = p A [ B + p A \ B = p A + p B = = 1 0 3: Resolviendo el sistema resultante, acabamos el ejercicio: x y = x = p A [ B = 0 0 8; x + y = y = p A \ B = 0 0 5:

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15 Capítulo 10 Probabilidad condicionada Introducción Supongamos que lanzamos un dado y queremos estudiar si ocurre el suceso A = {1} = salir 1. Evidentemente, p A = 1/6. Lanzamos el dado pero antes de que podamos ver si ha salido un uno, alguien nos da información adicional: B = ha salido un número impar. Sin ver aún el resultado en el dado, ha cambiado mi probabilidad de acertar? La respuesta es SÍ. Antes, mi espacio muestral era {1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo que el número uno sólo podía salir en una de cada seis posibilidades. Pero ahora sabemos que ha salido un número impar, es decir, ha sucedido B = {1, 3, 5}. Cuántas posibilidades quedan y en cuántas de ellas sale el número uno? Ahora p A/con información adicional = 1 3. Resulta pues que si conocemos información adicional, la probabilidad de A sujeta a esta información varía respecto de su probabilidad al principio. Como se relacionan estas dos probabilidades? Claramente p A p A / inform = 1/6 1/3 = 1 2 = p B. Pero como A B, es claro que A B = A, y entonces podemos despejar p A / inform = p A p B p A B =. p B Ésta será la fórmula de la que partiremos. 15

16 16 CAPÍTULO 10. PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad condicionada Definición Sea E, S, p un espacio de probabilidad y sean A, B S dos sucesos de manera que B no es imposible. Llamaremos probabilidad del suceso A condicionada al suceso B, y la denotaremos por p A/B o por p A B cuando sea necesario, al número real: p A/B = p A B. p B En general, si ninguno de los dos sucesos es imposible, se tiene la relación: p A B = p A p B/A = p B p A/B 10.1 La probabilidad p A/B mide la importancia de la intersección A B dentro del suceso B, es decir, el porcentaje de área que representa la intersección dentro del suceso B Dependencia e independencia de sucesos Hemos visto en la introducción cómo conocer información acerca de la que ha ocurrido en el experimento modifica la probabilidad que tenemos de que suceda lo que estamos estudiando. También es posible que no la modifique. Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado y estudiamos el suceso A = {1, 2}. Claramente, p A = 1/3. Imaginemos que al lanzar el dado alguien nos dice que ha salido impar. Entonces el suceso B = {1, 3, 5} = salir impar sí se verifica pero, afecta a la probabilidad de que ocurra A? En este caso no porque de tres posibilidades, {1, 3, 5}, sólo ocurre A en una de ellas, {1}, por lo que p A/B = 1 3 = p A. En este caso, el que suceda B no afecta a la probabilidad que tenemos de que suceda A. Diremos entonces que los sucesos son independientes. Definición Sea E, S, p un espacio de probabilidad y sean A, B S dos sucesos de manera que B no es imposible. Diremos que el suceso A es independiente del suceso B si p A/B = p A. Lema Sea E, S, p un espacio de probabilidad y sean A, B S dos sucesos no imposibles. Entonces A es independiente de B si, y sólo si, B es independiente de A, lo cual ocurre si, y sólo si, p A B = p A p B.

17 10.4. Teoremas notables sobre probabilidad 17 Demostración : Sabiendo que p B 0 y teniendo en cuenta la igualdad 10.1, deducimos que A es independiente de B p A/B = p A p B p A/B = p B p A p A B = p A p B. Y como esta relación es simétrica en A y B, esta condición es equivalente a que B sea independiente de A. El lema anterior pone de manifiesto que la relación de independencia es una relación simétrica, por lo que diremos que dos sucesos A y B son independientes si, sólo si, uno de ellos es independiente del otro. Además, conviene recordar la caracterización anterior: A y B son independientes p A B = p A p B 10.2 En caso contrario, diremos que los sucesos A y B son dependientes. Nota 1 No deben confundirse las nociones de independencia e incompatibilidad de sucesos. Dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es vacía. Esta definición no tiene nada que ver con la probabilidad; simplemente se dice que los dos no pueden ocurrir simultáneamente. Por otro lado, dos sucesos son independientes cuando el que suceda uno de ellos no modifica la probabilidad de que suceda el otro. Nota 2 Dos sucesos A y B son independientes si, y sólo si, la proporción que ocupa el suceso A dentro de E es igual a la proporción que ocupa la intersección A B dentro de B, ya que p A B = p A p B p A p E p A B =. p B Ejercicio 5 Demuestra que son equivalentes las siguientes afirmaciones: a A y B son independientes; b sus complementarios, Ā y B, son independientes; c A y B son independientes; d Ā y B son independientes; Teoremas notables sobre probabilidad La presente sección está dedicada al estudio de ciertos teoremas relacionados con las probabilidades condicionadas y que son muy efectivos en la mayoría de los casos. Primeramente los enunciamos y los demostramos y después pondremos ejemplos de cómo se utilizan.

18 18 CAPÍTULO 10. PROBABILIDAD CONDICIONADA Teorema de la probabilidad compuesta Sea E, S, p un espacio de probabilidad y sean A 1, A 2,..., A n S sucesos de manera que su intersección no es imposible. Entonces A2 A3 A n p A 1 A 2... A n = p A 1 p p... p A 1 A 1 A 2 A 1 A 2... A n 1 Demostración : Si hay dos sucesos, este teorema no es más que la caracterización Si hay tres sucesos, podemos llamar B = A 1 A 2, de manera que p A 1 A 2 A 3 = p B A 3 = p B p A 3 /B = p A 1 A 2 p A3 = p A 1 p A 2 /A 1 p. A 1 A 2 = A 1 A 2 A3 Este argumento sirve también para hacer inducción sobre el número de sucesos que intervienen. En los dos siguientes teoremas, es fundamental que los sucesos {A 1, A 2,..., A n } S formen un sistema completo de sucesos para el experimento aleatorio que estamos considerando recuérdese la definición Teorema de la probabilidad total Sea E, S, p un espacio de probabilidad y sea {A 1, A 2,..., A n } S un sistema completo de sucesos. Entonces la probabilidad de cualquier suceso B S es B p B = p A 1 p A 1 B B + p A 2 p p A n p A 2 A n Demostración : Nos basamos en la descomposición 9.1, que está formada por sucesos disjuntos: B = B A 1 B A 2... B A n, y teniendo en cuenta que B p B A i = p A i p podemos afirmar que A i, i {1, 2,..., n}, p B = p B A 1 + p B A p B A n = B B B = p A 1 p + p A 2 p p A n p A 1 A 2 A n, que es precisamente lo que afirma el teorema.

19 10.5. Ejercicios y problemas 19 Teorema de Bayes Sea E, S, p un espacio de probabilidad, sea {A 1, A 2,..., A n } S un sistema completo de sucesos y sea B cualquier suceso no imposible. Entonces Ai p A i p B Ai p = B p A 1 p B + p A A1 2 p B p A A2 n p B An Las probabilidades {p A i } 1 i n se llaman verosimilitudes y son las probabilidades de las que partimos en casi todos los ejercicios; las probabilidades {p B/A i } 1 i n se llaman probabilidades a priori y también suelen ser conocidas o se pueden deducir de forma inmediata; y las probabilidades {p A i /B} 1 i n se denominan probabilidades a posteriori y sólo en casos muy concretos se nos solicitan. En tal caso, las encontraremos utilizando el teorema de Bayes, que es el teorema que específicamente las determina. Demostración : Sólo hay que aplicar la definición de probabilidad condicionada. Ai p = p A i B. B p B Aplicando al numerador el teorema de la probabilidad compuesta y al denominador el teorema de la probabilidad total , hemos acabado Ejercicios y problemas Ejercicio 6 Sean A y B dos sucesos tales que p A C = 0 60, p B = 0 25 y p A B = a 1 punto Razone si A y B son independientes. b 1 punto Calcule p A C B C. Solución : Es claro que p A = 1 p A C = 0 4. Además p A B = p A + p B p A B = = 0 1, p A p B = = 0 1. Como p A B = p A p B, los sucesos A y B son independientes. Por otro lado, aplicando las leyes de De Morgan, se tiene que p A C B C = p A B C = 1 p A B = = 0 9.

20 20 CAPÍTULO 10. PROBABILIDAD CONDICIONADA Ejercicio 7 Sea A y B dos sucesos independientes de un experimento aleatorio tales que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es 1/3 y la de que no ocurra ninguno de los dos es 1/6. Calcúlese p A y p B. Solución : Los datos que nos indica el problema son p A B = 1 3, p Ā B = 1 6, pero también nos da otro dato muy importante: son independientes, por lo que deducimos que p A B = p A p B. Llamemos p = p A. Según esta igualdad, se tiene que p B = p A B p A = 1/3 p = 1 3p. Utilizamos ahora las leyes de De Morgan lema 9.4.1, apartado 6 para determinar que 1 6 = p Ā B = p A B = 1 p A B = 1 p A + p B p A B = = 1 p 1 3p Multiplicando por 6p tenemos la ecuación de segundo grado 1 6 = 1 p 1 3p p = 6p 6p p 6p 2 7p + 2 = 0 p { 1 2, 2 }. 3 Si p = p A = 1/2, entonces p B = 1/3p = 2/3 y viceversa, por lo que deducimos que las probabilidades de los sucesos A y B son 1/2 y 2/3, aunque pueden ser intercambiables. Ejercicio 8 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 18 de los 25 temas correspondientes a la materia del curso. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Halla la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. Solución : Llamemos S i al suceso el alumno sabe el i ésimo tema extraído al azar. Entonces el alumno aprobará si sabe alguno de los dos temas que extrae, es decir, S 1 S 2. Este suceso, según el apartado 8 del lema , se descompone en dos: o bien se sabe el primero y ya aprueba, sea cual sea el segundo tema o bien se sabe el segundo pero no el primero. Entonces p aprobar = p S 1 S 2 = p S 1 + p S 2 S 1 = p S 1 + p S1 S 2 = = p S 1 + p S2 S1 p = 18 S = 93 = 93 %. 100 Resulta entonces que con este método de examen, el alumno posee un 93 % de posibilidades de aprobar.

21 10.5. Ejercicios y problemas 21 Ejercicio 9 Realizando un examen como en el ejercicio 8 se sacan dos temas de 25 y se responde a uno de ellos, cuántos temas debe estudiar el alumno para que su probabilidad de aprobar sea del 99 %? Solución : Supongamos que el alumno estudia x temas de los 25 que hay en el temario. Entonces su probabilidad de aprobar es, razonando como antes, p aprobar = p S 1 S 2 = p S 1 + p S2 S1 p = x S x x = = 24x + 25x x = 49x x Si queremos que esta probabilidad sea del 99 % debemos resolver la ecuación 49x x = x x = 0 x {22, 27}. Como en el temario no hay 27 temas, descartamos esta posibilidad. Así, el alumno debe estudiar 22 temas para asegurarse una probabilidad de aprobar del 99 %. Ejercicio 10 Se sacan tres cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que las tres sean de copas suponiendo que no hay reemplazamiento. Y si hay reemplazamiento? Solución : Llamemos C i al suceso elegida la i ésima carta al azar, ésta resulta ser de copas. Es claro que p C 1 = 10/40 = 1/4, porque hay 40 cartas y, de ellas, 10 son de copas. Extraída la primera carta, que resulta ser de copas, la probabilidad de que la segunda carta también sea de copas es p C2 C 1 = 9 39, porque quedan 9 cartas de copas en la baraja de 39. Igualmente, si la primera y la segunda han sido de copas, la tercera tiene la siguiente probabilidad de ser de copas: C3 p = 8 C 1 C 2 38, porque quedan 8 cartas de copas en la baraja de 38. Aplicando el teorema de la probabilidad compuesta , se tiene que p C 1 C 2 C 3 = p C 1 p C2 C 1 C3 p = 10 C 1 C = Si hay reemplazamiento, la probabilidad de sacar una carta de copas no depende de las cartas que ya hayan salido, ya que éstas se devuelven a la baraja. Por tanto: C2 C3 p C 1 = p = p = 10 C 1 C 1 C 2 40 = 1 4.

22 22 CAPÍTULO 10. PROBABILIDAD CONDICIONADA Así, nuevamente p C 1 C 2 C 3 = p C 1 p C2 Obsérvese que los sucesos C 1 y C 2 son independientes. C 1 C3 p = p C 1 3 = C 1 C = Ejercicio 11 Se extraen dos cartas a la vez de una baraja española. Calcula la probabilidad de que: a las dos sean de copas; b las dos sean de espadas; c la primera sea de copas y la segunda de espadas; d una sea de copas y otra sea de espadas; e ninguna sea de copas; f alguna de ellas sea de copas; g sólo una de ellas sea de copas. De todos los sucesos anteriores, cuál es el más probable? Solución : Cuando extraemos dos cartas de la baraja, podemos considerar que lo hacemos consecutivamente y sin reemplazamiento. Entonces la probabilidad de que las dos sean de copas es: p C 1 C 2 = p C 1 p C2 C 1 E 1 = = Que las dos sean de espadas conduce a la misma probabilidad, pues E2 p E 1 E 2 = p E 1 p = = Para que la primera sea de copas y la segunda de espadas, E2 p C 1 E 2 = p C 1 p = = El suceso A = una de copas y otra de espadas se puede dividir en dos partes disjuntas, según cómo sea la primera: p A = p C 1 E 2 E 1 C 2 = p C 1 E 2 + p E 1 C 2 = E2 C2 = p C 1 p + p E 1 p = = C 1 C 1 E 1

23 10.5. Ejercicios y problemas 23 La probabilidad de que ninguna sea de copas se puede calcular igualmente recurriendo a probabilidades condicionadas: p C1 C 2 = p C1 p C2 C 1 = = La probabilidad de que alguna de ellas sea de copas es la probabilidad del suceso unión C 1 C 2 : o la primera es de copas, o lo es la segunda, o lo son ambas. Conocemos varias formas de calcular esta probabilidad. La más ingeniosa consiste en pasar al complementario y utilizar las leyes de De Morgan propiedad 6 del lema 9.4.1: p C 1 C 2 = p C1 C 2 = 1 p C1 C 29 2 = 1 52 = También pudiéramos aplicar el apartado 8 del lema , teniendo en cuenta que alguna es de copas si, y sólo si, o bien la primera es de copas o bien la segunda es de copas pero la primera no; entonces p C 1 C 2 = p C 1 + p C 2 C 1 = p C 1 + p C 2 C 1 = p C1 + p C1 p C2 C 1 = = = Finalmente, la probabilidad del suceso B = sólo una de ellas es de copas se puede expresar como la suma p B = p C 1 C 2 + p C 2 C 1 = p C 1 C 2 + p C2 C 1 = C2 = p C 1 p + p C2 C1 p = 10 C = C 1 De todos los sucesos anteriores, el más probable es que no salga ninguna copa, es decir, C 1 C 2, cuya probabilidad es de 29/52. Ejercicio 12 Se extraen dos cartas consecutivamente de una baraja española. Calcula la probabilidad de que: a la segunda sea de copas; b la segunda sea de copas si la primera ha sido de copas; c la segunda sea de copas si la primera no ha sido de copas; d la primera sea de copas si la segunda ha sido de copas; e la primera no sea de copas si la segunda sí ha sido de copas; f la primera no sea de copas si la segunda no ha sido de copas;

24 24 CAPÍTULO 10. PROBABILIDAD CONDICIONADA g la primera sea de copas si la segunda ha sido de espadas. De todos los sucesos anteriores, cuál es el más probable? Solución : Sabemos que p C 1 = 10/40 = 1/4 y que p C1 = 30/40 = 3/4. Para calcular la probabilidad de que la segunda sea de copas, aplicamos el teorema de la probabilidad total , utilizando el sistema completo { C 1, C 1 }, que viene a decir que o bien la primera es de copas o bien no lo es obvio. Entonces: C2 p C 2 = p C 1 p + p C2 C1 p = 10 C = 1 4. C 1 Si tenemos información adicional sobre lo que ha ocurrido en la primera carta, no hace falta aplicar este teorema, pues p C2 C 1 e igualmente si la primera no ha sido de copas: p C2 = 9 39, C 1 = Cuando nos preguntan por un suceso que ya ha pasado sabiendo lo que ha pasado después, hemos de aplicar el teorema de Bayes Por ejemplo, la probabilidad de que la primera sea de copas si la segunda ha sido de copas es p C1 C 2 = p C 1 C 2 p C 2 = p C 1 p C2 C 1 p C 2 = = Obsérvese que la probabilidad del denominador, en vez de desarrollarla, ya la hemos calculado antes con el teorema de la probabilidad total. Lo mismo ocurre en los siguientes casos: p C1 p C2 C 1 C1 p = p C1 C 2 = p C 2 C 2 p C 2 = = También podíamos haber calculado esta probabilidad pasando al complementario: C1 C1 p = 1 p = = De la misma forma: C 2 C1 p = p C1 C 2 C 2 p = C2 C 2 p C1 p C2 C 1 1 p C 2 = = Finalmente, p C1 E 2 = p C 1 E 2 p E 2 = p C 1 p E2 C 1 p E 2 = = 10 39,

25 10.5. Ejercicios y problemas 25 donde previamente hemos calculado p E 2 = p E 1 p E2 E 1 + p E2 Ē 1 p Ē 1 = = 1 4. De todas las probabilidades anteriores, la mayor es 29/39, que se corresponde con el suceso la primera no ha sido de copas sabiendo que la segunda no ha sido de copas. Ejercicio 13 Se extraen dos cartas consecutivamente de una baraja española. Calcula la probabilidad de que la segunda sea de espadas sabiendo que la primera no ha sido de copas. Solución : Vamos a tratar de aplicar dos veces el teorema de la probabilidad total utilizando dos sistemas completos de sucesos distintos: { E 1, Ē1} y { C1, C 1 }, y calcularemos la probabilidad de que la segunda sea de espadas. Por un lado, se tiene que E2 p E 2 = p E 1 p + p E2 Ē 1 p E 1 Ē 1 = = 1 4. Esta probabilidad sí se puede calcular. Pero utilizando el otro sistema, E2 p E 2 = p C 1 p + p E2 C1 p = 10 C p C 1 E2 C 1. Esta probabilidad que interviene se puede despejar porque ya hemos calculado p E 2 en el otro sistema completo. Así: E2 p = C = Ejercicio 14 El 60 % de los habitantes de un país están satisfechos con su situación económica, y el 80 % de esos habitantes tiene vivienda propia. De los que no están satisfechos con su situación económica, sólo el 20 % tienen vivienda propia. a Qué porcentaje de habitantes tiene vivienda propia? b Qué porcentaje de los habitantes que tienen vivienda propia está satisfecho con su situación económica? c Qué porcentaje de los habitantes sin vivienda propia está satisfecho con su situación económica? Solución : Llamemos S al suceso elegido un individuo al azar, éste está satisfecho con su situación económica y llamemos V al suceso elegido un individuo al azar, éste tiene vivienda propia. Las probabilidades que nos da el enunciado son las siguientes.

26 26 CAPÍTULO 10. PROBABILIDAD CONDICIONADA 0 8 V S V V 4 S 0 8 V La probabilidad de tener vivienda es, según el teorema de la probabilidad total : V p V = p S p + p S p = S V S = = 0 56 = 56 %. Por otro lado, entre los habitantes que tienen vivienda propia, el porcentaje de los que están satisfechos con su situación económica es, según el teorema de Bayes , S p = p S p V S = V p V 0 = = %. Finalmente, entre los habitantes sin vivienda propia, el porcentaje de los que están satisfechos con su situación económica es: p S p V S p = S V p = V = = %. Nota 3 Podemos resolver el ejercicios anterior con una tabla de contingencia como la siguiente S S Total V 80 % de 60 = % de 40 = 8 56 V Total Ejercicio 15 Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente en un día nublado es 0 09 y en un día soleado, Durante un periodo de diez días ha habido siete días soleados y tres nubosos. Sabiendo que se ha producido un accidente en uno de esos días, calcula la probabilidad: a de que fuera en un día nublado; b de que fuera en un día soleado. Solución : Sea S el suceso elegido un día al azar entre esos diez, éste ha salido soleado y sea N = S = nublado. Igualmente, sea A el suceso elegido un día al azar entre esos diez, en éste el autobús ha tenido un accidente. Tenemos entonces las siguientes verosimilitudes, p S = 0 7 y p N = 0 3, y las siguientes probabilidades a priori: p A/S = 0 005, p A/N = 0 09 p Ā/S = 0 995, p Ā/N = 0 91.

27 10.5. Ejercicios y problemas A S Ā A N 0 91 Ā Con el diagrama en árbol adjunto, calculamos primeramente la probabilidad de sufrir un accidente utilizando el teorema de la probabilidad total : p A = p S p A A + p N p = S N = = Con este dato, calculamos las dos probabilidades a posteriori que se nos solicita, utilizando el teorema de Bayes y la probabilidad del complementario: p N A = p N p A N = p A = = %, p S N = 1 p = 7 A A %. Ejercicio 16 Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación se extrae una segunda bola. Calcula la probabilidad de que: a la segunda bola sea verde; b las dos bolas extraídas sean del mismo color. Solución : Llamemos R i al suceso la i ésima bola extraída es roja e igualmente V i con el color verde. Las verosimilitudes son p R 1 = 5/13 y p V 1 = 8/13. Si la primera bola que se saca es roja, quedarán en la urna 4 bolas rojas, y como se reemplazaría la roja por dos verdes, habría 10 bolas verdes. Por tanto, p R2 R 1 = 4 14 = 2 7, p V2 = 10 R 1 14 = 5 7. Igualmente, si la primera fuese verde, quedarían en la urna 7 bolas verdes, y como se añadirían dos rojas, tendríamos también siete bolas rojas. Así completamos las probabilidades a priori: R2 p = 7 V 1 14 = 1 2, p V2 = 7 V 1 14 = 1 2. Aplicamos entonces el teorema de la probabilidad total para calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde:

28 28 CAPÍTULO 10. PROBABILIDAD CONDICIONADA 2/7 R 2 R 1 5/13 5/7 V 2 1/2 R 2 8/13 V 1 1/2 V 2 V2 p V 2 = p R 1 p + p V 1 p R 1 = = V2 V 1 = La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color es: p mismo color = p R 1 R 2 V 1 V 2 = p R 1 R 2 + p V 1 V 2 = = p R 1 p R2 R 1 + p V 1 p V2 V 1 = = Ejercicio 17 En dos urnas, A y B, se introducen dos bolas blancas y una negra, y tres bolas negras y una blanca, respectivamente. Se selecciona una urna al azar y se extrae también al azar una bola de dicha urna. Cuál es la probabilidad de que la urna elegida sea la A si la bola extraída resultó ser blanca? Solución : Llamemos U A y U B a los sucesos elegir, al azar, la urna A y la urna B, respectivamente, y sean B y N los sucesos extraída una bola al azar, ésta resulta ser blanca y negra, respectivamente. Tenemos las siguientes verosimilitudes y probabilidades a priori. B U A 1/2 1/3 N 1/4 B 1/2 U B 3/4 N 2/3 Aplicando el teorema de la probabilidad total: B B p B = p U A p + p U B p = U A U B = = Así, aplicando el teorema de Bayes, p UA = p U A p B/U A = B p B =

29 10.5. Ejercicios y problemas 29 Ejercicio 18 Una cuarta parte de las participantes en un congreso son españolas. La probabilidad de que una congresista desayune té si es española es un octavo, y si es extranjera, un tercio. Si se elige una congresista al azar, calcula la probabilidad de que: a desayune té; b no sea española si desayuna té; c sea española si no desayuna té. Solución : Resumimos en la siguiente tabla las verosimilitudes y las probabilidades a priori, y calculamos la probabilidad de que una congresista, elegida al azar, desayune té. T E 1/4 7/8 T 1/3 T 3/4 Ē 2/3 T 1/8 Aplicando el teorema de la probabilidad total: T p T = p E p + p Ē TĒ p = E = = Así, la probabilidad de que no sea española si desayuna té es: Ē p = p Ē p 3 TĒ 4 = 1 3 = 8 T p T 9, y la probabilidad de que sea española si no desayuna té es: Ē p E p T 1 E p = T p 4 = 7 8 T = 7 23.