Teselaciones y Grafos de Intersección de Segmentos en Superficies no Planas

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1 Teselaciones y Grafos de Intersección de Segmentos en Superficies no Planas N. de Castro, F.J. Cobos, J.C. Dana y A. Márquez Universidad de Sevilla. Departamento de Matemática Aplicada I. {natalia,cobos,dana,almar}@us.es Resumen En este trabajo se caracterizan aquellos grafos que admiten una teselación en el cilindro y en el toro, en donde la teselación de un grafo es la representación que asocia a cada componente de una inmersión dada (vértices, aristas y caras), baldosas en la superficie de manera que las incidencias topológicas de dicha inmersión se corresponden con adyacencias geométricas entre las baldosas. Como aplicación directa de las teselaciones de grafos, se caracterizan aquellos grafos que admiten una representación en éstas superficies como intersección de segmentos en dos direcciones ortogonales. Palabras Clave: Teselación de grafos, Grafos de intersección. 1 Introducción Recientemente la representación de grafos ha creado un gran interés debido a sus aplicaciones en numerosas áreas como el diseño de circuitos VLSI, arquitectura de computadores y dibujo de grafos [1]. En este trabajo se estudian dos tipos de representaciones de grafos en las superficies del cilindro y del toro. La primera es lo que se conoce como la teselación de un grafo, que asocia a cada grafo inmerso en una superficie una partición de la misma en baldosas, cada una asociada a una componente del grafo (vértices, aristas o caras) de manera que las incidencias topológicas entre las componentes del grafo quedan representadas por adyacencias geométricas entre las baldosas. Tamassia y Tollis introducen esta representación en [6], donde caracterizan los grafos teselables en el plano y la esfera utilizando como baldosas rectángulos (degenerados o no). En un intento de generalizar este resultado, Mohar y Rosenstiehl [5], estudian la teselación de grafos en la superficie del toro, aunque en este caso los vértices y caras de una inmersión tórica del grafo están representados como segmentos en dos direcciones no ortogonales, con lo que las aristas del grafo quedan representadas como cuadriláteros no rectángulos delimitados por dichos segmentos. Estos autores caracterizan aquellos grafos que admiten esta representación, que denominaremos teselación torcida de un grafo en el toro. 1

2 Figura 1: Teselación de un grafo en el plano. Además, los autores en [5] plantean la posibilidad de representar grafos en el toro utilizando direcciones ortogonales para las componentes del grafo. Así, comentan textualmente: Figura 2: Teselación torcida de un grafo en el toro. It would be interensting to know which toroidal maps have a tessellation representation in the square model of the torus with the directions and parallel to the sides of the fundamental square. 1 En la sección 2 completamos este trabajo caracterizando aquellos grafos que admiten una teselación con direcciones ortogonales en el cilindro y el toro. Esta caracterización nos permite representar grafos como intersección de segmentos, es decir, asignarle segmentos a los vértices del grafo y las aristas de éste vienen determinadas por las adyacencias entre dichos segmentos. Diversos autores estudian la representación de grafos bipartitos como intersección de segmentos horizontales y verticales [4, 2, 3] en el plano. En la sección 4 caracterizamos aquellos grafos que admiten este tipo de representación en el cilindro y el toro. 1 Sería interesante saber qué grafos admiten una teselación en el toro con las direcciones y (asociadas a vértices y caras) paralelas a los lados del rectángulo fundamental. 2

3 2 Teselaciones de grafos en el cilindro Consideraremos inmersiones de grafos en el cilindro donde llevamos los vértices a puntos de la superficie cilíndrica y las aristas a arcos de curvas de Jordan que no se intersecan salvo en vértices comunes. Trabajaremos con inmersiones sobre el cilindro con dos caras no acotadas, a las que nos referiremos como la cara izquierda y la cara derecha. Sea G un grafo inmerso en el cilindro, una orientación cilíndrica Γ de G es una orientación de sus aristas de manera que: Γ no tiene fuentes (vértices sin aristas de entrada), ni sumideros (vértices sin aristas de salida). Todo ciclo dirigido rodea al cilindro en la misma dirección (digamos en la dirección de las agujas del reloj). En el siguiente lema [7] se dan dos propiedades muy interesantes sobre las orientaciones cilíndricas: Lema 2.1. Sea Γ una orientación cilíndrica. Se tiene: Para todo vértice v de Γ las aristas de entrada (de salida) aparecen consecutivamente alrededor de v. (Ver Figura 3(a)). El borde de toda cara interna de Γ consiste en dos caminos dirigidos con origen y llegada común. (Ver Figura 3(b)). Figura 3: (a) Aristas alrededor de un vértice. (b) Caminos dirigidos de una cara. Según el Lema 2.1, para cada vértice v de una orientación cilíndrica podemos distinguir dos caras que lo contienen, aquella que separa las aristas entrantes de las salientes en el sentido contrario al de las agujas del reloj, que denotaremos por I(v) y aquella que separa las aristas entrantes de las salientes en el sentido de las agujas del reloj, que denotaremos por D(v) (Ver Figura 3 (a)). 3

4 Por otra parte, para cada cara f de una orientación cilíndrica, también podemos distinguir dos vértices: aquel del que salen los dos caminos dirigidos, que denotaremos por sub(f), y al que llegan, que denotaremos por Sup(f). Esta notación también puede generalizarse a las aristas de la orientación cilíndrica ya que si e = (u; v) es una arista recorrida desde u hasta v, podemos denotar por sub(e) = u y por Sup(e) = v. Análogamente, la orientación de la arista nos permite diferenciar entre la cara a la izquierda de e, y la cara a la derecha de e, que denotaremos por I(e) y D(e), respectivamente. Sea Γ una orientación cilíndrica de G, dicha orientación cilíndrica define también una orientación Γ en el dual G en la que el dual e de una arista e está dirigida desde I(e) hasta D(e) (Ver Figura 4). Figura 4: Orientación cilíndrica de un grafo (vértices negros) y su dual (vértices blancos). Lema 2.2. Sea G un grafo inmerso en el cilindro con distintas caras izquierda y derecha, entonces existe una orientación cilíndrica Γ de G. Una baldosa en el cilindro es un rectángulo delimitado por dos generatrices y dos arcos de circunferencia. Puesto que el cilindro es una superficie no acotada, admitimos baldosas no acotadas y baldosas en el infinito, aunque no admitiremos en ninguna de las superficies baldosas que puedan completar una circunferencia o banda cilíndrica. Dada una orientación cilíndrica de un grafo G. Una teselación de G sobre el cilindro es una aplicación que lleva cada componente c de G (vértices, aristas o caras) en una baldosa rectangular T (c) del cilindro tal que: El interior de las baldosas T (c) y T (d) es disjunto para todo c d. La unión de todas las baldosas T (c) es el cilindro. Para cada arista e G el lado inferior (superior, izquierdo, derecho) de la baldosa T (e) se apoya en el lado superior (inferior, derecho, izquierdo, respectivamente) de la baldosa T (sub(e)), (T (Sup(e)), T (I(e)), T (D(e)), Respectivamente). Ninguna baldosa constituye una circunferencia o banda circular del cilindro. 4

5 Figura 5: Baldosas asociadas a las componentes de un grafo. Dado un digrafo acíclico, un orden topológico τ en sus vértices asocia a cada vértice v un entero no negativo τ(v) tal que τ(u) < τ(v) para cada arista dirigida (u, v). Teorema 2.1. Un grafo es teselable en el cilindro si y sólo si es 2-conexo. Demostración: Si suponemos que el grafo tiene un punto de corte, podemos llegar fácilmente a una contradicción con la hipótesis de que sea teselable, ya que existe una cara que debe estar representada forzosamente por una circunferencia. Figura 6: Teselación de un grafo en el cilindro. Recíprocamente, si suponemos que es 2-conexo, el siguiente algoritmo que es una adaptación del que presentan Tamassia y Tollis en [7], da una teselación del grafo. ALGORITMO TESELACIÓN Entrada: Un grafo plano 2-conexo con n vértices inmerso en el plano con dos caras distinguidas f 1 y f 2. Salida: Una teselación tipo 1 del grafo en el cilindro cuyas caras izquierda y derecha son f 1 y f 2. Paso 1: Construir una orientación cilíndrica γ de G cuya cara izquierda sea f 1 y cuya cara derecha sea f 2. 5

6 Paso 2: Construir el grafo dual Γ de Γ donde las aristas están orientadas de izquierda a derecha. Γ es un digrafo acíclico con exactamente una salida y exactamente una entrada. Paso 3: Computar un orden topológico α en el digrafo obtenido de Γ al eliminar las aristas que intersecan a un camino de desde f 1 a f 2. Paso 4: Computar un orden topológico β en Γ. Paso 5: Sea θ 0 = 2π n, para cada vértice v dibujar un segmento desde el punto (β(i(v)), α(v)θ 0 ) hasta (β(d(v)), α(v)θ 0 ). Paso 6: Para cada arista e dibujar un rectángulo de vértices: (β(i(e)), α(sub(e))θ 0 ), (β(d(e)), α(sub(e))θ 0 ), (β(i(e)), α(sup(e))θ 0 ) y (β(d(e)), α(sup(e))θ 0 ). Paso 7: Para cada cara f dibujar un arco circular desde el punto (β(f), α(sub(f))θ 0 ) hasta el punto (β(f), α(sup(f))θ 0 ). 3 Teselaciones de grafos en el toro Trabajamos en esta sección con inmersiones tóricas de grafos, es decir representaremos los vértices del grafo como puntos del toro y las aristas como arcos de curvas de Jordan que no se intersecan salvo en vértices comunes y de tal forma que todo meridiano y todo paralelo del toro interseca a algún vértice o arista del grafo. Diremos que una inmersión de un grafo en el toro es 2-celular si todas las caras son homeomorfas a discos abiertos. Si el borde de cada cara es un ciclo simple, entonces las caras son homeomorfas a discos cerrados. En ese caso diremos que la inmersión es 2-celular cerrada. Figura 7: Vértice esencial. Es fácil encontrar inmersiones en el toro de grafos 2-conexos con alguna cara cuyo borde no es un ciclo simple (ver Figura 7). En ese caso, denominaremos vértice esencial al vértice que se repite al recorrer el borde de dicha cara. Dado un grafo tórico G, y C un ciclo de G que lo rodea en la dirección de los meridianos, podemos cortar el grafo duplicando los vértices y aristas de C, obteniendo un nuevo grafo en el cilindro G C. 6

7 Podemos obtener una orientación cilíndrica de G C y al identificar nuevamente las aristas y vértices de C y su copia, obtenemos una orientación en las aristas de G que denominaremos orientación tórica de G. Una baldosa en el toro es un rectángulo delimitado por dos meridianos y dos paralelos de manera que ninguna baldosa complete una circunferencia o banda cilíndrica. Partiendo de una orientación tórica de un grafo G, una teselación de G sobre el toro es una aplicación que lleva cada componente c de G (vértices, aristas o caras) a una baldosa rectangular T (c) del toro cumpliendo lo siguiente: El interior de las baldosas T (c) y T (d) es disjunto para todo c d. Las baldosas constituyen una partición del toro. Para cada arista e del grafo G, el lado inferior (superior, izquierdo, derecho) de la baldosa T (e) se apoya en el lado superior (inferior, derecho, izquierdo) de la baldosa T (sub(e)), T (Sup(e)), T (I(e)), T (D(e)), respectivamente). Ninguna baldosa constituye un meridiano completo o banda cilíndrica. Figura 8: Teselación ortogonal de un grafo en el toro. Teorema 3.1. Una inmersión 2-celular de un grafo en el toro es teselable si y sólo si es cerrada. Demostración: La demostración de este Teorema se basa en el Teorema 2.1. Consideramos un ciclo C que rodee al toro en la dirección de los meridianos. Cortando el toro por dicho ciclo, duplicando sus vértices y aristas, obtenemos un nuevo grafo inmerso en el cilindro G C. Podemos obtener una teselación de G C en la que los segmentos asociados a los vértices de C queden a la misma altura. Identificando nuevamente los segmentos y rectángulos asociados a las componentes duplicadas, obtenemos una teselación de G en el toro. 7

8 4 Grafos de intersección de segmentos En esta sección veremos como podemos obtener una representación como intersección de segmentos ortogonales en el cilindro y el toro, aplicando los resultados obtenidos sobre las teselaciones en éstas superficies. Dada una familia de segmentos en una superficie, su grafo de intersección tiene un vértice por cada segmento y dos vértices son adyacentes si y sólo si los correspondientes segmentos se intersecan. En esta sección estudiaremos un tipo particular de grafos de intersección de segmentos, conocidos como grafos de contacto que son aquellos en que los segmentos no se cruzan, sino que el extremo de uno de ellos se apoya en el otro. Dado un grafo G, su representación por segmentos es una familia de segmentos tal que su grafo de contacto es isomorfo a G. Numerosos autores han estudiado la representación de grafos bipartitos en el plano [4, 2, 3], obteniendo que todos los grafos planos bipartitos son representables por segmentos horizontales y verticales en el plano. En este trabajo, completamos dicho resultado estudiando los grafos representables por segmentos en el cilindro y en el toro. Teorema 4.1. Un grafo es representable en S como intersección de segmentos horizontales y verticales (donde S es el cilindro o el toro) si y sólo si es bipartito y no tiene aristas múltiples. Demostración: Dado un grafo G bipartito, inmerso en S (donde S puede ser el cilindro o el toro), supondremos que sus vértices están coloreados con dos colores, blanco y negro, de manera que dos vértices del mismo color no sean adyacentes. Podemos añadir vértices y aristas virtuales de manera que todas las caras del grafo sean cuadriláteros. Si alguna de las aristas que hemos introducido conecta vértices adyacentes, la subdividimos con dos nuevos vértices virtuales. Esta subdivisión trasforma dos caras que eran cuadriláteros en caras de seis vértices, pero podemos añadir nuevas aristas virtuales uniendo los nuevos vértices con los que ya estaban, con la certeza de que no crearemos aristas dobles. Por tanto, podemos suponer que G es un grafo bipartito inmerso en S y que todas sus caras internas son cuadriláteros. Por cada cara interna f conectamos sus dos vértices negros con una arista por el interior de f. Todas estas aristas constituyen un nuevo grafo G N, cuyos vértices son los vértices negros de G y dos vértices son adyacentes si pertenecen a la misma cara en G. De forma análoga podemos definir G B, considerando los vértices blancos de G. Obsérvese G N y G B son grafos duales el uno del otro, ya que cada arista de G N interseca una única arista de G B y viceversa. Es fácil comprobar que el grafo G N es 2-conexo si G está inmerso en el cilindro o que no tiene vértices esenciales si está inmerso en el toro, ya que de ser así G tendría una arista doble. Por tanto, G N es teselable en S, es decir, G N admite una representación en S de manera que sus vértices (los vértices negros de G) quedan representados por segmentos horizontales y sus caras (los vértices blancos de G), quedan representados por segmentos verticales. Obviamente si partimos de una configuración de segmentos horizontales y verticales en S, su grafo de intersección ha de ser bipartito y sin aristas múltiples. 8

9 Figura 9: Referencias [1] G. Di Battista, P. Eades, R. Tamassia and I.G. Tollis. Algorithms for drawing graphs: an annotated bibliography. Computational Geometry: Theory and Applications, 4(5): , [2] J. Czyzowicz, E. Kranakis and J. Urrutia. A simple proof of the representation of bipartite planar graphs as the contact graph of orthgonal straight line segments. Information Processing Letters, 66: , [3] H. de Fraysseix, P.O. de Mendez and J. Pach. Representation of planar graphs by segments. Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, Intuitive Geometry, [4] I. Ben-Arroyo Hartman, I. Newman and R. Ziv. On grid intersection graphs. Discrete Math., 87:41 52, [5] B. Mohar and P. Rosenstiehl. Tessellation and visibility representations of maps on the torus. Discrete Computational Geometry, 19: , [6] R. Tamassia and I.G. Tollis. Tessellation representations of planar graphs. Proc. 27th Annual Allerton Conf., pages 48 57, [7] R. Tamassia and I.G. Tollis. Representations of graphs on a cylinder. SIAM J. Discrete Mathematics, 4(1): ,