Potencias. Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias Exactas. FMM012. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016

Transcripción

1 Potencias. FMM012 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas Miguel Ángel Muñoz Jara / 1

2 Actividad Inicial. Grupos de 3 integrantes En base a las lecturas previas responda las siguientes preguntas. 1 Que es una potencia? Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 2 / 1

3 Actividad Inicial. Grupos de 3 integrantes En base a las lecturas previas responda las siguientes preguntas. 1 Que es una potencia? 2 que valores puede tomar la base de una potencia? Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 2 / 1

4 Actividad Inicial. Grupos de 3 integrantes En base a las lecturas previas responda las siguientes preguntas. 1 Que es una potencia? 2 que valores puede tomar la base de una potencia? 3 Qué propiedades satisfacen el producto de potencias? Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 2 / 1

5 Actividad Inicial. Grupos de 3 integrantes En base a las lecturas previas responda las siguientes preguntas. 1 Que es una potencia? 2 que valores puede tomar la base de una potencia? 3 Qué propiedades satisfacen el producto de potencias? 4 Si a = 0, para que valores de n está definida la potencia a n? Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 2 / 1

6 Definición Definición. Una potencia es la representación de la multiplicación de varios factores iguales. El factor se denomina base y la cantidad de factores se denomina exponente. Por ejemplo para representar el producto x x x (n veces) se utiliza la notación x n Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

7 Definición Definición. Una potencia es la representación de la multiplicación de varios factores iguales. El factor se denomina base y la cantidad de factores se denomina exponente. Por ejemplo para representar el producto x x x (n veces) se utiliza la notación x n Es decir x n = x x x x }{{} n veces Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

8 Definición Definición. Una potencia es la representación de la multiplicación de varios factores iguales. El factor se denomina base y la cantidad de factores se denomina exponente. Por ejemplo para representar el producto x x x (n veces) se utiliza la notación x n Es decir x n = x x x x }{{} n veces Bajo este contexto x es la base de la potencia y n es el exponente. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

9 Definición Definición. Una potencia es la representación de la multiplicación de varios factores iguales. El factor se denomina base y la cantidad de factores se denomina exponente. Por ejemplo para representar el producto x x x (n veces) se utiliza la notación x n Es decir x n = x x x x }{{} n veces Bajo este contexto x es la base de la potencia y n es el exponente. La definición de potenciación, se puede realizar utilizando recursividad, a saber: Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

10 Definición Definición. Una potencia es la representación de la multiplicación de varios factores iguales. El factor se denomina base y la cantidad de factores se denomina exponente. Por ejemplo para representar el producto x x x (n veces) se utiliza la notación x n Es decir x n = x x x x }{{} n veces Bajo este contexto x es la base de la potencia y n es el exponente. La definición de potenciación, se puede realizar utilizando recursividad, a saber: x si n = 1 x n = x x n 1 si n 2 n N Ejemplo. Observe que: Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

11 Definición Definición. Una potencia es la representación de la multiplicación de varios factores iguales. El factor se denomina base y la cantidad de factores se denomina exponente. Por ejemplo para representar el producto x x x (n veces) se utiliza la notación x n Es decir x n = x x x x }{{} n veces Bajo este contexto x es la base de la potencia y n es el exponente. La definición de potenciación, se puede realizar utilizando recursividad, a saber: x si n = 1 x n = x x n 1 si n 2 n N Ejemplo. Observe que: 2 5 = = 32 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

12 Definición Definición. Una potencia es la representación de la multiplicación de varios factores iguales. El factor se denomina base y la cantidad de factores se denomina exponente. Por ejemplo para representar el producto x x x (n veces) se utiliza la notación x n Es decir x n = x x x x }{{} n veces Bajo este contexto x es la base de la potencia y n es el exponente. La definición de potenciación, se puede realizar utilizando recursividad, a saber: x si n = 1 x n = x x n 1 si n 2 n N Ejemplo. Observe que: 2 5 = = 32 (3ab) 3 = (3ab)(3ab)(3ab) = (3)(3)(3)(a)(a)(a)(b)(b)(b) = 17a 3 b 3 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

13 Propiedades Utilizando la definición de potencia y las propiedades de la multiplicación es posible deducir las siguientes propiedades. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 4 / 1

14 Propiedades Utilizando la definición de potencia y las propiedades de la multiplicación es posible deducir las siguientes propiedades. 1 Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, es decir: ( x) 2n = x 2n Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 4 / 1

15 Propiedades Utilizando la definición de potencia y las propiedades de la multiplicación es posible deducir las siguientes propiedades. 1 Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, es decir: ( x) 2n = x 2n 2 Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa, es decir: ( x) 2n+1 = (x 2n+1 ) Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 4 / 1

16 Propiedades Utilizando la definición de potencia y las propiedades de la multiplicación es posible deducir las siguientes propiedades. 1 Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, es decir: ( x) 2n = x 2n 2 Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa, es decir: ( x) 2n+1 = (x 2n+1 ) 3 Toda cantidad no nula elevada a cero es igual a 1, es decir x 0 x 0 = 1 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 4 / 1

17 Propiedades Utilizando la definición de potencia y las propiedades de la multiplicación es posible deducir las siguientes propiedades. 1 Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, es decir: ( x) 2n = x 2n 2 Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa, es decir: ( x) 2n+1 = (x 2n+1 ) 3 Toda cantidad no nula elevada a cero es igual a 1, es decir x 0 x 0 = 1 4 Toda base con exponente negativo es equivalente a: x m = 1 x m Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 4 / 1

18 Propiedades Utilizando la definición de potencia y las propiedades de la multiplicación es posible deducir las siguientes propiedades. 1 Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, es decir: ( x) 2n = x 2n 2 Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa, es decir: ( x) 2n+1 = (x 2n+1 ) 3 Toda cantidad no nula elevada a cero es igual a 1, es decir x 0 x 0 = 1 4 Toda base con exponente negativo es equivalente a: x m = 1 x m 5 Para multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes. x m x n = x m+n Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 4 / 1

19 Propiedades de potencias 6 Para dividir potencias de igual mase se conserva la base y se restan los exponentes. Es decir: x m x = n xm n Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 5 / 1

20 Propiedades de potencias 6 Para dividir potencias de igual mase se conserva la base y se restan los exponentes. Es decir: x m x = n xm n 7 Toda potencia elevada a otra potencia es: (x m ) n = x m n Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 5 / 1

21 Propiedades de potencias 6 Para dividir potencias de igual mase se conserva la base y se restan los exponentes. Es decir: x m x = n xm n 7 Toda potencia elevada a otra potencia es: (x m ) n = x m n 8 El producto de potencias de bases diferentes e igual exponente es: x m y m = (x y) m Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 5 / 1

22 Propiedades de potencias 6 Para dividir potencias de igual mase se conserva la base y se restan los exponentes. Es decir: x m x = n xm n 7 Toda potencia elevada a otra potencia es: (x m ) n = x m n 8 El producto de potencias de bases diferentes e igual exponente es: x m y m = (x y) m 9 El cuociente de potencias de bases diferentes e igual exponente es: ( ) x m m x y = m y Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 5 / 1

23 Propiedades de potencias 6 Para dividir potencias de igual mase se conserva la base y se restan los exponentes. Es decir: x m x = n xm n 7 Toda potencia elevada a otra potencia es: (x m ) n = x m n 8 El producto de potencias de bases diferentes e igual exponente es: x m y m = (x y) m 9 El cuociente de potencias de bases diferentes e igual exponente es: ( ) x m m x y = m y Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 5 / 1

24 Ejemplos 1 ( 5x 3 y 4 ) 3 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 6 / 1

25 Ejemplos 1 ( 5x 3 y 4 ) 3 Solución. Observe que : ( 5) 3 x 3 3 y 4 3 = ( 5) 3 x 9 y 12 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 6 / 1

26 Ejemplos 1 ( 5x 3 y 4 ) 3 Solución. Observe que : ( 5) 3 x 3 3 y 4 3 = ( 5) 3 x 9 y 12 Por lo tanto: ( 5) 3 x 9 y 1 2 = (5 3 )x 9 y 12 = 125x 9 y 12 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 6 / 1

27 Ejemplos 1 ( 5x 3 y 4 ) 3 Solución. Observe que : ( 5) 3 x 3 3 y 4 3 = ( 5) 3 x 9 y 12 Por lo tanto: ( 5) 3 x 9 y 1 2 = (5 3 )x 9 y 12 = 125x 9 y 12 2 ( 2 3 a3 b 4) 5 Solución. Observe que: Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 6 / 1

28 Ejemplos 1 ( 5x 3 y 4 ) 3 Solución. Observe que : ( 5) 3 x 3 3 y 4 3 = ( 5) 3 x 9 y 12 Por lo tanto: ( 5) 3 x 9 y 1 2 = (5 3 )x 9 y 12 = 125x 9 y 12 2 ( 2 3 a3 b 4) 5 Solución. Observe que: ( 2 ) 5 ( a 3 5 b 4 5 = 2 ) 5 a 15 b Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 6 / 1

29 Ejemplos 1 ( 5x 3 y 4 ) 3 Solución. Observe que : ( 5) 3 x 3 3 y 4 3 = ( 5) 3 x 9 y 12 Por lo tanto: ( 5) 3 x 9 y 1 2 = (5 3 )x 9 y 12 = 125x 9 y 12 2 ( 2 3 a3 b 4) 5 Solución. Observe que: ( 2 ) 5 ( a 3 5 b 4 5 = 2 ) 5 a 15 b es decir: ( 2 3 a3 b 4 ) 5 = ( ) a 15 b 20 = a15 b 20 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 6 / 1

30 Ejemplos Las propiedades de las potencias permiten desarrollar de manera más rápida cálculos aritméticos que involucran potencias, lo cual queda de manifiesto en los siguientes ejemplos. Miguel Ángel Muñoz Jara / 1

31 Ejemplos Las propiedades de las potencias permiten desarrollar de manera más rápida cálculos aritméticos que involucran potencias, lo cual queda de manifiesto en los siguientes ejemplos. Determine el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: (2 2 ) 3 (3 3 ) 2 1 (3 2 ) 3 (2 3 ). 4 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 7 / 1

32 Ejemplos Las propiedades de las potencias permiten desarrollar de manera más rápida cálculos aritméticos que involucran potencias, lo cual queda de manifiesto en los siguientes ejemplos. Determine el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: (2 2 ) 3 (3 3 ) 2 1 (3 2 ) 3 (2 3 ). 4 Solución. Observe que al utilizar la propiedad (xy) n = x n y n, es posible deducir que: Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 7 / 1

33 Ejemplos Las propiedades de las potencias permiten desarrollar de manera más rápida cálculos aritméticos que involucran potencias, lo cual queda de manifiesto en los siguientes ejemplos. Determine el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: (2 2 ) 3 (3 3 ) 2 1 (3 2 ) 3 (2 3 ). 4 Solución. Observe que al utilizar la propiedad (xy) n = x n y n, es posible deducir que: (2 2 ) 3 (3 3 ) 2 = (3 2 ) 3 (2 3 ) = = 2 6 = = 1 64 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 7 / 1

34 Ejemplos Las propiedades de las potencias permiten desarrollar de manera más rápida cálculos aritméticos que involucran potencias, lo cual queda de manifiesto en los siguientes ejemplos. Determine el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: (2 2 ) 3 (3 3 ) 2 1 (3 2 ) 3 (2 3 ). 4 Solución. Observe que al utilizar la propiedad (xy) n = x n y n, es posible deducir que: (2 2 ) 3 (3 3 ) 2 = (3 2 ) 3 (2 3 ) = = 2 6 Por lo tanto (22 ) 3 (3 3 ) 2 (3 2 ) 3 (2 3 ) 4 = 1 64 = = 1 64 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 7 / 1

35 Ejemplos 2 3 n + 9 n 3 n. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 8 / 1

36 Ejemplos 2 3 n + 9 n 3 n. Solución. Observe: Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 8 / 1

37 Ejemplos 2 3 n + 9 n 3 n. Solución. Observe: 3 n + 9 n = 3n + (3 2 ) n 3 n 3 n = 3n + (3) 2n 3 n = 3n n n 3 n = n n = n Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 8 / 1

38 Ejemplos 2 3 n + 9 n 3 n. Solución. Observe: 3 n + 9 n = 3n + (3 2 ) n 3 n 3 n = 3n + (3) 2n 3 n = 3n n n 3 n = n n Por lo tanto 3n + 9 n 3 n = n. = n Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 8 / 1

39 Ejemplos Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 9 / 1

40 Ejemplos Solución. Observe: Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 9 / 1

41 Ejemplos Solución. Observe: = = = = = 12 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 9 / 1

42 Ejemplos Solución. Observe: Por lo tanto = = = = = = 12 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 9 / 1

43 Ejemplos ( ) 2 4 ( ) ( ) Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 10 / 1

44 Ejemplos ( ) 2 4 ( ) ( ) Solución. Observe que al utilizar las propiedades: Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 10 / 1

45 Ejemplos ( ) 2 4 ( ) ( ) Solución. Observe que al utilizar las propiedades: [ ] (xy) n = x n y n xm x m y m = y Obtenemos: ( ) 2 4 ( ) ( ) = ( 2 3 ) 8 ( 3 2 ) ( 1 3 ) 4 = = = = ( 4) = = 4 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 10 / 1

46 Ejemplos ( ) 2 4 ( ) ( ) Solución. Observe que al utilizar las propiedades: [ ] (xy) n = x n y n xm x m y m = y Obtenemos: ( ) 2 4 ( ) ( ) = ( 2 3 ) 8 ( 3 2 ) ( 1 3 ) 4 = = = ( ) 2 4 ( ) Por lo tanto 3 2 ( ) 1 2 = = ( 4) = = 4 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 10 / 1

47 Actividad Grupal. 3 integrantes. 1 Utilice las propiedades de potencias para simplificar al máximo las siguientes expresiones. a 36xy7 z 12x 4 y 5 z b ( 2x 7 y 2 ) 3 c 4xy 32x 4 y 2 4x 2 y 0 2 Un compañero de curso sigue obteniendo como respuesta 64 al simplificar 2 6. Qué error está cometiendo y como puede ayudarlo? 3 Cierto tipo de células tienen la propiedad de dividirse en 2 cada hora. Si un biólogo ha comenzado a estudiar la reproducción de estas células a partir de una sola, cuántas células observará al cabo de 16 horas? 4 La luz que viaja aproximadamente a km por segundo. Si tarda cerca de segundos en llegar del Sol a la Tierra. Cuál es la distancia aproximada, en notación científica, del Sol a la Tierra? 5 Si la masa de la tierra es de aproximadamente gramos y cada gramo es aproximadamente libras. Cuál es la masa de la tierra en libras? Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 11 / 1

48 Actividad Grupal. 3 integrantes. 6 En 1929 Vernadky, un biólogo, estimó que todo el oxígeno libre de la tierra pesa gramos y que éste es producido sólo por la vida. Si un gramo es aproximadamente libras. Cuál es el peso en libras del oxígeno libre de la tierra? 7 Si una computadora puede efectuar una sola operación en segundos, cuántas operaciones puede efectuar en un segundo? Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 12 / 1

49 Conclusiones y retroalimentación. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 13 / 1