Laboratorio 11: Ondas estacionarias en tubos. Determinación de la velocidad del sonido en aire.

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1 Laboratorio 11: Ondas estacionarias en tubos. Determinación de la velocidad del sonido en aire. 1 Introducción Ondas sonoras. Las ondas sonoras viajan a través de cualquier medio material con una rapidez que depende de las propiedades del medio. A medida que las ondas sonoras viajan a través del aire, los elementos del aire vibran para producir cambios en densidad y presión a lo largo de la dirección del movimiento de la onda. Si la fuente de las ondas sonoras vibra sinusoidalmente, las variaciones de presión también son sinusoidales. Las ondas sonoras se pueden dividir en tres categorías que cubren diferentes intervalos de frecuencia: - Las ondas audibles se encuentran dentro del intervalo de sensibilidad del oído humano. Es posible generarlas en una variedad de formas, como de instrumentos musicales, voces humanas o bocinas. - Las ondas infrasónicas tienen frecuencias por abajo del intervalo audible. Los elefantes usan ondas infrasónicas para comunicarse mutuamente, aun cuando estén separados por varios kilómetros - Las ondas ultrasónicas tienen frecuencias por encima del alcance audible. Es posible que hayan escuchado silbatos silenciosos para llamar a perros. Los perros escuchan el sonido ultrasónico que emite este silbato, pero para los humanos es imposible detectarlo. Las ondas ultrasónicas también se usan para la formación de imágenes médicas. La rapidez de las ondas sonoras en un medio depende de la compresibilidad y la densidad del medio; si éste es un líquido o un gas y tiene un módulo volumétrico (o de bulk) B y densidad ρ, la rapidez de las ondas sonoras en dicho medio es: Vale recordar que la rapidez de todas las ondas mecánicas sigue una expresión de la forma general Para ondas sonoras longitudinales en una barra sólida de material, por ejemplo, la rapidez del sonido depende del módulo de Young Y y de la densidad ρ. La tabla presenta la rapidez del sonido en algunos materiales. La rapidez del sonido también depende de la temperatura del medio. La relación entre la rapidez de la onda y la temperatura del aire, para sonido que viaja a través del aire, es: 1

2 donde 331 m/s es la rapidez del sonido en aire a 0 C y T C es la temperatura del aire en grados Celsius. Con esta ecuación, uno encuentra que, a 20 C, la rapidez del sonido en el aire es aproximadamente 343 m/s. Esta información proporciona una forma de estimar la distancia de una tormenta. Primero cuente el número de segundos entre ver el destello del relámpago y escuchar el trueno. Dividir este tiempo entre 3 da la distancia aproximada al relámpago en kilómetros, porque 343 m/s es aproximadamente 1/3 km/s (0.343). Ondas estacionarias Las ondas sonoras de, por ejempo, un par de bocinas, salen de las mismas hacia adelante y hacen interferencia en un punto enfrente de las bocinas. Supongamos que se da vuelta a las bocinas de modo que una quede frente a la otra y luego se hace que emitan sonido a la misma frecuencia y amplitud. En esta situación dos ondas idénticas viajan en direcciones opuestas en el mismo medio. Dichas ondas se combinan de acuerdo con el modelo de ondas en interferencia. Supongamos que ambas ondas son armónicas (es decir, se pueden representar por una función del tipo Asen(kx-wt)). Para esta situación consideramos entonces funciones de onda para dos ondas sinusoidales transversales que tengan la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero que viajen en direcciones opuestas en el mismo medio: y 1 (x, t) = Asen(kx-ωt) y 2 (x, t) = Asen(kx+ωt) (2) donde y 1 representa una onda que viaja en la dirección +x e y 2 representa una que viaja en la dirección -x. Al sumar estas dos funciones obtenemos la función de onda resultante y: y(x, t) = y 1 + y 2 = Asen(kx-ωt)+Asen(kx+ωt) (3) Usando la identidad trigonométrica sen(a b)=sen(a)cos(b) cos(a)sen(b): esta expresión se reduce a y(x, t) = y 1 + y 2 = [2Asen(kx)]cos(ωt)] (4) La ecuación (4) representa la función de onda de una onda estacionaria. Una onda estacionaria, como la de una cuerda que se muestra en la figura es un patrón de oscilación con un contorno estacionario que resulta de la sobreposición de dos ondas idénticas que viajan en direcciones opuestas. Es importante notar que la ecuación (4) no contiene una función de kx-ωt. Por lo tanto, NO es una expresión para una onda progresiva. Cuando se observa una onda estacionaria, no hay sentido de movimiento en la dirección de propagación de cualquier onda original. Al comparar la ecuación (4) con la ecuación del movimiento armónico simple, es claro que la descripción de una onda estacionaria se corresponde con un conjunto de moviemintos armónicos simples: c punto del medio oscila con un movimiento armónico simple con la misma frecuencia angular ω (de acuerdo con el factor cos(ωt) en la ecuación 4). La amplitud del movimiento armónico simple de cada punto (dada por el 2

3 factor 2A(sen(kx)), el coeficiente de la función coseno) depende de la posición x del punto en el medio (recordar que en el caso de la onda armónica viajera, todas las partículas oscilan con la misma amplitud y frecuencia). La amplitud del movimiento armónico simple de un elemento del medio tiene un valor mínimo de cero cuando x satisface la condición sen(kx)=0, es decir, cuando: De donde: (5) Los puntos donde la amplitud es cero se llaman nodos (recordar que (k = 2π/λ). Los puntos del medio con el mayor desplazamiento posible desde el equilibrio tienen una amplitud de 2A, que se define como la amplitud de la onda estacionaria. Las posiciones en el medio donde se presenta este desplazamiento máximo se llaman antinodos. Los antinodos se ubican en posiciones que satisfacen la condición sen(kx) = ±1 decir, cuando: Por lo tanto, las posiciones de los antinodos se dan cuando: (7) (6) Ondas estacionarias en columnas de aire. El modelo de ondas bajo condiciones frontera se aplica a ondas sonoras en una columna de aire como la que se encuentra en el interior de un órgano de tubos. Las ondas estacionarias son resultado de la interferencia entre ondas sonoras longitudinales que viajan en direcciones opuestas. En un tubo cerrado en un extremo, dicho extremo es un nodo de desplazamiento porque la barrera rígida en este extremo no permite el movimiento longitudinal del aire. Ya que la onda de presión está 90 fuera de fase con la onda de desplazamiento, el extremo cerrado de una columna de aire corresponde a un antinodo de presión. El extremo abierto de una columna de aire es aproximadamente un antinodo de desplazamiento [1] y un nodo de presión. Se puede entender por qué no se presenta variación de presión en un extremo abierto al notar que el extremo de la columna de aire está abierto a la atmósfera; por lo tanto, la presión en este extremo debe permanecer constante a presión atmosférica. Una pregunta interesante es cómo una onda sonora se refleja de un extremo abierto, porque al parecer no ha habido cambio en el medio en este punto: el medio a través del que se mueve la onda sonora es aire, tanto dentro como fuera del tubo. Sin embargo, el sonido es una onda de presión, y una región de compresión de la onda sonora está restringida por los lados del tubo en tanto la región esté dentro del tubo. A medida que la región de compresión sale en el extremo abierto del tubo, la restricción del tubo se retira y el aire comprimido es libre de expandirse en la atmósfera. En la figura se muestran los primeros tres modos normales de oscilación de un tubo abierto en ambos extremos. Notar que ambos extremos son antinodos de (8) 3

4 desplazamiento (aproximadamente). En el primer modo normal, la onda estacionaria se extiende entre dos antinodos adyacentes, que es una distancia de media longitud de onda. En consecuencia, la longitud de onda tiene el doble de largo que el tubo, y la frecuencia fundamental es f 1 =v/2l. Las frecuencias de los armónicos superiores son 2f 1, 3f 1,, n f 1. En conclusión, en un tubo abierto en ambos extremos, las frecuencias naturales de oscilación forman una serie armónica que incluye todos los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. (9) Si un tubo está cerrado en un extremo y abierto en el otro, el extremo cerrado es un nodo de desplazamiento (véase la figura). En este caso, la onda estacionaria para el modo fundamental se extiende desde un antinodo hasta el nodo adyacente, que es un cuarto de una longitud de onda. Por tanto, la longitud de onda para el primer modo normal es 4L, y la frecuencia fundamental es f 1 =v/4l. Las ondas de frecuencia más alta que satisfacen las condiciones son aquellas que tienen un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto; en consecuencia, los armónicos superiores tienen frecuencias 3f 1, 5f 1,..., (2n+1) f 1. En conclusión, en un tubo cerrado en un extremo, las frecuencias de oscilación naturales forman una serie armónica que incluye sólo múltiplos enteros impares de la frecuencia fundamental. (10) 4

5 2 - Velocidad del velocidad del sonido en el aire y el tubo de Quincke. La velocidad del sonido fue medida al aire libre por primera vez por miembros de la Academia de París en 1738 eliminando el efecto de la velocidad del viento mediante un método de observaciones recíprocas: cañones distantes 27 Km entre sí disparaban alternativamente a intervalos regulares de media hora y los intervalos entre el fuego y el registro sonoro eran anotados por observadores en cada línea de fuego. La reducción de las observaciones por efecto de la humedad dio un valor de 332 m/s a 0 ºC. Este método fue perfeccionado en experimentos sucesivos (1822, Bureau des Longitudes; 1864, Regnault). Observaciones de la velocidad del sonido a bajas temperaturas (entre -38 ºC y +2 ºC) fueron hechas en la Expedición Artica de Parry alrededor de 1825, dando 331 m/s a 0 ºC y un aumento con la temperatura de alrededor 0.55 m/s por grado centígrado [2]. Otros métodos dieron resultados similares [3]. Desde entonces, la mayoría de las determinaciones de la velocidad del sonido en aire u otros gases han sido hechas con el gas encerrado en tubos. En estas condiciones es posible estudiar las variaciones de los factores que influyen en la velocidad, tales como temperatura, densidad, presión, humedad y composición [4]. Estas observaciones experimentales pueden dividirse en dos clases: - A partir de la medida directa del tiempo que tarda un pulso sonoro para atravesar una dada longitud de tubo. - El gas contenido en el tubo es llevado a una vibración resonante y la velocidad queda determinada a partir de observaciones de la longitud de onda y la frecuencia. Los tubos resonantes de Kundt y Quincke pertenecen a esta última clase. El Tubo Resonante de Quincke es un tubo cerrado en un extremo, donde la longitud del tubo con aire puede ajustarse con un fondo móvil. La configuración que se usa consiste de un tubo vertical con una entrada para agua en la parte inferior a través de una manguera conectada a un recipiente con agua, de altura regulable. El nivel de líquido en la columna actúa como émbolo o fondo móvil. Un dispositivo típico se muestra en la fotografía. Si se coloca un diapasón excitado a una frecuencia constante conocida frente al extremo abierto y luego se cambia la longitud del tubo de aire (subiendo o bajando el recipiente con agua), para ciertas longitudes de este tubo se escucha un zumbido proveniente de la columna de aire. Esto significa que, a esta longitud del tubo, el diapasón actúa sobre la columna de aire excitando una frecuencia propia y el sistema formado por el diapasón y la columna de aire está en resonancia. La longitud del tubo con aire, cuando tiene lugar la resonancia, depende de las condiciones de contorno (esto es, que los extremos del tubo estén abiertos o cerrados). En el caso del tubo de Quincke, éstas determinan que un nodo y un antinodo de la onda de presión (manométrica) están ubicados en los extremos abierto y cerrado del tubo, respectivamente. En efecto, en el extremo abierto el aire del tubo está en contacto con el aire exterior, que está a la presión atmosférica o presión manométrica nula y este extremo es un nodo de la onda de presión. La superficie del agua (extremo cerrado) es un antinodo. 5

6 Figura 1: a) Esquema del tubo de resonancia de Quincke. L es la longitud de la columna de aire entre la boca del tubo y el agua. Hay ondas producidas por el diapasón (arriba) que pueden ilustrarse según se representen ondas de presión manométrica (con nodos en la boca del tubo) u ondas de desplazamiento longitudinal del aire (con nodos en la superficie del agua). Las curvas representan una onda de desplazamiento. b) Primeros tres modos normales del sistema que se muestra en a). Finalmente, la foto muestra un conjunto de diapasones del Laboratorio de Enseñanza de Física (LEF) del Departamento de Física con frecuencias comprendidas entre Hz y Hz, que corresponden a las notas DO 4 (DO central del piano) y DO 5, una octava más alta [5]. El experimento tradicional se limita a la búsqueda de la resonancia en el caso n=0 (L=l/4 ), y la columna de aire es excitada con un solo diapasón, generalmente con frecuencia de Hz, correspondiente a la nota musical LA 4 o A 4 en la notación anglosajona. Los valores de la velocidad del sonido calculados en este experimento tradicional con un tubo de cuarto de onda son generalmente menores a los tabulados debido a que la longitud medida en la columna de aire es menor que un cuarto de la longitud de onda del sonido. Como se discute en la referencia 1, esto se debe a que el nodo de la onda estacionaria de presión generada por el diapasón está en realidad más allá del extremo del tubo. El error puede ser reducido sumando una corrección de extremo a la longitud de la columna de aire. Esta corrección de extremo puede ser evitada midiendo la distancia entre las primeras dos resonancias, una media longitud de onda (Figura 1), escuchada cuando el nivel de agua en la columna cae. Aún con un tubo de cuarto de onda hay un procedimiento alternativo que da valores satisfactorios tanto para la velocidad del sonido como para el término de corrección [6]. El tercer método de medida consiste en graficar la longitud medida de la columna de aire resonante, L=l/4λ (n=0), versus la inversa de la frecuencia, f, de varios 6

7 diapasones. Como v = λf = 4L e f, donde L e es la longitud efectiva del tubo cerrado en un extremo, podemos escribir v=4(l+εd)f, donde D el diámetro del tubo y ε es la corrección de extremo que tiene un valor cercano a 0.3). De la gráfica de L versus 1/ f la pendiente de la recta ajustada da la velocidad del sonido y la ordenada al origen, la corrección de extremo. Es importante comentar que la determinación precisa de la corrección de extremo es cuestionable [7]. El argumento es debido a que ésta es extraída de una ordenada al origen que requiere una extrapolación significativa, por lo que no puede ser reproducida con precisión por este método (una explicación alternativa para esta falta de precisión es que la incerteza para ubicar las posiciones de resonancia es casi tan grande como la corrección de extremo que se intenta determinar.) Aunque la intersección de la recta de ajuste con la ordenada sugiere que hay una pequeña corrección, la incertidumbre en el valor es típicamente de alrededor de 50% y a menudo, del 100%. 3 - Las ondas sonoras un fenómeno adiabático o isotérmico? La historia de la ciencia dice que Newton (1687) fue el primero en deducir una expresión para la velocidad del sonido en el aire, pero obtuvo un valor sensiblemente menor (~ 20 %) al que se mide experimentalmente. En su deducción supuso que, cuando una onda se propaga en un gas, las variaciones de presión de un elemento del mismo son directamente proporcionales a las variaciones de su densidad. Laplace (1816) demostró que esta hipótesis supone movimientos isotérmicos del gas y rectificó esta diferencia numérica postulando que los movimientos del fluido son adiabáticos [4]. En realidad, la respuesta a la pregunta de esta sección es que tanto Newton como Laplace tienen razón: el carácter adiabático o isotérmico depende de la frecuencia de la onda sonora, pero a frecuencias audibles (menores que 20 khz) predomina el carácter adiabático [8]. La velocidad del sonido en un gas depende entonces de las propiedades termodinámicas del gas a través del índice adiabático γ=c p /C v. En efecto, por tratarse de un proceso adiabático, la velocidad del sonido es (p 0 presión, ρ 0 densidad) [4]: (12) Usando la ecuación del gas ideal, se explicita su dependencia con la temperatura t (en ºC) y para el aire resulta:, (13) donde se han usado los valores: T 0 = K, γ=1.40, R= J/(K mol) y M=28.95 g/mol. Es evidente entonces que si se dispone de un método experimental apto para medir con precisión la velocidad del sonido en un gas, puede calcularse con ese dato el índice adiabático del mismo. Esta determinación acústica de γ puede compararse con los obtenidos por métodos termodinámicos como el de Clément y Desormes. 7

8 Referencias. Material didáctico preparado para uso interno de la materia Física Experimental II por el Prof. J. L. Alessandrini y modificado por los Prof. L. Errico y J. M. Ramallo López. [1] En sentido estricto, el extremo abierto de una columna de aire no es exactamente un antinodo de desplazamiento. Alcanzar una compresión en el extremo abierto no se refleja hasta que pasa más allá del extremo. A la longitud de la columna de aire para un tubo de sección transversal circular, se debe agregar una corrección terminal aproximadamente igual a 0.6R, donde R es el radio del tubo. Por eso, la longitud efectiva de la columna de aire es un poco mayor que la verdadera longitud L. En esta guía se ignora esta corrección terminal (R.A.Serway, Física, Tomo 1, Mc Graw Hill). [2] Moll, G. On Captain Parry s and Lieutenant Foster s Experiments on the Velocity of Sound, Phil. Trans. R. Soc. Lond. (1928), 118, [3] Un método interesante fue usado por J. Bosscha (Pogg. Ann., (1854), 92, 485) que determinó la velocidad del sonido por el método de las coincidencias: el sonido (un golpe seco) era transmitido, a intervalos regulares perfectamente conocidos, simultáneamente desde dos puntos separados por una distancia conocida. Cuando las fuentes estaban cercanas, los sonidos se escuchaban juntos pero cuando una fuente se alejaba, los golpes quedaban separados por un intervalo que al principio aumentaba y después disminuía hasta que nuevamente coincidían. Aumentando continuamente la distancia se observaba que las coincidencias se repetían a iguales intervalos de distancia. Si N es el número de señales por segundo y d es la distancia media entre los puntos de coincidencia, la velocidad será Nd. El método fue posteriormente simplificado usando una fuente y su imagen reflejada en una pared. [4] A. B. Wood, A Textbook of Sound, 3rd. Ed., G.Bell and Sons Ltd, London, [5] El intervalo de una octava se divide en 12 subintervalos llamados semitonos. La frecuencia de cada semitono se obtiene del precedente multiplicando su frecuencia por el factor : 2 1/12 (= ) como se verifica en la Tabla. [6] LoPresto, M. Measuring end correction for a quarter-wave tube, Phys. Teach. 43, 380 (2005). [7] Easton, D. Speed of Sound in Air, Phys. Teach. 43, 567 (Dec. 2005). [8] Wu, J. Are sound waves isothermal or adiabatic? Am. J. Phys. 58 (7), (1990). 8