PRUEBAS DE HIPOTESIS PROFESORA: LUZ ADRIANA PEREIRA HOYOS

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1 PRUEBAS DE HIPOTESIS PROFESORA: LUZ ADRIANA PEREIRA HOYOS

2 ANALOGIA EN UN JUICIO EL PROBLEMA Una Persona es llevada a juicio...en el sistema legal de JUSTICIA, una persona es inocente hasta que se prueba su culpabilidad. LA HIPOTESIS Es llevada a causa de la formulación de una hipótesis de investigación, la cual lo vincula en los hechos del crimen TODA PERSONA ES INOCENTE HASTA QUE SE DEMUESTRE LO CONTRARIO LA MUESTRA : LA EVIDENCIA El fiscal y la defensa, exponen sus pruebas Un jurado plantea como hipótesis que una persona a la que se le imputa un crimen es inocente, y someten esta hipótesis a verificación, para lo cual revisan la evidencia y escuchan el testimonio antes de llegar a un veredicto

3 ANALOGIA EN UN JUICIO LA DECISIÓN : ACEPTAR O RECHAZAR LA HIPOTESIS El JUEZ dicta su veredicto de acuerdo con las evidencias presentadas por el fiscal y la defensa: LA PERSONA ES DECLARADA INOCENTE, LOS HECHOS EXPUESTOS NO PRESENTAN SUFICIENTE EVIDENCIA COMO PARA DECIR QUE LA PERSONA ES CULPABLE ERROR TIPO I EL JUEZ, dictamina culpabilidad, cuando en realidad la PERSONA ES INOCENTE. ERROR TIPO II EL JUEZ, dictamina inocencia, cuando en realidad la PERSONA ES CULPABLE.

4 La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con absoluta certidumbre, a menos que se examine toda la población. En la práctica, tomamos una muestra aleatoria de la población de interés, y la utilizamos para proporcionar evidencia que apoye o no la hipótesis. La evidencia de la muestra que sea inconsistente con la hipótesis que se establece conduce al rechazo de ésta.

5 Qué es una hipótesis? Es una afirmación acerca de un parámetro de la población. Se utilizan los datos para verificar qué tan razonable es una afirmación. Ejemplo: La población ubicada en la periferia del relleno sanitario de Navarro aumenta el riesgo de contraer enfermedades respiratorias. La comisión mensual media de las comisiones de los vendedores de tiendas al menudeo de aparatos electrónicos, como Circuit City, es de $ 000.

6 Qué es una prueba de hipótesis? Procedimiento que se basa en la evidencia de las muestras. Usa la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es un enunciado razonable.

7 Suponga que en un proceso de producción se postula la hipótesis que la fracción p de defectuosos en cierto proceso es 0.0. El experimento es la observación de una muestra aleatoria del producto en cuestión. Suponga que se prueban 00 artículos y se encuentran defectuosos. Es razonable concluir que esta evidencia no rechaza la condición p=0:0, y por ello puede conducir a la aceptación de la hipótesis? Y si fuera con p=0.5

8 Por ejemplo, en nuestra hipótesis de la proporción de defectuosos, una muestra de 00 que revela 0 artículos defectuosos es ciertamente evidencia de rechazo. Por qué? si, en realidad, p = 0.0, y si X representa el número de defectuosos observado en la muestra aleatoria, entonces: P( X 0 p 0.0) 00 x0 00 (0.0) x x ( 0.0) nx 0.00 Es decir, con el pequeño riesgo resultante de una conclusión errónea, parecería seguro rechazar la hipótesis de que p = 0.0.

9 Una Problemática Suponga que le han llamado a Usted para dar soporte económico a un proyecto que busca medir el riesgo de contraer enfermedades respiratorias de la población que vive cerca al relleno sanitario de Navarro y la Secretaría de Salud municipal adelanta proyectos para atender a la población vulnerable de la ciudad.

10 Cinco pasos para probar una hipótesis Paso Establecer las H 0 y H

11 Cinco pasos para probar una hipótesis Paso. Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula incluye el término NO, que significa no hay cambio Ejemplo: Ho: No hay aumento en riesgo de contraer enfermedades respiratorias para la población debido al asentamiento en la periferia del relleno sanitario de Navarro. H : Hay aumento en riesgo de contraer enfermedades respiratorias para la población debido al asentamiento en la periferia del relleno sanitario de Navarro. La hipótesis nula se designa por H 0 y se lee H subíndice cero La hipótesis alterna se designa por H y se lee H subíndice uno. Es la hipótesis de investigación.

12 Paso. plantear hipótesis Ejemplo: La secretaria de salud municipal de Cali, ha registrado para el año 0 los casos que corresponden a enfermedades respiratorias (ERA), atendidos por los centros de salud. Se ha seleccionado una muestra de 0 registros, de todas las personas que acudieron para ser atendidas a un centro de salud y cuando llenaron la información primaria, dijeron que su vivienda se localizaba en la periferia del Relleno Sanitario. La hipótesis de investigación se centra en probar que hay aumento en riesgo de contraer enfermedades respiratorias para la población debido al asentamiento en la periferia del relleno sanitario de Navarro.

13 Paso. plantear hipótesis Planteamiento de Hipótesis: Ho: No hay aumento en riesgo de contraer enfermedades respiratorias para la población debido al asentamiento en la periferia del relleno sanitario de Navarro Ho: p = 0.50 H : Hay aumento en riesgo de contraer enfermedades respiratorias para la población debido al asentamiento en la periferia del relleno sanitario de Navarro. H : p > 0.50 La H 0 siempre contendrá el signo igual (=). La hipótesis nula es la declaración que se prueba y es necesario incluir un valor específico.

14 Cinco pasos para probar una hipótesis Paso Establecer las H 0 y H Paso Seleccionar el Nivel de Significancia ()

15 Cinco pasos para probar una hipótesis Paso. Seleccionar un nivel de significancia. El nivel de significancia () es la probabilidad de rechazar la Hipótesis nula cuando es verdadera. El nivel de significancia también se conoce como nivel de riesgo. Es el riesgo que se asume al rechazar la H 0 cuando en realidad es verdadera. (Error Tipo I) Comúnmente se utilizan niveles de significancia del 5% o 0.05, del 0% o 0.0. En general este nivel lo define el investigador de acuerdo a factores relacionados con los recursos disponibles para el estudio.

16 Paso. Seleccionar un nivel de significancia Ejemplo: Suponga que vivir en la periferia del relleno sanitario de Navarro, no incrementa el riesgo de contraer enfermedades respiratorias, pero se observa que 7 de los 0 casos en estudio presentaron un cuadro clínico de ERA, lo que equivale al 85% de los casos. Se cometería en este caso un error: error tipo I Rechazar la H 0 cuando en realidad es verdadera

17 Paso. Seleccionar un nivel de significancia Ejemplo: Suponga que vivir en la periferia del relleno sanitario de Navarro, si incrementa el riesgo de contraer enfermedades respiratorias, pero se observa que 8 de los 0 casos en estudio presentaron un cuadro clínico de ERA, lo que equivale al 40% de los casos. Se cometería en este caso un error: error tipo II No Rechazar la H 0 cuando en realidad es falsa

18 Error tipo I y Error tipo II Investigador Acepta H 0 Rechaza H 0 H 0 es cierta decisión correcta Error tipo I H 0 es falsa Error tipo II decisión correcta El incremento en el tamaño de muestra disminuye el Error tipo I y Error tipo II

19 Cinco pasos para probar una hipótesis Paso Establecer las H 0 y H Paso Seleccionar el Nivel de Significancia () Paso 3 Identificar la estadística de prueba

20 Paso 3. Calculo del estadístico de prueba Valor que se calcula con base en la información de la muestra Son las pruebas a considerar en el juicio. Estadísticas de prueba: z, t, F, x Para el ejemplo, si : ˆ 0.75 p z c pˆ P ( P*( P)) n (0.50*0.50) 0.4 UNIVERSIDAD DEL VALLE ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y ESTADÍSTICA

21 Cinco pasos para probar una hipótesis Paso Establecer las H 0 y H Paso Seleccionar el Nivel de Significancia () Paso 3 Identificar la estadística de prueba Paso 4 Formular la regla de decisión

22 Paso 4. Formular la regla de decisión Regla de decisión: afirmación de las condiciones bajo las cuales se rechaza la Hipótesis nula y bajo las cuales no se rechaza.

23 Densidad Paso 4. Formular la regla de decisión Valor critico z Región de rechazo Región de No Rechazo H 0 H Z

24 Paso 4. Formular la regla de decisión Valor crítico: punto de división entre la región en que se rechaza la H 0 y la región en la que no se rechaza. z

25 Paso 4. Formular la regla de decisión Región de No Rechazo H 0 Región de rechazo H 0 Valor critico z

26 Cinco pasos para probar una hipótesis Paso Establecer las H 0 y H Paso Seleccionar el Nivel de Significancia () Rechazar H 0 No Rechazar H 0 Paso 3 Identificar la estadística de prueba Paso 4 Formular la regla de decisión Paso 5 Tomar una muestra, llegar a una conclusión

27 Paso 5.Tomar una muestra y llegar a una conclusión Región de No Rechazo H 0 Región de rechazo H 0 Valor critico z z c.4

28 Paso 5.Tomar una muestra y llegar a una conclusión La conclusión: Como z c =.4 cae en la región de rechazo, entonces decimos que la muestra presenta evidencia suficiente para rechazar la H 0. dado lo observado en la muestra a un nivel de significancia del 5%, existe evidencia suficiente para decir que hay aumento en el riesgo de contraer enfermedades respiratorias para la población asentada en la periferia del relleno sanitario de Navarro

29 EL VALOR P DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Valor P: es la probabilidad de observar un valor de la estadística de prueba tan extremo como el observado, dado que la Hipótesis nula es verdadera. p( z.4 cuando P 0.50) 0,05 valor p 0.05

30 EL VALOR P DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Valor P: es la probabilidad de observar un valor de la estadística de prueba tan extremo como el observado, dado que la Hipótesis nula es verdadera. p( z.4 cuando P 0.50) valor p ,05 Como el valor p es menor a el nivel de significancia se rechaza la H 0

31 Densidad Densidad PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA DE UNA COLA Y DE DOS COLAS Pruebas de hipótesis de una cola o unilateral.. Prueba de cola derecha H 0 : 0 0 H :. Prueba de cola izquierda Z H 0 : 0 0 H : Z

32 PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA DE UNA COLA Y DE DOS COLAS Densidad Pruebas de hipótesis de dos colas o bilateral H H 0 : : Z

33 PRUEBAS DE HIPOTESIS RELACIONADAS CON LA MEDIA Caso. Muestras grandes, varianza conocida. Paso. Plantear Hipótesis : : H H : : H H : : H H

34 PRUEBAS DE HIPOTESIS RELACIONADAS CON LA MEDIA Paso. Seleccionar un nivel de significancia ó cualquier número de Paso 3. Cálculo de la estadística de prueba x z 0 n

35 PRUEBAS DE HIPOTESIS RELACIONADAS CON LA MEDIA Paso 4.Formular regla de decisión Caso. H H 0 : : 0 0 rechazar H si zc 0 z Caso. H H 0 : : 0 0 rechazar H 0 si z c z

36 PRUEBAS DE HIPOTESIS RELACIONADAS CON LA MEDIA Paso 4.Formular regla de decisión Caso 3. H H 0 : : 0 0 rechazar H 0 si z c z ó z c z Paso 5. Tomar una muestra y llegar a una conclusión.

37 PRUEBAS DE HIPOTESIS RELACIONADAS CON LA MEDIA Ejemplo: una muestra aleatoria de 00 muertes registradas en Cali, durante el año pasado mostró una vida promedio de 67.5 años. Suponiendo una desviación estándar poblacional de 5.6 años. esto parece indicar que la vida promedio hoy en día es mayor de 60 años? Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%.

38 Solución ejemplo Paso. planteamiento de hipótesis H H 0 : 60 : 60 Paso. seleccionar un nivel de significancia 0.05

39 Solución ejemplo Paso 3. Cálculo del estadístico de prueba z x n

40 Solución ejemplo Paso 3. Cálculo del estadístico de prueba z x n Paso 4. Formular regla de decisión rechazar H 0 si.05 z 0 z z.64 c z

41 Solución ejemplo Paso 5.Tomar una conclusión. dictamen: como 3.39 es mayor que.64 se concluye que la muestra presenta suficiente evidencia para rechazar la Hipotesis nula, es decir que la vida promedio hoy en día es mayor a 60 años. P( z 3.39) 0

42 Densidad Solución ejemplo Gráficamente: z c 3.39 Región de rechazo H Z z

43 Sobre el Error tipo I Suponga que el peso promedio de los estudiantes hombres en la universidad podría ser realmente 68 kilogramos, y para una muestra aleatoria específica de hombres, se obtiene que x 67 o x 69 En este caso, cometeríamos un error al rechazar Ho cuando, de hecho, Ho es verdadera. Tal error se llama error tipo I.

44 Calcule el Error tipo I P( x 67 68) P( x 69 68) Suponga: n 36 y 3.6 De esta manera, 9.5% de todas las muestras de tamaño 36 nos conducirían a rechazar 68 kilogramos cuando, de hecho, ésta es verdadera.

45 Para reducir el Error tipo I, tenemos que elegir entre, aumentar el tamaño de muestra, o ampliar la región de aceptación. Realice el cálculo del Error tipo II ahora considerando un tamaño de muestra con n=00 La reducción del Error tipo I no es suficiente por sí misma para garantizar un buen procedimiento de prueba, es importante considerar el Error tipo II

46 Sobre el Error tipo II Una segunda clase de error se comete si para una muestra aleatoria específica de hombres, se obtiene que 67 x 69 y concluimos que el peso promedio de los estudiantes hombres en la universidad podría ser realmente 68 kilogramos, cuando en realidad es diferente de 68 kilogramos. En este caso aceptamos Ho cuando de hecho es falsa. Éste error se llama error tipo II.

47 La probabilidad de cometer un error tipo I, también llamada nivel de significancia, se denota con la letra griega. Algunas veces, también es llamada tamaño de la prueba. La probabilidad de cometer un error tipo II, se denota con

48 Debemos evaluar ejemplo, para para varias hipótesis alternativas. Por 66 y 70 Sin embargo por la simetría de la distribución normal sólo se considera la probabilidad de no rechazar la hipótesis H0 : 68 cuando H es verdadera. Ya que 70

49 Calcule P( 67 x 69 70) La probabilidad de cometer un error tipo II aumenta rápidamente cuando el valor real de se aproxima al valor hipotético, pero no es igual a este. Desde luego, por lo general, ésta es la situación en que no nos importa cometer un error tipo II.

50 Conclusiones Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Por lo general, una disminución en la probabilidad de uno tiene como resultado un incremento en la probabilidad del otro. El tamaño de la región crítica y, por lo tanto, la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el(los) valor(es) crítico(s). Un aumento en el tamaño muestral n reducirá el Error tipo I y II de forma simultánea.

51 Conclusiones Si la hipótesis nula es falsa, el error tipo II es un máximo cuando el valor real de un parámetro se aproxima al valor hipotético. Cuanto más grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipotético, el error tipo II será menor.

52 La Potencia de la Prueba La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar Ho dado que una alternativa específica es verdadera. Se define como: para producir una potencia deseable, se debe: Aumentar el error tipo I Aumentar el tamaño de muestra

53 No siempre un GRAN tamaño de muestra es bueno Tomado de: Un fabricante de clips para papel desea detectar cambios significativos en la longitud de los clips. El fabricante toma una muestra de miles de clips porque es algo fácil y barato de hacer. Pero esta enorme muestra hace que la prueba sea demasiado sensible: la línea roja muestra que la prueba advierte sobre un cambio, incluso si la longitud promedio difiere por una cantidad trivial (0.05). Esta curva de potencia muestra que el fabricante está desperdiciando recursos en una precisión excesiva. Un tamaño de muestra de sólo 00 detectará diferencias significativas (0.5) sin generar una falsa alarma en cada cambio sin importancia.

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55 Ejercicio Por experiencias pasadas se ha encontrado que el tiempo para que realicen los estudiantes un examen los estudiantes del último año escolar es una variable aleatoria normal con una media de 35 minutos. Si una muestra aleatoria de 0 estudiantes del último año le tomó un promedio de 33. minutos realizar este examen con una desviación estándar de 4.3 minutos, pruebe la hipótesis que los estudiantes se toman menos de 35 minutos en realizar el examen a un nivel de significancia del 5%.

56 Relación entre prueba de hipótesis e intervalo de confianza Intervalo de confianza implica el cálculo de límites razonables para el parámetro en cuestión. Resulta entonces que la prueba a un nivel de significancia 5%. H : 0 0 H : 0 es equivalente a calcular un intervalo de confianza de ( ) de y rechazar H 0 si no está dentro del intervalo. 0

57 Relación entre prueba de hipótesis e intervalo de confianza La equivalencia: No rechazar una hipótesis significancia implica que: z Lo que es equivalente a: H 0 x 0 z n a un nivel de x z n 0 x z n

58 Estadísticos de prueba y sus distribuciones Caso Comparación contra un valor objetivo H 0 H Supuestos Estadístico de Prueba Distribución Varianza conocida Varianza desconocida X Z 0 n X 0 T S n Z t( n) P P 0 P P 0 P P 0 Muestras grandes (n>30) Z P P 0 P0( P0 ) n Z P P X ( n ) 0 S ( n) Fuente: Notas de clase,profesor Felipe Barrientos, UNIVALLE, Introducción a Los Métodos Estadísticos

59 Estadísticos de prueba y sus distribuciones Caso Comparación de poblaciones H 0 H Supuestos Estadístico de Prueba Distribución 0 d d d d Varianzas conocidas Varianzas desconocidas T S p ( x Z ( x ( n x) ( ) x S p n n ) ( ) n n )* S ( n )* S n n t Z ( n n ) P P d P P d P d P d P P Tamaño de muestra grande Z pˆ pˆ P P P ( P ) P ( P ) n n Z Normalidad F S S F( n, n ) Fuente: Notas de clase,profesor Felipe Barrientos, UNIVALLE, Introducción a Los Métodos Estadísticos

60 Ejemplo En un proyecto desarrollado por CVC, dirigido a evaluar la calidad de la fuente del agua que posee el Río Jamundí y el Río Cali, en cierta temporada del año. Para esto se mide uno de los criterios que se consideran indispensables. Suponga que se desea probar a un nivel de significancia del 5%, que la cantidad media del OXIGENO DISUELTO (OD) en el río Jamundí supera la cantidad media de OD en el río Cali. Suponga que la variable aleatoria OD proviene de una población normal y que el investigador cuenta con la siguiente información:

61 Ejemplo Rio Cali Rio Jamundí x 3. s. 3 n 3 s x n 38

62 Ejemplo Paso. plantear hipótesis H H 0 : : 0 0 la cantidad media de OD en el río cali la cantidad media de OD en el río Jamundí

63 Ejemplo Paso. seleccionar nivel de significancia 0.05 Paso 3.Cálculo de la estadística de prueba t c (3. 3.5) 0 (.3) 3 (.3) 38 ~ t( v) t c = T 0.05; v=68 = -.67

64 Ejemplo Paso 4. formular regla de decisión. rechazar H si tc 0 t ; v t0.05;68.67 t Paso 5. Tomar una decisión dictamen: como es mayor que -.67 se concluye que la muestra no presenta suficiente evidencia para rechazar la Hipótesis nula : la cantidad media de OD en el río Jamundí es igual a la cantidad de OD en el río Cali.

65 Ejemplo Conclusión a partir del intervalo de confianza de ( ) 0.95, para la cantidad de OD.3; % El intervalo contiene el CERO!!! El intervalo sugiere con un 95% de confianza que las diferencias entre las cantidades medias de OD de los dos ríos en estudio NO son significativamente diferentes de cero.

66 Ejemplo. Una muestra aleatoria de 50 donaciones recientes de cierto banco de sangre, revela que 8 eran sangre tipo A. sugiere esto que el porcentaje real de donadores tipo A difiere de 40%, el porcentaje de la población tipo A? Pruebe esta hipótesis a un nivel de significación de 0.0. Habrá sido distinta la conclusión si se hubiera usado un nivel de significación del 0.05?

67 Ejemplo 3. Se sabe que el contenido de nicotina de una marca de cigarrillos tiene una distribución aproximadamente normal con una varianza de.3 miligramos. Pruebe la hipótesis de la varianza en miligramos de nicotina que se reporta para los cigarrillos de esta marca es cierta, si se observó una muestra aleatoria de 8 cigarrillos y presentaron una desviación estándar de.8. utilice un nivel de significancia de 0.05

68 Ejemplo 4. Se desea comparar la variabilidad de la producción en toneladas, obtenida a partir de dos tipos de caña de azúcar sembrados en varias hectáreas, para comprobar si es más efectivo el tipo I en comparación con el tipo II. Los datos recolectados de muestras de cada tipo son: Tipo I: Tipo II: s,745 ; n 6 s,45 ; n 4 Suponer normalidad y nivel de significación del 5%

69 Ejemplo 5. Se desea comparar la actividad motora espontánea de un grupo de 5 ratas control y de otro de 36 ratas desnutridas. Se midió el número de veces que pasaban delante de una célula fotoeléctrica durante 4 horas. Los datos obtenidos fueron los siguientes: Ratas de control n 5 x 869, 8 s.859, 6 Ratas desnutridas n 36 x 465 s 4.98, 653 Se observan diferencias significativas entre el grupo control y el grupo desnutrido?

70 Ejemplo 6. El peso medio de una muestra aleatoria de 8 personas de una determinada población es de 63,6 kg. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 6 kg. Con un nivel de significación del 0,05, hay suficientes evidencias para rechazar la afirmación de que el peso medio poblacional es de 65 kg?

71 Ejemplo 7 La agencia para la protección del medio ambiente de Estados Unidos reunió datos de mediciones de LC50 (Concentraciones que matan el 50% de los animales de experimentación) de ciertos productos químicos que posiblemente se encuentran en ríos y lagos de agua dulce. Las muestras fueros tomadas en dos estados diferentes haciendo mediciones de LC50 (en partes por millón) y los datos se presentan a continuación: Estado : 6, 5,, 9, 0, 5, 8,, 7,, 4 y 9. Estado :, 7,, 4, 3, 3, 7, 4, 3,, 5, 7,, 8, 6, 3, 4, 4, 9 y 9.

72 Ejemplo 7. a. Construya intervalos de confianza al 95% para el verdadero valor de la diferencia de medias. b. Para que nivel de confianza fue construido el intervalo (5.3, 7.6) para el verdadero valor de la media poblacional en el estado?. c. Un investigador afirma que con una confianza del 7% el verdadero valor de la media en el estado está entre 5.38 y 6.9. Que le diría usted?. d. Pruebe con las siguientes hipótesis: Ho: 8 H: 8 Ho: H: 0 0 Ho: H: 0 0