CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

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1 CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Tema : PRUEBA DE HIPÓTESIS Semana: 13 Instrucciones: Lea cuidadosamente cada problema y responda en forma ordenada, clara y precisa. A. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA CON MUESTRAS PEQUEÑAS: Ejemplo: El gerente de laboratorio de la empresa Pollancos S.A. quiere determinar si un cierto somnífero aumenta las horas de sueño en las personas. Para este fin, selecciona una muestra aleatoria de 10 pacientes y registra el número de horas de sueño ganadas al aplicar el somnífero a cada paciente; los resultados fueron los siguientes: Paciente Horas Ganadas Suponiendo que la horas de sueño ganadas con el somnífero de cada paciente es una variable aleatoria con distribución normal, al nivel del 1% hay prueba de que el somnífero aumenta las horas de sueño? Solución 1. Horas de sueño ganadas en un grupo de pacientes. 2. H o : = 0 (el somnífero no aumenta las horas de sueño) 3. H 1 : > 0 (el somnífero aumenta las horas de sueño) 4. El nivel de significancia: = Estadístico de prueba: T 6. Regla de decisión: rechazar Ho si T > t,n-1 o p-value < Los datos en Excel: (sólo vertical) Paciente Horas ganadas Departamento De Ciencias Cajamarca/ CICLO Facultad De Ingeniería

2 Seleccionar si hay datos de la Seleccionar el rango de datos Finalmente OK Escribir el valor de Ho: = 0 Indicar prueba T si n es pequeña y desconocida. Escribir el nivel de confianza dado. Seleccionar la H 1 : Greather than: > o Not equal: Less than: < o 7. Decisión: Como p-value > ; ( > 0.01), entonces no se rechaza H y se concluye con un nivel de significancia del 1% que no existe suficiente evidencia estadística de que el somnífero aumenta horas de sueño. B. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA CON MUESTRAS GRANDES Ejemplo: Un distribuidor de cosméticos ha conseguido cobrar sus cuentas pendientes en un plazo medio de 22 días durante el año pasado. Este promedio se considera un estándar para medir la eficiencia del departamento de crédito y cobranzas. Sin embargo, durante el mes en curso, un chequeo aleatorio de 81 cuentas dio como resultado un promedio de 24 días, con una desviación estándar de 9 días. Es este resultado significativamente diferente del estándar al nivel de 3%? Solución: 1. El tiempo para cobrar las cuentas por el distribuidor de cosméticos. 2. H o : = 22 (el cobro de cuentas se realiza en el tiempo estándar) 3. H 1 : 22 (el cobro de cuentas no se realiza en el tiempo estándar) 4. El nivel de significancia: = Estadístico de prueba: Z 6. Regla de decisión: rechazar H o si Z > Z /2 o p-value < Los datos en Excel: (sólo vertical) Departamento De Ciencias Cajamarca/ CICLO Facultad De Ingeniería

3 Seleccionar las estadísticas Seleccionar el rango de datos Finalmente OK Escribir el valor de Ho: = 22 Indicar prueba Z si n es grande y conocida. Escribir el nivel de confianza dado. Seleccionar la H 1 : Greather than: > o Not equal: Less than: < o 7. Decisión: Como p-value > /2; ( > 0.015), entonces no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 3% que no existe suficiente evidencia estadística para creer que el cobro de cuentas se realiza en tiempo diferente al estándar. C. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN Ejemplo: El consumidor de cierto tipo de producto acuso al fabricante, diciendo que más de 20% de las unidades que fabrica son defectuosos. Para confirmar su acusación, el consumidor uso una muestra aleatoria de tamaño 50, donde 27% de las unidades eran defectuosos. Qué conclusión puede extraer usted? Use un nivel de confianza del 10% Solución: 1. Unidades defectuosas. 2. H o : p 0.20 (la producción defectuosa es inferior al 20%) 3. H 1 : p la producción defectuosa es más de 20%) 4. El nivel de significancia: = Estadístico de prueba: Z 6. Regla de decisión: rechazar H o si Z > Z o p-value < En Excel: Departamento De Ciencias Cajamarca/ CICLO Facultad De Ingeniería

4 Escribir el valor de la muestra: proporción Escribir el valor H o : p = 0.2 Escribir la muestra: n Finalmente OK Escribir el nivel de confianza dado. Seleccionar la H 1 : Greather than: > o Not equal: Less than: < o 7. Decisión: Como p-value > ; ( > 0.10), entonces no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 10% que no existe suficiente evidencia estadística para creer que la muestra no da evidencia para apoyar al consumidor. Departamento De Ciencias Cajamarca/ CICLO Facultad De Ingeniería

5 EJERCICIOS 1. Un empresario está considerando la posibilidad de ampliar su negocio mediante la adquisición de un pequeño bar. El dueño actual del bar afirma que el ingreso diario del establecimiento sigue una distribución normal de media 675 soles y una desviación estándar de 75 soles. Para comprobar si decía la verdad, tomó una muestra de treinta días y ésta reveló un ingreso diario promedio de 625 soles. Utilizando un nivel de significación del 1%. Hay evidencia de que el ingreso diario promedio sea menor del que afirma el presente dueño? 2. Una empresa de publicidad desea comprobar su un determinado programa de televisión es visto por el 30% de la audiencia potencial. Para ello se escoge al azar una muestra de 200 familias resultando que de ellas 50 lo ven asiduamente. Contrastar la hipótesis con un nivel de significancia del 5%. 3. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está distribuida aproximadamente en forma normal con media de 800 horas y una desviación estándar de 40. Pruebe la hipótesis de que = 800 horas si una muestra aleatoria de 300 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una máquina despachadora automática tiene un contenido promedio de 21.9 decilitros, con una desviación estándar de 1.42 decilitros. Pruebe la hipótesis de que = 22.2 en contraposición a la hipótesis alternativa, < 22.2, en el nivel de significancia de En un informe de investigación de Richard H. Weindruch de la Escuela de Medicina de la UCLA, se afirma que ratones con una firma promedio de 32 meses llegaran hasta casi 40 cuando un 40% de las calorías en su alimentación se reemplacen con vitaminas y proteínas. Hay alguna razón para creer que < 40, si 64 ratones que se han sujetado a esa dieta tienen una vida promedio de 38 meses con una desviación estándar de 5.8 meses? Utilice un nivel de significancia de La altura promedio de las mujeres en el grupo de primer año de una institución de enseñanza superior es de centímetros con una desviación estándar poblacional de 6.9 centímetros. Hay alguna razón para creer que existe un cambio en la altura promedio si una muestra aleatoria de 50 mujeres del grupo actual tiene una altura promedio de centímetros? Utilice un nivel de significancia del 5%. 7. Se afirma que un automóvil recorre un promedio anual de más de kilómetros. Para probar esta información, se le solicita a una muestra aleatoria de 90 propietarios de automóvil que lleve un registro de los kilómetros que recorren. Estaría usted de acuerdo con esta información si en la muestra aleatoria resulta un promedio de kilómetros y una desviación estándar de kilómetros? Utilice un nivel de significancia del 1%. 8. El Edison Electric Institute ha publicado cifras acerca de las horas anuales de uso de varios aparatos para el hogar. Afirma que un computador de basura se usa un promedio de 125 horas al año. Si una muestra aleatoria de 49 hogares equipados con compactadores de basura indica un uso promedio anual de horas con una desviación estándar de 8.4 horas, sugiere esto que estos aparatos se utilizan en promedio más de 125 horas al año? Utilice un nivel de significancia de Departamento De Ciencias Cajamarca/ CICLO Facultad De Ingeniería

6 9. Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio en recipientes de un lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 recipientes son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de De acuerdo con el Dietary Goals for the Unites States (Metas Dietéticas para Estados Unidos; 2010), la alta ingestión de sodio puede provocar úlceras, cáncer estomacal y migraña (dolores de cabeza). El requerimiento humano de sal es de sólo 200 miligramos por día, el cual es sobrepasado en la mayoría de las porciones de cereales listos para comerse. Si una muestra aleatoria de 20 porciones similares de Special K tiene un contenido promedio de sodio de 244 miligramos y una desviación estándar de 24.4 miligramos. Sugiere esto, en el nivel de significancia de 0.05, que el contenido promedio de sodio en platillos de Special K es mayor que 200 miligramos? 11. El año pasado, los empleados del Departamento de Sanidad de una ciudad donaron un promedio de $10.00 a la patrulla de voluntarios de rescate. Pruebe la hipótesis, en el nivel de significancia de 0.01, de que la contribución promedio este año es aún de $10.00 dólares si una muestra aleatoria de 12 empleados indicó una donación promedio de $10.90 con una desviación estándar de $ Por experiencias pasadas se ha encontrado que el tiempo para que realicen un examen los estudiantes del último año escolar es una variable aleatoria normal con una media de 35 minutos y una desviación estándar de 4.3 minutos. Si a una muestra aleatoria de 20 estudiantes del último año le tomó un promedio de 33.1 minutos realizar este examen, pruebe la hipótesis en el nivel de significancia de que = 35 minutos en contraposición a la alternativa de que < 35 minutos. 13. Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos favorecía la pena capital. Se tiene alguna razón para creer que la proporción de adultos que favorece la pena capital hoy en día ha aumentado, si en una muestra aleatoria de 15 adultos, 8 la favorecen? Utilice un nivel de significación de Una compañía productora de combustible asegura que una quinta parte de los hogares en una cierta ciudad se calienta con petróleo. Se tiene alguna razón para dudar de esta afirmación, si en una muestra aleatoria de 1000 hogares en esta ciudad, se encuentra que 236 se calientan con petróleo? Utilice un nivel de significación de En un colegio se estima que cuando mucho 25% de los estudiantes se traslada a clases en bicicleta. Parecería esta ser una estimación válida, si en una muestra de 90 estudiantes, se encuentra que 28 utilizan este transporte? Utilice un nivel de significación de En un experimento controlado de laboratorio, científicos de la Universidad de Minnesota descubrieron que 25% de una camada de ratas sujetas a una dieta de 20% de grano de café desarrollaron tumores cancerosos. Se tendría alguna razón para creer que la proporción de ratas que desarrollan tumores de este tipo cuando se sujetan a una dieta así se ha incrementado si el experimento se repitiera y 16 de 48 ratas desarrollaran tumores? Utilice un nivel de significación de Departamento De Ciencias Cajamarca/ CICLO Facultad De Ingeniería