9 E ESTADÍSTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA SELVA ESTADISTICA NO PARAMETRICA. LIC. GILBERTO A. TREJO TREJO.

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1 20 de Julio 2010 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA SELVA 9 E ESTADISTICA NO PARAMETRICA. Alumnos: Rosa Lilia Pérez Hernández Anabel Jiménez Hernández Jorge Alberto Solis Rizo Emmanuel Espinoza Estrada Carlos Luis Camacho Salinas ESTADÍSTICA LIC. GILBERTO A. TREJO TREJO.

2 Estadística Aplicada. 9 E ESTADISTICA NO PARAMETRICA 1 PRUEBA DEL SIGNO 2 PRUEBA DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON PARA DATOS APAREADOS. 3 PRUEBA DE LA SUMA DE RANGOS DE WILCOXON PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. 4 EJERCICIOS EN CLASES.

3 Estadística Aplicada. 9 E P R U E B A D E L S I G N O o Definición o Diagrama o Ejemplos

4 Estadística Aplicada. 9 E P R U E B A D E L S I G N O Identificar H0. Identificar H1. Valor critico. Región critica. Definición. La prueba del signo es una prueba no paramétrica, que utiliza signos positivos y negativos para probar diferentes aseveraciones. Nivel de Significancia. Datos apareados.

5 Paso 1: Requisitos 1.- Los datos muéstrales se seleccionaron aleatoriamente 2.- No existe el requisito de que los datos muéstrales provengan de una población con una distribución particular, como una distribución normal. Paso 2: Notación Identificar H0. Identificar H1. x = El número de veces que ocurre el signo menos frecuente. n = El número total de signos positivos y negativos combinados.

6 EJEMPLO: El tipo de semilla afecta el crecimiento del maíz? En 1908 William Gosset público el articulo The Probable Error of a Mean bajo el seudónimo de Student (Biometrika, vol 6, núm.1). El incluyo los datos que se listan en la tabla 13.3 para dos tipos diferentes de semillas de maíz (normales y secadas en horno), que se utilizaron en parcelas de tierra adyacentes. Los valores corresponden a las cosechas de cabezas de maíz (o mazorcas), en libras por acre. Utilice la prueba del signo con un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que no hay diferencia entre las cosechas de las semillas normales y las de las semillas secadas en horno. Tabla de Cosechas de maíz de diferentes semillas Normales Secadas en horno

7 Pasos 1: Identificar H0 y H1. Ho: No existe diferencia (la mediana de las diferencias es igual a 0). H1: Existe una diferencia (la mediana de las diferencias no es igual a 0). Paso 2: Identificar El nivel de significancia. α= 0.05.

8 Inicio Asigne signos positivos y negativos y descarte cualquier cero. Normales Secadas en horno Signos de la diferencia Tabla 13-3 Cosechas de maíz de diferentes semillas Permita que n sea igual al número total d n = 11 e signos Permita que x sea igual al número del x = signo menos frecuente. 44 Sí No Sí Los datos muéstrales contradicen sila H1? Es n 25? No No Convierta es estadístico de prueba x al estadístico de prueba. Obtenga el valor critico en = 1 la tabla A-7 Obtenga el valor (o valores) críticos(s) z en la tabla A-2 de la manera habitual El estadístico de prueba es menor que 4 o igual 1 al valor (o valores) critico(s)? No hay suficiente evidencia para sustentar el rechazo de la aseveración No de que la mediana de las diferencias es igual a 0; esto es, no existe suficiente evidencia No para rechace justificar la hipótesis el rechazo nula. de la aseveración de que no existe una diferencia entre las cosechas de las semillas normales y las Sí Rechace la hipótesis nula.

9 Inicio Asigne signos positivos y negativos y descarte cualquier cero. Permita que n sea igual al número total d e signos Permita que x sea igual al número del signo menos frecuente. Sí No Los datos muéstrales contradicen la H1? Es n 25? No Convierta es estadístico de prueba x al estadístico de prueba. Sí Obtenga el valor critico en la tabla A-7 Obtenga el valor (o valores) críticos(s) z en la tabla A-2 de la manera habitual No El estadístico de prueba es menor que o igual al valor (o valores) critico(s)? Sí No rechace la hipótesis nula. Rechace la hipótesis nula.

10 Paso 3: Utilizar la prueba del signo. Tabla 13-3 Cosechas de maíz de diferentes semillas Normales Secadas en horno Signos de la Diferencia diferencia Si Xn > Yn asignar + Si Xn < Yn asignar - Si Xn = Yn se descarta volver

11 Tabla 13-3 Cosechas de maíz de diferentes semillas Normales Secadas en horno Signos de la diferencia Signos negativo : 7 Signos positivos: 4 Numero total de signos: =11 Identificar el valor de x: X= 4 Identificar el valor de n: n= 11 volver

12 volver

13 EJERCICIOS EN CLASE. El Genetics and IVF Institute realizo un ensayo clínico de sus métodos de selección del genero. Los resultados incluían a 325 bebés nacidos de padres que utilizaron el método XSORT para aumentar la probabilidad de concebir una niña y de 295 de esos bebes fueron niñas. Utilice la prueba del signo con un nivel de significancia de 0.05 y pruebe la aseveración de que este método de selección del género no tiene ningún efecto. Ho: p = 0.5 H1: p < Como positivo 30 Como negativo x= n= Rechazo P=0.5 No rechazo P=0.5 Rechazo P=0.5 VER TABLA z=( + 0.5)-( /2) /2 z=-1.96 Datos muéstrales z= z=0 z=1.96 z=±1.96 z= < Estadística Aplicada. 9 E

14 TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL NEGATIVA

15 TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL POSITIVA

16 Estadística Aplicada. 9 E PRUEBA DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON PARA DATOS APAEREADOS o Definición o Ejemplos

17 DEFINICION: La prueba de rangos con signo de Wilcoxon es una prueba no para métrica que utiliza rangos ordenados de datos muéstrales que consisten en datos apareados. Se usa para probar la hipótesis nula de que la población de diferencias tiene una mediana de cero, de manera que las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: La suma de los rangos positivos de las diferencias d que no sean cero. Estadística Aplicada. 9 E H o : Los datos apareados tienen diferencias que provienen de una población con una mediana igual a cero. H 1: Los datos apareados tienen diferencias que provienen de una población con una mediana diferente de cero. NOTACION El procedimiento para calcular la suma de rangos se incluye después de este recuadro T= la más pequeña de las siguientes dos sumas: La suma de los valores absolutos de los rangos negativos de las diferencias d que no sean cero.

18 Estadística Aplicada. 9 E ESTADISTICO DE PRUEBA Si n 30, es estadístico de prueba es T. Si n > 30, el estadístico de prueba es

19 VALORES CRÍTICOS Estadística Aplicada. 9 E Si n 30, el valor critico T se encuentra en la tabla a A-8. Si n > 30, el valor critico se encuentra en la tabla A-2.

20 EJEMPLO: El tipo de semilla afecta el crecimiento del maíz? En 1908 William Gosset publico el articulo The probable Error of a Mean bajo el seudónimo de Student. El incluyo los datos que se listan en la tabla 13-4 para dos tipos diferentes de semilla de maíz. (Normales y secadas en horno), que se utilizaron en parcelas de tierra adyacentes. Los valores corresponden a las cosechas de cabezas de maíz (o mazorcas) en libras por acre. Utilice la prueba de los rangos con signos de Wilcoxon, con un nivel de significancia de 0.05, para probar las aseveraciones de que no hay diferencia entre las cosechas de las semillas normales y de las semillas secadas en horno. Tabla 13-4 cosecha de maíz de diferentes semillas. Normales Secadas en horno Diferencias d Rangos de Indiferencias Rangos Signo con

21 ( - ) Procedimiento para la prueba de rangos con signo de Wilcoxon Paso 1: Para cada par de datos, calcule la diferencia restando el segundo valor del primero. Mantenga los signos pero descarte cualquier par para que =0. Normales Del horno Diferencias d Paso 2: Ignore los signos de las diferencias, luego acomode las diferencias de menor a la mayor y reemplácelas por el valor del rango correspondiente. Cuando las diferencias tengan el mismo valor numérico, asígneles la media de los rangos implicados en el empate. Diferencias d Rangos de Indiferencias

22 Paso 3: Agregue a cada rango el signo de la diferencia de la que provino. Este es, inserte aquellos signos que se ignoraron en el paso 2. Diferencias d Rangos de Indiferencias Rangos con Signo Paso 4: Calcule la suma de los valores absolutos de los rangos negativos. También calcule la suma de los rangos positivos. Rangos con Signo Suma positivo: = 15 Suma negativo: = 51 Estadística Aplicada. 9 E

23 Estadística Aplicada. 9 E Paso 5: Permita que T sea la mas pequeña de las dos sumas calculadas en el paso 4. Podría utilizarse cualquier suma, pero para simplificar el procedimiento seleccionamos arbitrariamente las mas pequeña de las dos sumas. Suma Positivo Suma Negativo T = Paso 6: Permita que n sea el número de pares de datos para los que la diferencia no es 0. Tenemos n = 11

24 Estadística Aplicada. 9 E Paso 7: Determine el estadístico de prueba y los valores críticos con base en el tamaño muestral. T = 15 Valor critico = 11 α = 0.05 n 30 Ver tabla n = 11 T < Valor Critico 15 < 11 Paso 8: Cuando plantee la conclusión, rechace la hipótesis nula si los datos muéstrales le llevan a un estadístico de prueba que se ubica en la región critica, esto es, cuando el estadístico de prueba sea menor o igual que el valor (o los valores) críticos (s). De otra forma, no rechace la hipótesis nula. El estadístico de prueba T = 15 no es menor o igual a que el estadístico de 11, por lo que no rechazamos la hipótesis nula para ello ahí una diferencia entre las cosechas de las semillas normales y las semillas secadas en horno.

25 Estadística Aplicada. 9 E EJEMPLO: Utilice la prueba de rangos con signos de Wilcoxon para probar la aseveración de que los datos apareados tienen diferencias que provienen de una aseveración de que los datos apareados tienen diferencias que provienen de una población con una mediana igual a 0. Utilice un nivel de significancia X Y

26 H 0 : Los datos apareados tienen diferencias que provienen de una población con una mediana igual a 0. H 1 : Los datos apareados tienen diferencias que provienen de una población con una mediana diferente de 0. X Y Diferencia Estadística Aplicada. 9 E

27 Estadística Aplicada. 9 E d Se obtiene la mediana de los rangos repetidos: Mediana de 6 y 7 es 6.5 d Sumatoria de todos los rangos positivos que estén en la tabla: = 36 Sumatoria de los todos los rangos negativos que estén en la tabla: 0

28 Estadística Aplicada. 9 E Sumatoria de los rangos positivos 34 0 Sumatoria de los rangos negativos T= n=8 Si n 30, utilizamos la tabla de valores críticos T para la prueba de rangos con signo de Wilcoxon.

29 Estadística Aplicada. 9 E Prueba de dos colas, por que: Ir a la tabla de valores críticos con el nivel de significancia de 0.05 y de dos colas H 1 : Los datos apareados tienen diferencias que provienen de una población con una mediana diferente de 0. Valor critico en la tabla = 4 Hacemos comparación del valor de T y Valor critico T < Valor Critico 0<4 Como 0 es menor que 4 se rechaza la hipótesis nula (H 0 ) H 0 : Los datos apareados tienen diferencias que provienen de una población con una mediana igual a 0.

30 VALORES CRITICOS DE T PARA LA PRUEBA DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON Regresar

31 TABLA DE VALORES CRITICOS DE T Regresar

32 Estadística Aplicada. 9 E PRUEBA DE LA SUMA DE RANGOS DE WILCOXON PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES o Definición o Ejemplos

33 Estadística Aplicada. 9 E DEFINICIÓN Es una prueba no paramétrica que utiliza rangos de datos muéstrales de dos poblaciones independientes. Se utiliza para probar la hipótesis nula de que las dos muestras independientes provienen de poblaciones con medianas iguales. La hipótesis alternativa es la aseveración de que las dos poblaciones tienen medianas diferentes. REQUISITOS: Hay dos muestras independientes de datos seleccionados al azar. Cada una de las dos muestras tiene más de 10 valores. No existe el requisito de las dos poblaciones tengan una distribución normal o cualquier otra distribución particular.

34 FORMULAS PARA ENCONTRAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBAS. Estadística Aplicada. 9 E

35 EJEMPLO : IMC de hombres y mujeres En las siguientes tablas se incluyen los valores muéstrales del índice de masa corporal (IMC) de 12 hombres y de 13 mujeres. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que la mediana del IMC de los hombres es igual a la mediana del IMC de las mujeres. Pasos para resolver: Mujeres Requisitos: Hipótesis nula y la hipótesis alternativa son: 1 Acomode en rangos las 25 mediciones combinadas del IMC, Comenzando con el rango 1 (asignado al valor mas bajo que es 17.7). Hombres La H0: prueba Los hombres de suma y las de mujeres rangos tienen de valores wilcoxondel requiere IMC con medianas de dos muestras independientes iguales. y aleatorias, cada una con mas de 10 valores. Calcular la media de los rangos implicados y asigne este rango medio a cada uno de los 2 valores empatados. Los datos H1: Los muéstrales Suma Hombres de los y son las rangos independientes mujeres correspondientes tienen valores y aleatorios, del a los IMC y valores los con tamaños medianas muéstrales muéstrales que son 123 no son y 13iguales. tanto para los hombres como las mujeres. 4 Calcular estadístico de Prueba Nivel de significancia de 0.05 Estadística Aplicada. 9 E

36 mediciones Rangos Preliminares Rangos CALCULAR EL ESTADÍSTICO Hombres DE PRUEBA DE 23.8 (11.5) 23.2 (9) 24.6 (14) 26.2 (17) 23.5 (10) 24.5 (13) 21.5 (6) 31.4 (24) 26.4 (18) 22.7 (8) 27.8 (20) 28.1 (21) 25.2 (15.5) LA MUESTRA 1 Mujeres 19.6 (2.5) 23.8 (11.5) 19.6 (2.5) 29.1 (22) 25.2 (15.5) 21.4 (5) 22.0 (7) 27.5 (19) 33.5 (25) 20.6 (4) 29.9 (23) 17.7 (1) α/2=0.025 z= z=1.96 α/2=0.025 VER TABLA El estadístico de prueba no Z = cae dentro Z = 0.98 de la región Critica, por Valor lo Critico=±1.96 que no rechazamos la hipótesis nula de que los Atrás Valores del IMC de hombres y mujeres tienen medianas iguales.

37 TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL NEGATIVA Atrás

38 EJERCICIO PARA RESOLVER Los trastornos psiquiátricos severos están relacionados con factores biológicos? Un estudio utilizo tomografía computarizada (TC) por rayos X para reunir datos de volúmenes cerebrales de un grupo de pacientes con trastornos obsesivo-compulsivo y un grupo de control saludables. La lista adjunta presenta los resultados muéstrales (en milímetros) para volúmenes del hemisferio derecho. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y pruebe la aseveración de que los pacientes obsesivo-compulsivos y las personas saludables tienen la misma mediana de volúmenes cerebrales. Con base en este resultado, podemos concluir que el trastorno obsesivo-compulsivo tiene una base biológica?