Vibraciones y ondas 28

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1 Vibraciones y ondas EL SONIDO. Desarrollamos la unidad de acuerdo con el siguiente hilo conductor: 1. Cuál es la naturaleza del sonido? 2. Qué cualidades permiten diferenciar los sonidos que percibimos? 2.1. Tono de un sonido Intensidad de un sonido Timbre de un sonido. 3. De qué depende la elocidad de propagación del sonido? 4. Qué propiedades presentan las ondas sonoras? 2.1. Reflexión y refracción del sonido Refracción del sonido Difracción del sonido Interferencias sonoras Pulsaciones o batidos Ondas sonoras estacionarias Efecto Doppler. APÉNDICE: Aplicaciones de los ultrasonidos. 1. CUÁL ES LA NATURALEZA DEL SONIDO? Cuando se golpea un cuerpo, se pulsa un instrumento musical, se habla,, en nuestro oído se produce un efecto psicofisiológico que llamamos sonido. El sonido es de ital importancia para la mayor parte de los seres ios, que suelen tener órganos para producirlo y detectarlo: mediante el sonido pueden comunicarse entre sí y obtener información acerca del medio que les rodea. Un sonido tiene su origen en la ibración de un cuerpo (foco sonoro). Las ibraciones del foco sonoro se transmiten a las partículas del medio en que se encuentra, originando en todos los puntos ariaciones de presión y densidad alrededor de una posición de equilibrio (compresiones y dilataciones o enrarecimientos), con una cadencia igual a la frecuencia con la que ibra el foco. Como consecuencia de las sucesias compresiones y dilataciones, cada partícula del medio choca contra la contigua, sin arrastrarla, y le transmite la perturbación generando una onda longitudinal de presión, que se propaga en todas direcciones (figura 1). La onda sonora necesita de un medio material para propagarse, como se demuestra al hacer el acío en una campana de idrio en cuyo interior hay un despertador sonando. A medida que el aire se extrae del interior de la campana, el sonido a extinguiéndose hasta desaparecer por completo. El sonido es una onda mecánica longitudinal de presión, producida por la propagación en un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) del moimiento ibratorio de un cuerpo u objeto. En la lejanía del foco, la onda sonora esférica se asemeja a una onda plana, con lo que, si el foco es un oscilador armónico, la onda sonora longitudinal puede expresarse como una onda armónica unidimensional: s (x,t) = A sen (ωt kx+φ 0), donde la magnitud perturbada s representa el desplazamiento de las partículas del medio en torno a la posición de equilibrio y en la misma dirección en que se propaga la onda. Cualquier perturbación mecánica de carácter ondulatorio (ya sea un cambio de densidad o de presión) que pueda ser detectada por un instrumento u obserador es sonido, aunque no sea percibido por el oído humano (infrasonidos y ultrasonidos). 2. QUÉ CUALIDADES PERMITEN DIFERENCIAR LOS SONIDOS QUE PERCIBIMOS? Los sonidos que transmiten nuestros oídos se deben a fluctuaciones de presión del aire que está en contacto con el tímpano, la membrana situada en el fondo del conducto auditio externo (figura 2). Figura 1 Las ibraciones del tímpano se transmiten al caracol a traés de los huesecillos, que actúan como balancines y amplifican unas 40 eces las ariaciones de presión. En el caracol, unas células sensoriales responden a las diferentes frecuencias y enían las señales al cerebro. Figura 2

2 Vibraciones y ondas 28 Nuestros oídos pueden diferenciar un sonido grae de otro agudo, o un sonido fuerte de otro débil. Además, distinguimos su procedencia (de una u otra persona, de uno u otro instrumento, ). Todo ello es posible gracias a tres cualidades del sonido relacionadas con las características de las ondas: tono, intensidad y timbre TONO DE UN SONIDO. El tono o altura permite diferenciar sonidos graes o bajos de agudos o altos. Depende de la frecuencia del sonido: un sonido es grae si su frecuencia es inferior a Hz (sonido de bombo, oz de bajo,...) y agudo si su frecuencia es superior a Hz (oz de soprano y tenor, sonido de iolín,...). Así, las diferentes notas musicales (do, re, mi, fa, sol, la, si) corresponden a diferentes frecuencias, situadas normalmente por debajo de Hz. El oído humano detecta los sonidos de frecuencias comprendidas entre 20 y Hz, aunque puede ariar con la persona y la edad. Otras especies animales detectan otros interalos de frecuencias; así ballenas y murciélagos, emiten y detectan sonidos de hasta Hz. Los sonidos de frecuencia inferior al umbral que detecta una persona ( < 20 Hz) se llaman infrasonidos; por ejemplo, los que emiten los terremotos o la maquinaria pesada que trabaja en los desmontes en la construcción de carreteras. Por contra, los sonidos de frecuencia superior al límite máximo de audición humana ( > Hz) se llaman ultrasonidos; se emplean en la realización de ecografías y en el sonar de los barcos ( Hz) INTENSIDAD DE UN SONIDO. La intensidad sonora permite distinguir sonidos fuertes y débiles. Presenta dos aspectos bien diferenciados: - La intensidad física u objetia, relacionada con la magnitud física de su mismo nombre, estudiada en el tema anterior (apartado 3.3.). Para que un sonido sea percibido, además de tener una frecuencia dentro del interalo audible ( Hz), debe tener una intensidad mínima, por encima del umbral de audición. Si el sonido audible presena una intensidad mayor que el llamado umbral de dolor, produce una sensación dolorosa al oído. El interalo de intensidades entre el umbral de audición y el umbral de dolor es ariable, dependiendo de la frecuencia del sonido: por ejemplo, una frecuencia de 100 Hz no se oye si su intensidad sonora es menor que 10-8 W/m 2, pero la frecuencia de Hz se oye con intensidades menores que W/m 2 ; no obstante, todos los sonidos producen una sensación dolorosa cuando tienen una intensidad del orden de 1 W/m 2. - La intensidad fisiológica o subjetia (sonoridad). La sensación sonora de mayor o menor intensidad que percibe el oído no se corresponde con la intensidad física del sonido; así, un sonido físicamente el doble de intenso no es escuchado por nuestro oído el doble de fuerte. La relación obserada es logarítmica, según establece la ley psicofísica de Weber- Fechner, y llea a definir el niel de intensidad sonora (β) como: I 10 log, donde I o es la inten-sidad umbral de referencia en el aire para un sonido de Hz (10-12 W/m 2 ) (frecuencia que se sitúa en el límite entre los sonidos gra-es y agudos), I es la intensidad del sonido que se quiere Concierto de rock (a 2 m); comparar y β es el niel de intensidad sonora de ese sonido en decibelios (db). El ni-el de intensidad sonora se mide con aparatos llamados sonómetros. La tabla 1 muestra los nieles de intensidad de diersas fuentes sono-ras cotidianas. Por la definición dada, el niel de intensidad de un sonido de Hz coincide con la sensación sonora o sonoridad que experimentan los oídos; es decir, podemos afirmar que un sonido de Hz de frecuencia eces más intenso que otro se escucha 120 eces más fuerte que aquél. Pero para sonidos de otras frecuencias, con diferentes umbrales de audición, el niel de intensidad sonora obtenido de aplicar la relación anterior no se corresponde con la sensación sonora real. Para comparar las sensaciones sonoras que producen en nuestro oído sonidos de distintas frecuencias e intensidades, se utilizan I o Tabla 1. Intensidades y nieles de intensidad sonora de diersas fuentes Sonido I (W/m 2 ) B (db) Descripción Umbral de audición Respiración normal Sonido apenas perceptible Rumor de hojas; cuchicheo (a 1 m ) Casa tranquila Sonido muy suae Biblioteca; oficina tranquila Oficina normal Conersación normal (a 1 m) Tráfico denso Oficina ruidosa con máquinas; fábrica Camión pesado (a 15 m) Taller de maquinaria; discoteca Ruido de construcción (a 3 m) despegue de un aión (a 60 m) Remachadora neumática; ametralladora Despegue de un reactor (cercano) Motor de cohete grande (cercano) Figura 3 Sonido suae Sonido fuerte Sonido muy fuerte. La exposición constante daña Excesiamente fuerte. Umbral de dolor Sonido doloroso

3 Vibraciones y ondas 29 las curas de sonoridad referidas a un sonido de Hz (figura 3) (cualquier sonido de x fon de sonoridad produce en nuestro oído la misma sensación sonora que un sonido de Hz de x db de niel de intensidad sonora). Las curas unen los nieles de intensidad sonora que para cada sonido producen la misma sensación sonora que un sonido de Hz; así, por ejemplo, a un sonido de 100 Hz con un niel de intensidad de 60 db, le corresponde una sonoridad de 40 fon, la misma que tendría el sonido de referencia de Hz cuando su niel de intensidad es de 40 db. La cura inferior de 0 fon (umbral de audición) y la superior de 120 fon (umbral de dolor) limitan el campo de audición humano. La cura inferior de 0 fon manifiesta que el oído humano se muestra muy sensible a frecuencias de Hz (sonidos agudos) y cada ez menos sensible a las frecuencias bajas (sonidos graes) TIMBRE DE UN SONIDO. El timbre o calidad musical de un sonido permite diferenciar dos sonidos de igual frecuencia e intensidad emitidos por dos focos sonoros distintos. Se debe a que los sonidos naturales y musicales suelen ser una mezcla de diersas frecuencias, cuya presencia e intensidad depende de las características del foco. Así, entre arias personas podemos reconocer la oz de una, o podemos distinguir el instrumento que ha emitido una misma nota musical. Cuando la onda sonora emitida por un foco ibrante presenta armonía, es decir, consta de un tono o frecuencia fundamental y una serie de armónicos o sobretonos, el sonido que recibimos suele ser agradable al oído y le llamamos música. Si la onda sonora resulta de una combinación de frecuencias muy ariadas y no relacionadas entre sí, el sonido que recibimos suele ser desagradable y le llamamos ruido 1. Podemos obtener sonidos puros, de una sola frecuencia, con diapasones (figura 4) y con sintetizadores. Los sintetizadores pueden mezclar tonos puros con los armónicos que se deseen y en la intensidad que se desee, produciendo artificialmente sonidos idénticos a los obtenidos por instrumentos musicales. A.1. Responde a las siguientes cuestiones: A.1.1. Sujeta una regla larga por el extremo y ponla a ibrar. Escuchas algún sonido? Acorta el segmento de regla libre y ponla a ibrar. Escuchas ahora algún sonido? Cómo lo explicas?. A.1.2. Qué interalo de longitudes de onda es capaz de escuchar el oído humano en el aire, suponiendo que la elocidad de propagación del sonido es de 340 m/s?. A.1.3. Por qué cuando escuchamos nuestra propia oz, grabada en una cinta, no la reconocemos como tal y, en cambio, reconoces perfectamente las oces grabadas de los demás? A.1.4. Por qué la oz de una persona adulta, grabada a 33 rpm parece la de un niño si se oye a 45 rpm?. A.1.5. Por qué en lo equipos de música se potencian los bajos (los graes) y no se presta tanta atención a los altos (los agudos)?. A.1.6. Teniendo en cuenta que la emisión de sonido supone la propagación de energía o potencia al medio ambiente, qué justificación tiene la creencia de que una moto más ruidosa (sin silenciador) es más potente? Reflexiona sobre las posibles medidas que a niel personal puedes tomar para eitar el ruido y la contaminación acústica. 3. DE QUÉ DEPENDE LA VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DEL SONIDO? La elocidad de propagación del sonido es independiente de la frecuencia o de la intensidad (al escuchar un concierto, los distintos sonidos simultáneos de la orquesta lleguen a la ez a nuestros oídos); depende de las características del medio (elasticidad y rigidez). A medida que crece 1 El ruido es el principal agente de contaminación acústica en la sociedad actual. La Organización Mundial de la Salud (OMS) cataloga a España como uno de los países más ruidosos de Europa y le reitera la necesidad de hacer cumplir la normatia igente para el control de sonidos de alto niel de intensidad. Sin embargo, es muy grande la permisiidad de nuestra sociedad y no existe una concienciación colectia. Los estudios demuestran que exposiciones más o menos prolongadas a nieles de intensidad superiores a los 65 db no solamente pueden acarrear problemas auditios (pérdida irreersible de capacidad auditia), sino también otras complicaciones (irritabilidad, falta de concentración, estrés, fatiga, alteraciones del ritmo respiratorio, problemas digestios, ), con la consiguiente pérdida de calidad de ida. Las medidas contra la contaminación acústica suelen ser de dos tipos: - Pasias. No actúan contra los focos emisores, sino que tratan de amortiguar la propagación del sonido o su impacto. Ejemplos de estas medidas serían la insonorización de locales o iiendas, los muros de apantallamiento leantados en ías urbanas, las barreras erdes (arbolado denso) o las medidas de protección indiidual en el trabajo, como el empleo de cascos antirruido. - Actias. Actúan contra los focos emisores de ruido. En esta línea se engloban el uso de silenciadores y filtros para reducir la emisión de ruidos en los motores, así como las inestigaciones para la optimización de los mismos. También pertenecen a este tipo de medidas las tendentes a fomentar el transporte público o a reducir o prohibir el tráfico rodado en algunas zonas de los cascos urbanos. No cabe duda de que resulta necesario aplicar ambos tipos de medidas en las zonas urbanas e industriales. Sin embargo, sería deseable que en la lucha contra la contaminación acústica se otorgara preferencia a las iniciatias de tipo actio. Figura 4 Al hacer ibrar el diapasón se genera una onda sonora casi inaudible de una frecuencia dada (el más utili-zado genera la nota musical la, de 440 Hz). Para amplificar la onda se apoya sobre una caja de resonancia de madera. Tabla 2. Velocidades de propagación del sonido en diferentes medios. Medio gaseoso (0ºC) (m/s) Medio líquido (20ºC) (m/s) Medio sólido (m/s) Aire (0ºC) 331 Agua Aluminio Aire (20ºC) 340 Alcohol Vidrio Oxígeno 317 Agua de mar Acero Hidrógeno Benceno Poliestireno Helio 972 Ácido acético Plomo Dióxido de carbono 259 Acetona Madera Vapor de agua (100ºC) 405 Aceite de silicona 800 Hormigón

4 Vibraciones y ondas 30 la cohesión y la elasticidad entre las partículas del medio aumenta la elocidad de propagación del sonido; por ello, el sonido iaja más deprisa en los sólidos que en los líquidos, y en éstos aún más que en los gases (tabla 2). Aunque la elocidad de propagación del sonido en el aire suele tomarse como 340 m/s, queda claro que depende de las condiciones de presión o densidad y de temperatura. A medida que la presión, la densidad o la temperatura del aire aumentan, también aumenta la elocidad del sonido en su seno. A.2. Responde a las siguientes cuestiones: A.2.1. Cómo podrías saber si una tormenta (con rayos y truenos) se acerca o se aleja? Cómo calcularías con precisión a qué distancia se encuentra? A.2.2. En qué se funda el método empleado por los pieles rojas para oír sonidos distantes aplicando el oído al suelo? A.2.3. Cómo explicas, haciendo uso de la teoría cinético-particular de la materia, que el aire más denso o el aire más caliente propague el sonido más deprisa? A.3. Resuele las siguientes actiidades: A.3.1. Un sonido se propaga en el aire procedente de un foco lejano situado a la derecha, siendo 10 cm la distancia entre dos compresiones consecutias. La amplitud del desplazamiento experimentado por las partículas del aire es de m. Halla: a) La frecuencia del sonido. Será percibido por el oído humano? En caso afirmatio, qué tono tendrá el sonido?. b) La ecuación de propagación de la onda sonora, sabiendo que la elongación en el foco es cero en el instante inicial. c) La elongación, elocidad y aceleración de un punto distante 1 m del foco, tras 1 s de iniciado el moimiento. d) La elocidad y la aceleración máximas de cualquier partícula del aire afectada por el sonido. e) La separación entre dos puntos consecutios que en el mismo instante tienen una diferencia de fase de 60º. f) La diferencia de fase entre dos elongaciones de un mismo punto separadas por un interalo de tiempo de 100 μs? A.3.2. Un altaoz emite sonido con una potencia de 40 W. Determina: a) la intensidad sonora a 10 m del altaoz y el niel de intensidad sonora que le corresponde; b) la distancia que hay que aanzar desde una posición cualquiera R para que la intensidad del sonido se reduzca a la mitad; c) la distancia a la que dejará de ser audible el sonido emitido por el altaoz; d) la causa de la disminución de la intensidad con el aumento de la distancia al altaoz. A.3.3. Una entana de 2 m 2 de superficie está abierta y da a una calle con mucho tráfico. Si el ruido en la habitación tiene un niel de intensidad de 80 db, qué potencia acústica transportan las ondas sonoras que atraiesan la entana? A.3.4. El sonido emitido por un altaoz tiene un niel de intensidad de 60 db a una distancia de 2 m de él. Si el altaoz se considera como una fuente puntual, calcula: a) La potencia del sonido emitido por el altaoz. b) A qué distancia el niel de intensidad sonora es de 30 db?. c) A qué distancia es imperceptible el sonido? A.3.5. Dos sonidos que tienen nieles de intensidades sonoras de 50 db y de 60 db se emiten simultáneamente. Calcula el niel de intensidad sonora resultante. A.3.6. El ruido producido por un camión pesado a una distancia de unos 15 m es de 90 db. Determina: a) la intensidad de las ondas sonoras producidas por el camión al llegar a tu oído, situado a esa distancia; b) la intensidad de las ondas sonoras producidas por el mismo camión en el oído de tu compañera, situado a tan sólo 1 m de distancia, así como el niel de intensidad. A.3.7. La intensidad de un sonido en un punto que dista 3 m del foco emisor es de 100 W/m 2. Calcula: a) la energía que atraesará una superficie esférica que contenga al punto a lo largo de 10 minutos; b) la intensidad y el niel de intensidad sonora en un punto que diste 6 m del foco emisor; c) la amplitud del sonido en un punto distante 3 m del foco emisor, si en un punto que dista 5 m es de 30 cm. A.3.8. La intensidad de una onda sonora tras atraesar un muro de 30 cm de espesor se reduce a la quinta parte de su alor inicial. Qué alor presenta el coeficiente de absorción del material que constituye el muro? A cuánto se reduce la intensidad del sonido si el muro es el doble de espeso? 4. QUÉ PROPIEDADES PRESENTAN LAS ONDAS SONORAS? Como cualquier onda, las ondas sonoras pueden reflejarse, refractarse, difractarse, interferir con otras ondas y experimentar efecto Doppler. Sin embargo, por tratarse de ondas longitudinales, no experimentan polarización REFLEXIÓN DEL SONIDO. La reflexión del sonido explica muchos fenómenos cotidianos y el funcionamiento de ciertos aparatos: - Si producimos un sonido frente a un obstáculo reflector (pared, muro, montañas,...) de forma que el tiempo transcurrido entre la emisión de nuestro sonido y la recepción del reflejado sea igual o superior a 0 1 s, percibiremos dos sonidos distintos (es el fenómeno conocido como eco); y si es menor de 0 1 s, percibiremos un solo sonido prolongado (fenómeno conocido como reerberación). La reerberación determina las cualidades acústicas o sonoras de los locales 2. 2 La elección de materiales es fundamental para garantizar la idoneidad de un local en función del uso al que está destinado. En una sala de conferencias, una excesia reerberación sería desastrosa. Por esta razón, se reduce la capacidad reflectora de las paredes con materiales porosos, como corcho y moqueta. También contribuyen a absorción del sonido el tapizado de las butacas y el propio público que asiste a estos1ocales. Por

5 Vibraciones y ondas 31 - En muchos museos de ciencia existen antenas parabólicas dispuestas a cierta distancia una frente a otra; cuando alguien habla con un tono de oz normal cerca de una de ellas, el sonido llega con nitidez al oído de otra persona situada en la otra antena. La intensidad del sonido emitido directamente al aire, onda esférica, decrece conforme al cuadrado de la distancia; sin embargo, la intensidad del sonido reflejado en la antena no se Figura 5.1 atenúa con la distancia, pudiendo conerger, por reflexión en una segunda antena, en el oído de otra persona, que lo escucha con claridad. (figura 5.1). - Un megáfono, o el simple gesto de juntar las manos en torno a la boca en forma de altaoz, permite hacernos oir a mayor distancia, al eitar en gran medida el amortiguamiento por atenuación (figura 5.2). - El fonendoscopio o estetoscopio que utilizan los médicos para auscultar a los enfermos dispone de una membrana circular que se pone sobre el pecho o la espalda del paciente y transmite el sonido al aire que hay en la cápsula cónica en la que a montada; la cápsula concentra el sonido cardiaco o respiratorio de forma que sea mejor escuchado REFRACCIÓN DEL SONIDO. La refracción del sonido explica que a eces podamos escuchar con nitidez sonidos procedentes de fuentes lejanas (bocina de un tren o altaoces de una estación). Un sonido emitido desde un punto experimenta sucesias refracciones al atraesar medios que lo propagan con diferente elocidad (por ejemplo, capas de aire o de agua a diferente temperatura). Por ejemplo, en las noches inernales, en las que la temperatura del aire que está en contacto con la tierra es más baja que las de capas superiores, las sucesias refracciones pueden ocasionar que un sonido emitido en superficie en un punto se uela a escuchar en otro punto muy lejano y no en uno intermedio DIFRACCIÓN DEL SONIDO. La difracción del sonido es la responsable de que podamos escuchar el claxon de un coche a la uelta de una esquina o de una cura cerrada. Si el sonido no tuiese naturaleza ondulatoria, de nada seriría esa costumbre INTERFERENCIAS SONORAS. De acuerdo con las condiciones de interferencia estudiadas en el tema anterior para ondas coherentes y en fase, si la diferencia de caminos recorridos por dos sonidos idénticos es un múltiplo de la longitud de onda, en dicho punto se apreciaría una intensificación del sonido (interferencia constructia); si la diferencia de caminos es un múltiplo impar de semilongitudes de onda, en dicho punto no se apreciaría sonido (interferencia destructia). En condiciones reales, la amplitud de las ondas sonoras que se superponen en un punto no son iguales si los caminos recorridos son diferentes (diferente amortiguamiento), por lo que no nos darían ientres y nodos, sino puntos de eleada intensidad sonora y puntos de muy baja intensidad sonora. Se puede poner de manifiesto mediante el aparato de Quincke (figura 6) PULSACIONES O BATIDOS. Un fenómeno muy interesante y de gran utilidad práctica en radiocomunicación y en el afinado de instrumentos musicales, se produce cuando interfieren en un punto dos ondas sonoras de la misma amplitud y frecuencia ligeramente diferente (ν 1 y ν 2) (figura 7). La oscilación resultante presenta una amplitud que aría sinusoidalmente con el tiempo; esta ariación es tanto más lenta cuanto menor sea la diferencia de frecuencias de los sonidos que interfieren. Al ser la intensidad proporcional al cuadrado de la amplitud, el oído percibe altibajos, fluctuaciones periódicas de la intensidad, las llamadas pulsaciones o batidos. Figura 5.2 Las ondas sonoras producidas por el altaoz se bifurcan y uelen a reunirse en el punto P generando una interferencia. Introduciendo más o menos un tubo dentro del otro se modifica la diferencia de caminos recorridos por las ondas que interfieren en P. Figura 6 La frecuencia de la pulsación (cuya enolente se conoce como onda modulada) es igual a la diferencia de las frecuencias de las ondas superpuestas, por lo que el período del batido es tanto más largo cuanto menor sea dicha Figura 7 diferencia de frecuencias. Podemos afinar a la misma frecuencia las notas de dos instrumentos musicales aproechando las pulsaciones que producen al sonar a la ez; cuando se consiga que no se produzca la pulsación es que sus frecuencias son iguales. el contrario, los auditorios de música clásica incorporan algunos materiales reflectantes en posiciones estudiadas que tienen como objetio reflejar el sonido hacia el público y garantizar una perfecta acústica. 3 Un hecho similar será analizado en el caso de la luz y la formación de espejismos.

6 Vibraciones y ondas ONDAS SONORAS ESTACIONARIAS. Lo estudiado en el tema anterior sobre ondas estacionarias en cuerdas ibrantes puede aplicarse a los sonidos producidos en instrumentos de cuerda y en instrumentos de iento. Un instrumento de cuerda (guitarra, iolín, arpa,...) consiste básicamente en arias cuerdas con sus dos extremos fijos y una caja de resonancia donde se amplifican las ondas sonoras correspondientes a los armónicos o frecuencias de ibración. Las distintas notas se obtienen ariando la tensión de la cuerda o ariando su longitud. Como los extremos de la cuerda (x=0 y x=l) son nodos y la separación entre nodos consecutios en una onda estacionaria es /2, las sucesias posiciones de los nodos en la cuerda son: x = n 2, y debe cumplirse que: L = n 2 (n=1,2,...), con lo que sólo se pueden formar ondas estacionarias que cumplan la condición de que la longitud de la cuerda sea un múltiplo entero de 2 L semilongitudes de onda. Las longitudes de onda posibles son: =, que n corresponden a las frecuencias: = n ; sólo son posibles aquellas ondas 2L estacionarias cuya frecuencia sea un múltiplo entero de la llamada frecuencia o armónico fundamental ( 1= ) (figura 8.1). 2L Figura 8.1 Figura 8.2 Un instrumento de iento (órgano, flauta, trompeta,...) consta de un tubo sonoro cerrado por uno de sus extremos o abierto por los dos extremos. Las distintas notas se obtienen ariando la longitud de la columna de aire; así, la distinta longitud de los tubos de un órgano determina los diferentes armónicos fundamentales, los agujeros de una flauta o las álulas de una trompeta permiten modificar la longitud del tubo y las frecuencias fundamentales emitidas. Como el origen y el final de los tubos con los dos extremos abiertos son ientres y la separación entre ientres consecutios en una onda estacionaria es /2, las frecuencias de las ondas estacionarias posibles en este caso coinciden con las istas para el caso de la cuerda ibrante sujeta por los extremos (figura 8.2). Pero si el tubo está cerrado por un extremo (nodo) y abierto por el otro (ientre), las sucesias posiciones de los ientres en el tubo son: x = (2n+1) 4, y debe cumplirse que: L = (2n+1) 4 (n=0,1,2,..), con lo que sólo se pueden formar ondas estacionarias que cumplan la condición de que la longitud del tubo sonoro sea un múltiplo impar de cuartos de longitudes de onda. Las 4L longitudes de onda posibles son: =, que corresponden a las frecuencias: ν = 2n 1 (2n+1) ; sólo son posibles aquellas ondas estacionarias cuya frecuencia sea un 4L Figura 8.3 múltiplo impar de la frecuencia o armónico fundamental ( 0= ) (figura 8.3). 4L 4.5. EFECTO DOPPLER. Seguramente habrás obserado alguna ez como cambia el tono del sonido que emite la sirena de una ambulancia cuando se aproxima, pasa a nuestro lado y finalmente se aleja: es más agudo mientras se aproxima y más grae cuando se aleja. Lo mismo ocurre si la ambulancia está parada y es el obserador el que se muee. Otras situaciones cotidianas en las que se percibe un mismo sonido con frecuencia diferente según el moimiento relatio entre el receptor y la fuente sonora son: cuando recogemos con un micrófono de ambiente el sonido de los coches y motos de carreras; cuando pasa un tren por la estación y, sin parar, hace sonar su señal acústica; etc. Si un foco emite una onda, un receptor de esa onda la percibirá con la misma frecuencia con la que fue emitida sólo en el caso de que ninguno de los dos (emisor/receptor) modifiquen sus posiciones relatias. Pero si uno de ellos está en moimiento con respecto al otro, la frecuencia que percibirá el receptor será diferente a la frecuencia con la que la onda surgió del foco emisor. Cuando se están acercando entre sí, la frecuencia obserada es mayor que la del foco, mientras que resulta menor si se están alejando. El efecto Doppler o Doppler-Fizeau hace referencia a la diferencia entre la frecuencia percibida por un receptor y la frecuencia propia del moimiento ondulatorio (sonido, luz,...), debida al moimiento relatio entre el receptor y el foco emisor de la onda. La relación cuantitatia entre la frecuencia del foco emisor (f) y la recibida por el receptor (f R ) depende de la situación, es decir, si el foco emisor y el receptor se acercan o se alejan.

7 Vibraciones y ondas 33 a) Receptor en reposo y foco emisor en moimiento. Un foco emisor, situado inicialmente en A, se acerca al receptor, fijado en K (figura 9). La onda emitida por el foco tiene una elocidad de propagación (2 m/s en el ejemplo), y el propio foco se desplaza hacia la derecha a una elocidad F (1 m/s en el ejemplo). Así, en la foto 1, el emisor situado en A emite una onda; un segundo después (foto 2), el emisor habrá alcanzado el punto B mientras que la onda habrá aanzado C; y así sucesiamente. El resultado es que el receptor percibe más ondas en la unidad de tiempo, es decir, percibe una frecuencia mayor. Tras T s, mientras un frente de ondas ha recorrido una distancia λ (λ= T), el foco ha recorrido una distancia d F (d F= F T), por lo que la separación entre dos frentes de onda consecutios, equialente a la longitud de onda percibida por el receptor, será: λ R = λ - d F = (- F) T = F, con f lo que la frecuencia percibida por el receptor será: f R = = f, donde consideramos la R F Figura 9 elocidad del foco positia cuando éste se dirige hacia el receptor y negatia si se dirige en sentido contrario. b) Receptor en moimiento y foco emisor en reposo. En este caso no habrá ariación en la longitud de onda λ, pero al moerse el receptor éste recibirá las ondas con mayor frecuencia si se acerca a la fuente o con menor frecuencia si se aleja de ésta. Si R es la elocidad del receptor y se acerca a la fuente, la elocidad de propagación de las ondas que capta el receptor será: = + R, con lo que la frecuencia que percibe será: f R = = R = R f, siendo la elocidad del receptor positia cuando éste se dirige hacia el foco emisor y negatia si se dirige en sentido contrario. c) Receptor y foco en moimiento. Combinando las ecuaciones anteriores llegamos a la que describe el caso general: f R = R f, donde F consideramos las elocidades del receptor y del foco positias cuando se dirigen uno hacia el otro y negatias si se dirigen en sentidos opuestos. Aunque el efecto Doppler se manifiesta cotidianamente en las ondas sonoras, es un fenómeno característico de todas las ondas en general, teniendo muchas aplicaciones prácticas: el sonar de los barcos de pesca para detectar bancos de peces; los sistemas de radar aplicados al tráfico, que permiten medir la posición y/o la elocidad de los ehículos; para medir la elocidad relatia de las estrellas, etc BARRERA DEL SONIDO. ONDAS DE CHOQUE. Las ecuaciones anteriores son álidas cuando la elocidad del foco emisor es menor que la elocidad de propagación de la onda ( F < ) (figura 10.1), pues en caso contrario el fenómeno sobrepasa el efecto Doppler. En el caso límite de que la elocidad del foco sea igual a la elocidad de la onda ( F = ) (figura 10.2), los frentes de onda serían tangentes interiores en el punto P, produciéndose una interferencia constructia en dicho punto y Figura 10.1 Figura 10.2 acumulándose una enorme cantidad de energía potencial en él, conirtiéndose en una auténtica barrera energética, que en el caso del sonido se conoce como barrera del sonido. No obstante, si el foco emisor supera la elocidad de propagación de la onda ( F > ), seguirá moiéndose sin problemas, pero ahora los frentes de onda aparecerán superpuestos y formarán un frente cónico conocido como onda de choque u onda de Mach (figura 10.3). La relación entre la elocidad del foco ( F) y la elocidad de la onda (), en nuestro caso el sonido, se conoce como número de Mach ( F ). La inersa del número de Mach determina el seno del ángulo. Figura 10.3

8 Vibraciones y ondas 34 Un aión supersónico o una lancha fueraborda generan ondas de choque, en el aire y en el agua respectiamente. Los aiones supersónicos generan dos ondas de choque, una en la proa del aión y otra en la cola; cuando estas ondas de choque llegan a tierra, se percibe un estampido bastante desagradable en forma de explosión, debido a la gran cantidad de energía que transportan. A.4. Responde a las siguientes cuestiones: A.4.1. Por qué las entanas de doble cristal, con una pequeña cámara de aire entre ellos, constituyen una mejor barrera frente al ruido que las entanas de un solo cristal? A.4.2. Si el sonido se transmite mejor en los sólidos que en los gases, por qué que una conersación, entablada en una habitación, se escuche bien desde otra habitación contigua si la puerta está abierta y mal si está cerrada?. A.4.3. Sabes... a) por qué se produce esa sensación tan peculiar de silencio cuando ha caído una copiosa neada que ha cuajado?; b) por qué se oye el mar en una caracola? A.4.4. Al dejar caer agua en una botella, el tono del sonido producido a ariando. Aumentará o disminuirá? A.4.5. Los barcos utilizan el sonar para medir profundidades oceánicas, detectar submarinos, rocas, icebergs, bancos de pesca, etc., pero en qué fenómenos físicos se basa el funcionamiento de este aparato? A.4.6. Qué sentido tiene tensar las cuerdas de una guitarra para afinarlas? A.4.7. Qué cambio experimenta la estela que deja un barco fueraborda en el agua al aumentar su elocidad? A.4.8. Por qué se escuchan dos bang cuando un aión en picado traspasa la barrera del sonido? A.5. Resuele las siguientes actiidades: A.5.1. Una persona situada entre dos montañas oye ecos al cabo de 3,2 y 5 segundos. A qué distancia se encuentran ambas montañas? Cuándo oirá el tercer eco? Y el cuarto? Y el quinto? A.5.2. En un punto de la superficie del mar se produce una fuerte explosión. A 80 m de dicho punto, también en la superficie marina, se detecta el sonido que procede de la reflexión en el fondo del mar 0,4 s después de percibir el sonido propagado a traés del aire. Calcula la profundidad del mar. (Además de la elocidad del sonido en el aire, debes saber que su elocidad en el agua es de 1450 m/s). A.5.3. Un sonido incide sobre la superficie del agua de un estanque con un ángulo respeto a la ertical de 5º. Halla: a) El ángulo de refracción; b) el ángulo límite. (Además de la elocidad del sonido en el aire, debes saber que su elocidad en el agua es de 1450 m/s). A.5.4. Dos ondas sonoras, de ecuación y (x,t) = 1,2 cos 2π (170t 0,5x) Pa, proceden de dos focos coherentes e interfieren en un punto P que dista 20 m de un foco y 25 m del otro foco. Determina: a) la perturbación que origina en el punto P cada uno de los focos, tras 1 s de iniciado el sonido; b) la diferencia de fase de las ondas al llegar al punto considerado; c) la amplitud de la perturbación total en el citado punto. A.5.5. Dos altaoces separados una cierta distancia emiten ondas sonoras de la misma frecuencia, pero el altaoz 1 tiene una fase adelantada 90º respecto de la del altaoz 2. Si r1 es la distancia de un punto determinado al altaoz 1 y r2 es la distancia de ese punto al altaoz 2, calcula el alor más pequeño de r2 - r1 que permite que el sonido en dicho punto sea: a) máximo; b) mínimo. c) Cómo cambian las respuestas anteriores si los dos altaoces están en fase? Expresa tu respuesta en función de la longitud de onda. A.5.6. Un tren se desplaza con el aire en calma a 108 km/h. El silbato de la locomotora emite un sonido de 60 Hz. Calcula la longitud de onda y la frecuencia de las ondas sonoras percibidas por un obserador fijo situado: a) delante de la locomotora; b) detrás de la locomotora. Calcula asimismo la frecuencia que percibirá un iajero de otro tren que circula a 54 km/h: c) cuando se aproxima al primer tren; d) cuando se aleja del primer tren. A.5.7. Una ambulancia pasa por una carretera sin detenerse, haciendo sonar la sirena. Un peatón en reposo percibe un sonido de Hz cuando se acerca la ambulancia y de 900 Hz cuando ésta se aleja. Determina: a) la elocidad de la ambulancia; b) la frecuencia del sonido emitido. A.5.8. Dos trenes circulan por ías paralelas y en sentidos opuestos, aproximadamente a la misma elocidad. El sonido emitido por el silbato de uno de ellos lo percibe el otro con frecuencias de Hz antes de cruzarse y de 990 Hz después de hacerlo: a) a qué elocidad circulan los dos trenes?; b) cuál es la frecuencia del sonido emitido?. A.5.9. Un automóil transita con una elocidad de 72 km/h hacia un muro. Si el conductor hace sonar su bocina, de 140 Hz de frecuencia, calcula la frecuencia del eco que percibe el automoilista. A Detrás de un ciclista, que circula a 10 m/s, transita un coche con una elocidad de 108 km/h. Qué frecuencia percibirá el ciclista cuando el conductor del coche haga sonar su bocina, con una frecuencia propia de 250 Hz?. A Un conductor se pasó un semáforo en rojo ante las narices de un guardia. Al ser detenido por el guardia, el conductor adujo para eitar la multa que la culpa era de Doppler. Comentó al guardia que debido al efecto Doppler el semáforo en rojo le había parecido erde. El guarda, que algo sabía de física, le multó doblemente. Por qué?. Con qué elocidad debería pasar un coche ante un semáforo en rojo (λr = 6, cm) para que al conductor le parezca erde (λ = 5, cm)? (Velocidad de la luz en el aire: c = m/s). A. Final. Realiza un resumen de las ideas más importantes aprendidas en esta unidad, así como un cuadro con las ecuaciones y fórmulas que has manejado a lo largo de la misma.

9 Vibraciones y ondas 35 APÉNDICE: APLICACIONES DE LOS ULTRASONIDOS. Se denominan ultrasonidos a las ondas mecánicas que no impresionan nuestro oído debido a su eleada frecuencia ( > Hz). Su longitud de onda depende del medio por el que se propaguen, siendo en el aire menor de 1,7 cm y en el agua menor de 7,4 cm. La producción de ultrasonidos se basa en el fenómeno de la piezoelectricidad (en griego piezen significa presionar), descrito en por el francés Pierre Curie ( ) y aplicado para ese cometido por el también francés Paul Langein ( ). Curie descubrió que, al aplicar una presión a dos caras paralelas de ciertos cristales de cuarzo, aparecen cargas de distinto signo en las caras perpendiculares a aquellas en las que se aplica la presión, siendo la carga tanto mayor cuanto más eleada sea la presión. Si en ez de presionar sobre las caras, se las somete a tracción o estiramiento, se inierte el signo de las cargas. Y al reés: si se aplica una diferencia de potencial alterna a las caras de una lámina de cuarzo, se originan en las caras perpendiculares tracciones y compresiones con la consiguiente ariación del espesor de la lámina. Estas fluctuaciones de espesor tienen una amplitud que alcanza su alor máximo cuando la frecuencia de la corriente coincide con la frecuencia de ibración del cuarzo, pues entra en resonancia, haciéndose las ibraciones más intensas. Estas ibraciones se transmiten al medio que rodea el cristal de cuarzo originando ultrasonidos. Durante la Primera Guerra Mundial, Langein, inestigando un método para detectar submarinos, concluyó que los ultrasonidos eran la señal más adecuada. Ni los sonidos ordinarios ni la luz son adecuados para detectar objetos grandes en el agua: los primeros, por tener longitudes de onda grandes, entre 7,4 cm y 74 m en el agua, lo que hace que sean difractados por los objetos y que la localización no se precisa; los rayos luminosos ordinarios, por ser fuertemente absorbida por el medio acuoso. Los ultrasonidos situados en un rango de frecuencias entre 20 y 100 khz presentan un amortiguamiento mínimo y longitudes de onda pequeñas, lo que hace que no sean difractados por los objetos grandes, y que se puedan dirigir en haces muy finos, que no se dispersan; por esto son adecuados para transmitir señales bajo el agua mediante la técnica denominada sonar. En el sonar, un transmisor emite un pulso sonoro a traés del agua y un detector recibe su reflexión o eco posteriormente; midiendo los tiempos y conociendo la elocidad del sonido en el agua se determina la distancia a la que se encuentra un banco de peces, unas rocas o un submarino. El mismo cristal de cuarzo que actúa como emisor de ultrasonidos hace de receptos de los mismos. Hoy sabemos que los murciélagos emiten ultrasonidos de hasta 120 khz, que corresponden en el aire a una longitud de onda de 2,8 mm, lo que les permite orientarse frente a los obstáculos y localizar a presas pequeñas. Dentro del cuerpo humano, los ultrasonidos se reflejan en los contornos y superficies de separación de los distintos órganos. Así, mediante ecografías se detectan tumores, bolsas de fluidos y otras anomalías. Al no dañar a los tejidos, sustituyen a los rayos X en el seguimiento del desarrollo del feto. Las frecuencias utilizadas en diagnóstico están comprendidas entre 1 y 10 MHz, por lo que los objetos que se pueden detectar son muy pequeños. Tienen el inconeniente de que destruyen algunos glóbulos rojos de la sangre. La frecuencia característica de ibración del cristal de cuarzo es inersamente proporcional al espesor de la lámina utilizada. Estas frecuencias de ibración son perfectamente conocidas, por lo que se pueden utilizar en medidas muy precisas de tiempo. Por ello, los cristales piezoeléctricos se manejan en la construcción de relojes y, en general, de cualquier aparato que precise mantener constante una determinada frecuencia de oscilación (radiorreceptores y radiotransmisores, micrófonos,...). Además de las citadas, otras de las muchas aplicaciones de los ultrasonidos en la actualidad son: - La limpieza y esterilización ultrasónica. Ciertas ibraciones ultrasónicas siren para extraer fragmentos de materia extraña de lugares que resultan inaccesibles por otros métodos, e incluso para destruir ciertos microorganismos. Por ejemplo, los joyeros se alen de baños ultrasónicos para limpiar piezas de joyería. - La perforación ultrasónica. Ciertas ibraciones ultrasónicas siren para taladrar materiales muy duros; como el taladro ultrasónico no gira, la punta del ibrador puede orientarse para hacer hoyos de cualquier forma. - La soldadura ultrasónica. Los ultrasonidos son especialmente útiles en la soldadura del aluminio, al desprender la capa de óxido que recubre la superficie del aluminio y entonces ya no se necesitan fundentes. - La cirugía ultrasónica. El ultrasonido se utiliza con éxito para desintegrar las piedras de los riñones facilitando su extracción o permitiendo que el cuerpo las expulse naturalmente. Para ello se utilizan arias técnicas, en una de las cuales se introduce un catéter por la uretra, o también a traés de la piel, para atrapar el cálculo y seguidamente romperlo mediante ultrasonidos. - Para acelerar procesos químicos, para depurar el aire, ya que producen la precipitación de aerosoles, etc. APROVECHA LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS! Aproecha los recursos informáticos recogidos en soporte digital, en la Web del Departamento y en la Web personal de los autores. Te facilitarán el estudio y la comprensión de los conocimientos tratados en esta unidad. SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PLANTEADAS EN LA UNIDAD. A.1.1: Sólo se percibe sonido cuándo acortamos suficientemente la regla; al hacerlo, aumentamos su frecuencia de oscilación, hasta que entramos en frecuencias audibles. A.1.2: Entre 20Hz = 17 m y ; Hz = 1,7 cm. A.1.3: Las oces de los demás las escuchamos, por regla general, a traés del aire; el micrófono también detecta las ondas sonoras que proienen del aire. Nosotros recibimos nuestras ondas sonoras a traés del aire y a traés de nuestro propio cuerpo, lo que ocasiona esa distorsión aparente del sonido que emitimos. A.1.4: Al aumentar la frecuencia angular de la reproducción escuchamos las ondas sonoras más agudas, tonos estos característicos de las personas más jóenes. A.1.5: Porque nuestro oído es menos sensible a los sonidos graes (er figura 3 del tema); debemos intensificar la señal de las frecuencias bajas para que estén por encima del umbral de audición. A.1.6: No. Emitir ruido al ambiente es, físicamente hablando, emitir energía.

10 Vibraciones y ondas 36 Por ejemplo, medidas que podríamos seguir en el instituto: no gritar en las clases, llear cuidado al moer sillas y mesas, etc. A.2.1: Midiendo repetidamente el tiempo transcurrido entre el rayo y el trueno podemos saber si se acerca o se aleja. Multiplicando el tiempo transcurrido por la elocidad del sonido en el aire a esa temperatura podemos precisar la distancia a la que se encuentra la tormenta. A.2.2: En la mayor elocidad de propagación del sonido en el medio sólido, por regla general. A.2.3: Aire más denso implica mayor proximidad entre las partículas; aire más caliente implica mayor elocidad de moimiento de las partículas; ambos factores determinan una mayor interacción entre las partículas, con lo que el moimiento ibratorio se propaga de unas a otras con mayor rapidez. A.3.1: a) = Hz. El oído humano lo percibe como agudo. b) s (x, t) = sen (6.800πt + 20πx) m. c) s (1,1) = 0 m; (1,1) = 1, m/s; a (1,1) = 0 m/s 2. d) máx = 1, m/s; a máx = 319,46 m/s 2. e) x 2 x 1 = 1/60 m. f) Dado que: φ 2 φ 1 = 6.800π(t 2 t 1)= 0,68π rad. A.3.2: a) I = 1/10π W/m 2 ; B = 105 db. b) R -R = ( 2-1)R m. c) R = 1.784,12 km. d) A la atenuación de la onda sonora por meros motios geométricos (no consideramos la amortiguación de la onda debido a la absorción del medio). A.3.3: P = W. A.3.4: a) P = 1, π W. b) R = 63,25 m. c) R = m. A.3.5: I = I 1 + I 2 = 1, W/m 2. A.3.6: a)i = 10-3 W/m 2. b) I = 0,225 W/m 2 y B = 113,5 db. A.3.7: a) E = 2.160π kj. b) I = 25 W/m 2 y B = 134,0 db. c) A = 50 cm. A.3.8: β = 5,36 m -1. I = I o/25 W/m 2. A.4.1: Al existir la cámara de aire, la onda sonora ha de atraesar más medios donde la elocidad de propagación es distinta, por lo que se produce más eces la reflexión y refracción, llegando la onda sonora más amortiguada. A.4.2: Si la puerta está abierta, el sonido nos llega directamente, mientras que si está cerrada, ha de atraesar el sistema aire-madera-aire, con lo que hay reflexión y refracción, con la consiguiente amortiguación de la onda. A.4.3: a) Por los numerosos espacios huecos que deja la niee en su superficie, que ocasionan la absorción de las ondas sonoras. b) Realmente no se oye el mar. Lo que escuchas es el fluir de tu sangre por los finos capilares sanguíneos de tu oído, de forma amplificada (la caracola actúa de caja de resonancia). A.4.4: Si disminuye el espacio donde el aire puede ibrar, disminuye la longitud de onda, lo que implica un aumento de la frecuencia de la onda, y por consiguiente, aumentará el tono del sonido (más agudo). A.4.5: Se basa en la reflexión de las ondas sonoras y en el efecto Doppler. Las ondas sonoras ultrasónicas eniadas por el sonar se reflejan en parte al chocar con un objeto y son recogidas de nueo por el sonar. Ligeros cambios en la frecuencia de las ondas reflejadas recibidas respecto a las ondas emitidas nos dicen que el barco y el objeto identificado se acercan o se alejan. A.4.6: La expresión obtenida para las frecuencias de las ondas estacionarias en una cuerda: = n, nos permite entender el mecanismo por el que se 2L afinan las cuerdas de los instrumentos musicales al tensarlas o destensarlas, pues la elocidad de propagación depende de dicha tensión (reisa la tabla 1 del tema 2, pág. 14 de los apuntes). A.4.7: El ángulo que forma el frente cónico de la estela (onda de choque u onda de Mach) se hace más pequeño, dado que sen θ = sonido. focoemisor A.4.8: La acumulación sonora que constituye el bang se produce cada ez que el aión transpone la elocidad del sonido, ya acelerando, ya moderando su elocidad al salir del picado (er figura adjunta). La barrera del sonido se cruza por primera ez al acelerar en el picado y por segunda al salir de él, llegando la segunda señal acústica antes al suelo, ya que durante el uelo supersónico el aión ha descendido a mayor elocidad que el sonido del primer bang. A..5.1: A 544 m y a 850 m de la persona. Si la amortiguación no es muy intensa, oleremos a escuchar ecos a los 8,2 s; 11,4 s; 16,4 s;... A.5.2. h = 458,85 m A.5.3: a) rˆ = 21,82º; b) î = 13,56º. A.5.4: a) y (20,1) = 1,2 Pa ; y (25,1) = - 1,2 Pa. b) φ 20 φ 25 = 5π rad, es decir, llegan en oposición de fase, o sea, interferencia destructia. c) y total (20,25,1) = 0 Pa. A.5.5: a) La interferencia de las ondas sonoras en el punto considerado, para ondas con un desfase δ, resulta ser, haciendo uso de la relación trigonométrica: sen A + sen B = 2.sen (A+B)/2.cos (A-B)/2: s (r 1,r 2,t) = 2A. cos r2 r1.sen r1 r2. Si el desfase es de k t k º (π/2 rad), sonido máximo cuando: r 2-r 1 = nλ λ/4 (para n = 0, 1,...) (3λ/4 m, el alor más pequeño). b) sonido nulo cuando: r 2-r 1 = nλ + λ/4 (λ/4 m, el alor más pequeño). c) Si los dos altaoces están en fase, la ecuación anterior queda así: s (r 1,r 2,t) = 2A. cos r 2 r 1.sen r k t 1 r2 k, con lo que 2 2 obtenemos un ientre cuando: r 2-r 1 = nλ (para n = 0, 1,...) (0 m, el alor más pequeño) y un nodo cuando: r 2-r 1 = nλ + λ/2 (λ/2 m, el alor más pequeño). A.5.6: a) R = 65,81 Hz y R = 5,17 m. b) R = 55,14 Hz; R = 6,17 m. c) R = 68,71 Hz. d) R = 52,70 Hz. A.5.7: ambulancia = 34 m/s; = 990 Hz. A.5.8: trenes = 17 m/s; = 1094,5 Hz. A.5.9: Se presenta un efecto Doppler doble: recibida por la pared = 148,75 Hz; recibida por el conductor = R = 157,50 Hz. R A.5.10: R = 266,13 Hz. A.5.11: conductor = 0,148c m/s, siendo c la elocidad de la luz, o sea, una barbaridad!. Por eso le multó doblemente el guardia.