68 horas (51 teoría y 17 práctica) Horario establecido:

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1 I. DATOS GENERALES DE LA MATERIA Nombre de la materia: Ecuaciones Diferenciales Clave: CBM-0309 No. de Créditos: 7 Semestre: Tercero Duración del curso: 17 semanas Horas a la semana: 3 teoría, 1 práctica Total de horas: 68 horas (51 teoría y 17 práctica) Horario establecido: Autor del programa: Rita Ochoa Modalidad: Presencial II. PRESENTACIÓN Las Matemáticas tienen cada día mayor importancia en las ciencias de la Ingeniería y es fácil suponer que esta tendencia continuará en el futuro. Una razón importante para pensar así es que los problemas de ingeniería moderna son tan complejos, que en su mayoría no pueden resolverse simplemente sobre la base de la intuición física y la experiencia pasada. Este método empírico de resolución, que tuvo tanto éxito para muchos problemas, falla tan pronto intervienen altas temperaturas, grandes fuerzas u otras condiciones anormales y la situación se vuelve más crítica debido al hecho de que varios materiales modernos, como los plásticos, aleaciones, etc., tienen propiedades físicas no usuales. El trabajo experimental se hace complicado, tardío y costoso. En tales casos, las Matemáticas ayudan a planear los experimentos y valorar los datos experimentales. Muchos métodos matemáticos fueron desarrollados en el pasado por razones puramente teóricas, como la teoría de las matrices, los mapeos conformes, etc.. Nadie fue capaz de predecir la importancia práctica que hoy en día tienen estos temas en la matemática involucrada en la ingeniería. En la misma forma, es dificil predecir cuales teorías matemáticas nuevas tendrán aplicaciones en la Ingeniería dentro de treinta años. Pero no importa que suceda al respecto, si un estudiante tiene buen entrenamiento en los fundamentos de la Matemática, podrá satisfacer 1

2 sus necesidades futuras en virtud de que estará capacitado para familiarizarse con los nuevos métodos matemáticos aplicados a la Ingeniería. Las Ecuaciones Diferenciales son la meta natural de los cursos previos de Cálculo y Álgebra y son fundamentalmente importantes en las matemáticas de la ingeniería, esto se debe al hecho de que muchas leyes y relaciones físicas aparecen matemáticamente expresadas en forma de una ecuación diferencial. Por ejemplo las Ecuaciones Diferenciales tienen aplicaciones muy importantes e interesantes en resistencia de materiales, teoría de las oscilaciones y en la teoría de la regulación automática. El curso tiene como propósito que el estudiante se familiarice con el pensamiento matemático y adquiera la impresión de que las Matemáticas y en particular las Ecuaciones Diferenciales, no son una colección de trucos y recetas, sino una ciencia sistemática de importancia práctica que descansa en un número relativamente pequeño de conceptos básicos y que involucra métodos unificadores poderosos. PRE-REQUISITOS DE LA MATERIA ASIGNATURA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CLAVE CMB-0301 III. INTRODUCCIÓN Esta materia se localiza en el área básica del mapa curricular de esta licenciatura. En ella se deben reconstruir los conceptos referentes a las ecuaciones diferenciales ordinarias y los métodos de solución más importantes, así como su aplicación a modelos matemáticos de distintos fenómenos: químicos, físicos y biológicos. El estudiante debe resolver ecuaciones diferenciales, utilizando los diferentes métodos de solución que incluyen teorías propias de la disciplina, investiga fenómenos a los que se les puede modelar a partir de las ecuaciones diferenciales, utilizando el ingenio y tomando una actitud de responsabilidad, puntualidad, participación, colaboración y creatividad. Según el plan curricular de la licenciatura en esta materia se debe proporcionar a los alumnos una formación científica integral que les servirá para mantenerse en formación permanente a lo largo de su vida estudiantil y más adelante en su ejercicio profesional; de igual forma le debe permitir al estudiante adaptarse a entornos diferentes, y aplicar los conocimientos adquiridos. Por lo tanto es primordial que aprendan técnicas de solución y modelación para estar en condiciones de aplicar las Ecuaciones Diferenciales ampliamente y leer 2

3 comprensivamente textos de aplicaciones a otras ramas del conocimiento donde se requieran estos conocimientos. En este curso el estudiante debe desarrollar capacidad de análisis y síntesis, de comunicación correcta, para trabajar en equipo, para aprender autónomamente, para aplicar los conocimientos, en disciplina de trabajo, en comprensión de conocimiento y en capacidad de respuesta. IV. COMPETENCIAS GENÉRICAS En el siguiente cuadro se muestra las competencias genéricas a desarrollar en el curso de SDLR I según los resultados de enseñanza/aprendizaje de ABET: No. Fomentadas en SDLR I 1 x x 7 x Competencias de la carrera de Ingeniería En Automatización Aplicar y utilizar los conocimientos de matemáticas, ciencias básicas e ingeniería para diseñar y llevar a cabo proyectos de investigación, de aplicación e innovación social y tecnológica utilizando técnicas y métodos especializados. Colaborar en equipos disciplinarios y multidisciplinarios para formular y ejecutar proyectos de soluciones en automatización pertinentes al contexto Diseñar componentes, sistemas y procesos automatizados, para satisfacer necesidades específicas y plantear las soluciones adecuadas. Formular soluciones a problemas de automatización, de componentes, sistemas y procesos considerando el impacto de la misma y contribuyendo a la mejora del contexto global, económico, ambiental y social, utilizando las técnicas y herramientas actuales. Valorar y respetar los problemas que enfrenta la sociedad actual reconociendo las diferencias individuales y culturales para convivir con responsabilidad en los ámbitos sociales y laborales basándose en principios profesionales éticos y apegándose a los criterios y normas de calidad para impulsar el desarrollo sustentable. Comunicar sus ideas, los conceptos y conocimientos de ingeniería en un contexto multicultural. Actualizar de forma continua los conocimientos para mejorar su desarrollo adaptándose a las necesidades cambiantes del entorno 3

4 V. COMPETENCIAS ESPECÍFICAS Interpretar el concepto de ecuación diferencia y reconocer la clasificación de las mismas. Identificas sus soluciones generales, particulares y singulares. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, segundo orden y de orden n, empleando diferentes métodos. Reconocer y saber formular problemas modelables relacionados con la Ingeniería, la física en términos de ecuaciones diferenciales. Conocer y aplicar las propiedades y de la transformada de Laplace como una herramienta útil en la solución de ecuaciones diferenciales, integrales e integrodiferenciables. Manejo de un programa computacional, como el SW, Matlab, etc., para encontrar la solución analítica, cualitativa y/o cuantitativa de ecuaciones Diferenciales según sea el caso. VI. PROPÓSITO DE LA MATERIA Al finalizar el curso el estudiante será capaz de: reconocer como las Ecuaciones Diferenciales pueden ser útiles en la solución de variados tipos de problemas, principalmente ingenieriles; traducir problemas reales a un lenguaje de Ecuaciones Diferenciales; obtener e interpretar las soluciones de las Ecuaciones Diferenciales. VII. CONTENIDOS TEMÁTICOS Para lograr el propósito anterior se presenta un contenido programático que se sugiere desarrollar en cuatro unidades y que presentamos a continuación. UNIDAD NOMBRE HORAS 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y APLICACIONES 20 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 20 3 TRANSFORMADA DE LAPLACE 28 UNIDAD 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y APLICACIONES (20 HRS) La presente unidad tiene los siguientes propósitos: 1. introducir la terminología y las definiciones básicas de las Ecuaciones Diferenciales. 4

5 2. que los estudiantes conozcan los orígenes de las Ecuaciones Diferenciales y como se deducen algunas de ellas al tratar de formular o describir fenómenos físicos en términos matemáticos. 3. que los estudiantes sean capaces de analizar una ecuación diferencial de primer orden en cuanto a existencia y unicidad de sus soluciones y de aplicar los métodos de solución vistos para resolver una ecuación diferencial de primer orden. 4. que los estudiantes conozcan diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden y que noten como una misma ecuación diferencial aparece en el análisis matemático de diversos problemas reales. TEMAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Definiciones básicas y terminología. Orígenes y ejemplos de ecuaciones diferenciales. Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden MÉTODOS DE SOLUCIÓN Método de variables separables. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones exactas. Factores integrantes. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli, Ricatti y Clairaut. Resolución de ecuaciones diferenciales por sustituciones APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. Aplicaciones geométricas. Modelos poblacionales. Circuitos Eléctricos. Problemas de mezclas. Desintegración radioactiva. UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR (20 HRS) La presente unidad tiene los siguientes objetivos: 1. que los alumnos conozcan el teorema de existencia y unicidad para las ecuaciones diferenciales lineales; 2. que los alumnos dominen la teoría general de las ecuaciones diferenciales lineales y los métodos de solución para las ecuaciones lineales con coeficientes constantes; 3. familiarizar al estudiante con la modulación matemática a través de las diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales, en particular al sistema masa resorte, a los circuitos eléctricos y al problema de cargas sobre vigas; TEMAS TEORÍA GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Teorema de existencia y unicidad pare ecuaciones lineales. Ecuación homogénea y no homogénea. Dependencia e independencia lineal de soluciones. Wronskiano. Utilización de una solución conocida para 5

6 encontrar la otra. Solución general de una ecuación diferencial lineal de orden n ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES. Polinomio característico. Solución general de la ecuación homogénea. Ecuación no homogénea. Método de coeficientes indeterminados y variación de parámetros ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES. Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler APLICACIONES Movimiento armónico simple. Movimiento vibratorio amortiguado. Movimiento vibratorio forzado. Resonancia. Circuitos eléctricos. Deflexión en vigas. UNIDAD 3: TRANSFORMADA DE LAPLACE (28 HRS) La siguiente unidad tiene los siguientes propósitos: 1. que los estudiantes sean capaces de utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales y noten las ventajas de este método sobre los previamente estudiados. 2. que utilicen la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones integrales y problemas con valores en la frontera. 3. que se familiaricen con la modelación matemática utilizando la transformada de Laplace para resolver problemas ingenieriles como los problemas de carga sobre vigas y circuitos eléctricos. TEMAS TRANSFORMADA DE LAPLACE. Definición y ejemplos. Funciones de orden exponencial y continuas a pedazos. Transformada inversa. Fórmulas elementales. 4.2 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. Teoremas de traslación. Transformada de derivadas e integrales. Transformada de una función periódica. Teorema de convolución APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Resolución de Ecuaciones Diferenciales mediante la Transformada de Laplace. Ecuaciones integrales e integrodiferenciales. Problemas de aplicación (Circuitos eléctricos, sistema masa-resorte). Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. VIII. SISTEMA DE EVALUACIÓN Durante el curso se tomarán tres tipos de evaluaciones: La evaluación diagnóstica: deberá hacerse al inicio del curso a través de un cuestionario de opción múltiple o de preguntas abiertas. Esta evaluación no se 6

7 tomará en cuenta para la evaluación sumativa, sin embargo el resultado de la misma deberá ser considerado tanto por el profesor como por el estudiante para tomar las medidas remediales necesarias. Los temas que se deben incluir en este cuestionario son: derivadas (ordinarias, implícitas y parciales) e integrales (inmediatas y por sustitución). La evaluación formativa: en cada unidad el estudiante debe realizar las actividades propuestas en la planeación didáctica en tiempo y forma, el docente considerará la ponderación propuesta para cada actividad realizada y retroalimentará al estudiante para que consolide o modifique su conocimiento. Se propiciará trabajo colaborativo que permita al estudiante desarrollar los conocimientos, habilidades, valores, actitudes, colaboración, claridad de ideas, honestidad, tolerancia, respeto, compromiso con el trabajo que contribuyan al desarrollo individual y de la sociedad. La evaluación sumativa: esta evaluación se considera al final de cada unidad y al término del curso. Sirve para efectos de acreditación y para comprobar que se cumplieron los propósitos. Cada unidad será evaluada con un 100% de acuerdo a las actividades programadas en la planeación didáctica, para la evaluación sumativa del curso la ponderación sugerida por unidad es la siguiente: Unidad Horas % ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y APLICACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR TRANSFORMADA DE LAPLACE Total Se sugiere que los exámenes tanto parciales como finales se apliquen de forma departamental, además se propone que para obtener la calificación por unidades sea conformada por la siguiente ponderación: 70% Examen + 30 % trabajos, tareas y/o practica de laboratorio = 100% final En cuanto a la acreditación nos sujetamos a lo establecido en los artículos del 70, 71, 72 y 74 del Reglamento de Estudiantes de la UAQ en su Capítulo V: De los exámenes: ARTÍCULO 70.- Para tener derecho a presentar examen ordinario en una asignatura, se requiere: I. Haber sido alumno debidamente inscrito en la asignatura durante el ciclo escolar correspondiente al periodo en el que se presenta el examen; II. Haber presentado el ochenta por ciento, como mínimo, de trabajos y/o prácticas señaladas por el programa de la asignatura; y 7

8 III. Tener un mínimo de ochenta por ciento de asistencias en la asignatura, tratándose de programas escolarizados. ARTÍCULO 71.- Los alumnos tendrán el derecho de exentar el examen ordinario en cada asignatura, cuando reúnan los siguientes requisitos: I. Haber aprobado todos los exámenes parciales obteniendo un promedio II. mínimo de ocho; y Haber cumplido con los requisitos señalados en las fracciones I, II y III del artículo anterior. ARTÍCULO 72.- Cuando el alumno hubiere quedado exento en los términos del artículo anterior, podrá optar por presentar el examen ordinario a efecto de mejorar la calificación. ARTÍCULO 74.- En los exámenes a que se refieren las fracciones III, IV, V y VI del artículo 57 de este Reglamento, la calificación aprobatoria de la evaluación podrá darse mediante cualquiera de las siguientes formas: I. Mediante números enteros en una escala numérica de 6 a 10 en cursos básicos, bachillerato, técnico básico, técnico superior, profesional asociado y licenciatura; II. III. En una escala numérica de 7 a 10 en los posgrados; no aplicando para los posgrados, los exámenes previstos en la fracción V del artículo 57 de este Reglamento; y De manera particular, algunas asignaturas que no puedan ser evaluadas objetivamente en una escala numérica, serán evaluadas como acreditadas de acuerdo con el programa de estudios correspondiente. En caso de reprobación, ésta se expresará en el acta mediante la leyenda "NA" que significa "NO ACREDITA" y carecerá de equivalencia numérica para efectos del promedio IX. DOCUMENTOS A CONSULTAR TEXTOS BÁSICOS 1. Edwards, Jr., Penney, David. (2009) Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemas con condiciones en la frontera. 4ª Edición. México. Ed. Prentice Hall. 2. Simmons G. F. (1993) Ecuaciones Diferenciales. Con Aplicaciones y Notas Históricas, Madrid. Ed. McGraw-Hill 3. Ross.(1982) Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, 2ª Edición. México. Ed. McGraw Hill. 4. Zill, D. (2002) Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. 5ª Edición. México. Grupo Editorial Iberoamericana TEXTOS COMPLEMENTARIOS 1. Blanchard, P., Devaney, R. L., Hall, G. R.; (1998) Ecuaciones Diferenciales, México. 2ª Edición. Thomson editores 2. Murray R. Spiegel. (1989) Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. México. Prentice Hall. 3. Spiegel, Murray (1989). Teoría y problemas de transformadas de Laplace. 3ª 8

9 Edición, México. Ed. McGraw-Hill PROGRAMAS DE CÓMPUTO RECOMENDADOS Scientific Workplace Graphmatica Winplot 9