Análisis Numérico, Modelación Matemática y Simulación Computacional

Transcripción

1 Análisis Numérico, Modelación Matemática y Simulación Computacional L. Héctor Juárez V. Departamento de Matemáticas UAM I Abril, 2013 XXIII ENOAN

2 El análisis numérico Los métodos del análisis numérico siempre han estado presentes en la matemática. Cálculo de 2 (Babilonia): El uso del moderno concepto de límite Ahora, es el momento de presentar la solución de un problema que involucre un proceso infinito, en donde se muestre el uso de nuestro moderno concepto de límite. Partiendo de la idea propuesta por primera vez por el sabio griego Antifón (430 a.n.e.), retomada en el método de exhaución de Eudoxio; intentaremos calcular el área de un círculo de radio r. Esta idea consiste, en suponer que en el círculo se inscribe un polígono regular de n lados, luego incrementar el número de x i+1 = x i + 2 x i 2 lados del polígono, con lo que se establece un proceso en el que el área del polígono se aproxima cada vez más al área del círculo, como se aprecia en la figura 9. Método de exhausión: Areas y perímetros. Cálculo de π n=3 n=4 n=5... n=k Figura 9. En cada caso, el área del polígono es menor que el área del círculo pero más próxima a ella. Ésta situación prevalecerá, P. Henrici (1964) en su obra Elements of Numerical Analysis define al análisis numérico como: La teoría de los métodos constructivos 19 en el análisis. Lloyd N. Trefethen (1997): El análisis numérico es el estudio de algoritmos para resolver los problemas de la matemática continua.

3 Periódo clásico Antes del siglo XIX, la mayoría del trabajo en matemáticas estuvo inspirado en preguntas y problemas concretos, y dirigida a la solución de los mismos de manera constructiva. Los matemáticos de esa época conocian de otras disciplinas: Galileo Galilei ( ): matemático y físico. astrónomo, filósofo, Isaac Newton ( ): físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático. Leonhard P. Euler ( ): matemático y físico, contribuyó al cálculo, teoría de gráficas, análisis matemático, álgebra, geometría, cálculo variacional, ecuaciones diferenciales, lógica, mecánica, óptica, astronomía, arquitectura, ingeniería.

4 J. Carl Friedrich Gauss ( ): matemático, astrónomo, geodesta, y físico. Contribuyó significativamente en: teoría de números, análisis matemático, geometría diferencial, estadística, álgebra, geodesia, emagnetismo y la óptica. Después de Gauss, los métodos constructivos fueron decreciendo progresivamente. Los matemáticos se interesaron más en demostrar la existencia de las soluciones que en la construcción de las mismas. Durante la 2a. mitad del siglo XIX, la tendencia puramente lógica y formal tomó rápidamente más popularidad (Dedekin ; Cantor ; Zemelo ) Los problemas de investigación en matemáticas crecieron en alcance y generalidad.

5 La primera computadora electrónica En 1940 el término análisis numérico era prácticamente desconocido. En 1946 apareció la primera computadora electrónica: ENIAC En 1947 se fundó el Instituto de Análisis Numérico en la U. de Cal. Modelo de Von Neumann En las computadoras digitales actuales: tanto los datos como los programas, se almacenan en la memoria antes de ser utilizados. John Von Neumann ( ): realizó contribuciones en: Física cuántica y análisis funcional Teoría de conjuntos Ciencias de la computación Economía (teoría de juegos) Análisis numérico y estadística Cibernética, hidrodinámica,...

6 Explosión del cálculo numérico y computacional 1946: John von Neumann, Stan Ulam, Nick Metropolis, introducen el método de Monte Carlo (Metropolis). 1947: George Dantzig, crea el método simplex en programación lineal. 1950: Magnus Hestenes, Eduard Stiefel, and Cornelius Lanczos, inician el desarrollo de los métodos iterativos de subespacios de Krylov. 1951: Alston Householder formaliza el enfoque basado en métodos de descomposiciones matricial. 1957: John Backus guia al equipo de IMB en el desarrollo del compilador optimizado de FORTRAN : J.G.F. Francis introducen el algorito QR. 1962: Tony Hoare of Elliott Brothers, presentan el algoritmo Quicksort 1965: James Cooley y John Tukey presentán la tranformada de Fourier rápida. 1977: Helaman Ferguson y Rodney Forcade introducen el algoritmo de detección de relación entera (integer relation detection algorithm). 1987: Leslie Greengard y Vladimir Rokhlin, inventan el algorimto de multipolo rápido.

7 Cuadro resumen Antes de 1940 Método de Newton Elimin. de Gauss Cuadratura Gauss Mínimos cuadrados Runge-Kutta y Adams Extrap. Richardson Arit. punto flotante FORTRAN Diferencias finitas Elemento finito Método simplex Método Monte Carlo Alg. lineal ortogonal Tranformada rápida F Cuasi-Newton Adaptividad Solución E.D.O. rígidas Librerias de software Matlab Multigrid A.L. iterativa y rala Métodos espectrales Mét. de punto interior

8 Algunos problemas y proyectos Recuperación de campos de viento ( y agua) UAM: Ma. Luisa Sandoval, Jorge López, Rafael Reséndiz, Daniel Jácome. UNAM: Pedro González-Casanova, Daniel Cervantes Datos: velocidad inicial horizontal u I en Ω Problema: encontrar el campo real u, más cercano a u I, tal que Restricción física: u = 0 en Ω, Condiciones de frontera: u n = 0 sobre Γ N (flujo inviscido)

9 Modelo de proyección Encontrar el campo ajustado u = u I + w, más cercano a u I, tal que u = 0 en Ω, u n = 0 sobre Γ N. V = {v H(Ω; div) : v = 0, v n = 0 sobre Γ N } Problema de mínimos cuadrados: minimizar el funcional J(v) = 1 2 v ui 2 S 1 S(v u I ) (v u I ) dx, v V, 2 El funcional J : V R es cuadrático y convexo: Ω J(u + ɛv) = J(u) + ɛ J (1) (u; v) + ɛ2 2 J(2) (u; v), J (1) (u; v) = S (u u I ) v dx, J (2) (u; v) = S v v dx. Ω Ω

10 Dos enfoques Problema de punto silla: (u, λ) S u λ = Su I enω, u = 0 en Ω, u n = 0 sobre Γ N, u n = u I n sobre Γ V, λ = 0 sobre Γ T. Problema de Poisson para λ: (S 1 λ ) = u I en Ω, S 1 λ n = u I n sobre Γ N, S 1 λ n = 0 sobre Γ V, λ = 0 sobre Γ T, Métodos de solución Resolver el problema de P-S. Resolver el problema elíptico. Métodos de discretización: diferencias finitas, volumen finito, elemento finito, métodos sin malla, etc.

11 Colocación de Nodos x Campo inicial horizontal x e r 10 10

12 z Extensión a 3 D EF (lineal) Total de nodos: 9,261 Nodos interiores: 6,859 e r = mdiv = FBR (muticuádricas) Total de nodos: 216 Nodos interiores: 64 e r = mdiv = u = (x, y, 2z)

13 Aplicaciones Meteorología: estimación del viento y predicción Medio ambiente: dispersión de contaminantes Energí eólica: cálculo de potencial eólico Agua: modelos de inundaciones Física experimental: técnica PIV Flujo óptico

14 Electro-hidrodinámica UAM: Miguel González, UNAM: Eduardo Ramos Electro hidrodinámica: también llamada electro-cinética, es el estudio de la dinámica de los fluidos cargados eléctricamente. Estudio del movimiento de las partículas ionizadas y su interacción con el fluido y los campos eléctricos. Algunas aplicaciones: XXV CONGRESO DE LA SOCIEDAD MEXICANA DE ELECTROQ 3RD MEETING OF THE MEXICAN SECTION ECS Biología: canales iónicos Tecnología: MEMS Energía: celdas de Figura 1. Montaje experimental combustible usado en la evaluación de una celda de combu Los fenómenos relacionan conversión 3. RESULTADOS de energía Y DISCUSIÓN cinética en energía eléctrica ó visciversa.

15 Modelo Ecuaciones de Navier Stokes (u, p): ρ ( ) u t + u u µ 2 u + p = f, u = 0, (f = q E) Ecuaciones de Poisson Nernst Planck (φ, C +, C ): ɛ s 2 φ = ρ q, (ρ q = F [z + C + z C ]) C + + u C + = (D + C + t + w + z + F C + φ), C + u C = (D C t + w z F C φ). advección Diffusion Electromigration El modelo es fácilmente generalizable a cualquier número de especies iónicas, lo cual ocurre en la mayoría de las aplicaciones.

16 Celdas de combustible (energias limpias) en la figura 3.3. Con membrana intercambiadora de protones Flujo estacionario: u = 0 Se pueden resolver las ecuaciones PNP + ecuación de calor 3.1. Aplicación a Micro-Celdas de Combustible sin Membrana Una celda de combustible es un dispositivo de conversión electroquímica que se alimenta de manera continua por combustible, generalmente por hidrógeno, para producir electricidad de corriente directa, y otros productos secundarios como lo son agua y calor. Las celdas de combustible trabajan por reacción química de tipo reducción-oxidación. Una celda estándar contiene un ánodo, un cátodo y una capa electrolítica en un típico sistema como se muestra Flujo eléctrico H - H - - Hidrógeno - H H H O Iones de Oxígeno O H O Hidrógeno H H - H O H - H - H H - O H H O - H - H H H O H - - H H H H O H H - - H H O H H - Electrolito O H H - - H - H H H H - H - 8 Exceso SECCIÓN O H H 3. H H DESCRIPCIÓN Agua DEL PROBLEMA O O puesto que se evitan problemas técnicos Ánodo Catalizador inherentescátodo en las pilas de membranas a base de polímeros Sus aplicaciones son muy diversas: microchips, baterías de sistemas electrónicos, MEMS, entre otros Figura 3.3: Esquema Supóngasede que una celda tiene de combustible un ducto porcon donde membrana fluye un reactante de intercambio alimentado dedel protón. lado izquier do y atraviesa para salir hacia el lado derecho, como en [29]. Las paredes laterales son electrodos; e ánodo y el cátodo están del lado del combustible y del oxidante respectivamente (figura 3.4). El electrolito permite el paso de los iones de hidrógeno con carga positiva, mientras que los electrones cargados negativamente pasan a través de un circuito externo, lo cual genera una corriente eléctrica. En la interfaz con el cátodo, el catalizador crea una reacción con el oxígeno durante el cual se produce agua y (por un principio exotérmico) calor. y Ánodo Las celdas de combustible tienen una alta eficacia y son una importante fuente de energía alternativa por ser de cero emisiones contaminantes. Entre las principales aplicaciones de las celdas Combustible de combustible se encuentran: fuentes de energía en lugares H + h remotos, sistemas auxiliares de energía, Carga plantas de potencia, vehículos eléctricos, sistemas x de apoyo a la red eléctrica, equipos electrónicos Oxidante portátiles (teléfonos celulares, computadoras, reproductores de música), aplicaciones de cogeneración para viviendas y fábricas, entre otras. Cátodo Una clase de celdas de combustible son las llamadas celdas de combustible sin membrana ([24], l [25], [15], [26], [27] y [28]), donde la separación de los reactantes (el combustible y el óxido), se genera por flujo laminar estable. Consideremos un modelo donde el combustible y el oxidante fluyen entre dos electrodos de plata. Este modelo incorpora la teoría de electroquímica y de dinámica de fluidos. Figura 3.4: Dominio simplificado. El modelo matemático está determinado por las ecuaciones de Poisson-Nernst-Planck que rigen la carga difusiva en Uno la de solución, los fenómenos y las ecuaciones que se generan de Navier-Stokes, con el flujo de los lasreactantes, cuales modelan es cuando el fenómeno se producede un transporte encorriente la solución. eléctrica por una reacción redox, la cual sucede cuando los electrodos y los cationes (ione Las microceldas de hidrógeno) de combustible se desplazan sin del membrana, ánodo al cátodo, son una lo conveniente cual genera alternativa una diferencia que de ofrece voltaje consien lo Microceldas sin membrana intercambidora de protones Modelo simplificado: Re << 1 Se pueden resolver las ecuaciones Stokes + PNP

17 sostenidos Celdas sin membrana Asimismo, se tienen 10 publicaciones internacionales en revistas de alto factor de impacto, y una patente en progreso. Fuentes de financiamiento Proyectos Ciencia Básica y Fomix-Chihuahua C) Prototipo de celda de combustible de micro-fluídos PDM Nombre del investigador y desarrollador Dr. Luis Gerardo Arriaga Hurtado. larriaga@cideteq.mx Tel:

18 Resultados preeliminares

19 Flujo en redes de transporte UAM: J. Delgado, A. Fernández, V. Chávez, STC Metro, INRO: Michael Florian Modelos Matemáticos para Mejorar la Operación de la Red del STC Metro Modelos de asignación: Modelos de tráfico. Modelos de tránsito.

20 Ejemplo en una red sencilla Cómo ir de O a D en el menor tiempo posible? La ruta más corta La mejor estrategía Posibles rutas O 1 D = 31 min O 2 A 3 D = 36 min O 2 B 4 D = 32 min O 2 B 3 D = 38 min O 2 A 3 B 4 D = 45 min

21 Estrategias alternativas Secuencia de mejor transbordo: tiempo de viaje esperado 30.5 min Estrategia óptima: tiempo de viaje esperado min

22 Modelo básico con tiempo de viaje fijo Tiempo de tránsito = tiempo de espera + tiempo de viaje (valor esperado) (valor fijo) Para cada nodo destino r: t i vi r + t a va r a A Tiempos de espera: t i = 0.5/ a A + i i N Tiempos de viaje: t a, fijos y conocidos. Volumen acumulado en i: v r i Tiempo acumulado en i: w r i f a = a A i = t i v r i v r a + g r i Problema: minimizar el tiempo de tránsito del sistema. Empleando wi r como variable, el problema es un problema de programación lineal con una restricción adicional: va r f a ωi r (Spiess & Florian, 1989).

23 Primal / Dual Problema lineal convexo, seprable por nodo destino r: Rroblema primal min Ā A a A + i i N ω r i + a A a A i t a v r a, tal que va r va r = gi r i N, v r a f a ω i, a A + i, i N, v r a 0, a A. Problema dual max gi r τi r, N i N tal que τj r + t a + µ a τ r i, a = (i, j) A, a A + i f a µ a = 1, i N, µ a 0, a A. τ r i = tiempo total esperado de viaje del nodo i al destino r. En la práctica se resuelve el problema dual utilizando programación dinámica = Problemas de gran escala.

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36 Aplicación a la red del Valle de México Esta red contiene 7,241 nodos y 31,720 arcos. Modos de transporte: Tráfico: automóviles particulares. Tránsito: metro, metro ferreo, tren ligero, tranvía, metrobús, trolebús, autobús del DF, autobús del Estado de México, colectivo, suburbano, taxi de sitio y taxi independiente Auxiliar: correspondencias del metro, bandas transportadoras, accesos a metrobús, accesos a suburbano y peatonales Líneas de tránsito, 845 (46981 segmentos de línea): 20 líneas del metro, 2 de metro férreo, 2 de tren ligero, 2 de suburbano, 102 de autobús del DF, 97 de autobús del Estado de México, 16 de trolebús, 18 de metrobús, y 586 de colectivos. Se incluyen los tiempos de recorrido de cada arco y los headways de cada línea.

37 Desbordamiento Línea A, La Paz Pantitlán Línea B, Cd. Azteca Buenavista El modelo no considera: La congetión en horas de mayor demanda. Los límites de capacidad de los vehículos. Se introducen funciones volumen demora dependientes de los volumenes y headways crecientes.

38 Modelo con congestion y límites de capacidad Una caracterización del equilibrio en términos de la condición de Wardrop implica que el flujo de equilibrio de tránsito es solución del siguiente problema: Primal Dual [ {}}{{}}{] min v r D i N ω r i + a A t a (v) va r i N g r i τ r i (v) sujeto a las mismas restricciones que el problema lineal. Es decir, Tiempo total de tránsito Tiempo sobre las estrategías más cortas debe de ser cero en el óptimo. Problema considerablemente más difícil Info adicional: capacidades de los vehículos de transporte. Ej. un vagón del metro soprta 360 sentados y 1530 parados.

39 Convergencia y resultados sin sobresaturación Convergencia de la función Gap Líneas del metro a las que les toma más iteraciones: Línea A, Linea B, línea 6: (zonas de alta demanda, bajos recursos y con pocas opciones de transporte) Línea A, dirección Observatorio: iteraciones 1 y 22.

40 Izquierda: línea con mayor exceso. Derecha: zonas de mayor volumen asignado En el horario de 6:00 9:00 hrs se asignó un total de 5,121,359 viajeros. Menos del 1% de los segmentos de la red tienen exceso de volumen, (línea EE1 de trolebús Insurgentes UV Guerrero la más cargada) La zona 539 es la de mayor demanda (70 mil), seguida de otras cuatro de 25 mil.

41 Nodos con mayor actividad Node value 1 Node value 2 Node value 3 Node value 4 El mayor número de transbordos ocurre en la estación del metro Pantitlán (zona oriente), en varias de las estaciones de la línea 1 (zona central), en la estación Indios Verdes (zona norte), en Barranca del Muerto y Mixcoac (zona sur poniente), en Taxqueña (sur), asi como en la zona de Tlahuac Canal de Chalco sobre el Periférico. Esto último justifica la reciente introducción de la línea 12 del metro. Numero de abordajes, transbordos y descensos.

42 Comparación de tiempos de viaje Línea headway t. real. t. calc. v. Lin. v. CAP. 1a b a b a b a b a b a b a b a b a b aa ab ba bb

43 La ciencias matemáticas (CM) Matemáticas puras Matemáticas aplicadas Computación Estadística Investigación de operaciones Las CM tienen una gran oportunidad para consolidar su papel como uno de los ejes rectores de la investigación del siglo XXI. La aventura es cualitativamente diferente a la de los pasados 60 años: las CM tendrán un impacto mayor y éste será de mucho mayor alcance.

44 Predictions for Sci. Comp. 50 years from now Lloyd N. Trefethen Hablaremos más frecuentemente con las computadoras que teclear, ellas responderán con gráficas más frecuentemente que con números. El cómputo numérico será adaptivo, iterativo, exploratorio e inteligente. El determinismo en el cómputo científico tenderá a desaparec. No disminuirá la importancia de la aritmética de punto flotante. Podremos resolver sistemas lineales en O(N 2+ɛ ) FLOPS. Los métodos de multipolo y sus descendientes tendrán mayor importancia Habrá un gran salto en: Precondicionamiento, Métodos espectrales e Integración en tiempo para E.D.P. Se habrá alcanzado el sueño de interoperabilidad sin fisuras. El problema de cómputación masiva en paralelo avanzará tomando ideas relacionadas al cerebro humano. Los métodos de programación tendrán una mayor influencia de las ideas relacionadas al genoma y selección natural.

45 Un perfil deseable Las Ciencias Matemáticas se reforzarán si se incrementa el número de matemáticos que comparten las siguientes características: Conocen o están informados de otras diciplinas, más allá de sus propias áreas de especialización. Entienden el papel de las Ciencias Matemáticas en otras áreas de conocimiento. Tienen habilidad para comunicarse con investigadores de otras disciplinas. Tienen la disposición de realizar trabajo interdisciplinario. Tienen información y/o experiencia en computación.

46 GRACIAS!