Medidas de efecto Hall en una muestra de germanio

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1 PRÁCTICA 2 Medidas de efecto Hall en una muestra de germanio Temas tratados: semiconductores, teoría de bandas, banda de energía prohibida (band gap), fuerza de Lorentz, efecto Hall, concentración y tipo de portadores, movilidad. Objetivo: medir el voltaje Hall en una muestra rectangular de germanio en función de la intensidad de corriente, intensidad de campo magnético y temperatura. Deducir a partir de dichas medidas el tipo de portadores de carga (electrones o huecos), su concentración y su movilidad. Procedimiento:.- Se medirá el voltaje Hall en función de tres parámetros distintos. Primero en función de la intensidad de corriente que circula por la muestra, manteniendo el campo magnético y la temperatura constantes. A partir del signo del voltaje Hall podremos saber si la muestra es tipo p o tipo n. Después realizaremos la misma medida en función del campo magnético, manteniendo la corriente y la temperatura constantes, y calcularemos la concentración de portadores y su movilidad. Finalmente las medidas en función de la temperatura nos permitirán comprobar la inversión del signo de la tensión Hall como consecuencia de la transición de la región de conductividad extrínseca a la zona intrínseca. Precauciones:.- No sobrepasar nunca el límite de 50 ma de corriente a través del germanio..- No sobrepasar nunca la temperatura de 50 ºC. Para ello no aplicar más de 6 V a.c. al termocoil que calienta la muestra..- Retirar la sonda Hall durante el calentamiento. Introducción: La resistividad de un semiconductor está relacionada con las concentraciones y movilidades de portadores a través de la expresión: ρ = σ ( pµ + n ) = q µ p n, ()

2 donde las movilidades, para campos no elevados, son independientes del campo eléctrico aplicado. En el caso de que el semiconductor se pueda suponer unipolar (dopado tipo p o tipo n) la expresión anterior se reduce a: o bien = σ = ρ = σ = ρ qµ p qµ n n p (tipo p), (2) (tipo n). (3) Si un semiconductor por el que circula una corriente eléctrica I se somete a la acción de un campo magnético B perpendicular a la corriente se origina una separación espacial de las cargas en dirección perpendicular a I y a B debido a la acción de la fuerza de Lorentz sobre dichas cargas: F q( v B) =. Surge por tanto un campo eléctrico y ello da lugar a la aparición de una diferencia de potencial V H en la dirección perpendicular a la corriente, llamada tensión Hall. La tensión Hall viene dada por: V H I B = RH, (4) d donde d es el espesor de la muestra y R H es la constante Hall, cuya expresión es: R H 2 2 r pµ p nµ n =, (5) q ( pµ + nµ ) 2 p siendo r es un factor que depende del tipo de conducción y cuyo valor está muy próximo a. A partir de medidas de V H frente a la corriente o frente al campo magnético podemos determinar el valor de la constante Hall, pero su expresión no permite calcular ningún parámetro del semiconductor (concentraciones o movilidades) a menos que se pueda hacer alguna hipótesis simplificadora. Así, por ejemplo, si la conductividad del semiconductor estuviera dominada por electrones (n>p) y µ n /µ p > (usualmente la movilidad de electrones es mayor que la de huecos en la mayoría de los semiconductores), entonces: n R H r, (6) qn lo cual unido al valor de la resistividad, en este caso ( ρ ), permitiría determinar tanto qnµ n el valor de µ n como el de n, salvo por el factor r que tendríamos que suponer igual a. Análogamente, para un semiconductor tipo p suficientemente dopado tendríamos: R H r, (7) qp 2

3 y junto al valor de la resistividad ( ρ qpµ p ) podríamos calcular µ p y p suponiendo r=. Dada una dirección de la corriente eléctrica I, los portadores con carga positiva (huecos) y negativa (electrones) se mueven en direcciones opuestas, por lo que el vector qv que aparece en la ecuación de la ley de Lorentz tiene la misma dirección (la de la corriente eléctrica) para ambos tipos de portadores. Esto significa que ambos se verían desviados hacia el mismo lado por la acción de la fuerza de Lorentz, y al tener signos opuestos darían lugar a un voltaje Hall de opuesta polaridad. Por consiguiente el signo de la tensión Hall nos servirá para saber el tipo de portador dominante en el semiconductor. En la figura se ilustra esta idea. qv + F I Figura. Ilustración de la fuerza de Lorentz y la tensión Hall en una muestra de semiconductor. Con el sentido de la corriente y campo eléctrico que se muestra en esta figura, los portadores son desviados hacia la parte frontal de la muestra, por lo que el signo de la tensión Hall (según el criterio de signos adoptado en el dibujo) será positivo si dichos portadores son huecos y negativo si son electrones. La muestra que vamos a utilizar es un trozo de germanio pegado a una placa de circuito impreso que permite hacer contacto en cuatro puntos del Ge para introducir corriente por dos de ellos y medir la tensión Hall en los otros dos. En la figura 2 se muestra el esquema general del experimento. Utilizaremos la salida de continua de la fuente para alimentar las bobinas del electroimán que creará el campo magnético, mientras que las dos salidas de alterna serán utilizadas una para calentar la muestra (salida de 6 V a.c.) y la otra para introducir corriente a la muestra (salida de 2 V a.c.). Con este último fin será necesario rectificar dicha tensión de alterna y convertirla en continua, para lo cual usaremos un puente de diodos y un condensador de filtro. El potenciómetro nos permitirá variar la corriente que hacemos pasar por el semiconductor, mientras que la resistencia de 330 Ω limita el valor máximo permitido de dicha corriente para proteger la muestra. 3

4 2 Corriente para el calentamiento de la muestra (6 V a.c.). Figura 2. Esquema general del montaje experimental. Conectaremos la fuente de alimentación entre los puntos A y B cuando queramos variar la intensidad de corriente, mientras que usaremos los puntos A y C cuando queramos que actúe el circuito regulador situado entre B y C. En este último caso eliminaremos la resistencia de 330 Ω, pues deja de ser necesaria y puede afectar al funcionamiento del circuito regulador debido a la caída de tensión que se produce en ella. Para las medidas a corriente constante y campo magnético o temperatura variables interesa mantener el valor de la corriente eléctrica independiente de la variación que la resistividad del semiconductor tiene con cualquiera de esos dos parámetros. Esto lo podemos lograr con ayuda de un circuito de control de la intensidad de corriente situado entre los puntos B y C de la placa. Cuando queramos variar la corriente manualmente haremos contacto en la muestra entre los puntos A y B, con lo que el circuito de control estará inactivo. Por el contrario, si queremos que el circuito regulador mantenga la corriente constante utilizaremos los contactos A y C. En este caso eliminaremos la resistencia de 330 Ω, pues la caída de tensión en ella puede ser suficientemente significativa como para afectar al funcionamiento del circuito regulador. El esquema de este circuito se muestra en la figura 3. El funcionamiento del circuito de control de la intensidad de corriente es simple. El regulador de tensión mantiene un voltaje constante de 5 V entre su salida y su tierra, siempre que el voltaje en su entrada sea como mínimo unos 2 V mayor que ese valor. Por consiguiente la resistencia variable de 500 Ω y la resistencia de 00 Ω establecen el valor de la corriente que va a circular por él, y que necesariamente tendrá que circular también por la muestra. Esa corriente estará comprendida entre 30 ma y unos 8 ma, según el valor de la resistencia variable. El diodo evita el flujo de corriente en la dirección contraria y por tanto protege al circuito en caso de que la alimentación fuera introducida al revés por equivocación. Las resistencias de 3.9 kω y el potenciómetro de 4.3 kω proporcionan un camino alternativo a la 4

5 corriente desde los contactos destinados a medir la tensión Hall. Este camino alternativo está diseñado con una impedancia suficientemente elevada como para derivar poca corriente en comparación con la corriente total que circula por la muestra, pero la suficiente como para que regulando el potenciómetro de 4.3 kω se pueda compensar la pequeña diferencia de tensión que puede surgir entre los dos contactos Hall en ausencia de campo magnético. Esta pequeña tensión parásita que se superpondría al voltaje Hall puede estar causada por una pequeña falta de alineamiento entre los dos contactos (cuando ambos no se encuentran exactamente sobre la misma línea equipotencial correspondiente a la corriente que circula por la muestra). V_Hall R3 3.9k A + Ge B DN448 LM7805C 2 IN OUT GND 3 R 500 R2 00 R5 4.3K C V_Hall R4 3.9k 2V...30V Figura 3. Esquema del circuito de control de la intensidad de corriente. La resistencia variable R permite fijar la corriente que circulará por el regulador de tensión de 5 V. Esta corriente tendrá que pasar también por la muestra. Por otro lado, el potenciómetro R 5 permite compensar la diferencia de tensión parásita que puede surgir entre los dos contactos destinados a medir el voltaje Hall. (A).- Tensión Hall a temperatura ambiente y campo magnético constante. Como se ha comentado anteriormente, la corriente por la muestra se obtendrá de la salida de alterna (2 V a.c.) de la fuente de alimentación. Esta tensión se conectará a un puente de diodos y un condensador de filtro para ser convertida en una tensión de continua. Para poder variar el valor de la corriente se utilizará un potenciómetro en serie con una resistencia de protección que limita el valor máximo a unos 50 ma. En este apartado el cristal de germanio se conectará a la alimentación a través de los conectores A y B, como se muestra en la figura 2. Por consiguiente tanto el circuito de estabilización como el mecanismo de compensación del voltaje Hall están inactivos. 5

6 El campo magnético se producirá mediante un electroimán con núcleo magnético y dos bobinas que se alimentan de la salida de tensión continua de la fuente de alimentación. Con este fin se recomienda hacer funcionar esta salida como una fuente de corriente en lugar de como una fuente de tensión. Para ello ajuste el mando de control de la corriente al mínimo y el del voltaje al máximo. De esta forma el factor limitador será el control de corriente, y variándolo podemos ajustar la corriente que queremos que circule por la muestra. Así se logra que los cambios de resistencia en las bobinas causados por el calentamiento de éstas no tenga ningún efecto en la intensidad del campo magnético. El valor de la inducción magnética se medirá con ayuda del teslámetro. Este instrumento dispone de una sonda tangencial adecuada para medir la densidad de flujo magnético en la dirección perpendicular al portasondas. El principio de funcionamiento de esta sonda está basado, precisamente, en el efecto Hall. En el extremo de la sonda hay una pequeña muestra de un semiconductor (GaAs) por el que se hace circular una corriente, detectándose el voltaje Hall causado por el campo magnético que se quiere medir. El instrumento está calibrado para convertir esas lecturas de voltaje Hall en valores de inducción magnética. Para evitar daños a la sonda es importante cubrirla con el tubo protector cuando no se esté utilizando y evitar cogerla por la barra plana de plástico donde se encuentra el sensor. Para mediciones de campo continuo, como las que se van a hacer aquí, es necesario ajustar el cero antes de hacer las medidas. Asegúrese de que el conmutador de selección del modo de medida se encuentre en la posición de campo continuo y realice el ajuste de cero en la escala más sensible (la de 20 mt). Para ello se dispone de un tornillo de ajuste grueso (situado bajo el mando de selección de escala) y un control de ajuste fino (situado a la derecha). Una vez efectuado el ajuste en la escala más pequeña, no será necesario repetirlo al cambiar a las escalas mayores. Para la realización de las medidas conmute a la escala de 2000 T y sitúe la sonda Hall en el entrehierro del electroimán, preferentemente por la parte de atrás de la placa que contiene la muestra para evitar tocar la superficie del germanio. No será necesario retirar la sonda durante este apartado y el siguiente, pero sí cuando calentemos la muestra en el último apartado, pues el calor podría dañarla. Ajuste la corriente que circula por las bobinas hasta obtener un campo magnético de 250 mt. A continuación varíe la corriente que circula por la muestra entre 0 y 30 ma en ambos sentidos y mida el voltaje Hall con ayuda de un multímetro. Realice una gráfica de V H frente a I. Se deberá obtener una dependencia lineal como la que se muestra en la figura 4, indicando que se verifica la ecuación (4). Podríamos intentar calcular el coeficiente Hall a partir de estas medidas, pero al no haber efectuado una compensación del voltaje Hall parásito 6

7 el resultado podría estar afectado de un error significativo. Recuérdese que este voltaje Hall parásito está causado en gran parte por la posible falta de alineamiento de los dos contactos sobre la misma equipotencial, y por tanto es proporcional al valor de la intensidad de corriente que circula por la muestra. Los resultados que obtengamos en el próximo apartado en función del campo magnético serán más adecuados para calcular R H, ya que mantendremos I constante y realizaremos una compensación de la tensión Hall parásita. De momento, los resultados obtenidos en este apartado ya nos pueden servir para deducir el tipo de portadores (p o n) a partir del signo del voltaje Hall. 60 B=250 mt 40 V Hall (mv) I (ma) Figura 4. (B).- Tensión Hall a temperatura ambiente y corriente constante. En este apartado mediremos el voltaje Hall frente al campo magnético. El primer paso es regular la corriente y compensar el voltaje Hall parásito. Para este último fin es necesario desconectar el campo magnético, lo cual requerirá retirar momentáneamente las dos piezas polares del electroimán (debido a la remanencia del núcleo magnético no basta con poner a cero la corriente eléctrica que circula por las bobinas). Para que actúen el circuito de regulación de la corriente y el mecanismo de compensación del voltaje Hall es necesario conectar la muestra a la alimentación usando los puntos A y C de la figura 2. Para una corriente de 30 ma la caída de tensión en la resistencia de 330 Ω sería de 9.9 V, lo que unido a la caída de tensión en la muestra haría que el voltaje a la entrada del regulador (figura 3) fuera inferior a los 7 V necesarios para su funcionamiento 7

8 correcto. Por este motivo es necesario puentear o eliminar dicha resistencia, conectando directamente la salida del potenciómetro de 560 Ω al punto A (figura 2). Ajuste este potenciómetro al máximo y utilice la resistencia variable del circuito de regulación situado en la parte de atrás de la placa (R en la figura 3) para fijar un valor de corriente de 30 ma. A continuación mida la diferencia de tensión entre los dos contactos Hall y llévela a 0 con ayuda del potenciómetro de compensación (R 5 en la figura 3, al que se tiene acceso mediante un tornillo en la parte frontal de la placa). Una vez realizados estos ajustes ya estamos en condiciones de medir el voltaje Hall frente al campo magnético, libres de la principal causa de error. Vuelva a colocar las piezas polares del electroimán en su sitio y realice las medidas para valores de campo magnético entre 0 y 300 mt en ambos sentidos (para invertir la polaridad del campo magnético simplemente invierta las conexiones entre el circuito que alimenta las bobinas y la fuente de tensión de continua (cambiando el más por el menos y viceversa). Deberá obtener un resultado como el que se muestra en la figura I=30 ma 40 U Hall (mv) B (mt) Figura 5. Mediante un ajuste lineal de la gráfica obtenida y teniendo en cuenta la ecuación (4) calcule el coeficiente Hall (tome d= mm como espesor de la muestra). Se define la movilidad Hall como: µ = RH σ, (8) H 8

9 donde σ es la conductividad. Si una muestra está dopada tipo p o tipo n, de modo que sean aplicables las simplificaciones dadas por las ecuaciones (2) o (3) para la conductividad y (6) o (7) para el coeficiente Hall, entones la movilidad Hall coincide con la movilidad de huecos µ p o electrones µ n, respectivamente (suponiendo r=). Teniendo en cuenta estas consideraciones calcule la concentración de portadores y su movilidad a partir del valor del coeficiente Hall. Necesitará para ello el valor de la conductividad de la muestra, que puede calcular a partir de su resistencia y conociendo las dimensiones geométricas de la misma (20 0 mm). La resistencia debe determinarse midiendo con un voltímetro la caída de tensión en la muestra (entre los puntos A y B) para una corriente dada, y esta medida debe hacerse en ausencia de campo magnético. El campo magnético provoca una reducción en el recorrido libre medio de los portadores de carga y por tanto un aumento de la resistencia. Se obtendrá un valor entorno a R=49 Ω. (C).- Tensión Hall a temperatura variable. Antes de empezar a calentar la muestra fijaremos el campo magnético en 200 mt, tras lo cual retiraremos la sonda del teslámetro para protegerla del calor. Como valor de intensidad de corriente utilizaremos los 30 ma que habíamos ajustado en el apartado anterior. Para calentar el semiconductor disponemos de una película resistiva en forma de zigzag por dentro de la placa sobre la que se encuentra pegada la muestra. Al conectar esta resistencia térmica a la salida de 6 V de alterna de la fuente empezará a calentarse. Para medir la temperatura contamos con un termopar tipo T (Cu/CuNi) pegado al germanio y cuyo coeficiente termoeléctrico es 40 µv/k. Por consiguiente, por cada Kelvin o ºC que aumente la temperatura de la unión del termopar por encima de la temperatura ambiente obtendremos un incremento de tensión de 40 µv. Midiendo con un voltímetro el voltaje proporcionado por el termopar y sabiendo la temperatura ambiente podemos convertir las lecturas del voltímetro en temperatura. Téngase siempre presente la precaución de no sobrepasar la máxima temperatura permitida (50 ºC, o lo que es igual, unos 5 mv de tensión en el termopar). De esta forma mediremos el voltaje Hall frente a la temperatura y representaremos los resultados en una gráfica como se muestra en la figura 6. Obsérvese que la tensión Hall disminuye al aumentar la temperatura y termina por cambiar de signo. Puesto que las medidas se han hecho a corriente y campo magnético constantes, se deduce que esta disminución es debida a un incremento en el número de portadores de carga y la consiguiente reducción en la 9

10 velocidad de arrastre. Nótese que igual corriente con mayor número de portadores de carga implica una menor velocidad de arrastre, como se deduce de la ecuación: I = A ( qnv p ) n + qpv, (9) y a su vez una menor velocidad de arrastre está relacionada con un menor voltaje Hall a través de la ley de fuerza de Lorentz. A medida que aumenta la generación de portadores a causa de la temperatura el semiconductor va entrando en zona intrínseca (cuando empiezan a predominar los portadores generados térmicamente sobre los introducidos por el dopado). Entonces la concentración de electrones se hace prácticamente igual a la de huecos, por lo que el signo de la tensión Hall dependerá de cuáles producen la mayor contribución al efecto Hall. Al ser sus concentraciones iguales predominará la contribución de aquéllos que tengan mayor velocidad, o lo que es equivalente, mayor movilidad (v=µe). En casi todos los semiconductores la movilidad de electrones es mayor que la de los huecos, por lo que al entrar en zona intrínseca predomina el efecto Hall causado por los electrones. Puesto que nuestra muestra de semiconductor es tipo p esto significa una inversión en el signo del voltaje Hall. 40 I=30 ma B=200 mt 30 V Hall (mv) Temperatura (ºC) Figura 6 0

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