M A T E M A T I C A S. Elipse Mesa de Billar Elíptica. Elipse Mesa de Billar Elíptica

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Sergio Quiroga Juárez
hace 7 años
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1 M A T E M A T I C A S Elipse Mesa de Billar Elíptica Elipse Mesa de Billar Elíptica

2 M A T E M Á T I C A S La elipse pertenece a un conjunto de curvas denominadas cónicas, porque se obtienen al cortar un cono con un plano. Resultan de la intersección entre la superficie lateral del cono y el plano que lo corta, y según la orientación de éste se obtienen las distintas curvas que son la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Si partimos de un plano de corte perpendicular al eje del cono se obtiene una circunferencia. Si vamos inclinando el plano de corte, obtenemos elipses cada vez más excéntricas. Cuando el plano es paralelo a la generatriz del cono, se obtiene una parábola. Si continuamos inclinando el plano, tenemos la hipérbola.

3 MÁLAGA ANTES DE LA VISITA Elípse, Mesa de Billar Elíptica Toma una linterna, enfócala sobre un folio y ve inclinándola poco a poco. Describe las curvas que van apareciendo y dibújalas. Dibuja una circunferencia sobre un material elástico, por ejemplo un recorte de un globo, y estíralo. Qué formas adopta? Escribe los nombres de los parámetros que corresponden a las letras r, r 1, F, F, a y b en la siguiente elipse: Qué se entiende por excentricidad de la elipse? Entre qué valores varía? Qué figura geométrica se obtiene cuando la excentricidad es 0? y cuándo es 1? Qué elementos de simetría presentan la elipse? Y la circunferencia? Cita objetos cotidianos de forma elíptica. 1

4 M A T E M Á T I C A S DURANTE LA VISITA LA ELIPSE Pincha uno de los extremos del hilo en el orificio número 1 (el más cercano a la pared) y el otro extremo en el orificio 2. Dibuja la elipse correspondiente. Manteniendo el foco 1 constante, dibuja en el mismo folio las diferentes elipses introduciendo el otro extremo en los orificios posteriores (3, 4, ). Marca en el papel los focos de las elipses dibujadas. Coloca un nuevo folio y pincha los extremos del hilo en los orificios 3 y 5 y dibuja la correspondiente elipse. Teniendo cuidado de no mover el folio, dibuja una nueva elipse de focos en los orificios 2 y 6. Vuelve a marcar los focos de ambas elipses. Dibuja una circunferencia en el otro folio introduciendo el lápiz en el orificio y manteniendo tenso el hilo. Haciendo ahora que el lápiz no gire sobre sí mismo, dibuja una espiral. LA MESA DE BILLAR ELÍPTICA Observa qué forma tiene el contorno del tapete de billar; cómo se llama esta forma? Qué crees que es el punto negro sobre el que colocarás la bola, y el punto en el que se encuentra el agujero? Coloca la bola en el punto marcado y empújala suavemente con el taco hacia el borde del tapete. Qué ocurre? Inténtalo varias veces, dirigiendo la bola en distintos ángulos contra el borde de la mesa. Qué observas? 2

5 MÁLAGA DESPUÉS DE LA VISITA Elípse, Mesa de Billar Elíptica Toma el primer folio obtenido durante la visita. Qué forma geométrica tiene la primera figura obtenida? Cómo puedes comprobarlo? Qué diferencias hay entre las demás figuras dibujadas? Cómo son entre sí las dos elipses que dibujaste en el segundo folio? Dibuja los ejes de estas elipses. Mide los siguientes parámetros para ambas elipses: a (semieje mayor) = b (semieje menor) = c (excentricidad) = a (semieje mayor) = b (semieje menor) = c (excentricidad) = Escribe las ecuaciones matemáticas de la elipse y circunferencia. Explica qué son cada uno de los parámetros (constantes y variables) que aparecen en ellas. Escribe las ecuaciones de las elipses anteriores. En qué se convierte la elipse si: b) a = 0 c) b = 0 d) c = a 3

6 M A T E M Á T I C A S Dibuja un sistema de coordenadas cuyo origen sea el centro de una de las elipses que hiciste durante la visita. Marca un punto cualquiera de la elipse y calcula sus coordenadas. Sustituye este valor en la ecuación canónica de la elipse y comprueba que se corresponde. Repite el ejercicio anterior con la otra elipse. Comprueba ahora analíticamente que ambos pares de valores se corresponden. (Nota: usa la ecuación canónica de la elipse). Calcula las excentricidades de estas elipses y comprueba si se corresponden con sus formas. Dibuja en una elipse la tangente en un punto cualquiera y comprueba que los ángulos que forman los dos radiovectores con esta tangente son iguales. Dobla el papel a lo largo del eje mayor de una de ellas. Qué ocurre con las dos semielipses obtenidas? Repítelo con el eje menor, qué observas? Qué se puede decir entonces de dichos ejes? Qué cuerpo geométrico se obtiene al girar la elipse alrededor de uno de sus ejes? Qué movimientos de la naturaleza conoces que tengan trayectoria elíptica? 4

7 MÁLAGA Elípse, Mesa de Billar Elíptica CURIOSIDADES Según enunció Kepler en su primera Ley, las órbitas de los planetas son elipses en las que uno de los focos es el Sol. En la sala de exposiciones puedes observar en el Telurio que la órbita de la Tierra (la Eclíptica) es muy parecida a una circunferencia (su excentricidad es 0,01671). Las órbitas más excéntricas son las de Plutón (0,24905) y Mercurio (0,20563); la más circular es la de Venus (0,00677). Las figuras siguientes conservan las escalas aunque en la realidad las órbitas no están en el mismo plano. En nuestra vida cotidiana podemos encontrar muy diferentes objetos con forma de elipse, desde logotipos de marcas de coche hasta plazas de toros con forma elíptica (como la de Estepona) o en iglesias, como el fresco ovalado que hay en la Santísima Trinidad (iglesia italiana) en el centro de una cúpula elíptica. Las formas arquitectónicas constituyen, como las pictóricas o las escultóricas, un lenguaje que contiene la posibilidad de transmitir mensajes. Para Rudolf Arnheim las formas tienen un determinado efecto psicológico sobre quien las contempla, efecto derivado de sus intrínsecas cualidades expresivas. Así, la línea horizontal comunica estabilidad, la vertical es símbolo de infinitud, de ascensión; una voluta ascendente es alegre, mientras que si por el contrario es descendente comunica tristeza; la línea recta significa decisión, fuerza, estabilidad, mientras que la curva indica dinamismo, flexibilidad; la forma cúbica representa la integridad, el círculo comunica equilibrio y dominio, mientras que la esfera y la semiesfera (cúpulas) representan la perfección. La elipse, por su parte, al contar con dos centros comunica inquietud, inestabilidad. El primer billar elíptico es original de Lewis Carrol (autor de Alicia en el País de las Maravillas ). 5

8 tlf fax Avda. DE LUIS BUÑUEL, MÁLAGA

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