Conceptos iniciales de teoría de nudos. Escuela de Matemáticas. Realizado por: Jefferson Andrés García Ortiz. Profesor: José Gregorio Rodriguez Nieto

Transcripción

1 Conceptos iniciales de teoría de nudos Escuela de Matemáticas Realizado por: Jefferson Andrés García Ortiz Profesor: José Gregorio Rodriguez Nieto Universidad Nacional De Colombia

2 2 Resumen En el siguiente trabajo se verán conceptos iniciales sobre la teoría de nudos, éste se encuentra dividido en tres partes, en la primera se definirá el concepto de nudo, algunas propiedades y ejemplos, en la segunda parte se verá algunos tipos de nudos que son muy comunes en el estudio de la teoría, además que se hablará de los movimientos de Reidemeister, y ya en la última parte se introducirá un concepto muy importante el cual permite unir dos nudos que tienen la misma dirección; éste concepto es denominado suma conexa entre nudos.

3 3 Contents 1. Introducción 4 2. Definiciones iniciales Nudos Movimientos de Reidemeister Algunos tipos de nudos Operaciones realizadas a los nudos 8 3. Invariantes de nudos Número de puentes colerabilidad Número de enlace Superficies y matriz de Seifert El grupo fundamental y grupo de un nudo Representación de un grupo 14 References 15

4 4 1. Introducción Vista como tal, la teoría de nudos es una rama de la topología algebráica que estudia lo que se conoce como el problema de inyección o inmersión de un espacio topológico dentro de otro, además del estudio de la geometría en 3 dimensiones, y en estas notas iniciales se hará una aproximación básica, pero formal de esta teoría que tanta aplicación y relación tiene con otras áreas de la ciencia (Como física, química, biología y entre otras). Respecto al contexto histórico no podemos dejar de mencionar que el matemático J. W. Alexander fue el primero en ver la teoría de nudos como un área de gran relevancia en el momento de estudiar la topología en 3-dimensiones y se profundizó más en los estudios del matemático Alemán H. Seifert, ya después de la segunda guerra mundial el estudio de la teoría de nudos se estableció en los Estados Unidos; gracias a esto se generó un gran interés por parte de los Japoneses, el cuál ha continuado hasta hoy en día. Ya en 1970 por medio de la solución de la conjetura de Smith que estaba relacionada con funciones periódicas se encontró que la teoría de nudos también estaba relacionada con la teoría algebráica de números, ya en los inicios de 1980 debido a V.F.R Jones la teoría de nudos tuvo un vuelco hacia la física ya que él pudo encontrar una relación con los modelos solubles de la mecánica estadística. Inicialmente veremos la definición de nudo, veremos unas cuantas propiedades de éstos, para ser mas específicos diremos cuando un nudo es regular, cuando un par de nudos son equivalentes, además de ello incluiremos los conocidos e importantes movimientos de Reidemeister, daremos ejemplos de algunos tipos de nudos, como lo son el nudo poligonal, toroidal, entre otros. Por otro lado veremos los invariantes de nudos que son escenciales a la hora de pensar en clasificar nudos, entre ellos están el número de puentes, la 3-coloreabilidad, el número de enlace, las superficies de Seifert, el grupo fundamental y por último la representación de un grupo.

5 5 2. Definiciones iniciales 2.1. Nudos. Sea K R 3, decimos que K es un nudo si y solo si, existe un homeomorfismo α : S 1 R 3 tal que α(s 1 ) = K. Un ejemplo de un nudo es como el visto en la siguiente figura: Figure 1. Nudo de trébol Ahora un concepto inicial e importante sobre el estudio de nudos es el de regularidad, así tenemos la siguiente definición: Definition 2.1. Dado un nudo K R 3, decimos que K es regular si y solo si cumple las siguientes condiciones: K tiene a lo sumo finitos puntos de intersección. Si q es un punto de la intersección de K, su imagen inversa α 1 (q) tiene exactamente dos puntos. Un vértice del nudo K nunca se proyecta sobre dos puntos distintos. Éste concepto de regularidad nos permite tener una visión del nudo (El cual vive en el espacio) en el plano. En teoría de nudos, una de las mayores motivaciones es poder encontrar un método que permita clasificar los nudos por medio algún algoritmo el cuál va a dar información del tipo de nudo que se tiene y sus propiedades intrínsecas. Así una primera aproximación es darle orientación al nudo K, lo que significa colocarle flechas que permitan el recorrido en un solo sentido. Otro hecho a tener en cuenta es cuando dos nudos K 1 y K 2 son equivalentes, para ello tenemos la siguiente Definition 2.2. Sean K 1 y K 2 nudos, decimos que K 1 y K 2 son equivalentes si y solo si existe un homeomorfismo φ : R 3 R 3 que preserva la orientación y además φ(k 1 ) = K 2. Cuando se cumple esta definición también decimos que los nudos son equivalentes con orientación. Como ejemplo consideremos la siguiente figura, en ella se muestra

6 6 el nudo trébol el cual es rotado sobre el eje z por medio de un homeomorfismo que preserva orientación, dado por φ(x, y, z) = ( x, y, z). Figure 2. Rotación 2.2. Movimientos de Reidemeister. Un hecho importante cuando se está trabajando con un nudo es ver qué propiedades se conservan dada una transformación que lo convierte en otro nudo equivalente. A estas propiedades que se convervan se les conoce como invariantes. Cuando se realiza una transformación sobre los diagramas regulares que representan los nudos en el plano, es preciso tener un método estandar que permita pasar de un diagrama regular a otro y este método es conocido como los movimientos de Reidemeister, estos movimientos son 3 y son los siguientes: (1) Girar y deshacer un movimiento en cualquier dirección. (2) Agregar o quitar dos cruces, ya sea por arriba o por abajo. (3) Mover una cuerda sobre o por debajo de un cruce. En el siguiente diagrama vemos cómo los movimientos de Reidemeister se están ejecutando: Figure 3. Movimientos de Reidemeister

7 7 La importancia de incluir estos movimientos es el hecho de poder definir invariantes, y esto se hace demostrando que una propiedad del nudo no cambia cuando se aplica alguno de los movimientos Algunos tipos de nudos. Ya hemos visto las definiciones básicas de nudos y el importante concepto de movimiento de Reidemeister, ahora, nos concentraremos en ver algunos tipos de nudos que son de particular y clásico interés Nudo poligonal. Un nudo poligonal es aquel que se obtiene por la unión finita de segmentos (llamados aristas) y cuyos extremos son los vértices del nudo. Cuando encontramos un nudo que es equivalente a un nudo poligonal, lo denominamos nudo dócil, en otro caso, se le denota como nudo salvaje. A continuación vemos un ejemplo clásico de un nudo salvaje: Figure 4. Nudo salvaje Nudo anfiqueiral. Dado un nudo K, decimos que K es anfiqueiral si existe un homeomorfimo α : R 3 R 3 el cual invierte la orientación del nudo y además se cumple que α(k) = K Nudo invertible. Decimos que un nudo K es invertible si existe un homeomorfimo α : R 3 R 3 que preserva la orientación y de tal forma que la restricción α K invierte la orientación del nudo K en si mismo. Ejemplo de este tipo de nudos lo podemos encontrar en el nudo trébol, como muestra a continuación la siguiente figura: Nudo toroidal. Para obtener el concepto de nudo toroidal (el cual significa un nudo que está sobre la superficie de un toro T ) inicialmente debemos definir lo que es un toro T.

8 8 Figure 5. Nudo trébol invertible Inicialmente consideremos el circulo unitario en el plano complejo C, definido así: S 1 = {exp(θi) 0 θ 2π}, luego el Toro T Está definido como T S 1 S 1. Por otro lado tomemos la función h : S 1 S 1 R 3 definida como h(exp(φi), exp(θi)) = ( cos(φ), θ, 1 2 sen(φ)) Así dada ésta función que es un homeomorfismo; m, n naturales y primos relativos vamos a definir el nudo tórico K m,n de tipo (m, n) como el siguiente conjunto: K m,n = {h(exp(2πimt), exp(2πint)) t [a, b]} De acá, en el toro existen dos circunferencias estandar; una de ellas se llama Meridiano y está representada por h(exp(2πit), 1); la otra circunferencia se llama Longitud y se representa canónicamente como h(1, exp(2πit)), así en un nudo toroidal K m,n n representa el número de vueltas que da el nudo sobre el meridiano y m representa las vueltas que da el nudo al rededor de la longitud. Dada esta definición, con el siguiente teorema podemos determinar cuando dos nudos son equivalentes: Theorem 2.3. Dados dos nudos toroidales K m,n y K p,q, decimos estos nudos son equivalentes si y solo si el par (p, q) tiene alguna de las siguientes formas: ( m, n), ( n, m) o (m, n). De lo anterior vemos que los nudos toroidales son invertibles Operaciones realizadas a los nudos. Tomemos dos nudos orientados K 1 y K 2, luego vamos a definir la suma conexa de estos nudos como el nudo que se obtiene al eliminar un intervalo en cada uno de ellos y pegándolo conservando así su dirección, esta operación está denotada como K 1 #K 2 Un ejemplo de la operación recien definida está en la siguiente figura. Es interesante ver que la suma conexa es una operación que está bien definida, es conmutativa y asociativa, de manera formal, esto significa que:

9 9 Figure 6. Suma conexa de nudos (1) Dados dos nudos K 1 y K 2 se cumple la conmutatividad, es decir: K 1 #K 2 = K 2 #K 1. (2) Dados los nudos K 1, K 2 y K 3 la asociatividad está dada por: (K 1 #K 2 )#K 3 = K 1 #(K 2 #K 3 ). (3) Consideremos los siguientes nudos K 1 K 2 K 3 y K 4 tales que K 1 = K2 y K 3 = K4, entonces se cumple que K 1 #K 3 = K2 #K Invariantes de nudos 3.1. Número de puentes. Consideremos un nudo K y sea D su diagrama regular, ahora, en cada punto de cruce del diagrama D vamos a eliminar un segmento AB el cual pasa por el punto de cruce, así a los segmentos AB que pasan por encima de los cruces se les llama puentes. Para un diagrama D el número de puentes se denota por br(d), es de tener presente que el número de puentes de un diagrama regular no es un invariante de nudos, sin embargo, el mínimo de puentes si lo es, esto permite definir el número de puentes así: br(k) = min D br(d) donde el mínimo recorre el conjunto D de diagramas regulares de K. Bajo esta definición podemos encontrar los siguientes hechos sobre el número de puentes de un diagrama regular: Dado un nudo K, este es trivial si y solo si br(k) = 1. El nudo trébol y el nudo 8 tiene un número de puentes igual a 2, es decir, br(k) = 2. Sean K 1 y K 2 nudos arbritrarios, entonces, a la suma conexa se le calcula la cantidad de puentes de la siguiente forma: br(k 1 #K 2 ) = br(k 1 ) + br(k 2 ) 1 Consideremos el nudo toroidal, dado por K(q, r), donde r 0 o q 0, entonces, el número de puentes está dado por:

10 10 br(k(q, r)) = min { q, r } colerabilidad. Ahora, estudiaremos la parte de colorear un nudo, para ello daremos condiciones de cuando es posible realizar esto. Dicho lo anterior, al tener un diagrama regular D de un nudo K diremos que el diagrama es 3-coloreable si y solo si al colorear los arcos del diagrama D, en los puntos de cruce pasa los siguiente: Solo aparece un color. Los 3 colores aparecen. Por otro lado, dado un nudo K, si podemos encontrar un diagrama regular de K que es 3-coloreable, entonces, cada diagrama regular de K también lo es. Cuando esto pasa decimos que el nudo K es 3-coloreable. Figure 7. Trébol 3-coloreado Un hecho importante es que las definición de 3-coloreabilidad es un invariante de nudos, como ejemplo, podemos considerar el nudo trivial que no es 3-coloreable, por otro lado al tomar el nudo trébol, es fácil ver que es 3-coloreable, así podemos concluir que el nudo trébol y el nudo trivial no son equivalentes. Figure 8. Nudo trivial 3-coloreado Como podemos ver en las figuras 7 y 8 aquí encontramos ejemplos donde el nudo trébol y el trivial son 3-coloreable

11 Número de enlace. En la sección 3.1 definimos el número de puentes del diagrama regular de un nudo K, acá no se tuvo en cuenta la orientación del nudo, ahora, en esta sección vamos a definir un invariante de nudos que tiene presente la orientación. Antes de la definición principal, vamos a definir el concepto de cruce orientado, que es simplemente asignar los valores de +1 o 1 a los puntos de cruce del diagrama regular orientado. Definition 3.1. Tomemos el diagrama regular D de un enlace con dos componentes L = {K 1, K 2 }, consideremos el conjunto K 1 K 2 el cual contiene los puntos de cruce de D en los cuales las proyecciones de los nudos K 1 y K 2 se intersectan, entonces, número e enlace de los nudos K 1 y K 2 está dado por: (3.1) lk(k 1, K 2 ) = 1 sign(p) 2 p K 1 K 2 Donde sign(p)= +1 o sign(p)= Superficies y matriz de Seifert. A continuación vamos a estudiar el concepto de superficies de Seifert, para ello veremos algunos lemas técnicos como el siguiente: Theorem 3.2. Sea K un nudo orientado y arbitrario, entonces existe una superficie orientable F en R 3 cuya frontera es el nudo K, es decir, se cumple que F = K. Demostración: La idea de la prueba es tomar el nudo orientado K y descomponer su diagrama regular D en curvas simples y cerradas, para ello, primero se dibuja un pequeño círculo en los cruces del diagrama donde un punto de cruce es el centro del círculo, de aquí se separan los cruces y se unen unos con otros; la siguiente figura muestra un ejemplos de lo que se está haciendo con el diagrama D: Figure 9. Suavisando un nudo El teorema anterior permite garantizar la existencia de las denominadas superficies de Seifert, que son superficies orientables y conexas cuya frontera es un nudo orientado K.

12 12 Para poder continuar hablando de las superficies de Seifert necesitamos un importante concepto el cual está derivado de un teorema de topología que permite clasificar superficies, este estableces que una superficie orientable y cerrada F es homeomorfa a la esfera con una cierta cantidad de asas que están pegadas a la superficie, el número de éstas asas es denominado el género de la superficie y está denotado por g(f ). A continuación vemos un ejemplo de una superficie F con género 2: Figure 10. Superficie con 2 asas Por otro lado el género de un nudo K es el mínimo género de todas las superficies de Seifert para el nudo K, y cuando tenemos una superficie orientable es necesario contar con la característica de Euler, que es un invariante de nudos y está dado por el siguiente: Theorem 3.3. Supongamos F una superficie orientable y cerrada la cual está dividida en α 0 puntos, α 1 aristas y α 2 caras, definamos el número: χ(f ) = α 0 α 1 + α 2 Entonces el número χ(f ) es un entero que no está dependiendo de la división que se realice a la superficie F. χ(f ) se conoce como la característica de Euler. Un hecho importante a tener presente es la relación que existe entre el género de una superficie y la característica de Euler, ésta relación está dada por la ecuación: χ(f ) = 2 2g(F ), de aquí el género de F está dado por g(f ) = 2 χ(f ) 2. Si consideramos F una superficie con frontera, su característica de Euler es: χ(f ) = 2 2g(F ) µ(f ) con µ(f ) siendo el número de componentes de la frontera. Todo lo anterior nos permite determinar cuál es el género de una superficie de Seifert, esto es, dado un nudo orientable K con d la cantidad de cruces, si consideramos s el número de círculos de Seifert, entonces el género de la superficie de Seifert F asociada a K está dado por: g(f ) = 1+d s 2 Ahora, vamos a definir la matriz de Seifert, luego consideremos un nudo K cuya superficie de Seifert está dada por F K, además sea α # es la curva que resulta cuando

13 13 se levanta α en la superficie S 3 \ F K que está en la dirección positiva, además consideremos el primer grupo de homología de F K que está denotado por H 1 (F K ), así, con esto vamos a definir la función θ : H 1 (F K ) H 1 (F K ) Z, dada por θ(a, b) = lk(a #, b), de aquí es posible ver que la función θ es bilineal, así tiene una matriz asociada donde las entradas son los valores de la función θ en los generadores. Ésta matriz se denomina Matriz de Seifert y en general tiene la forma siguiente: θ(a 1, a 2 ) θ(a 1, a K )... θ(a K, a 2 ) ffl ffl 3.5. El grupo fundamental y grupo de un nudo. Comenzaremos esta sección con un teorema que permitirá definir un invariante de nudos basado en las propiedades topológicas de este. El teorema es el siguiente: Theorem 3.4. Sean K 1 y K 2 nudos equivalentes en S 3 entonces sus complementos son homeomorfos, es decir, S 3 \ K 1 = S 3 \ K 2 De lo anterior, si tenemos un invariante de espacios topológicos, al aplicar este invariante a los complementos obtenemos un invariante de nudos; cabe anotar que en este caso el invariante no es un número, acá el invariante se convierte en un grupo. Antes de dar la definición del grupo de un nudo debemos hablar del grupo fundamental en general, pero antes una definición preliminar: Definition 3.5. Sea χ un espacio topológico, sea f un camino definido en χ que va de x 0 a x 1 (Es decir, f es una función de un cerrado de R a χ), sea g un camino en χ que va de x 1 a x 2, así, vamos a definir el producto entre f y g denotado por el cual es un camino h dado por las siguientes ecuaciones: h(s) = f(2s) si s [ 0, 1 2 h(s) = g(2s 1) si s [ 1 2, 1] ] De lo anterior la operación producto entre caminos induce una operación entre clases de caminos homotópicos, que está definida por la siguiente ecuación: [f] [g] = [f g] Debemos tener presente que la clase de caminos homotópicos no necesariamente forma un grupo ya que la operación no siempre está bien definida (Para ver una prueba de este hecho ver [1] página 326, por esto, tiene sentido de hablar de caminos cerrados.

14 14 Así basados en lo anterior, tenemos la siguiente definición de grupo fundamental: Definition 3.6. (Grupo fundamental) Sea χ un espacio topológico, consideremos p χ un punto fijo de χ, luego, una trayectoria definida en χ que comienza y termina en p es llamada un ciclo con punto base p. Luego la clase de ciclos homotópicos basados en p junto con la operación definida anteriormente se denomina grupo fundamental de χ relativo al punto base p. Este grupo fundamental está denotado por π 1 (χ, p). Tenemos ahora la definición del grupo de un nudo: Definition 3.7. Sea K un nudo, p R 3 \ K un punto arbitrario, entonces el grupo fundamental π 1 (R 3 \ K, p) es denominado el grupo del nudo K. Gracias a las definiciones dadas podemos tener un importante teorema que va a permitir tener una clasificación de los nudos por medio de su grupo fundamental. Theorem 3.8. Sean K 1 y K 2 nudos primos los cuales cumplen que: π 1 (S 3 \ K 1 ) = S 3 \ K 2 ) Entonces K 1 y K 2 son equivalentes Representación de un grupo. En ésta última sección daremos la noción de representación del grupo de un nudo. Ahora del álgebra conocemos que es posible determinar un grupo G por medio de los generadores, así, en base a lo dicho anteriormente podemos definir una representación para un grupo: Definition 3.9. Consideremos el conjunto χ = {x 1, x 2, } que denominaremos conjunto de generadores, además tomemos el conjunto de relaciones que está dado por ρ = {r 1, r 2, r 3 }, luego una representación consta de los generadores y relaciones entre estos dos elementos, la representación está denotada por χ ρ.

15 15 References [1] M. James, Topology 2nd edition, [2] R.N. Gregorio, Estudio de invariantes de nudos y sus aplicaciones al problema de clasificación Universidad Nacional de Colombia, [3] C.M. Luis José. Introducción a la teoría de nudos. V jonadas de física y matemáticas, Universidad Autonoma de Ciudad de Juárez 1997 [4] M. Kunio, Knot theory and its applications Department of mathematics University of Toronto, 1996.