UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA METODOS NUMERICOS Elaborado Carlos Iván Bucheli Chaves Corregido por Ricardo Gómez Narváez Revisado por Carlos Edmundo López Sarasty (Director Nacional) PASTO Enero de

2 UNIDAD III: Diferenciación, Integración Numérica y Solución de Ecuaciones Diferenciales. CAPITTULLO 55: : DIFFERENCI IACIÓN ee INTTEGRACI I ION NUMERICA.. Lección 15 Diferenciación Numérica. 177 Lección 16 Integración Numerica Lección 17 Regla del trapecio. 186 Lección 18 Regla de Simpson Lección 19 Integración de Romberg y Ejercicios del Capitul CAPITTULLO 66: : SOLLUCI ION DE ECUACIONES DIFFERENCI IALLES.. Lección 20 Método de Euler Lección 21 Método de Runge Kutta. 217 Lección 22 Método Multipasos, Ejercicios del Capitulo y Autoevaluación 223 2

3 ALCANCE DEL CURSO ACADEMICO El estudiante comprenderá la importancia de los métodos numéricos y conocerá Las características operativas del software de cómputo numérico comercial. Implementará métodos de solución de ecuaciones algebraicas o trascendentales, con apoyo de un lenguaje de programación. Implementará los métodos numéricos de solución de sistemas de ecuaciones, con apoyo de un lenguaje de programación. Aplicará los métodos numéricos para la solución de problemas de diferenciación e integración numérica, usando un lenguaje de programación. Por ultimo, Aplicará los métodos numéricos para la solución de problemas de diferenciación e integración numérica, usando un lenguaje de programación. Por tanto al finalizar la lectura y comprensión de este modulo el estudiante estará en la capacidad de: Analizar en grupo la importancia de los métodos numéricos en la ingeniería y en las ciencias. Analizar en grupo los conceptos de cifra significativa, precisión, exactitud, sesgo e incertidumbre, así como los diferentes tipos de error: absoluto y relativo por redondeo por truncamiento numérico total humanos. Buscar y diferenciar las características de un software de cómputo numérico. Exponer por equipos, las características de un software de cómputo numérico. Realizar prácticas del uso de un software de cómputo numérico, apoyándose en tutoriales y manuales correspondientes. Buscar y analizar la interpretación gráfica de una raíz y la teoría de alguno de los métodos iterativos. Buscar y catalogar los diferentes métodos numéricos de solución de ecuaciones. Diseñar e implementar los métodos numéricos catalogados, utilizando la herramienta de cómputo numérico. Resolver ejercicios aplicando los métodos implementados, validando sus resultados. 3

4 Buscar y clasificar los fundamentos matemáticos de la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Identificar gráficamente, los casos de sistemas de ecuaciones lineales mal condicionadas y su relación matemática con el determinante. Analizar en grupo la solución de sistemas de ecuaciones, empleando los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Implementar y evaluar los métodos iterativos empleando un lenguaje de programación. Buscar y clasificar los fundamentos matemáticos de la solución de sistemas de ecuaciones no-lineales. Analizar en grupo la solución de sistemas de ecuaciones no-lineales, empleando métodos iterativos. Implementar y evaluar los métodos iterativos empleando un lenguaje de programación. Buscar y clasificar los métodos numéricos de diferenciación. Representar gráficamente los métodos clasificados. Analizar en grupo la diferenciación, empleando los métodos clasificados. Diseñar e implementar los métodos de diferenciación numérica. Diseñar e implementar los métodos de integración numérica. Buscar y clasificar los métodos numéricos de integración. Representar gráficamente los métodos clasificados. Analizar en grupo la integración, empleando los métodos clasificados. Buscar y clasificar los métodos numéricos de diferenciación. Aplicar los métodos a la solución de ejercicios, empleando una calculadora. Diseñar, implementar y evaluar los métodos numéricos de Euler y de Runge-Kutta. Investigar aplicaciones de estos métodos numéricos y mostrar resultados. 4

5 UNIDAD 3: DIFERENCIACIÓN, INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CAPITULO 5: DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Lección 15 Diferenciación Numérica Concentremos ahora nuestra atención a procedimientos para diferenciar numéricamente funciones que están definidas mediante datos tabulados o mediante curvas determinadas en forma experimental. Un método consiste en aproximar la función en la vecindad del punto en que se desea la derivada, mediante una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y utilizar entonces la derivada de la parábola en ese punto como la derivada aproximada de la función. Otro ejemplo, que comentaremos aquí, utiliza los desarrollos en serie de Taylor. La serie de Taylor para una función Y = f(x) en respecto al punto Xi es, desarrollada con (1) 5

6 en donde Yi es la ordenada que corresponde a Xi y región de convergencia. La función para se encuentra en la está dada en forma similar por: (2) Utilizando solamente los tres primeros términos de cada desarrollo, podremos obtener una expresión para Y'i restando la ec. (2) de la ec. (1), (3) Fórmulas de diferencia (Diferencias centrales, hacia adelante y hacia atrás)../../../documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema6/derivada.html - atras Fig. 1 Observando la figura, vemos que si designamos los puntos uniformemente espaciados a la derecha de Xi como Xi+1, Xi+2, etc. y los puntos a la izquierda de Xi como Xi-1, Xi-2, etc. e identificamos las ordenadas correspondientes como Yi+1, Yi+2, Yi-1, Yi-2, respectivamente, la ec. (3) se puede escribir en la forma: 6

7 (4) La ec. (4) se denomina la primera aproximación, por Diferencias Centrales de Y', para X. La aproximación representa gráficamente la pendiente de la recta discontinua mostrada en la figura. La derivada real se representa mediante la línea sólida dibujada como tangente a la curva en Xi. Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) y utilizamos la notación descrita previamente, podemos escribir la siguiente expresión para la segunda derivada: (5) La ec. (5) es la primera aproximación, por Diferencias Centrales, de la segunda derivada de la función en Xi. Esta expresión se puede interpretar gráficamente como la pendiente de la tangente a la curva en Xi+1/2 menos la pendiente de la tangente a la curva en Xi-1/2 dividida entre las expresiones:, cuando las pendientes de las tangentes están aproximadas mediante (6) es decir, (7) Para obtener una expresión correspondiente a la tercera derivada, utilizamos cuatro términos en el segundo miembro de cada una de las ecs. (1) y (2). Restando la ec. (2) de la ec. (1) se obtiene: 7

8 (8) Si desarrollamos la serie de Taylor respecto a Xi para obtener expresiones correspondientes a Y = f(x) en y, respectivamente, obtenemos: (9) Restando la primera ec. (9) de la segunda, y utilizando solamente los cuatro términos mostrados para cada desarrollo, se obtiene: (10) La solución simultánea de las ecs. (8) y (10) produce la tercera derivada: (11) La ec. (11) es la primera expresión de Diferencias Centrales correspondiente a la tercera derivada de Y en Xi. Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero como requieren la solución de un número cada vez mayor de ecuaciones simultáneas, el proceso se vuelve tedioso. La misma técnica se puede utilizar también para encontrar expresiones más precisas de las derivadas utilizando términos adicionales en el desarrollo en serie de Taylor. Sin embargo, la derivación de expresiones más precisas, 8

9 especialmente para derivadas de orden superior al segundo, se vuelve muy laboriosa debido al número de ecuaciones simultáneas que se deben resolver. No se presentan aquí esas derivaciones, pero dichas expresiones, para diferentes derivadas, se incluyen en el resumen que sigue a estos comentarios. Las expresiones correspondientes a las derivadas de mayor orden se logran con mucho mayor facilidad y bastante menos trabajo, utilizando operadores de diferencias, de promedios y de derivación. Este método se encuentra fuera de los alcances fijados, pero se pueden encontrar en varios libros referentes al análisis numérico. Se ha demostrado que las expresiones de Diferencias Centrales para las diversas derivadas encierran valores de la función en ambos lados del valor X en que se desea conocer la derivada en cuestión. Utilizando desarrollos convenientes en serie de Taylor, se pueden obtener fácilmente expresiones para las derivadas, completamente en términos de valores de la función en Xi y puntos a la derecha de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Adelante. En forma similar, se pueden obtener expresiones para las derivadas que estén totalmente en términos de valores de la función en Xi y puntos a la izquierda de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Atrás. En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que cualquiera de las otras dos. Resumen de fórmulas de diferenciación../../../documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema6/deriva02.html - atraslo que sigue es un resumen de las fórmulas de diferenciación que se pueden obtener a base de desarrollos en serie de Taylor. 9

10 Expresiones de Primeras Diferencias Centrales (12) Expresiones de Segundas Diferencias Centrales (13) 10

11 Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Adelante (14) Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Adelante (15) 11

12 Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Atrás (16) Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Atrás (17) EJEMPLO../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema6/deriva02.html - atrasúsense aproximaciones de Diferencias Finitas Hacia Adelante, Hacia Atrás y Centradas para estimar la primera derivada de: 12

13 Utilizando un tamaño de paso de = 0.5. Repetir los cálculos usando = Nótese que la derivada se puede calcular directamente como: y evaluando tenemos: f'(0.5) = SOLUCIÓN: Para = 0.5 se puede usar la función para determinar: Xi-1 = 0.0 Yi-1 = Xi = 0.5 Yi = Xi+1 = 1.0 Yi+1 = Estos datos se pueden utilizar para calcular la Diferencia Hacia Adelante: la Diferencia Dividida Hacia Atrás será: y la Diferencia Dividida Central: 13

14 Para = 0.25, los datos son: Xi-1 = 0.25 Yi-1 = Xi = 0.50 Yi = Xi+1 = 0.75 Yi+1 = que se usarán para calcular la Diferencia Dividida Hacia Adelante: la Diferencia Dividida Hacia Atrás: y la Diferencia Dividida Central: Para los dos tamaños de paso, las aproximaciones por Diferencias Centrales son más exactas que las Diferencias Divididas Hacia Adelante o las Diferencias Divididas Hacia Atrás. También, como lo predijo el análisis de la serie de Taylor, la división del intervalo en dos partes iguales, divide a la mitad el error de las Diferencias Hacia Atrás o Hacia Adelante y a la cuarta parte el error de las Diferencias Centrales. En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes: 1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica. 2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. 3. Una función tabulada en donde los valores de X y f(x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales. 14

15 En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. 15

16 Lección 16 Integración Numérica Lección 17 Regla del trapecio La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton- Cotes. Considérese la función f(x), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho indica en la figura. y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se Fig. 1 Llamando a las ordenadas Y i (i = 1, 2, 3,..., n+1), las áreas de los trapecios son: 16

17 (1) El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por: (2) Sustituyendo las ecs. (1) en esta expresión se obtiene: (3) La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como: (4) En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(x) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos. 17

18 Si la función f(x) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f'(x) y f''(x), el error que resulta de aproximar el área verdadera en una faja bajo la curva f(x) comprendida entre Xi y Xi+1 mediante el área de un trapecio, se demuestra que es igual a: (5) Este error es la cantidad que se debe agregar al área del trapecio para obtener el área real. Se llama Error por Truncamiento, ya que es el error que resulta de utilizar una serie de Taylor truncada, en vez de una serie de Taylor completa, para representar en forma de serie el área de una faja. Generalmente no se puede valuar directamente el término mostrado como error por truncamiento. Sin embargo, se puede obtener una buena aproximación de su valor para cada faja suponiendo que f '' es suficientemente constante en el intervalo de la faja (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y evaluando f '' para. La estimación del error por truncamiento para la integración total se obtiene sumando las estimaciones para cada faja. Si la estimación obtenida para el error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se debe utilizar una faja más angosta o un método más preciso. Otro error que se introduce al obtener el área aproximada de cada faja es el Error por Redondeo. Este se produce cuando las operaciones aritméticas requeridas se efectúan con valores numéricos que tienen un número limitado de dígitos significativos. Se puede demostrar que una aproximación a el límite del error por redondeo es: (6) Tenemos entonces que el límite en el error por redondeo aumenta proporcionalmente a, lo cual pronto domina al error por truncamiento que es proporcional a. En realidad, el error por redondeo en sí no crece proporcionalmente con sino con en que 0 < p < 1, pero sin embargo aún supera al error por truncamiento si decrece lo suficiente. 18

19 El error por redondeo se puede minimizar utilizando aritmética de doble precisión o mediante compiladores que pueden manejar un gran número de dígitos significativos. De la información anterior se puede ver que el error total en el intervalo de integración deseado, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Si el error total se debiera únicamente al error por truncamiento, se podría hacer tan pequeño como se deseara reduciendo suficientemente el ancho de la faja. Por ejemplo, bisectando el ancho de la faja se duplicaría el número de errores por truncamiento que hay que sumar, pero la expresión para el error en cada faja indica que cada uno sería aproximadamente un octavo de su valor previo. Sin embargo, disminuyendo el ancho de la faja se afectaría también el error total al aumentar el error por redondeo, debido al mayor número de operaciones que hay que efectuar al valuar la ec. (3). Entonces, cuando se disminuye el ancho de la faja para disminuir el error total, existe un punto óptimo en el cual disminuciones adicionales del ancho de la faja harían que el error aumentara en lugar de disminuir, porque el error por redondeo se volvería dominante. El ancho óptimo de la faja para una función especial se puede determinar fácilmente en forma experimental en la computadora (suponiendo que el área real bajo la gráfica de la función se puede valuar) pero es difícil definirlo analíticamente. 19

20 Lección 18 Regla de Simpson Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson. Regla de Simpson 1/3 La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(x) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos: (X i, Y i ) (X i+1, Y i+1 ) (X i+2, Y i+2 ) Fig. 2 20

21 Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación. La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es: (7) La integración de la ec. (7) desde - hasta proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto: (8) Fig. 3 La sustitución de los límites en la ec. (8) produce: 21

22 (9) Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos, (0, Yi + 1), y deben satisfacer la ec. (7). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce: (10) La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a: (11) La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce: (12) que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2 y el ancho faja. de una Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho. 22

23 Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que: (13) Sumando estas áreas, podemos escribir: (14) o bien (15) en donde n es par. La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho. Si la función f(x) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f ' a, el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos fajas bajo la curva f(x) comprendida entre Xi-1 y Xi+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es: 23

24 (16) Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para cada intervalo de dos fajas suponiendo que es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y valuando para. La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos de dos fajas menores. Considerando el error por redondeo que también aparece, existe un ancho óptimo de la faja para obtener un error total mínimo en la integración. Regla de simpson 3/8 La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es: (17) Fig. 4 24

25 En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo de integración es de - a, lo que produce: (18) que es la regla de los tres octavos de Simpson. La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de: (19) Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3. La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar. EJEMPLO Utilícese la regla trapezoidal de cuatro segmentos o fajas para calcular la integral de Desde a = 0 hasta b = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la integral es SOLUCIÓN n = 4 25

26 X f(x) Usando la fórmula trapezoidal: ex = = e% = 9.5 % 1. Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con n = 4 para calcular la integral del inciso anterior../../../documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema5/integ03.html - atras SOLUCIÓN n = 4 X f(x)

27 Usando la regla de Simpson de 1/3 ex = = e% = 1.04 % 2. Utilícese la regla de Simpson de 3/8 para calcular la integral anterior:../../../documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema5/integ03.html - atras SOLUCIÓN Como se requieren cuatro puntos o tres fajas para la regla de Simpson de 3/8, entonces: X f(x)

28 Usando la ecuación de Simpson de 3/8 ex = = e% = 7.4 % 3. Utilícese en conjunción las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar la misma función usando cinco segmentos. SOLUCIÓN Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = 0.16) son: X f(x) La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de Simpson de 1/3: Para los últimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 para obtener: 28

29 La integral total se calcula sumando los dos resultados: I = = ex = = e% = % 29

30 Lección 19 Integración de Romberg y Ejercicios del capitulo Sea el valor de la integral que aproxima a, mediante una partición de subintervalos de longitud Entonces, y usando la regla del trapecio. donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla. El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto. El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual es una fórmula recursiva. Supongamos que tenemos dos aproximaciomnes : e Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas: donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los subintervalos. Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces : 30

31 Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que: De aquí podemos despejar : En el caso especial cuando (que es el algoritmo de Romberg), tenemos : 31

32 Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta donde se desee. Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando. Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior. Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n. Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior. Ejemplo 1. Usar el algoritmo de Romberg, para aproximar la integral 32

33 usando segmentos de longitud. Solución. Primero calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las longitudes de segmentos indicadas: Con estos datos, tenemos: Ahora pasamos al segundo nivel de aproximación donde usaremos la fórmula que se dedujo anteriormente: 33

34 donde es la integral menos exacta (la que usa menos subintervalos) e es la más exacta (la que usa el doble de subintervalos). En un diagrama vemos lo siguiente: Para avanzar al siguiente nivel, debemos conocer la fómula correspondiente. De forma similar a la deducción de la fórmula, se puede ver que la fórmula para el siguiente nivel de aproximación (nivel 3) queda como sigue: donde: es la integral más exacta es la integral menos exacta En el siguiente nivel (nivel 4) se tiene la fórmula En el ejemplo anterior, obtenemos la aproximación en el nivel 3 como sigue: Así, podemos concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de Romberg en el ejemplo 1, es: 34

35 Ejemplo 2. Usar el algoritmo de Romberg para aproximar la integral: Agregando a la tabla anterior donde. Solución. Calculamos con la regla del trapecio: Tenemos entonces la siguiente tabla: De donde concluímos que la aproximación buscada es: Ejemplo 3. Aproximar la siguiente integral: 35

36 Usando el método de Romberg con segmentos de longitud,,, Solución. Igual que arriba, primero usamos la regla del trapecio (con los valores de indicados) para llenar el nivel 1. Tenemos entonces que: h A continuación, usamos las fórmulas de Romberg para cada nivel y obtenemos la siguiente tabla: De donde concluímos que la aproximación buscada es: Podemos escribir una fórmula general para calcular las aproximaciones en cada uno de los niveles como sigue: 36

37 DE ALGORITMO DE INTEGRACIÓN ROMBERG Los coeficientes en cada una de las fórmulas en el método de Romberg, deben sumar 1. Así se tiene la siguiente fórmula recursiva: donde: es la integral más exacta es la integral menos exacta y el indice k indica el nivel de integración o de aproximación. Por ejemplo, digamos que, entonces tenemos: que es nuestra fórmula del nivel 2 de aproximación. Como todo proceso iterativo, éste se detiene cuando se obtiene una aproximación suficientemente buena. En este caso se pide que: donde es la cota suficiente. Ejemplo 1.Aplicar el algoritmo de integración de Romberg a la integral: tomando 37

38 Solución. En este caso no sabemos exactamente cuantas aproximaciones debemos hacer con la regla del trapecio. Así que para comenzar hacemos los cálculos correspondientes a uno, dos, cuatro y ocho subintervalos: Con estos datos, podemos hacer los cálculos hasta el nivel 4. Tenemos la siguiente tabla: Haciendo los cálculos de los errores, nos damos cuenta que efectivamente la aproximación se obtiene hasta el nivel 4, donde. Por lo tanto, concluimos que la aproximación buscada es: 38

39 39

40 EJERCICIOS 1. Usar la regla del trapecio para aproximar, i) Dividiendo en un solo intervalo. ii) Dividiendo en 6 intervalos. Soluciones: i) ii) Usar la regla de Simpson 1/3 para aproximar, i) Dividiendo en un solo intervalo. ii) Dividiendo en 4 intervalos. Soluciones: i) ii) Usar la regla de Simpson 3/8 para aproximar, i) Dividiendo en un solo intervalo. ii) Dividiendo en 4 intervalos. Soluciones: i) ii) Integrar las siguientes tablas de datos: i) ii) 40

41 Soluciones: i) ii) Usar el algoritmo de integración de Romberg para aproximar, i) Usando 1, 2 y 4 intervalos. ii) Agregando al inciso anterior, 8 intervalos. Soluciones: i) ii) Aproxime la integral del EJEMPLO anterior, tomando como cota suficiente. Solución

42 CAPITULO 6: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PROBLEMAS DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales ordinarias Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentra dentro de este contexto. Solución de una ecuación diferencial. Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n y cualquier grado, cuya forma general es: (1) Se establece en matemáticas que en su solución general deben aparecer n constantes arbitrarias. Entonces, puede aceptarse que la solución general de (1) es: G X, Y, C, C,..., ) 0 (2) ( 1 2 C n Gráficamente esta ecuación representa una familia de curvas planas, cada una de ellas obtenidas para valores particulares de la n constante, C 1, C2,..., Cn, como se ve en la gráfica: 42

43 Cada una de estas curvas corresponde a una solución particular de la ecuación diferencial (1) y analíticamente puede obtenerse sujetando la solución general (2) a n condiciones independientes que permiten valuar las constantes arbitrarias. Dependiendo de como se establezcan estas condiciones, se distinguen dos tipos de problemas: los llamados de Valores Iniciales y los de Valores en la Frontera. Un problema de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de n condiciones independientes todas ellas, válidas para el mismo punto inicial. Si la ecuación (1) es la ecuación diferencial que define el problema, y X = a es el punto inicial, puede aceptarse que las n condiciones independientes son: (3) Se tratará de obtener una solución particular de (1) que verifique (3) como se presenta en la gráfica 43

44 Por el contrario, en los problemas de valores en la frontera deben establecerse condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos que constituyen la frontera del dominio de soluciones del problema. En particular en el espacio de una dimensión, hay dos puntos frontera, por ejemplo, X = a y X = b, si el dominio de soluciones es el intervalo cerrado ; por esto mismo el orden mínimo de la ecuación diferencial de un problema de valores en la frontera será dos y como podemos observar en la siguiente gráfica: 44

45 Básicamente la solución numérica de ecuaciones diferenciales consiste en sustituir el dominio continuo de soluciones por uno discreto formado por puntos aislados igualmente espaciados entre sí. Así, en un problema de valores iniciales, el dominio de definición de soluciones se sustituye por el conjunto infinito numerable de puntos, X 0 a, X1 X 0 h, X 2 X 0 2h, X 3 X 0 3h,... y en el caso de valores en la frontera se sustituye el intervalo conjunto finito de puntos por el X 0 a, X1 X 0 h, X 2 X 0 2h, X 3 X 0 3h,..., X n X 0 nh b Obtenidos, al dividir el intervalo en n partes iguales. La presentación gráfica muestra estas dos cosas: 45

46 Discretización del dominio de definición de soluciones Habiéndose discretizado el problema continuo, se tratará de obtener la solución para los puntos considerados, y esto se hará, en general, sustituyendo las derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial con condiciones iniciales o en la frontera, por fórmulas numéricas de derivación que proporcionen aproximaciones a las derivadas o tratando de integrar la ecuación diferencial y reemplazando al proceso de integración por una fórmula numérica que se aproxime a la integral. Una vez hecho esto, la ecuación obtenida expresada en diferencias finitas (ya que se han sustituido diferenciales por incrementos finitos) se aplica repetidamente en todos los puntos pivotes donde se desconoce la solución para llegar a una solución aproximada del problema. 46

47 Solución numérica de problemas de valores iniciales Un problema ordinario de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial ordinaria y un conjunto de condiciones, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, X X 0. La solución numérica de este problema consiste en evaluar la integral de Y(X) en todos los puntos pivotes de su intervalo de definición, los que estarán igualmente espaciados en h unidades. Estos valores se obtienen paso a paso, a partir del punto inicial, lo que da el nombre de métodos de integración paso a paso. La evaluación de Y en los puntos pivote X 1 X 0 ih, para i = 1, 2, 3,... Se lleva a cabo usando fórmulas de recurrencia, que usan los valores conocidos de Y en las estaciones anteriores. X, X i 2, X i 3,... i 1 Así, para aplicar estas ecuaciones, es necesario entonces evaluar muy aproximadamente a Y(X) en algunos de los primeros puntos pivotes (uno a cuatro); y esto se hace usualmente desarrollando f(x) en serie de potencias. EJEMPLO Encuentre la solución del siguiente problema de valores iniciales por medio de los primeros cuatro términos de la serie de Taylor para X = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5. Y (0) = 1 47

48 SOLUCIÓN Se obtienen las derivadas sucesivas: Sustituyendo valores: Por lo que: Evaluando para cada valor de X en esta última ecuación se tiene: 48

49 X Y

50 Lección 20 Métodos de integración de Euler La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Y i+1 tan pronto se conozcan los valores Y i, Y i+1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debido a Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores. Dado el problema de valores iniciales Se debe integrar la ecuación diferencial en el intervalo integración numérica: y evaluar la integral aplicando la fórmula de (4) Entonces De donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de Euler Yi 1 Yi hf ( X i, Yi ) (5) EJEMPLO Resolver el problema del ejemplo anterior aplicando el método de Euler. 50

51 Se tiene Y Y hf ( X, Y ) i 1 i i i Donde Entonces (6) En la tabla aparecen tabulados los valores de la solución aproximada obtenidos a partir de la condición inicial conocida Y 0 (0) = 1 Xi Yi Yi solución exacta

52 Lección 21 Método de Runge Kutta En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden Y' = f(x, Y) (7) Con la condición inicial Y( X 0) Y0 (8) Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia Yn 1 Yn hf ( X n, Yn ) donde n = 1, 2, 3,... (9) Para determinar la solución de la ecuación diferencial en X X1, X 2, X 3,... Sustituyendo la función f(x, Y) dada en (7), en (9), se tiene que ' Yn 1 Yn hyn (10) Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Y n conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T 1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura. 52

53 De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T 1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (X n, Y n ), (X n+1, Y n+1 ) en donde X n+1 y Y n+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica: Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de definido por la expresión (11) En donde f (X n+1, Y n+1 ) es el valor de la función f(x, Y) para: X = Xn+1 Y Y n hf ( X n, Yn ) 53

54 Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia (12) En donde (13) En el método de Euler y (14) En lo que Y' = f(x, Y) (15) En el método de Euler Mejorado. Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común: 1. Son métodos de un paso; para determinar Y n+1 se necesita conocer únicamente los valores de X n y Y n del punto anterior. 2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(x, Y). Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función que aparece en la expresión (12). La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(x, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor. 54

55 Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de, de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12) en donde la función está dada por la expresión: (16) En el cual (17) La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k 1, k2, k3, k4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11) EJEMPLO Resolver Aplicando el método de Runge-Kutta. SOLUCIÓN De la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1; además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en (17) se obtiene: 55

56 Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X = 0.1 la solución del problema es Los valores de las ki para este punto obtenido de la solución, son: Luego Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la siguiente tabla: 56

57 X Y k1 k2 k3 k

58 Lección 22 Métodos multipasos Métodos de un paso Métodos en varios pasos Métodos de predictor y corrector Método de Adams-BashforthlAdams-Moulton Estabilidad de los métodos numéricos Los métodos de Euler y de Runge-Kutta descritos en las seccionas anteriores son ejemplos de los métodos de un paso. En ellos, se calcula cada valor sucesivo y n+1 sólo con base en información acerca del valor inmediato anterior y n Por otra parte, un método en. varios pasos o continuo utiliza los valores de varios pasos calculados con anterioridad para obtener el valor de y n+1 Hay numerosas fórmulas aplicables en la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales. Como no intentamos describir el vasto campo de los procedimientos numéricos, sólo presentaremos uno de esos métodos. Éste, al igual que la fórmula de Euler mejorada, es un método de predicción-corrección; esto es, se usa una fórmula para predecir un valor y* n+1, que a su vez se aplica para obtener un valor corregido de Y n 1 Método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton Uno de los métodos en multipasos más populares es el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton de cuarto orden. En este método, la predicción es la fórmula de Adams-Bashforth: para n 3. Luego se sustituye el valor de y* n+1 en la corrección Adams-Moulton (1) (2) 58

59 Obsérvese que la fórmula (1) requiere que se conozcan los valores de y o, y 1, y 2 y y 3 para obtener el de y 4. Por supuesto, el valor de yo es la condición inicial dada. Como el error local de truncamiento en el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton es O(h5), los valores de Y 1, Y2 y Y3 se suelen calcular con un método que tenga la misma propiedad de error, como la fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden. EJEMPLO 1 Método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton Use el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton con h = 0.2 para llegar a una aproximación a y(0. 8) de la solución de y' = x +y -1, y(0)=1. SOLUCIÓN Dado que el tamaño de paso es h = 0.2, entonces Y 4 aproximará y(0.8). Para comenzar aplicamos el método de Runge-Kutta, con X 0 = 0, Y 0 = 1 y h = 0.2 con lo cual Y 1 = , Y 2 = , Y 3 = Ahora definimos X 0 = 0, X 1, = 0.2, X 2 = 0.4, X 3 = 0.6 y f(x, y) = x + y - 1, y obtenemos Y 0 = f(x 0,Y 0 ) = (0) + (1) - 1 = 0 Y' 1 = f (X 1,Y 1 ) = (0.2) + ( ) -1 = Y 2 = f (X 2, Y 2 ) = (0.4) + ( ) - 1 = Y 3 = f (X 3, Y 3 ) = (0.6) + ( ) - 1 = Con los valores anteriores, la predicción, ecuación (1) da Para usar la corrección, ecuación (2), necesitamos primero Por último, la ecuación (2) da 59

60 Estabilidad de los métodos numéricos Un aspecto importante del uso de métodos numéricos para aproximar la solución de un problema de valor inicial es la estabilidad de los mismos. En términos sencillos, un método numérico es estable si cambios pequeños en la condición inicial sólo generan pequeñas modificaciones en la solución calculada. Se dice que un método numérico es inestable si no es estable. La importancia de la estabilidad radica en que en cada paso subsecuente de una técnica numérica, en realidad se comienza de nuevo con un nuevo problema de valor inicial en que la condición inicial es el valor aproximado de la solución calculado en la etapa anterior. Debido a la presencia del error de redondeo, casi con seguridad este valor varía respecto del valor real de la solución, cuando menos un poco. Además del error de redondeo, otra fuente común de error se presenta en la condición inicial misma; con frecuencia, en las aplicaciones físicas los datos se obtienen con mediciones imprecisas. Un posible método para detectar la inestabilidad de la solución numérica de cierto problema de valor inicial, es comparar las soluciones aproximadas que se obtienen al disminuir los tamaños de etapa utilizados. Si el método numérico es inestable, el error puede aumentar con tamaños mentores del paso. Otro modo de comprobar la estabilidad es observar qué sucede a las soluciones cuando se perturba ligeramente la condición inicial; por ejemplo, al cambiar y(0) = 1 a y(0) = Para conocer una descripción detallada y precisa de la estabilidad, consúltese un texto de análisis numérico. En general, todos los métodos descritos en este capítulo tienen buenas características de estabilidad. Ventajas y desventajas de los métodos multipasos En la selección de un método para resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los métodos en un paso -en especial el de Runge-Kutta- suelen usarse por su exactitud y facilidad de programación; sin embargo, una de sus mayores desventajas es que el lado derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas veces en cada etapa. Por ejemplo, para el método de Runge-Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro evaluaciones de función en cada paso (véase el problema 21 en los ejercicios 9.3). Por otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de función en la etapa anterior, con un método multipasos sólo se necesita una evaluación de función por paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo. Por ejemplo, para resolver numéricamente y' = f(x, y), y(xo) = yo con el método de Runge-Kutta de cuarto orden en n pasos, se necesitan 4n evaluaciones de función. Con el método de Adams-Bashforth se necesitan 16 evaluaciones de función para iniciar con el método de Runge-Kutta de cuarto orden y n - 4 evaluaciones para los pasos de Adams-Bashforth; el_ total es n + 12 evaluaciones de función. En general, el método de Adams-Bashforth requiere un poco más de la cuarta parte de las evaluaciones de función que precisa el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Si la evaluación de f(x, y) es complicada, el método multipasos será más eficiente. Otro asunto que interviene en los métodos en multipasos es la cantidad de veces que se debe repetir la de Adams-Moulton 60

61 en cada paso. Cada que se usa el corrector ocurre otra evaluación de función, con lo cual aumenta la precisión al costo de perder una de las ventajas del método en varios pasos. En la práctica, el corrector sólo se calcula una vez, y si el valor de yn+1 cambia mucho, se reinicia todo el problema con un tamaño menor de paso. Con frecuencia, esto es la base de los métodos de tamaño variable de paso, cuya descripción sale del propósito de este libro. EJERCICIOS 1. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Euler para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo. SOLUCION:. 2. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Euler para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo. SOLUCION:. 3. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Euler mejorado para aproximar en cada paso del proceso iterativo. tomando SOLUCION: 61

62 4. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Euler mejorado para aproximar en cada paso del proceso iterativo. tomando SOLUCION: 5. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Runge-Kutta para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo. SOLUCION: 6. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Runge-Kutta para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo. SOLUCION: 7. Determine la solución exacta del problema de valor inicial en el ejemplo 1. Compare los valores exactos de y(0.2), y(0.4), y(0.6) y y(0.8) con las aproximaciones y1, y2, y3 y y4. 8. Escriba un programa de computación para el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton. 62

63 AUTOEVALUACION Ejercicio La función tiene una raíz en. Empezando con y, usar ocho iteraciones del método de la bisección para aproximar la raíz. Tabular el error después de cada iteración y también las estimaciones del error máximo. El error real siempre es menos que la estimación del error máximo? Los errores reales continúan disminuyendo? Ejercicio Encontrar la raíz cerca de de empezando con. Cuán exacta es la estimación después de cuatro iteraciones del método de Newton? Cuántas iteraciones requiere el método de la bisección para lograr la misma exactitud? Tabule el número de dígitos correctos en cada iteracción del método de Newton y observe si se duplican cada vez. (SOLUCION) Ejercicio Usando el método de eliminación gaussiana con pivoteo y sustitución regresiva, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: Calcule el determinante y la descomposición LU de la matriz de coeficientes. Ejercicio Utilizar el método de reducción de Crout para obtener una descomposición matriz: de la 63

64 Ejercicio Dado que, y, interpole con un polinomio de Lagrange el logaritmo natural de cada entero desde hasta. Tabule lo anterior junto con el error en cada punto. Ejercicio Dados los datos: 1 5,04 2 8, , , , ,04 Realizar un ajuste por mínimos cuadrados de los mismos a una recta y a una cuadrática. Cuál de los dos ajustes es mejor? Ejercicio La siguiente tabla tiene valores para. Integre entre y usando la regla trapezoidal con, y. 64

65 Ejercicio Usa la integración de Romberg para evaluar la integral de entre y. Lleva seis decimales y continúa hasta que no haya cambio en la quinta cifra decimal. Compare con el valor analítico.. 65

66 BIBLIOGRAFIA 1. Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. ED. Thomson, 6a. ed., Chapra Steven y Canale R. Métodos Numéricos para Ingenieros. Cuarta edición Ed. Mc Graw Hill. México. 3. De Levie, Robert. Advanced Excel for Scientific Data Analysis. Oxford University Press, Liengme, B.; A Guide to Microsoft Excel 2002 for Scientists and Engineers. Butterworth Heinemann, 3 rd, ed Mathews, J; Fink, K. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 3a. ed., Nakamura Shoichiro. Métodos Numéricos Aplicados con Software. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana, México. 7. Press, W.; Teukolsky, S.; Vterling, W.; Flannery, B. Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 2nd ed., (VER COMPLEMENTARIA EN GUIA DE MODULO). DIRECCIONES DE SITIOS WEB: 66