U N I DAD 3. Introducción. Manejo algebraico

Transcripción

1 U N I DAD Manejo algebraico Introducción El álgebra es una parte de las matemáticas siempre presente en los cursos de matemáticas financieras. En esta unidad se presentan los principios fundamentales del álgebra, como la reducción de términos semejantes, las operaciones entre epresiones algebraicas, los productos notables y los diferentes casos de factorización. También se muestra la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, lo cual es importante porque se utilizan para modelar problemas financieros y administrativos, por ejemplo, cálculo de interés y presupuestos. Se resolverán asi mismo desigualdades, lineales y cuadráticas, que también sirven para el modelado de fenómenos y la solución de problemas f inancieros.

2 Competencia Al finalizar la unidad, el alumno podrá: Resolver problemas de la empresa en el ámbito financiero y administrativo tomando decisiones basadas en la aplicación de las herramientas aritméticas y algebraicas Contenido.. Operaciones algebraicas básicas.... Polinomios.... Reducción de términos semejantes.... Eliminación de los signos de agrupación...4. Suma y resta de polinomios...5. Multiplicación y división de polinomios Multiplicación D ivisión... Productos notables.... Producto de binomios conjugados.... Cuadrado de un binomio... Simplificación de epresiones algebraicas (factorización).... Factorización.... Factor común.... D iferencia de cuadrados...4. Trinomio cuadrado perfecto..4. Ecuaciones de una variable (lineales y cuadrát icas)..4.. Ecuaciones lineales de una variable..4.. Ecuaciones caudráticas de una variable Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general..5. D esigualdades lineales y cuadrát icas de una variable..5.. D esigualdades lineales de una variable..5.. D esigualdades cuadráticas de una variable..6. Valores absolutos..7. Solución de problemas de la empresa a través del manejo algebraico: inversiones, determinaciónde precios y utilidad.

3 .. Operaciones algebraicas básicas Refleión: ara poder entender el comportamiento de muchos fenómenos en el área económica-administrativa es necesario conocer los principios fundamentales del álgebra, por que es una herramienta que nos permite representar de forma general el comportamiento matemát ico de cualquier fenómeno. Además se aplicarán algunas técnicas que facilitan el desarrollo estas operaciones, como son la reducción de términos semejantes y la eliminación de signos de agrupación, sin perder de vista las propiedades de los eponentes y radicales.... Polinomios Antes de iniciar el estudio de los polinomios se requiere definir algunos elementos básicos del álgebra: Variable Es un valor que cambia de acuerdo con las condiciones de la situación a la que se refiere; se representa con cualquier letra del abecedario. Coeficiente Es un valor conocido y constante, el cual puede ser entero, fraccionario o decimal; positivo o negativo, y sirve como factor. Eponente Es un valor constante o variable que indica la potencia a la cual se eleva una variable o toda una epresión algebraica. Epresión algebraica Es una representación matemát ica la cual incluye coef icientes y variables elevadas a cierto eponente. Se consideran epresiones algebraicas fraccionarias las que contienen variables como parte del denominador, mientras que los polinomios son aquellas epresiones donde las variables no forma parte del denominador.

4 Termino algebraico - 7 y z coeficienteparte literal Un término algebraico está constituido por dos partes: el coeficiente y la parte literal, la cual incluye todas las variables junto con sus eponentes. L os polinomios son epresiones algebraicas que pueden estar formadas por uno o más términos algebraicos, separados mediante signos de suma (+ ) o resta ( ). Polinomio: Términos algebraicos: 5 ; ; 5 y Epresión algebraica 5 Cuatro términos algebraicos L os polinomios se clasifican de acuerdo con la cantidad de términos que los conforman. Así, aquellos polinomios que constan de un solo término se denominan monomios; los formados por dos término, binomios; por tres término, trinomios, y de cuatro términos en adelante se llaman polinomios. 5y Monomio (un término) y Binomio (dos términos) s y y Trinomio (tres términos) 5 L os polinomios también pueden clasificarse de acuerdo con su grado. Grado de un polinomio El grado de un polinomio se determina por el mayor grado de los términos que lo conforman, mientras que el grado de cada término es la suma de los eponentes de las variables que lo constituyen. Si el polinomio tiene una sola variable, su grado corresponde al mayor eponente de la variable en cuestión. Ejemplo Determina el grado de los siguientes polinomios. a) 7 y + y 5 + = cuarto grado + = tercer grado grado cero Por lo tanto se trata de un polinomio de cuarto grado.

5 seto grado cuarto grado segundo grado. Por lo tanto se trata de un polinomio de seto grado. En un polinomio de varias variables es posible referirse a su grado solo respecto a una de las variables; éste será el mayor eponente de dicha variable. Ejemplo D etermina el grado del polinomio vari ables. a) Respecto a : 7 9 y y 7 con respecto a cada una de sus 9 7 y + y 7 séptimo grado primer grado grado cero Polinomio de 7mo. grado respecto a Respecto a y : 9 7 y + y 7 segundo grado tercer grado grado cero Polinomio de tercer grado respecto a y Para facilitar las operaciones con polinomios se sugiere ordenarlos. Un polinomio está ordenado cuando se escriben los términos de manera ascendente o descendente con respecto a los eponentes de una misma variable. Ejemplo Ordena el siguiente polinomio con respecto a : 4 y 0 5 y 4 y a) Polinomio ordenado de forma descendente respecto a : 4 4 y y 5 y 0 Polinomio ordenado de forma ascendente respecto a : y y 4 y

6 ... Reducción de términos semejantes Se llaman términos semejantes aquellos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos eponentes. D e esta manera, las epresiones: 6 ( 5 y w ), 6 5 y w 6, (.87 wy ) Son términos semejantes, ya que, aunque en distinto orden, todas tienen las mismas variables con sus respectivos eponentes. La reducción de términos semejantes consiste en sumar algebraicamente sus coeficientes dejando la misma parte literal. Ejemplo 4 Reduce los términos semejantes de las siguientes epresiones: a) 7 a 5a 4a 9 a 5 a Primero vamos a identif icar los términos semejantes y acomodarlos en forma de columna: + 7 a 5a 4a + 9 a 5a Se suman solamente los coef icientes de cada columna: 7 + = 9,, = 4; 4 5 = Por lo tanto: 7 a 5a 4a 9 a 5 a 9 a 4 a a Respuesta: 7 a 5a 4a 9a 5a 9 a 4a a Observa que el término ( a ) se escribió como ( a ) porque el coeficiente nunca se escribe cuando acompaña a una variable. a 7 b 8 4b 5 a 6 b 4 b A diferencia del ejemplo anterior, en el cual la reducción se hace en forma vertical, en este ejemplo se hará en forma horizontal.

7 Primero ordenemos los términos semejantes: a 5 a 7 b 6 b 8 4 4b b Ahora reduzcamos los términos semejantes: a b 5b a a b b b b Respuesta: a 7 b 8 4b 5 a 6 b 4 b 6 a b 5b Actividad Reduce los términos semejantes de las siguientes epresiones: a) a 4a 8a 6a a 7 c) 5m 4m m 0m m m d) b b b 5 e) Eliminación de signos de agrupación L os paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } son signos de agrupación, en tanto se utilizan para agrupar términos algebraicos que van a ser afectados por el coeficiente inmediato anterior a tales signos. Para eliminar el signo de agrupación se multiplica el coeficiente o signo inmediato anterior por cada uno de los coef icientes de los términos algebraicos agrupados, al hacerlo se deben aplicar las leyes de los signos referentes a la multiplicación. Es necesario considerar que para eliminar los signos de agrupación se suprimirán primero los más internos hasta terminar con el más eterno.

8 A cont inuación ejemplif icamos lo epresado: 7 ( 9 + y 6) a) Para eliminar el paréntesis se multiplica el signo negat ivo por el signo de cada término aplicando las leyes de los signos: 7 ( 9 y 6) 7 9 y 6 ( )( 7 y z ) En este caso, lo que afecta a los términos contenidos en el signo de agrupación es, por lo tanto, cada uno de los coef icientes de los términos deberá ser mult ipl icado por este factor: ( )( 7 y z ) 6 y z Ejemplo 5 Eli mina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes de las siguientes epresiones. a) a b a b (5a b 4ab a b 4 a Primero aplicamos las leyes de los signos para eliminar el paréntesis: a b a b (5a b 4ab a b 4 a a b a b 5a b 4ab a b 4a b Reduciendo términos semejantes tenemos: a b a b 5a b 4ab a b 4a b 8a b 4ab 4a b Finalmente: a b a b (5a b 4ab a b 4 a Respuesta: La solución es, 8a b 4ab 4a b 8a b 4ab 4a b 5 4 y y y y y Se aplican las leyes de los signos para eliminar el corchete: 5 4 y y y y y y y y y y

9 Reduciendo términos semejantes tenemos: y y y y y y y y Respuesta: La solución es: 4 4 y y y c) (y y y ) (5 y 5 y) (y ) Primero eliminamos los signos de agrupación aplicando las leyes de los signos: y y y 5 y 5y y Ahora se reducen los términos semejantes: y + y- 5y + y + y + 5 y 4 - y + 0y + 6 y Respuesta: La solución es 4 y + 6y Observa que el término (0 y) no fue incluido en la solución f inal debido a que 0y 0 d) ( ) Observemos que esta epresión está formada por dos partes: la primera está ent re corchetes y la segunda entre llaves. ( ) primera parte segunda parte Se eliminan los signos de agrupación, comenzando por los más internos de cada parte. En la primera se elimina el paréntesis multiplicando el signo ( ) por los términos contenidos en él. De esta manera la primera parte queda así: La segunda parte contiene dos signos de agrupación internos, cada uno de ellos se elimina aplicando las leyes de los signos. En el primer corchete se multiplica el signo (+ ) que le antecede (si no aparece se da por entendido que el signo es + ) por los términos contenidos en él: 4 4 El número 7, que no tiene signo de agrupación, se queda igual. Para el segundo corchete se multiplica el signo ( ) que le antecede por los términos contenidos en él: 8 8

10 Por lo tanto, la segunda parte queda: Una vez eliminados los signos de agrupación internos, la epresión inicial queda de la siguiente manera: De esta epresión los signos de agrupación que quedan se eliminan de manera similar y se obtiene: Se reducen los términos semejantes y se obtiene: Respuesta: El resultado final es 4 Actividad Elimina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes: a) (7 8 y y) ( 5 y y) ( 6 ) ( 5 ) c) 6 m ( 5m n m n) (m n) d) ( a b c 5a b c) c..4. Suma y resta de polinomios Ahora que contamos con los conocimientos básicos sobre epresiones algebraicas podemos realizar la suma y resta de polinomios. Para sumar dos polinomios se escribe uno a continuación del otro, respetando sus signos, y finalmente se reducen los términos semejantes. Por ejemplo: Suma los polinomios: 5 0y 7a y 6 y y y Primero escribimos un polinomio a continuación del otro, respetando sus signos: 5 0y 7a 6 y y y

11 Ahora reducimos los términos semejantes: y 7a 6 y y Por lo tanto: (5 0y 7 a ) ( 6 y y y) y 7a 6 y y Para restar dos polinomios cada uno de ellos es colocado dentro de un signo de agrupación uno a continuación del otro, pero el polinomio que resta debe estar afectado por el signo ( ), después se eliminan los signos de agrupación tomando en consideración las leyes de los signos y se reducen los términos semejantes. Por ejemplo: Restar menos y Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo menos afecta al segundo polinomio: (5 7 y) (6 9 8 y ) Eliminamos los signos de agrupación: (5 7 y) (6 9 8 y ) Reducimos términos semejantes: 5 7 y y 0 y Respuesta: (5 7 y) (6 9 8 y ) 5 7 y y 0 y Ejemplo 6 Suma los siguientes polinomios. a) 0 8 5; Colocamos los polinomios uno a continuación del otro respetando sus signos: Ahora reducimos los términos semejantes: Respuesta: (0 8 5) (6 9 5 ) 6 4a b 9 ab ; 7a b ab b Colocamos los polinomios uno a continuación del ot ro respetando sus signos: 4a b 9ab 7a b ab b

12 Ahora reducimos los términos semejantes: 4a b 9ab 7a b ab b a b 7ab b Respuesta: (4a b 9 ab ) ( 7a b ab b ) a b 7ab b Ejemplo 7 Encuentra la resta del primer polinomio menos el segundo. a) 7 4 y 5; 8 4 y Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo menos afecta al segundo polinomio: (7 4 y 5) (8 4 y ) Eliminamos los signos de agrupación: (7 4 y 5) (8 4 y ) 7 4 y y Ahora reducimos los términos semejantes: 7 4 y y 8 y R espuesta: (7 4 y 5) (8 4 y ) 8 y 5 4 y 7 z; 9 y 5z Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo menos afecta al segundo polinomio: (5 4 y 7 z) ( 9 y 5 z) Eliminamos los signos de agrupación: (5 4 y 7 z) ( 9 y 5 z) 5 4 y 7z 9 y 5z Ahora reducimos los términos semejantes: 5 4 y 7z 9 y 5z 8 y z Respuesta: (5 4 y 7 z) ( 9 y 5 z) 8 y z Actividad Realiza las operaciones indicadas.. En los siguientes ejercicios suma los polinomios dados. a) 9 5; ab 9 a b; 7ab a b a c) 7a b 9a b a ; 7ab a b a

13 . En los siguientes ejercicios resta el segundo polinomio al primero. a) c) d) 4 5 y 5; 8 4 y y 7 y 7; 9 y 9 y 4 y 7 ; y 9 y 5 y y 4 y ; y y Multiplicación y división de polinomios Para realizar estas dos operaciones es necesario recordar y aplicar las leyes de los eponentes y los radicales, como se hizo en las unidades uno y dos, así que ten a la mano las tablas que resumen esas propiedades Multiplicación El producto de dos monomios o más se realiza multiplicando sus coeficientes y posteriormente las variables aplicando la ley de los eponentes. Ejemplo 8 Multiplica los siguientes monomios. a) ( )( y) y m m m m c) ( )( 6 y) ()( 6)( y) 8 y d) ( m )( m ) ( m ) m m m e) (5 ) (7)(5) 5 5 f ) a (6 a ) ( 8)(6) a a 48a 48a g) ( a b ) a ab ( a a a)( b b ) a b 8 8 4

14 El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada uno de los términos del primer polinomio por todos los términos del segundo; en caso de obtener en el producto términos semejantes se deben reducir a su mínima epresión. Ejemplo 9 Realiza las siguientes multiplicaciones. a) (8 m n )(m 7) (8 m n )( m) (8 m n )( 7) 6m n 56m n 4 ( )( 4) ( )( ) ( )( 4) 4 4 c) (a b y)( y z ) a a y 6a z yb y b 4 yz b En tanto no hay términos semejantes que reducir, el resultado se deja así. Actividad 4 Realiza las siguientes multiplicaciones. a) 4 (4 a b )( 8 a b ) 6 5 ( m n )( n )( m n ) ( m n p ) m n p 4 c) d) 4 abc a b c a b 4 5 e) ( )

15 ..5.. División El tema de división entre polinomios lo abordaremos a través de unos ejemplos: Ejemplo 0 Realiza la división: 0 y z 4 5 y z Es una división entre monomios; para obtener su resultado primero se dividen los coef icientes: Para dividir las literales se aplica la propiedad de los eponentes, en la que se indica que al eponente del numerador se le resta el eponente del denominador, por lo tanto: y z y z 5 5 y z y z y z 5 Se hacen las operaciones indicadas con los eponentes: y z 5 y z y z 4 R espuesta: El resultado de la división es: 0 y z 5 z y z y z y Para realizar las divisiones entre polinomios se utiliza un procedimiento muy similar al empleando en aritmética, sólo que en lugar de números se utilizan polinomios, por lo demás se trabaja de la misma manera. A continuación presentamos un ejemplo de este tipo de método. Ejemplo Realiza la división: 8 0 Antes de efectuar la división se requiere que los términos de ambos polinomios estén ordenados en forma descendente en sus eponentes con respecto a la misma literal.

16 Se escribe la división en esta forma: 8 0 Nótese que entre y 8 se reserva el lugar del término de que no aparece en el polinomio, debido a que en el momento en que se efectúe la división aparecerá un término con. Empecemos el procedimiento: se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor ; este resultado es el primer término del cociente y se escribe: 8 0 El primer término del cociente se multiplica por el divisor: ( ) Este resultado se resta al dividendo: 8 0 ( ) Se elimina el signo de agrupación multiplicando por el signo menos y se escribe: 8 0 Se reducen los términos semejantes y bajando los siguientes términos del dividendo se obtiene el primer residuo: El primer término del primer residuo se divide entre el primer término del divisor: Este resultado es el segundo término del cociente y se escribe:

17 El segundo término del cociente se multiplica por el divisor: ( ) Este resultado se le resta al residuo: ( ) Se elimina el signo de agrupación multiplicando el signo menos: Se reducen los términos semejantes: Se divide el primer término del residuo entre el primer término del divisor: 0 5 Este resultado es el tercer término del cociente y se escribe: El tercer término del cociente se multiplica por el divisor: 5( ) 0 0

18 Este resultado se resta al residuo: (0 0) Se elimina el signo de agrupación multiplicando el ( ) menos: Se reducen los términos semejantes y se obtiene: Respuesta: El cociente es 5 y el residuo es cero. Actividad 5 Realiza las siguientes divisiones. a) 5 7a b c 5 7a b c 5 y z 4 y

19 c) d) e) f) g) 4a b 5ab 4 4a b c 8a bc u v u v u v 5 u v u v u v Productos notables Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y por lo tanto el resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin efectuar la mult iplicación. En esta sección nos ocuparemos de aquellos productos notables cuya aparición y aplicación es más frecuente: el binomio al cuadrado y el producto de binomios conjugados.... Producto de binomios conjugados Entenderemos por binomios conjugados aquellos binomios que tienen los mismos términos y sólo difieren en un signo. Este producto da como resultado la diferencia de los cuadrados de los términos. El producto de binomios conjugados es: ( y)( y) y Ejemplo Realiza los productos indicados. a) (a 5)(a 5) En este caso podemos considerar: a y y 5 Por lo tanto tendremos: (a 5)(a 5) ( a) (5) Respuesta: (a 5)(a 5) 9 5

20 (9a 7 (9 a 7 En este caso podemos considerar: 9 a y y 7b Por lo tanto tendremos: (9a 7 (9 a 7 (9 a ) (7 Respuesta: 4 (9a 7 (9 a 7 8a 49b c) m n p m n p En este caso podemos considerar: 4 m n y y 5 p Por lo tanto tendremos: m n 5 p m n 5 p m n (5 p) Respuesta: 4 m n 5 p m n 5 p m n 5 p d) Realiza el producto 5a b 5a b c c En este caso podemos considerar: 5a b y y Por lo tanto tendremos: c 5a b 5 a b (5 a b ) c c c Respuesta: a b 5a b 5a b c c c

21 Actividad 6 Realiza los productos indicados. a) ( y)( y) ( y z w)( y z w ) 4 4 = c) d) 5 5 m n p m n p = e) ( )( ) f) ( ab z 4 abc )( ab z 4 abc )... Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es el producto de éste por sí mismo, matemáticamente se epresa de la siguiente manera. El cuadrado de un binomio Es: ( y) ( y)( y) y y ( y) ( y)( y) y y Es usual que estos binomios se resuelvan utilizando los siguientes pasos: El cuadrado del primer término Más (menos) el doble producto del primer término por el segundo Más el cuadrado del segundo término En los siguientes ejemplos se muest ra su aplicación.

22 Ejemplo Desarrolla los siguientes binomios. a) (a 4 a) En este caso podemos considerar: a y y 4a Por lo tanto tendremos: (a 4 a) ( a ) ( a )(4 a) (4 a) Respuesta: (5a 4 (a 4 a) 9a 4a 6a En este caso podemos considerar: 5 a y y b Por lo tanto tendremos: (5a (5 a ) (5 a )( ( Respuesta: 6 (5a 5a 0a b 9b c) a b 5 En este caso podemos considerar: a y y b 5 Por lo tanto tendremos: a b a a b b Respuesta: a b a a b b a a b b Actividad 7 D esarrolla los siguientes bi nomios. a) (5a ) ( y)

23 c) y d) m n Simplificación de epresiones algebraicas (factorización) En la sección anterior se revisaron algunos métodos que permiten realizar multiplicaciones. En esta sección se estudiará el proceso inverso de la multiplicación, denominada factorización, ya que consiste en encontrar los factores que dan lugar a la epresión original. L os procedimientos de factorización que se desarrollarán en esta unidad son: factor común, diferencia de cuadrados y t rinomio cuadrado perfecto.... Factorización Factorización es el proceso que consiste en descomponer una epresión algebraica en factores, que al multiplicarse dan como resultado la epresión algebraica inicial. Por ejemplo, descomponer en factores al número 4, podría llevarnos a: (8) () = 4 (6) (4) = 4 () () = 4 Entre otros resultados. Por lo tanto, la descomposición factorial no es única. Cabe mencionar que el máimo común divisor (mcd) nos será útil para encontrar los factores de un polinomio. El mcd se define como la epresión algebraica de mayor grado que divide eactamente a un polinomio. L a manera de obtenerlo es:. Se determina el número mayor que divida eactamente a todos los coeficientes del polinomio.. Se identifican las literales comunes de menor eponente que dividan eactamente a las literales del polinomio.

24 Ejemplo 4 Encuentra el máimo común divisor de los siguientes polinomios. a) 6y 4 y 0 y Primero encontramos el mcd de los coeficientes; en este caso es, porque es el número más grande que divide eactamente a todos los coeficientes ; 7; 5 Ahora no fijamos en las literales comunes de menor eponente, en este caso son, y. Respuesta: El mcd del polinomio, 6y 4 y 0 y es y a b c 6a b c a b c Primero encontramos el mcd de los coeficientes; en este caso es 4, porque divide eactamente a 4, 6 y. Ahora no fijamos en las literales comunes de menor eponente, en este caso son a b c R espuesta: El mcd del polinomio: a b c 6a b c a b c es 4a b c Actividad 8 Encuent ra el mcd de los siguientes polinomios. a) rs + 4st 6a 8a 4 c) y 9 y d) 0 y 5y e) 8 p qr p q r... Factor común Una de las formas más simples de factorizar es identificar aquellos factores que son comunes a cada uno de los términos que conforman a la epresión algebraica. Estos se denominan factor común (primer factor).

25 Por ejemplo: a b c ( a b c) El factor común es el mcd. Para obtener el segundo factor es necesario dividir la epresión algebraica que se quiere descomponer entre el primer factor. En los siguientes ejemplos se muestra la manera de encontrar la factorización de un polinomio por factor común. Ejemplo 5 Factoriza los siguientes polinomios. a) a b 9a b a b El máimo común divisor es el factor común, en este caso es: a b D ividiendo el polinomio original entre este factor tenemos: a b 9a b a b a b R espuesta: L a factorización es: a b 9a b a b b ab a a b (b ab a ) m n p m np 7m n El máimo común divisor es el factor común, en este caso es: D ividiendo el polinomio original entre este factor tenemos: m n 5m n p m np 7m n m n R espuesta: L a factorización es: m n p m np 7m n 4 5m n p m p 7n 4 m n(5m n p m p 7 n) Actividad 9 Factoriza los siguientes polinomios. a) 4 a 5a 6a c) 8m n 6mn 4m n

26 d) 5 5 y y y e) m n p 4m n p 8 m n p... Diferencia de cuadrados Diferencia de cuadrados Es una epresión de la forma procedimiento: a b Esta epresión se factoriza de la siguiente forma: a b = (a + (a Una manera de factorizar la diferencia de cuadrados es utilizando el siguiente. Se calcula la raíz cuadrada de cada término.. Con estas raíces cuadradas se forman dos binomios conjugados.. Estos binomios conjugados se escriben como producto y forman la factorización. Apliquemos este procedimiento en los siguientes ejemplos. Ejemplo 6 Factoriza los siguientes polinomios. a) 6z 5 g Primero se determina la raíz cuadrada de cada término: 6z 4 z y g 5 5 g Ahora utilizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados: (4z 5 g)(4 z 5 g) Respuesta: La factorización es: 6z 5 g (4z 5 g)(4z 5 g) y 6 4 Primero se determina la raíz cuadrada de cada término: 6 6 y y y 4

27 Ahora utilizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados: y y 6 6 R espuesta: L a factorización es: y y y c) ( y ) 4 y Primero se determina la raíz cuadrada de cada término: ( y ) ( y ) y 4 y y 8 4 Ahora utilizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados: (( y ) y )(( y ) y ) Se eliminan los signos de agrupación internos de cada término: ( y y )( y y ) Se reducen los términos semejantes: ( y )( y ) R espuesta: L a factorzación es: ( y ) 4 y ( y )( y ) Actividad 0 Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados. a) 4 9 y 6 m c) 4 5 y 49 d) 4 6 m n 64 p e) 4 6 9m n p

28 ..4. Trinomio cuadrado perfecto El trinomio cuadrado perfecto Es un trinomio en el cual dos de sus términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada eacta) y el tercer término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos. La factorización de un trinomio cuadrado perfecto se puede visualizar como la operación inversa de elevar al cuadrado un binomio de la forma: ( a o ( a b ). Por lo tanto: a ab b ( a a ab b ( a Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se puede seguir los siguientes pasos.. Se ordena el trinomio respecto a una variable.. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos cuadrados perfectos.. Se verifica que el doble producto de estas raíces sea el segundo término del trinomio y de ser así. 4. La factorización se escribe como un binomio elevado al cuadrado cuyos términos son las raíces cuadradas; el signo del binomio es el signo del segundo término del trinomio que se está factorizando. Veamos los siguientes ejemplos. Ejemplo 7 Factoriza los siguientes polinomios. a) 6 9 Primero se obtiene la raíz cuadrada del primer y tercer términos: y 9 Ahora se verifica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo término del trinomio: ( )() 6 Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del segundo término del t ri nomio: ( )

29 Se eleva al cuadrado este binomio: ( ) Respuesta: La factorización es: 6 9 ( ) 4 y 9 y Primero se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término: 4 y y 9 y Ahora se verifica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo término del trinomio: ( )( y) y Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del segundo término del t ri nomio: ( y) Se eleva al cuadrado este binomio: ( y) Respuesta: La factorización es: 4 y 9 y = ( y) c) Primero se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término: y Ahora se verifica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo término del trinomio: Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del segundo término del t rinomio: 4 7 6

30 Se eleva al cuadrado este binomio: R espuesta: L a factorización es: Actividad Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos. a) c) 4a 8ab b d) m 6mn 9n e) 6a 40ab 5b.4. Ecuaciones de una variable (lineales y cuadráticas) En muchos de los problemas que hemos planteado y resuelto en las secciones anteriores se incluía, de manera implícita, el concepto de ecuación. En esta sección aprenderemos las técnicas necesarias para encontrar los valores numéricos que resuelven tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas..4.. Ecuaciones lineales de una variable Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones algebraicas en las que intervienen variables y cantidades conocidas. Las epresiones de cada lado de la igualdad se llaman miembros de la ecuación primer miembro segundo miembro

31 Normalmente las ecuaciones ref lejan, de forma algebraica, las condiciones que deben satisfacerse para resolver un problema. Por este motivo, resulta importante encontrar los valores numéricos que al ser sustituidos en lugar de las variables, hacen cierta la igualdad. A este proceso se le llama resolver la ecuación. Para resolver una ecuación es necesario despejar la variable, es decir, dejar sola a la variable de un lado de la ecuación, para lograrlo revisaremos las siguientes dos propiedades. Propiedad de la suma Si a, b y c son números reales y a b entonces a c b c Ejemplo: Si Entonces: Por lo tanto: a c b c Ejemplo: Si Entonces: Por lo tanto: Observa que si tenemos un término sumando en un lado de la ecuación: a b c Podemos aplicar la propiedad de la suma con el valor ( b ) y tendremos: a b b c b O bien: a c b Parece que el término ( b ) pasó al otro lado de la ecuación pero, con signo diferente. En resumen: Si a b c entonces a c b Del mismo modo: Si a b c entonces a c b

32 Propiedad de la multiplicación Si a,b y c son números reales y a= b entonces ( a)( c) ( ( c) Ejemplo: Si 4 5 Entonces Por lo tanto (4) (4) Si además c 0 entonces: Ejemplo: Si 5 8 a c c b Entonces Por lo tanto Observa que si tenemos un término distinto de cero multiplicando en un lado de la ecuación: ab c Podemos aplicar la propiedad de la multiplicación con el valor ab c b b b y tendremos: O bien: c a b El término ( pasó al otro lado de la ecuación, pero dividiendo. En resumen: Si ab c entonces a c b Del mismo modo: a Si c entonces a bc b Antes de continuar debemos remarcar que la propiedad de la multiplicación nos permite pasar términos de un lado de la ecuación a otro, pero cuando el coeficiente tiene signo negativo ( ) nos permite decidir si deseamos que el signo pase junto con el coeficiente o no. Por ejemplo: Considera la ecuación: 9

33 Podemos aplicar la propiedad de la multiplicación de las siguientes maneras: a) Pasamos el coeficiente 9 dividiendo al otro lado de la ecuación: 9 Por lo tanto: Pasamos el coeficiente 9 dividiendo al otro lado de la ecuación: 9 Por lo tanto: Ambas respuestas son correctas e iguales, pero normalmente se desea que la variable tenga signo positivo, por lo tanto la respuesta del inciso ( será la más apropiada. Ahora veamos cómo utilizar estas propiedades en los siguientes ejemplos. Ejemplo 8 Utiliza la propiedad de la suma para resolver las siguientes ecuaciones. a) 7 6 Primero sumamos el valor Ahora simplificamos términos semejantes: en ambos lados de la ecuación: Respuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación 7 6 es y Primero restamos el valor y en ambos lados de la ecuación:

34 Ahora simplificamos términos semejantes: 7 y Respuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación y es y c) m. 7. Primero pasamos el término (.) al otro lado de la ecuación: m 7.. Observa que pasó con el signo contrario. Ahora simplificamos términos semejantes: m 4. R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación m. 7. es m 4. d) a 5 Primero pasamos el término 5 a Observa que pasó con el signo contrario. Ahora simplificamos términos semejantes: al otro lado de la ecuación: a R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación: 5 a es a e) 5 = 7 Primero pasamos el término (5) al otro lado de la ecuación: 7 5 Ahora simplif icamos términos semejantes: Como normalmente se desea que la variable quede con signo positivo podemos pasar cada término al otro lado de la igualdad cambiando de signo: R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación:

35 5 7 es Ejemplo 9 Utiliza la propiedad de la multiplicación para resolver las siguientes ecuaciones. a) y 5 7 Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por el valor 5 5 y 5 7 Realizamos las multiplicaciones indicadas: y 0 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación y es 5 7 y Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por el valor (): () ()( 0) Realizamos las multiplicaciones indicadas: 0 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación 0 es 0 c) m 5 Primero pasamos el valor ( ) dividiendo al otro lado de la ecuación: m 5 Realizamos las multiplicaciones indicadas: m 5 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación: m 5 es m 5

36 d) 7 m 5 9 Primero pasamos el valor (5) multiplicando al otro lado de la ecuación: m 7 (5) 9 Realizamos las multiplicaciones indicadas: m R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación: 7 m 5 9 es m 8 9 e) Primero pasamos el valor () dividiendo y el valor () multiplicando al otro lado de la ecuación: Realizamos las multiplicaciones indicadas: 4 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación: es 4 Ahora veamos, en los siguientes ejemplos, la forma en que se resuelven ecuaciones que tienen variables en ambos miembros. Ejemplo 0 Resuelve las siguientes ecuaciones lineales. a) 4 Primero pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la ecuación y los otros al otro lado: 4 Observa que los términos 4 y cambiaron de signo.

37 Ahora simplif icamos los términos semejantes: 5 5 Por último pasamos el valor 5 dividiendo al otro lado de la ecuación: ( 5) 5 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación lineal: 4 es 5 Primero pasamos el valor (5) multiplicando al otro lado de la ecuación: (5)( ) Realizamos la mult iplicación: 0 5 Ahora pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la ecuación y los otros al otro lado: 0 5 Simplificamos los términos semejantes: 9 Pasamos el valor ( 9) dividiendo al otro lado de la ecuación: 9 9 Observa que el número se llevó el signo negativo. R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación lineal: 5 es 9 c) ( ) 4( ) Primero eliminamos los signos de agrupación: 6 8 Ahora pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la ecuación y los otros al otro lado: 6 8 Simplificamos los términos semejantes: 6

38 Pasamos el valor (6) dividiendo al otro lado de la ecuación: 6 Respuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación lineal ( ) 4( ) es d) 5 4 Primero pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la ecuación y los otros al otro lado: 4 5 Simplificamos los términos semejantes: 4 Pasamos el valor (4) multiplicando al otro lado de la ecuación: (4)( ) 8 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación lineal: 5 es 8 4 Actividad Utiliza las propiedades de la suma y el producto para resolver las siguientes ecuaciones. a) 5 6 c) 4 d) 5

39 e) 7 f) 4 g) ( ) 4 ( ).4.. Ecuaciones cuadráticas de una variable Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación en donde la variable tiene como mayor eponente el valor. En esta sección revisaremos dos métodos que nos permitirán resolver este tipo de ecuaciones Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización Primero aprenderemos a resolver las ecuaciones cuadráticas mediante la aplicación de las técnicas de factorización que ya hemos visto. Para lograrlo debemos seguir los siguientes pasos:. Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación.. Simplificamos los términos semejantes, con lo cual obtendremos un polinomio igualado a cero.. Factorizamos el polinomio. 4. Utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir: 5. ( a)( b ) 0, si y sólo si, a 0 o b 0 pasos anteriores. Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos seguir y aplicar los cuatro Ejemplo Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. a) Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 0 En este caso no es necesario simplificar términos semejantes; nos queda un polinomio igualado a cero.

40 Ahora factorizamos el polinomio: ( ) 0 En este caso se hizo una factorización por término común. Por último utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir, ( ) 0, si y sólo si, 0 o ( ) 0 ( ) 0, si y sólo si, 0 o Observa que en el paso anterior se resolvió la ecuación lineal ( ) 0 Respuesta: Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática son: 0 y 9 7 Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: Simplificamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio igualado a cero: Ahora factorizamos el polinomio: ( 5)( 5) 0 En este caso se hizo una factorización por binomios conjugados. Por último utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir: ( 5)( 5) 0, si y sólo si, ( 5) 0 o ( 5) 0 O bien: 5 5 ( 5)( 5) 0, si y sólo si, o Observa que en el paso anterior se resolvieron las ecuaciones lineales ( 5) 0 y ( 5) 0 R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática: son y c) 9 8 Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: Simplificamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio igualado a cero:

41 0 5 0 Ahora factorizamos el polinomio: ( 5) 0 O bien: ( 5)( 5) 0 En este caso se hizo una factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Por último utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir: ( 5)( 5) 0, si y sólo si, ( 5) 0 o ( 5) 0 O bien: 5 = 0, si y sólo si, 5 Observa que en este caso al resolver las dos ecuaciones lineales obtuvimos el mismo valor numérico. R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica: 9 8 es 5 d) 0 4 Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: Simplificamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio igualado a cero: Ahora factorizamos el polinomio: ( ) 0 O bien: ( )( ) 0 En este caso se hizo una factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Por último utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir: ( )( ) 0, si y sólo si, ( ) 0 o ( ) 0 O bien: ( )( ) 0, si y sólo si, R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica: 0 4 es

42 .4... Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general En la práctica, cuando debemos resolver una ecuación de segundo grado, la mayoría de las veces resulta complicado determinar el método de factorización que conviene utilizar, además podemos cometer errores que nos lleven a resultados erróneos. En estos casos podemos aplicar la solución general de la ecuación de segundo grado, que se epresa de la siguiente manera: Las soluciones de una ecuación de segundo grado: son: b b ac a L o cual se abrevia como: 4 b b 4ac y a 4 b b ac a a b c conocida como fórmula general. 0 Observa: Antes de renovar una ecuación cuadrática considera las siguientes observaciones: El coeficiente del término cuadrático (a) debe ser diferente de cero para poder realizar la división. (b 4ac) es llamado el discriminante, y no debe ser negativo para poder obtener la raíz cuadrada. Si el discriminante es negativo significa que la ecuación original no tiene como solución números reales. Para resolver las ecuaciones cuadráticas mediante la aplicación de la fórmula general debemos seguir los siguientes pasos:. Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación y los ordenamos.. Simplificamos los términos semejantes, con lo cual obtendremos un polinomio igualado a cero.. Aplicamos la fórmula general. Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos seguir y aplicar los pasos anteriores.

43 Ejemplo Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. a) 4 5 Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: Simplificamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: 5 0 Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior. En este caso: a ; b 5 ; c Por lo tanto: y b b 4ac a () ( 5) ( 5) 4()() b b 4ac a () O también: ( 5) ( 5) 4()() Finalmente: y y 4 6 Respuesta: Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática 4 5 son y y y 5 y y 4 Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: y y 5 y y 4 0 Simplificamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: y y 0

44 Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior. En este caso: a ; b ; c. Por lo tanto: b b 4ac a () ( ) ( ) 4()() Entonces: y Finalmente: 4 y 4 4 R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática: y y 5 y y 4 son y c) z z z 5 9 Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: z z z Simplificamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: z 4 0 Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior. En este caso: a ; b 0 ; c 4 Por lo tanto: De donde: b b 4ac a () (0) (0) 4()( 4) Finalmente: y R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática: z z 5 z 9 son y

45 d) Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 0 Simplificamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior: En este caso: a ; b 4; c 5 Por lo tanto: De donde: b b 4ac a ( ) ( 4) ( 4) 4( )(5) Finalmente: 0 5 y R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática: son 5 y e) 5 Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 5 0 Simplificamos los términos semejantes y los ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior. En este caso: a 4; b ; Por lo tanto: b b 4ac a (4) () () 4(4)(9)

46 O bien: 8 Finalmente: R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica 5 es Actividad Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.. En los siguientes incisos utiliza algún método de factorización. a) c) En los siguientes incisos ut iliza la fórmula general. a) c) 4.5. Desigualdades lineales y cuadráticas de una variable Una desigualdad es una epresión que involucra los símbolos mayor que (>), menor que (< ), mayor o igual que ( ) y menor o igual que ( ). La creación de estos símbolos nació de la necesidad de comparar cantidades para saber si una es más grande que la otra. Se ve más claro cuando dibujamos una recta numérica y en ella observamos que los números que están a la derecha de la recta serán mayores que los ubicados a la izquierda, sin importar si son negativos, positivos o inclusive el cero.

47 ( 0 es menor que 5) 4 4 (4 es mayor que 4) 5 7 (5 es mayor a 7) En esta sección estudiaremos la forma en que podemos resolver epresiones algebraicas relacionadas mediante los signos de desigualdad (,,, ). L a solución de una desigualdad es un conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad, así la desigualdad > 5 tiene como solución a todos los números reales mayores que 5; algunos de estos números son: 6, 7, 4/, /, 5., 8.997, etcétera. Para poder describir a todos estos números se utilizan los intervalos. Un intervalo es un conjunto de números reales que satisfacen una desigualdad. Estos intervalos pueden describirse como conjuntos, mediante la notación de intervalo y pueden representarse en la recta numérica. Dados a, b números reales tales que a < b, eisten distintos tipos de intervalos def inidos por estos números llamados etremos del intervalo: Intervalo abierto Denotado por (a, es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b sin tomar en cuenta a ninguno de los dos. Es decir: a b Intervalo cerrado Denotado por, es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b incluyéndolos: a b

48 Semiabiertos o semicerrados Se definen de la manera siguiente: semiabierto por la derecha a b semiabierto por la izquierda a b N ota: Observa que en el caso de los intervalos abiertos, los etremos no están incluidos, mientras que en el caso de los intervalos cerrados los etremos sí lo están. Eisten otros intervalos llamados infinitos que describen conjuntos de números que sólo están definidos por un etremo. a a b b

49 .5.. Desigualdades lineales de una variable Al igual que en el caso de las ecuaciones lineales, para resolver una desigualdad lineal deberemos utilizar las propiedades de la suma y de la multiplicación, así como las propiedades de orden de los números reales. Como las propiedades de la suma y la multiplicación ya fueron revisadas en la sección anterior, sólo nos concentraremos en las propiedades de orden. Propiedades de orden Sean a,b y c números reales a b y c 0 entonces ac bc Ejemplo: Si 4 5 y 4 Entonces: Por lo tanto: 4 0 a b y c 0 entonces ac bc Ejemplo: Entonces: Por lo tanto: Si 7 y 7 0 ( 7) ( 7) 7 En la siguiente tabla se resumen las propiedades de la suma, de la multiplicación y de orden aplicadas a desigualdades lineales. Sean a,b y c números reales Ejemplo: Si Si a b c entonces a c b Entonces: Por lo tanto: 5 Ejemplo: Si 5 7 Si a b c entonces a c b Entonces: 7 5 Por lo tanto:

50 Si ( a)( c y b 0 entonces a c b Ejemplo: Si 5 Entonces: Por lo tanto: 5 5 Si ( a)( c y b 0 entonces a c b Ejemplo: Si 9 Entonces: Por lo tanto: 9 9 Si a b c y b 0 entonces a bc Ejemplo: Si 9 4 Entonces: (4)(9) Por lo tanto: 6 Si a b c y b 0 entonces a bc Ejemplo: Si 6 5 Entonces: > ( 5)(6) Por lo tanto: 0 Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos aplicar estas propiedades para resolver las desigualdades lineales. Ejemplo Resuelve las siguientes desigualdades lineales. a) 8 Primero pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: 8 Observa que se cambió el signo del valor numérico ( 8) Simplificamos los términos semejantes: 6 Pasamos el valor () dividiendo al otro lado de la ecuación: 6

51 Respuesta: L os valores numéricos que resuelve la desigualdad lineal 8 son, es decir, la solución de la desigualdad es el intervalo (, ) Primero pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: Simplificamos los términos semejantes: 7 Pasamos el valor ( ) dividiendo al otro lado de la ecuación: 7 Observa que se cambió la dirección de la desigualdad porque 0 Respuesta: L os valores numéricos que resuelve la desigualdad lineal son c) 6 Primero pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: 6 Simplificamos los términos semejantes: 4 5 Pasamos el valor ( 4) dividiendo al otro lado de la ecuación: Observa que se cambió la dirección de la desigualdad porque, 4 0 Respuesta: L os valores numéricos que resuelve la desigualdad lineal 6 son 4 d) 4 8 Tendremos que resolver las desigualdades: 4 y 8 D espejamos la variable de cada una de las desigualdades: 4 y 8

52 Finalmente: y 9 R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal 4 8 son los mayores que y menores que 9 ( 9 ), es decir, el intervalo (, 9) e) Tendremos que resolver las desigualdades: 7 4 y 4 0 Pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: 4 7 y 4 0 Simplificamos los términos semejantes: 6 5 y 8 Despejamos a la variable de cada una de las desigualdades: y 8 Respuesta: L os valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal 7 4 z 0 son los mayores o iguales que que, es decir el intervalo, 6 pero menores o iguales f) 4 Tendremos que resolver las desigualdades: 4 y Pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: 4 y Simplificamos los términos semejantes: 6 y Despejamos a la variable de cada una de las desigualdades: 6 y ( ) 4

53 O bien: y R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal, 4 son menores que pero mayores o iguales que,, es decir, el intervalo: Actividad 4 Resuelve las siguientes desigualdades lineales. a) 5z 6 5 c) d) 5 8 t 5 e) w 4 9w 6w Desigualdades cuadráticas de una variable Para resolver las desigualdades cuadráticas vamos a seguir los siguientes pasos:. Cambiamos el signo de desigualdad por el de igualdad.. Resolvemos la ecuación cuadrát ica que resulta del paso.. Analizamos los resultados obtenidos en el paso para determinar los valores numéricos que resuelven la desigualdad inicial. Veamos, en los siguientes ejemplos, cómo aplicar estos pasos para resolver desigualdades cuadrát icas.

54 Ejemplo 4 Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas. a) 8 7 Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación cuadrática resultante: O bien: En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con: a ; b 8 y c 7 Por lo tanto: O bien: b b 4ac a () ( 8) ( 8) 4()(7) Finalmente: 4 7 y Por lo tanto, los valores que resuelven la ecuación cuadrática 8 7 son 7 y. Estos valores dividen a la recta numérica en tres intervalos: < < < < Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad original o no la satisfacen. Así qué para determinar qué valores resuelven la desigualdad 8 7 elegimos un punto de cada uno de estos intervalos y lo sustituimos en la desigualdad. Tomemos un valor menor que ( < ) por ejemplo 0, al sustit uirlo en la desigualdad 8 7 tenemos (0) 8(0) 0 Ahora elegimos un valor entre y 7 ( < < 7 ) Por ejemplo, al sustituirlo en la desigualdad tenemos: () 8() Como < 7 ningún valor entre y 7 ( 7) satisface la desigualdad.

55 Finalmente tomemos un valor mayor que 7 (7 ) por ejemplo 0, al sustituirlo en la desigualdad tenemos: mayores que 7 (7 ) satisfacen la desigualdad. (0) 8(0) 0. Como 0 > 7 todos los valores Respuesta: L os valores que resuelven la desigualdad menores que y los mayores que 7, es decir (,) (7, ) 8 7 son los w w 5 w 4 Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación cuadrática resultante: w w 5 w 4 O bien: w w 0 En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con: a ; b y c Por lo tanto: w b b 4ac a () () () 4()() O bien: w Finalmente: w y w Por lo tanto los valores que resuelven la ecuación cuadrática: w w 5 w 4 son w y w Estos valores dividen a la recta en tres intervalos: w w w Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad original o no la satisfacen. Así que para determinar qué valores resuelven la desigualdad w w 5 w 4 elegimos un punto de cada uno de estos intervalos y lo sustit uimos en la desigualdad.

56 Tomemos un valor menor que (w desigualdad tenemos: ( ) ( ) 5 y O bien: y 60 Entonces: ( ) ( ) 5 ( ) 4 ( ) 4 por ejemplo, al sustituirlo en la Por lo tanto, todos los valores menores que satisfacen la desigualdad. Ahora elegimos un valor entre: y ( w ) Por ejemplo ( ), al sustit uirlo en la desigualdad tenemos: ( ) ( ) 5 y O bien: y Entonces: ( ) ( ) 5 ( ) 4 ( ) 4 Por lo tanto ningún valor entre y satisface la desigualdad. Finalmente tomemos un valor mayor que: ( w) Por ejemplo el cero, al sustit uirlo en la desigualdad tenemos: (0) (0) 5 y O bien: 5 y 4 Entonces: (0) (0) 5 ( 0) 4 ( 0) 4 Por lo tanto todos los valores mayores que satisfacen la desigualdad. R espuesta: L os valores que resuelven la desigualdad: w w 5 w 4 Son los menores o iguales que ( ) y los mayores o iguales que ( ) Es decir, (, ] [, ) c) 5z 5z z 4 Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación cuadrática resultante: 5z 5z z 4