MODELO MATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO. Fernando Pozo Román

Transcripción

1 MODELO MATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO Fernando Pozo Román Instituto Mexicano de Tecnología del Agua Paseo Cuauhnáhuac No CP Jiutepec, Mor. Tel. (73) , Fax RESUMEN En los estudios de cinética microbiana referentes a los reactores biológicos, es común considerar que el crecimiento ocurre dentro de un sistema completamente mezclado y que la biomasa se encuentra formada por complejas poblaciones heterogéneas de todo tipo de microorganismos, interrelacionadas entre si, en las que cada especie, género y familia del sistema presenta un crecimiento poblacional diferente el cual depende del alimento disponible y de factores ambientales como ph, temperatura del agua y cantidad de oxígeno disuelto OD. La teoría que se presenta a continuación es aplicable tanto a sistemas estacionarios como a sistemas de flujo continuo; por lo que puede utilizarse tanto en estudios de laboratorio donde el crecimiento de la biomasa se realiza bajo condiciones controladas en cajas Petri o tubos de ensaye, o bien emplearse en estudios microbiológicos de potabilización, lagos y embalses o sistemas de tratamiento de aguas residuales, etc. INTRODUCCIÓN En el tratamiento biológico del agua residual, la degradación de la materia orgánica se lleva a cabo mediante microorganismos aerobios, anaerobios o facultativos; las reacciones bioquímicas que explican este fenóneno y la forma en que la biomasa adquiere la energía necesaria para realizar sus funciones de crecimiento y reproducción, son complicadas y se basan en la reacciones enzimáticas tanto extracelulares como intracelulares producidas por los microorganismos. El substrato corresponde a la cantidad de materia orgánica presente en un momento dado y es transformado en productos finales y tejido celular; en donde para asegurar que los microorganismos crezcan y se reproduzcan se les permite que permanezcan dentro del sistema

2 el tiempo suficiente para que sinteticen y metabolicen el substrato hasta existir un equilibrio entre el

3 alimento disponible y la biomasa presente que lo consume. Si dentro del sistema se produce una sobrepoblación de microorganismos y los factores ambientales son favorables; ante la escasez de substrato para alimentarlos, los microorganismos se ven obligados a sintetizar su propio protoplasma sin reposición del mismo, entrando a un período de vida latente donde se reduce o se anula la reproducción de la especie, presentándose la mortandad de individuos y consecuentemente una disminución de la biomasa. Durante esta fase se manifiesta el fenómeno de lisis en donde los nutrientes de las células muertas son aprovechados por el resto de la población y existe una selección natural del sistema donde primero desaparecen los microorganismos que presentan gran movilidad y que requieren grandes cantidades de energía. En esta etapa se observa también el fenómeno de respiración endógena que consiste en un canibalismo entre los individuos por la supervivencia. En cualquier sistema biológico de tratamiento de aguas residuales no es posible medir como tal la cantidad de materia orgánica presente, por lo que se recurre a parámetros índice como el carbón orgánico total (COT), la demanda bioquímica de oxígeno (DBO), o la demanda química de oxígeno (DQO), dependiendo de las características del agua a tratar. La biomasa es usual medirla como la cantidad de sólidos suspendidos volátiles (SSV) presentes en el sistema, ya que se asume que existe una mezcla completa y que dichos sólidos resultan una vez que se ha incinerado toda la materia orgánica. En caso de desinfección se toma como bacteria índice el grupo coliforme, ya que presenta la característica de habitar en el intestino de los animales de sangre caliente, incluyendo al hombre y la particularidad de fermentar la lactosa con producción de ácido y gas, lo que hace fácil su detección en laboratorio. El número de bacterias de este grupo señalan en el agua el grado de contaminación fecal. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO El análisis dinámico del modelo que se muestra considera el reactor biológico como una caja negra sujeta a acciones externas llamadas entradas que dan lugar a una serie de respuestas detectadas en el exterior de la caja denominadas salidas. La diferencia entre las entradas y salidas se deben a los cambios producidos dentro de la caja negra a través del tiempo y son explicados por las características del sistema representados por los parámetros que lo definen, siendo las entradas y salidas las variables a considerar. NOMENCLATURA Y UNIDADES a parámetro de variación del substrato, T -1 c parámetro de utilización del substrato por la biomasa, T -1 ds/dt rapidez de cambio de nutrientes, ML -3 T -1 dx/dt rapidez de cambio de la biomasa, ML -3 T -1 e base de los logaritmos naturales = k parámetro de variación de la biomasa, T -1 ln logaritmo natural n número de observaciones S substrato presente en el tiempo t, ML -3

4 S0 substrato inicial; en el tiempo t = 0, ML -3 t tiempo, T tinfl tiempo del punto de inflexión, T tm tiempo de mortandad de toda la biomasa, T tmáx tiempo en el que se presenta la máxima cantidad de biomasa, T X biomasa presente; en el tiempo t, ML -3 Xinfl biomasa en el punto de inflexión, ML -3 Xmáx biomasa máxima, ML -3 X0 biomasa inicial; en el tiempo t = 0, ML -3 HIPÓTESIS De acuerdo con las consideraciones teóricas expresadas anteriormente se formulan las siguientes hipótesis: 1. La rapidez de variación de la biomasa es proporcional a la cantidad de microorganismos presentes en un momento dado. Matemáticamente se tiene: dx dt = kx 1 Esta hipótesis es comúnmente mostrada en la literatura para representar el crecimiento microbiano, donde si el segundo término de la ecuación es negativo se obtiene la ecuación diferencial de mortandad microbiana cuya solución es la "Ley de Chick". 2. La rapidez de variación de la biomasa es proporcional a la cantidad de substrato presente en un momento dado. Matemáticamente se tiene: dx dt = cs 2 3. La rapidez de variación del substrato es directamente proporcional a la cantidad de substrato presente en un momento dado. Matemáticamente se tiene: ds dt = as 3 ESTABLECIMIENTO DEL MODELO Tomando en cuenta las dos primeras hipótesis y aplicando el principio de superposición de causas y efectos, puede escribirse la siguiente ecuación:

5 dx dt = kx +cs 4 La expresión (4) representa el cambio neto de la biomasa con respecto al tiempo en función del número de individuos y de la cantidad de substrato a consumir, la cual junto con la hipótesis 3., forma el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: dx = kx +cs dt ds = as dt 5 Cuya solución para las condiciones iniciales: X = X0 y S = S0 cuando t = 0 son las ecuaciones (6) y (7). at S = S0e 6 X = e [ X + c kt S0 a - k ( (a-k)t 0 e -1)] 7 La ecuación (6) representa la variación del substrato con respecto al tiempo; en donde si el parámetro "a" es positivo la cantidad de substrato aumenta, pero si es negativo el substrato disminuye; tal es el caso de la degradación de la materia orgánica en un sistema estacionario. Una representación gráfica de la ecuación (6) se muestra en la Figura 1. Cabe hacer notar que para valores negativos de "a", la curva de variación del substrato, se vuelve asintótica al eje de las abscisas cuando "t" tiende a infinito.

6 Figura 1. Curva de variación del substrato La ecuación (7) representa la variación de la biomasa en función del consumo del substrato, siendo esta expresión el MODELO MATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO. Una representación gráfica de la ecuación (7) se muestra en la Figura 2. Figura 2. Curva de variación de la biomasa PUNTOS CRÍTICOS DE LA ECUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO -Ecuación (7)- La ecuación (7) se anula para el valor tm; matemáticamente se tiene: t m = 1 a - k ln 0 0 { c S - X (a - k) c S 0 } 8 Físicamente, el valor de tm representa el tiempo de mortandad de toda la biomasa, donde al gráficar la ecuación (7), sería la abscisa del punto (tm,0).

7 El tiempo en el que se produce el valor máximo de la biomasa, se obtiene igualando a cero la primera derivada de la ecuación (7), teniendo: t max = 1 a - k ln { k[c S0 - X 0(a - k)] } acs 0 9 Para calcular el valor máximo de la biomasa -Xmáx-, basta con substituir el valor numérico de tmáx calculado con la ecuación (9) en la ecuación (7). El punto de inflexión (tinfl, Xinfl) de la curva, se obtiene igualando a cero la segunda derivada de la ecuación (7). La abscisa de dicho punto representa físicamente el tiempo donde la biomasa acelera su velocidad de destrucción, o sea: t infl = 1 a - k ln { k [cs - X (a - k)] 2 0 a c S } 10 Para encontrar la concentración crítica de la biomasa -Xinfl-, basta con substituir el valor numérico de ti obtenido de la ecuación (10) en la ecuación (7). CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS k, a Y c 1. Cálculo del parámetro de variación de la biomasa "k" Resolviendo la ecuación diferencial (1) se obtiene: La ecuación (11) adquiere la forma de una línea recta, Y = MX + B si se hace: Y=ln X, M=k, X=t y B=ln X0; por lo que basta calcular mediante el procedimiento de mínimos cuadrados la pendiente de dicha recta. La representación gráfica de la ecuación (11) se muestra en la Figura Cálculo del parámetro de variación del substrato "a" De la ecuación (6) se obtiene: ln X = kt + ln X 0 11 ln S = at + ln S0 12 De la misma manera la ecuación (12) adquiere la forma de una línea recta, Y = MX + B si se hace: Y=ln S, M=a, X=t y B=ln S0; calculando de igual forma el valor de la pendiente de dicha recta, mediante el procedimiento de mínimos cuadrados. La representación gráfica de la ecuación (12) cuando disminuye el substrato, se muestra en la Figura 4.

8 Figura. 3. Cálculo del parámetro "k" 3. Cálculo del parámetro de utilización del substrato por la biomasa "c" Figura 4. Cálculo del parámetro "a" Igualando las ecuaciones (1) y (2), al tener un número "n" de observaciones: n nc Si X i=1 n = k i=1 i 13 De donde se obtiene el valor de "c": c = k n n i=1 n i=1 X S i i 14 EJEMPLO A continuación se presenta un ejemplo cuyos datos pertenecen a la DBO filtrada y coliformes fecales del efluente de una laguna de maduración, ensayado de una forma estacionaria. En la Tabla 1, se presenta el cálculo de los parámetros "a", "k" y "c" y en la Tabla 2, una comparación de resultados.

9 Tabla 1. Determinación de los parámetros a, K y C Tabla 1. EJEMPLO. Cálculo de una laguna de maduración Cálculo de "a" Cálculo de "k" t S ln S t X ln X (días) observados (días) observados (mg\l) (No\100 ml) E E E E E E E E Suma: 460 Suma: Ecuación de regresion ln S = t ln X = t r = r = a = días(-1) k = días(-1) Cálculo de "c" c = días(-1)

10 Tabla 2. Cálculo y comparación de resultados Tabla 2. Cálculo de la ecuación de la biomasa y del consumo del substrato Xo (No/ 100ml) = So (mg/l) = 2.18E+04 a = días(-1) 125 c = días(-1) k = días(-1) Puntos críticos: t m = días X m = 0.00E+00 No/100 ml t máx = días t inf = días X máx = -1.91E-01 No/100 ml X inf = -1.77E+01 No/100 ml t X X S S ERROR ERROR obs. calc. obs. calc. % % (días) (No/100 ml) (No/100 ml) (mg/l) (mg/l) X S E E E E E E E E E E E E E E E E Promedio: Los resultados gráficos entre los datos observados y los predecidos mediante las ecuaciones (6) y (7), se muestran en las Figuras 5 y 6 respectivamente.

11 Substrato (mg/l) Tiempo (dias) Datos observados Datos calculados Figura 5. Variación del substrato 2.50E+04 Biomasa (No/100 ml) 2.00E E E E E Tiempo (dias) Datos observados Datos calculados Figura 6. Variación de la biomasa

12 CONCLUSIONES 1.- La ECUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO - Ecuación (7)- sirve para simular la variación de la biomasa en función de los cambios de substrato. 2.- La Ley de Chick (X = X0e -kt ), es un caso particular de la ECUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO -Ecuación (7)-, cuando c= Matemáticamente, de acuerdo con la ecuación (14), el parámetro de utilización del substrato por la biomasa "c", siempre tendrá el mismo signo que el parámetro de variación de la biomasa "k", lo que físicamente significa que al aumentar los microorganismos aumenta el consumo de substrato y viceversa. 4.- Usualmente la determinación de los parámetros "k" y "a", se determinan con buenos coeficientes de correlación, debido que de acuerdo con la teoría presentada al ajustar una línea recta, las ordenadas de la biomasa y substrato se representan en escalas logarítmicas. 5.- Para obtener los puntos críticos (tmáx, Xmáx) y (tinfl, Xinfl) es necesario que se observe un aumento de la biomasa y luego su disminución. REFERENCIAS Benefield L.D., Randall W.C. (1980). Biological Process Desing for Wastewater Treatment. Prentice-Hall, Inc., Englewood, Nueva Jersey. Bonilla Domínguez U. (1984). Modelo matemático general de crecimiento biológico. Memoria del IV Congreso Nacional de Ingeniería Sanitaria y Ambiental -Morelia, Mich.- Sociedad Mexicana de Ingeniería Sanitaria y Ambiental, pp, 129. Edwards, Jr. C.H., Penney D.E. (1997). Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemas con Condiciones en la Frontera. 3a Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México. Kiseliov A., Krasnov M., Makarenko Q. (1976). Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ediciones de Cultura Popular, S.A., México. Metcalf & Eddy. (1977). Tratamiento y depuración de las aguas residuales. Editorial Labor, S.A., México. Ríos S. (1967). Métodos estadísticos. 5a Ed. Mc Graw-Hill Book Company. Madrid.