C alculo de la D irecci on de la Salida del Sol

Transcripción

1 C alculo de la D irecci on de la Salida del Sol R o g e lio Fe r n a n d e z A lo n s o Go n z a le z D e p a r t a m e n t o d e Ma t e m a t ic a s, CB I, U A M-I. En este trabajo se encuentra una f ormula para determinar la direcci on de salida (y como consecuencia la de puesta) delsol, desde cualquier punto sobre la super cie terrestre y en cualquier fecha del a~no. Para efectos pr acticos puede suponerse que la super- cie terrestre es una esfera de radio uno, y que la orbita de la Tierra es un c ³rculo con el Sol en su centro. Se asociar a la fecha del a~no con el angulo µ que forma la l ³nea que une la Tierra al Sol en la posici on dada, medido a partir de la posici on correspondiente al equinoccio de primavera en el hemisferio Norte (aproximadamente el 21 de marzo); en este caso µ 0 ±. As ³ µ 90 ± en el solsticio de verano, µ 180 ± en el equinoccio de oto~no y µ 270 ± en el solsticio de invierno. En la Figura 1 dichas posiciones est an marcadas con las letras P, V, O e I. F ig ura 1. Si d es el n umero de d ³as transcurridos a partir del ultimo equinoccio de primavera en el hemisferio norte, µ puede obtenerse en grados por la f ormula µ 360 d 365:25 : Denotemos por la latitud a la que se encuentra nuestro punto de observaci on (PO) en la super cie terrestre. En vez de considerar latitud Norte y latitud Sur, se medir a como positivo o negativo, respectivamente. Se llegar a entonces a una f ormula donde se obtenga, en t erminos de los angulos µ y, el angulo ± 1, medido desde nuestro punto de observaci on, sobre el plano del horizonte, a partir de la direcci on Este (en cuyo caso ± 1 0 ± ), hacia la direcci on de salida del Sol. Se demostrar a que dicho angulo es igual al angulo ± 2 medido a partir de la direcci on Oeste (± 2 0 ± ) hacia la direcci on de la puesta del Sol. Es sabido que el eje de rotaci on de la Tierra tiene una posici on (que podemos considerar ja para efectos pr acticos) que forma un angulo de 23.5 ± respecto a una l ³nea perpendicular al plano de la orbita terrestre (ecl ³ptica). Este es el hecho que implica que los rayos solares no lleguen de la misma manera a un punto determinado sobre la super cie terrestre en distintas fechas del a~no. En vez de considerar un sistema de referencia como el de la Figura 3, donde la Tierra se mueve alrededor del Sol y el eje de rotaci on est a jo, se considerar a un sistema tridimensional de coordenadas cartesianas, cuyo origen est a situado en el centro de la Tierra. Los ejes x;y; z se nombran de la manera convencional. El Sol est a jo en un punto lejano sobre la parte positiva del eje y, de tal forma que losrayos solaresson siempre paralelosalplano xy, el cualrepresentar a el plano de la ecl ³ptica. El plano xz representar a la divisi on entre el d ³a y la noche sobre la super cieterrestre. Ya quela rotaci on terrestreserealiza de Oeste a Este, en los puntos de la Tierra que se encuentren sobre el plano xz estar a en ese momento amaneciendo o atardeciendo, seg un su coordenada x sea positiva o negativa, respectivamente. El movimiento circular de la orbita terrestre est a representado en el nuevo sistema de referencia por un movimiento circular del eje de rotaci on terrestre alrededor deleje x, detal forma queel angulo entreambos ejes es el angulo jo Á 0. El angulo µ es justamente el angulo que forma la proyecci on del eje de rotaci on sobre el plano xy, medido a partir del eje x, con la direcci on positiva convencional (de hecho, para corresponder a esta convenci on se consider o µ en el sentido negativo en la Figura 1). En la Figura 5 se muestran las cuatro posiciones en el nuevo sistema de referencia que corresponden a los dos equinoccios y a los dos solsticios. Obs ervese c omo el eje de rota- 17

2 18 ContactoS 32, 17{25 (1999) F ig ura 2. Figura 3. Figura 4.

3 C alculo de la Direcci on de Salida del Sol. Rogelio Fern andez Alonso Gonz alez. 19 F ig ura 5.

4 20 ContactoS 32, 17{25 (1999) ci on se encuentra sobre el plano xz en los equinoccios y sobre el plano yz en los solsticios. El angulo ± 1 que buscamos es el angulo entre el vector unitario j h0;1; 0i (que apunta en la direcci on del Sol) y un vector e 1 que apunta en la direcci on Este a partir del punto de observaci on en el amanecer (P 1 en la Figura 4), sobre el plano del horizonte, es decir, sobre el plano tangente a la esfera terrestre en el punto P 1. Para encontrar dicho angulo ± 1 necesitamos las coordenadas del vector e 1, el cual se encuentra tanto sobre el plano PP que atraviesa la Tierra en el paralelo correspondiente a la latitud, como sobre el plano del Horizonte PH. As ³ pues, el vector e 1 ser a ortogonal a un vector normal al plano PP (es decir, un vector paralelo al eje de rotaci on) y tambi en ser a ortogonal a un vector normal al plano PH. Por lo tanto e 1 puede obtenerse como el producto cruz de ambos vectores normales. Dichos vectores pueden ser aquellos cuyas coordenadas son los puntos PN (el Polo Norte) y P 1 (el punto de observaci on al amanecer), respectivamente. A estos vectores les llamaremos pn y p 1. Las coordenadas esf ericas del Polo Norte son (1;Á 0 ;±) en una fecha correspondiente al angulo µ. Sus coordenadas cartesianas, que pueden obtenerse mediante las f ormulas de conversi on a partir de las coordenadas esf ericas, son (sinµ 0 cosµ;sin¼ 0 sinµ;cos¼ 0 ), a las que llamaremos simplemente (a, b, c). Podemos encontrar la ecuaci on de un plano en el espacio a partir de un vector normal a dicho plano y de un punto sobre el plano. Como el vector es normal al plano PP, s olo necesitamos un punto sobre este plano para encontrar su ecuaci on. Un punto con esta caracter ³stica es el centro del c ³rculo paralelo correspondiente a la latitud, nombrado C en la Figura 6. Esta gura muestra la secci on transversal de la esfera terrestre sobre el plano que contiene al eje de rotaci on y al eje z. El punto C tiene coordenadas esf ericas (sin ; ¼ 0 ; µ). Por lo tanto, sus coordenadas cartesianas son (sin ¼ 0 cosµ; sin sin¼ 0 sinµ; sin cos¼ 0 ), es decir, (asin ; bsin ; csin ). La ecuaci on del plano PP resulta entonces: ax + by + cz sin : Cuando consideramos la intersecci on entre el plano PP, el plano xz y la esfera terrestre, se obtienen en general dos puntos. Uno de ellos es el punto P 1 (el punto de observaci on al amanecer), y el otro es el punto P 2 (que puede considerarse como el mismo punto de observaci on al atardecer). Las coordenadas de ambos puntos pueden obtenerse como las soluciones del sistema de tres ecuaciones con tres inc ognitas: 8 < : ax + by + cz sin y 0 x 2 + y 2 + z 2 1 que se reduce al sistema de dos ecuaciones con dos inc ognitas: ½ ax + cz sin x 2 + z 2 ( ) 1 Las dos soluciones obtenidas son: x asin cp sin 2 z csin ap sin 2 Ya que seg un nuestro sistema de referencia el punto P 1 tiene una coordenada x mayor que el punto P 2, las coordenadas de ambos puntos son P 1 ( 1 ; 0; 1 ) y P 2 ( 2 ; 0; 2 ), donde : 1 asin + cp sin 2 1 csin ap sin 2 2 asin cp sin 2 2 csin + a p sin 2 Efectivamente resulta que 1 2, puesto que c cos¼ 0 > 0. Obs ervese que el sistema (*) no tiene soluci on si y s olo si < sin 2. Esta situaci on corresponde a los puntos sobre la Tierra, muy cercanos a los polos, donde en una fecha determinada siempre es de d ³a o de noche (as ³ que en dichos puntos no tiene sentido preguntarse por d onde amanece o atardece). Cuando se da la igualdad sin 2, el sistema (*) tiene soluci on unica:

5 C alculo de la Direcci on de Salida del Sol. Rogelio Fern andez Alonso Gonz alez. 21 Figura 6. a sin c sin Por lo tanto, el angulo ± 1 que buscamos, entre los vectores e 1 y j, es tal que: En este caso, el punto P( ;0; ) representar ³a un lugar sobre la Tierra donde en una determinada fecha el Sol apenas toca el horizonte, para seguir siendo de d ³a, o de noche. Si analizamos m as detenidamente la desigualdad sin 2, descubrimos que en realidad se necesita estar muy cerca de los polos para observar estas situaciones tan extra~nas para la mayor ³a de los habitantes del planeta. De hecho: sin 2, sin 2 Á 0 cos 2 µ + cos 2 Á 0 sin 2, cos 2 µ sin2 cos 2 Á 0 sin 2 Á 0 Esto s olo puede tener sentido cuando sin 2 cos 2 Á 0, es decir, cuando j j 66:5 ±. Por lo tanto, en la mayor parte del planeta, para latitudes menores de 66.5 ± se tienen dos soluciones para el sistema (*). Como hab ³amos dicho anteriormente, el vector e1 es el vector tangente al c ³rculo del paralelo sobre el plano PP en el punto P 1, y representa la direcci on Este desde P 1. Este vector puede obtenerse como el siguiente producto cruz: e 1 pn p 1 i j k a b c hb 1 ; 1 c a 1 ; 1 bi cos± 1 e 1 j ke 1 k 1 c a 1 q b 2 + ( 1 c a 1 ) 2 r sin 2 1 sin 2 La primera igualdad es la f ormula del angulo entre dos vectores utilizando el producto punto de ellos. La segunda igualdad se obtiene considerando que alpha se obtiene sustituyendo los valores obtenidos de 1 y de 1, y simpli cando la expresi on. Ahora consideremos el vector e 2, tangente al c ³rculo del paralelo sobre el plano PP en el punto P 2, y que representa la direcci on Este desde el punto P 2 (por lo tanto el vector e 2 representar ³a la direcci on Oeste desde P 2 ). Dicho vector se obtiene mediante el producto cruz: e 2 pn p i i j k a b c hb 2 ; 2 c a 2 ; 2 bi

6 22 ContactoS 32, 17{25 (1999) El angulo ± 2, entre los vectores e 2 y j es tal que: cos ± 2 e 2 j ke 2 k 2 c + a 2 q b 2 + ( 2 c a 2 ) 2 r sin 2 1 sin 2 Esto signi ca que ± 1 ± 2. A dicho angulo le llamaremos simplemente± (ver Figura 2). Sustituyendo los valores de a y c, obtenemos la siguiente f ormula para ±: r ± arccos sin 2 1 sin 2 arccos r sin 2 ¼ 0 cos 2 µ + cos 2 ¼ 0 sin 2 1 sin 2 Recordemos que esta f ormula s olo tiene sentido para latitudes menores o iguales a los 66.5 ±, debido a que siempre da valores positivos para ±, al aplicarla debemos recordar las convenciones mostradas en la tabla 1. En las Tablas 2 y 3 se ha calculado el angulo ± mediante la f ormula obtenida, para diversos valores de µ correspondientes a diversas epocas del a~no, y para diversas latitudes, en intervalos de 10 ±. En Gr a cas 1 se observa una gr a ca por cada latitud especi cada en las tablas anteriores. Las Tablas 4 y 5 muestran la misma informaci on que las tablas anteriores para algunas ciudades importantes del mundo que se encuentran en diversas latitudes. En Gr a cas 2 se observa una gr a ca por cada una de las ciudades consideradas. En ambos gruposde gr a cas cada curva representa el angulo delta como funci on de la epoca del a~no, dada por theta. Se considera delta como positivo si se mide en direcci on Noreste, y negativo si se mide en direcci on Sureste. Bibliograf ³a 1. Thomas, GeorgeB., y Finney, RossL., Calculus and Analytic Geometry. 8 ± Edici on, Addison- Wesley, USA, Goth, George, The Magnitudes of Physics, The Physics Teacher. December 1996 American Association of Physics Teachers, USA. lahr/magphys.html#top 3. Look-Up Latitude and Longitude cs

7 C alculo de la Direcci on de Salida del Sol. Rogelio Fern andez Alonso Gonz alez. 23 Tabla 1. Convenciones para la medici on de ±. Epoca del a~no (hemisferio Norte) Direcci on de salida del sol Direcci on de puesta del sol Del equinoccio de primavera al equinoccio de oto~no: ± se mide hacia el Sureste ±se mide hacia el Suroeste (0 ± < µ < 180 ± ) Del equinoccio de oto~no al equinoccio de primavera: ± se mide hacia el Noreste ± se mide hacia el Noroeste (180 ± < µ < 360 ± ) Tabla 2. Direcciones de salida del sol para diversas latitudes en diversas epocas del a~no (del equinoccio de primavera al equinoccio de oto~no). µ 0 ± 30 ± 45 ± 60 ± 90 ± 120 ± 135 ± 150 ± 180 ± Latitud Direcci on sureste 0 ± 0 ± 11.5 ± 16.3 ± 20.2 ± 23.5 ± 20.2 ± 16.3 ± 11.5 ± 0 ± 10 ± 0 ± 11.7 ± 16.6 ± 20.5 ± 23.8 ± 20.5 ± 16.6 ± 11.7 ± 0 ± 20 ± 0 ± 12.2 ± 17.4 ± 21.5 ± 25.1 ± 21.5 ± 17.4 ± 12.2 ± 0 ± 30 ± 0 ± 13.3 ± 19.0 ± 23.5 ± 27.4 ± 23.5 ± 19.0 ± 13.3 ± 0 ± 40 ± 0 ± 15.0 ± 21.5 ± 16.7 ± 31.3 ± 16.7 ± 21.5 ± 15.0 ± 0 ± 50 ± 0 ± 18.0 ± 26.0 ± 32.4 ± 38.3 ± 32.4 ± 26.0 ± 18.0 ± 0 ± 60 ± 0 ± 23.5 ± 34.3 ± 43.6 ± 52.7 ± 43.6 ± 34.3 ± 23.5 ± 0 ± Tabla 3. Direcciones de salida del sol para diversas latitudes en diversas epocas del a~no (del equinoccio de oto~no al equinoccio de primavera). µ 180 ± 210 ± 225 ± 240 ± 270 ± 300 ± 315 ± 330 ± 360 ± Latitud Direcci on Noreste 0 ± 0 ± 11.5 ± 16.3 ± 20.2 ± 23.5 ± 20.2 ± 16.3 ± 11.5 ± 0 ± 10 ± 0 ± 11.7 ± 16.6 ± 20.5 ± 23.8 ± 20.5 ± 16.6 ± 11.7 ± 0 ± 20 ± 0 ± 12.2 ± 17.4 ± 21.5 ± 25.1 ± 21.5 ± 17.4 ± 12.2 ± 0 ± 30 ± 0 ± 13.3 ± 19.0 ± 23.5 ± 27.4 ± 23.5 ± 19.0 ± 13.3 ± 0 ± 40 ± 0 ± 15.0 ± 21.5 ± 16.7 ± 31.3 ± 16.7 ± 21.5 ± 15.0 ± 0 ± 50 ± 0 ± 18.0 ± 26.0 ± 32.4 ± 38.3 ± 32.4 ± 26.0 ± 18.0 ± 0 ± 60 ± 0 ± 23.5 ± 34.3 ± 43.6 ± 52.7 ± 43.6 ± 34.3 ± 23.5 ± 0 ±

8 24 ContactoS 32, 17{25 (1999) Gr a cas 1. ± como funci on de µ, para diversos valores espec ³ cos de ±. Tabla 4. Direcciones de salida del sol para diversas ciudades del mundo en diversas epocas del a~no (del equinoccio de primavera al equinoccio de oto~no). 0 ± 30 ± 45 ± 60 ± 90 ± 120 ± 135 ± 150 ± 180 ± Ciudad Direcci on Sureste Bogot a (4.6 ± N) 0 ± 11.5 ± 16.4 ± 20.2 ± 23.5 ± 20.2 ± 16.4 ± 11.5 ± 0 ± Helsinki (60.2 ± N) 0 ± 23.6 ± 34.5 ± 43.9 ± 53.2 ± 43.9 ± 34.5 ± 23.6 ± 0 ± M exico (19.4 ± N) 0 ± 12.2 ± 17.4 ± 21.4 ± 25.0 ± 21.4 ± 17.4 ± 12.2 ± 0 ± N. York (40.8 ± N) 0 ± 15.2 ± 21.8 ± 27.1 ± 31.7 ± 27.1 ± 21.8 ± 15.2 ± 0 ± Par ³s (48.8 ± N) 0 ± 17.6 ± 25.3 ± 31.6 ± 37.2 ± 31.6 ± 25.3 ± 17.6 ± 0 ± Punta Arenas (53.2 ± S) 0 ± 19.4 ± 28.0 ± 35.1 ± 41.6 ± 35.1 ± 21.0 ± 19.4 ± 0 ± Sidney (33.9 ± S) 0 ± 13.9 ± 19.8 ± 24.5 ± 28.7 ± 24.5 ± 19.8 ± 13.9 ± 0 ± Tokio (35.7 ± N) 0 ± 14.2 ± 20.3 ± 25.1 ± 29.3 ± 25.1 ± 20.3 ± 14.2 ± 0 ±

9 C alculo de la Direcci on de Salida del Sol. Rogelio Fern andez Alonso Gonz alez. 25 Tabla 5. Direcciones de salida del sol para diversas ciudades del mundo en diversas epocas del a~no (del equinoccio de oto~no al equinoccio de primavera). 180 ± 210 ± 225 ± 240 ± 270 ± 300 ± 315 ± 330 ± 360 ± Ciudad Direcci on Noroeste Bogot a (4.6 ± N) 0 ± 11.5 ± 16.4 ± 20.2 ± 23.5 ± 20.2 ± 16.4 ± 11.5 ± 0 ± Helsinki (60.2 ± N) 0 ± 23.6 ± 34.5 ± 43.9 ± 53.2 ± 43.9 ± 34.5 ± 23.6 ± 0 ± M exico (19.4 ± N) 0 ± 12.2 ± 17.4 ± 21.4 ± 25.0 ± 21.4 ± 17.4 ± 12.2 ± 0 ± N. York (40.8 ± N) 0 ± 15.2 ± 21.8 ± 27.1 ± 31.7 ± 27.1 ± 21.8 ± 15.2 ± 0 ± Par ³s (48.8 ± N) 0 ± 17.6 ± 25.3 ± 31.6 ± 37.2 ± 31.6 ± 25.3 ± 17.6 ± 0 ± Punta Arenas (53.2 ± S) 0 ± 19.4 ± 28.0 ± 35.1 ± 41.6 ± 35.1 ± 21.0 ± 19.4 ± 0 ± Sidney (33.9 ± S) 0 ± 13.9 ± 19.8 ± 24.5 ± 28.7 ± 24.5 ± 19.8 ± 13.9 ± 0 ± Tokio (35.7 ± N) 0 ± 14.2 ± 20.3 ± 25.1 ± 29.3 ± 25.1 ± 20.3 ± 14.2 ± 0 ± Gr a cas 2. ± como funci on de µ, para diversas ciudades del mundo.