No. 5 Cuerpos. Oswaldo Lezama. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogotá

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1 CUADERNOS DE ÁLGEBRA No. 5 Cuerpos Oswaldo Lezama Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogotá 30 de enero de 2017

2 ii Cuaderno dedicado a Wilma, mi esposa.

3 Contenido Prólogo iv 1. Polinomios Generalidades Polinomios sobre cuerpos Algoritmos de la división y Euclides en K[x] Teorema de Gauss Ejemplos Polinomios en varias variables Polinomios simétricos Ejercicios Extensiones de cuerpos Extensiones simples Extensiones algebraicas El cuerpo de los números algebraicos Cuerpo de descomposición de un polinomio Clausura algebraica de un cuerpo Dependencia e independencia algebraica Ejercicios Fundamentos de la teoría de Galois Extensiones normales Raíces de la unidad Cuerpos finitos Extensiones separables y cuerpos perfectos Teorema del elemento primitivo Ejercicios Teoría de Galois El grupo de Galois Teorema fundamental de la teoría de Galois iii

4 iv CONTENIDO 4.3. Ejemplos Ejercicios Solubilidad por radicales Polinomios solubles por radicales Teorema de Abel Bibliografía 97

5 Prólogo La colección Cuadernos de álgebra consta de 10 publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matemáticas, y pretende servir de material para preparar los exámenes de admisión y de candidatura de los programas colombianos de doctorado en matemáticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material básico de los cursos de estructuras algebraicas y álgebra lineal de los programas de maestría; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los exámenes de candidatura, a saber: anillos y módulos; categorías; álgebra homológica; álgebra no conmutativa; álgebra conmutativa y geometría algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los últimos 25 años, y están basados en las fuentes bibliográficas consignadas en cada uno de ellos, como también en el libro Anillos, Módulos y Categorías, publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edición está totalmente agotada (véase [8]). Un material similar, pero mucho más completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edición revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (véase [7]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de álgebra sea su presentación ordenada y didáctica, así como la inclusión de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teoría. Los cuadernos son: 1. Grupos 6. Anillos y módulos 2. Anillos 7. Categorías 3. Módulos 8. Álgebra homológica 4. Álgebra lineal 9. Álgebra no conmutativa 5. Cuerpos 10. Geometría algebraica Los cuadernos están divididos en capítulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada capítulo se añade al final una lista de ejercicios que debería ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monografías relacionadas con el respectivo tema. Cuaderno de cuerpos. Uno de los problemas clásicos que motiva la teoría que se estudia en este cuaderno es la solubilidad de ecuaciones polinómicas, es decir, el problema de determinar condiciones necesarias y suficientes para saber si una ecuación polinómica p(x) = 0, de grado n 1, y con coeficientes en un cuerpo K, v

6 vi PRÓLOGO tiene raíces expresables por medio de radicales. Para ello es necesario desarrollar la teoría de cuerpos, estudiar sus extensiones y sus automorfismos. Una vez estudiada la teoría básica de cuerpos, se introduce la noción de grupo de Galois de una extensión finita, normal y separable, se establece la correspondencia que existe entre extensiones y subgrupos del grupo de Galois, para llegar finalmente al teorema fundamental de la teoría de Galois. En la parte final del cuaderno, como aplicación, se estudia la solublilidad de ecuaciones polinómicas por medio de radicales. Para una mejor comprensión de los temas tratados en el presente cuaderno se asume que el lector está familiarizado con las nociones básicas de la teoría de grupos, teoría de anillos y álgebra lineal (véanse por ejemplo [6], [9], [10] y [12]). A denotará un anillo no necesariamente conmutativo y con unidad 1. A es el grupo multiplicativo de los elementos invertibles del anillo A. Si f es un homomorfismo de anillos, entonces f(1) = 1. El autor desea expresar su agradecimiento a Fabio Alejandro Calderón Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas al presente cuaderno. Oswaldo Lezama Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia jolezamas@unal.edu.co

7 Capítulo 1 Polinomios El primer capítulo del presente cuaderno estudia la aritmética básica del anillo de polinomios en varias variables con coeficientes en un cuerpo. Destacamos el algoritmo de la división y el algoritmo de Euclides, para lo cual consideramos órdenes monomiales sobre la colección de los monomios estándar. El teorema de Gauss y los polinomios simétricos también ocupan un lugar importante en este capítulo Generalidades Iniciamos recordando la construcción del anillo de polinomios como subanillo del anillo de series. Los detalles completos de la construcción se pueden consultar en [10]. Sean A un anillo y S el conjunto de sucesiones en A, S := {(a 0, a 1, a 2,...) := (a i ) a i A, i = 0, 1, 2,...}; entonces las operaciones de adición y multiplicación definidas en S de la siguiente manera a = (a i ), b = (b i ), a + b := c = (c i ), c i := a i + b i, i = 0, 1, 2,... ab := d = (d i ), d i := j+k=i a jb k, i = 0, 1, 2,... dan a S una estructura de anillo (dos sucesiones son iguales si, y sólo si, a i = b i, para cada i = 0, 1, 2,...). El cero de S es la sucesión nula 0 := (0, 0,...), y la opuesta de a = (a i ) es a := ( a i ). Es fácil comprobar que el uno de S es la sucesión 1 := (1, 0, 0,...) 1

8 2 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS y que el producto se distribuye sobre la adición. El anillo S se denomina anillo de sucesiones formales en A. Algunas propiedades relativas a esta construcción se presentan a continuación: (i) Notemos que el anillo S de sucesiones formales es conmutativo si, y sólo si, A es un anillo conmutativo. (ii) La función es un homomorfismo inyectivo. ι : A S a (a, 0, 0,...) (iii) En el anillo S se destacan de manera especial las sucesiones que tienen un número finito de términos no nulos. Se dice que la sucesión a = (a 0, a 1, a 2,...) es un polinomio si existe un entero n tal que a i = 0 para i > n. Se denomina grado del polinomio a al mayor entero n tal que a n 0, y se denota por gr (a). Los polinomios de grado 0 se denominan constantes. La sucesión nula es un polinomio sin grado. Si a es un polinomio de grado n, entonces a n+k = 0 para k 1: a = (a 0, a 1,..., a n, 0,...). Los elementos a 0, a 1,..., a n se denominan coeficientes del polinomio a; a 0 se denomina coeficiente independiente de a. El elemento a n se denomina el coeficiente principal de a y se denota por lc(a). Se dice que a es mónico si lc(a) = 1. (iv) El conjunto P de polinomios de S es un subanillo de S. (v) Queremos ahora presentar los polinomios en su forma habitual de sumas finitas. Si x denota la sucesión: entonces x := (0, 1, 0,...) x 2 = (0, 0, 1, 0,...) x 3 = (0, 0, 0, 1, 0,...). x n = (0,..., 0, 1, 0,...).

9 1.1. GENERALIDADES 3 Además, podemos identificar los polinomios constantes en la forma y un polinomio de grado n se escribirá (a 0, 0,...) := a 0, a 0 A, a (x) := (a 0, a 1,..., a n, 0,...) = a 0 + a 1 x + + a n x n. El conjunto P de los polinomios en x con coeficientes en A será denotado por A [x]. Al anillo S de sucesiones lo denotaremos por A [[x]]. (vi) Para cada a A: (vii) Se tienen las inclusiones ax = (a, 0,...) (0, 1, 0,...) = (0, a, 0,...) = xa. A A[x] A[[x]]. (vii) Cada elemento a = (a i ) A[[x]] se puede escribir como una serie, a = i=0 a ix i, y las operaciones que hemos definido en A[[x]] corresponden a la suma y producto de series que se estudian en los cursos de cálculo. Por esta razón, el anillo A[[x]] se conoce también como el anillo de series formales en A. (viii) Los anillos de series y polinomios en varias variables se pueden definir en forma recurrente de la siguiente manera: A[[x, y]] := A[[x]][[y]], A[[x 1,..., x n ]] := A[[x 1,..., x n 1 ]][[x n ]], A[x, y] := A[x][y], A[x 1,..., x n ] := A[x 1,..., x n 1 ][x n ]. (ix) Para cualesquiera polinomios no nulos a (x), b(x) A [x] tales que a (x) + b(x) 0, se cumple que: gr (a (x) + b(x)) máx {gr (a (x)), gr (b(x))}. Para a (x) b(x) 0 se tiene también que gr (a (x) b(x)) gr (a (x)) + gr (b(x)). Si A es un dominio, entonces en la última relación se cumple la igualdad.

10 4 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS (x) A es un dominio si, y sólo si, A [[x]] es un dominio si, y sólo si, A [x] es un dominio. (xi) Si A es un dominio, A [x] = A. (xii) Sean A un anillo y a un elemento fijo de A. La función definida por: ϕ a : A [x] A p(x) p 0 + p 1 a + + p n a n donde p(x) := p 0 + p 1 x p n x n, es un homomorfismo de anillos, el homomorfismo evaluación en a. (xiii) Con la notación del numeral anterior, se dice que a A es una raíz o un cero del polinomio p(x), si p(x) ker(ϕ a ), es decir, si p 0 + p 1 a + + p n a n = 0. Se escribe entonces p(a) = 0. Si C es un anillo extensión de A, es decir, A es un subanillo de C, entonces podemos considerar p(x) C[x] y buscar raíces de p(x) en C. (xiv) Si R es un DI (dominio de integridad:= dominio connmutativo), los conceptos de divisibilidad, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, elemento primo y elemento irreducible pueden entonces ser aplicados al dominio R [x]. Cerramos esta sección con un par de ejemplos sobre irreducibilidad y raíces. Más adelante consideraremos estas tareas de manera sistemática. Ejemplo La irreducibilidad de un polinomio es relativa al anillo de coeficientes. Así por ejemplo, el polinomio p(x) = 2 + 2x 2 puede ser considerado como elemento de Z [x], Q [x], R [x] y C [x]. p(x) es reducible sobre Z: p(x) = 2(1 + x 2 ). Veamos una prueba directa de la irreducibilidad sobre Q: sean m(x), n(x) Q [x] tales que m(x)n(x) = 2 + 2x 2, entonces gr(m(x)n(x)) = gr(m(x)) + gr(n(x)) = 2, luego gr(m(x)) 2 y gr(n(x)) 2. Se presentan entonces tres casos, gr(m(x)) = 2, gr(n(x)) = 0 ó gr(m(x)) = 0, gr(n(x)) = 2 ó gr(m(x)) = 1 = gr(n(x)). En el primer caso se tiene que n(x) es constante no nulo. En el segundo caso se tiene que m(x) es constante no nulo. Veamos que el tercer caso no es posible: sean b 0 y d 0 tales que m(x) = a+bx, n(x) = c+dx, entonces ac+(ad+bc)x+bdx 2 = 2+2x 2, con lo cual ac = 2, ad + bc = 0, bd = 2, y de aquí obtenemos acd + bc 2 = 0, es decir, 2d + bc 2 = 0, luego 2d 2 + bdc 2 = 0 = 2d 2 + 2c 2 = d 2 + c 2. Resulta, d = c = 0, una contradicción. De manera análoga se establece que p(x) es también irreducible sobre R. Finalmente, p(x) es reducible sobre C: p(x) = 2(x + i)(x i). Ejemplo Calculemos todas las raíces del polinomio x 5 +3x 3 +x 2 +2x Z 5 [x]. Sea a Z 5 una raíz de p(x) = x 5 + 3x 3 + x 2 + 2x, entonces a 5 + 3a 3 + a 2 + 2a = 0. Según el teorema de Fermat (véase [9]), a 5 = a, luego 3a 3 + a 2 + 3a = 0, pero como

11 1.2. POLINOMIOS SOBRE CUERPOS 5 Z 5 no tiene divisiones de cero, entonces a = 0 o bien 3a 2 + a + 3 = 0. Así pues, a = 0 o bien 5 (3 + a + 3a 2 ). Para la segunda opción ensayamos los valores a = 0, 1, 2, 3, 4 y encontramos que solo a = 4 satisface la relación de divisibilidad, por lo tanto, las raíces de p(x) son 0 y Polinomios sobre cuerpos Posiblemente el resultado más importante de los polinomios en una variable sobre cuerpos es el teorema que afirma que si K es un cuerpo entonces K [x] es un DE (dominio eucilidano), y en consecuencia, un DIP (dominio de ideales principales) y un DF U (dominio de factorización única, conocido también como dominio de Gauss). Teorema Sea Kun cuerpo y sea K [x] su anillo de polinomios. Entonces K [x] es un DE. Demostración. Véase [10]. Notemos que si R es un dominio euclidiano, entonces no necesariamente R[x] es un dominio euclidiano. En efecto, el contraejemplo clásico es Z[x]: si fuera euclidiano sería un DIP, pero el ideal 2, x no es principal (véase [10]). Este mismo ejemplo muestra que si R es un DIP, entonces no siempre R[x] es un DIP. Sin embargo, más adelante mostraremos que si R es un DF U, entonces R[x] es un DF U (véase también [10]). Este resultado se conoce como el teorema de Gauss. Del teorema anterior se desprenden inmediatamente los siguientes resultados. Corolario Sea K un cuerpo. Entonces, (i) K [x] es un DIP y un DF U. (ii) Cada par de polinomios no nulos f(x), g(x) tienen un máximo común divisor (m.c.d.) d(x), el cual se puede expresar en la forma: donde f (x), g (x) K [x]. d(x) = f (x)f(x) + g (x)g(x), (iii) Para cada polinomio no nulo f(x) se cumple que f(x) es irreducible si, y sólo si, f(x) es maximal. (iv) Si p(x) es un polinomio irreducible de K [x], entonces para cualquiera polinomios f(x), g(x) K [x] se cumple p(x) f(x)g(x) implica p(x) f(x), o, p(x) g(x).

12 6 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS (v) Cada par de polinomios no nulos f(x), g(x) tienen un mínimo común múltiplo (m.c.m.) m(x) que satisface f(x)g(x) = m(x)d(x), con d(x) = m.c.d.(f(x), g(x)). Demostración. Las afirmaciones del primer numeral se desprenden de las inclusiones generales DE DIP DF U (veáse [10]). Las afirmaciones de los otros numerales son válidas en cualquier DIP. En realidad las propiedades (iv) y (v) son válidas en cualquier DF U. En efecto, la prueba de la afirmación (iv) se puede consultar en [10]; veamos la demostración de la propiedad (v). Sea R un DF U y sean a, b dos elementos no nulos de R. Si a R, entonces d := m.c.d.(a, b) = a y m := m.c.m.(a, b) = b. Una situación similar se tiene si b R. Sean a, b no invertibles, entonces se tienen las descomposiciones irreducibles a = p r 1 1 p rn n, b = q s 1 1 q st si {p 1,..., p n } {q 1,..., q t } =, entonces d = 1 y m = ab. Supongamos entonces que {p 1,..., p n } {q 1,..., q t } =, podemos entonces asumir que {p 1,..., p n } {q 1,..., q t } = {p 1,..., p u }, donde u satisface 1 u n, de tal forma que a = p r 1 1 p ru u p r u+1 u+1 p rn n, b = p s 1 1 p su u q s u+1 u+1 q st t. Entonces notemos que d = p v 1 1 p vu u, con v i := mín{r i, s i }, 1 i u, m = p z 1 1 p zu u p r u+1 u+1 p rn n q s u+1 u+1 qt st, con z i := máx{r i, s i }, 1 i u, y se cumple que ab = dm ya que z i + v i = r i + s i para cada 1 i u. Ejemplo En relación con la propiedad (i) del corolario anterior, veamos que K[x, y] no es un DIP. En efecto, probemos que el ideal x, y no es principal. Supongamos lo contrario, es decir, x, y = p(x, y), para algún p(x, y) K[x, y]. Entonces x = q(x, y)p(x, y), pero como x es irreducible se tiene que q(x, y) = x y p(x, y) = 1 ó q(x, y) = 1 y p(x, y) = x. El primer caso es imposible ya que ya que x, y es propio. El segundo también es imposible ya que entonces y / p(x, y). Este mismo razonamiento aplica al caso de varias variables. Veamos ahora un par de propiedades relativas a raíces. Proposición Sean K un cuerpo, a K y f(x) K [x]. Entonces, (x a) f(x) si, y sólo si, f(a) = 0, e.d., si a es un cero de f(x). Demostración. ): f(x) = (x a)g(x) = 0, con g(x) K [x]. Utilizando el homomorfismo evaluación ϕ a encontramos que f(a) = 0. ): Teniendo en cuenta que K[x] es euclidiano, existen p(x), r(x) K [x] tales que f(x) = (x a)p(x) + r(x), con gr(r(x)) = 0 ó r(x) = 0. Si r(x) = 0 entonces se tiene que (x a) f(x). Si r(x) 0, entonces f(x) = (x a)p(x) + k, con k := r(x) K. Aplicando nuevamente el homomorfismo evaluación encontramos que f(a) = 0 = k, contradicción. t ;

13 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISIÓN Y EUCLIDES EN K[X] 7 Proposición Sean K un cuerpo y f(x) un polinomio no nulo de K [x]. Entonces, f(x) tiene máximo n raíces en K, donde n = gr(f(x)). Demostración. La prueba la realizamos por inducción sobre el grado n del polinomio f(x). Para n = 1, f(x) = ax + b, con a, b K. Si a = 0 y b 0, entonces f(x) es un polinomio constante el cual no posee raíces. Este caso se cumple trivialmente. Si a 0 entonces la única raíz de f(x) es b y la proposición en este caso es también a válida. Supongamos que la afirmación es válida para todos los polinomios de K [x] con grado < n. Sea f(x) K [x] con gr(f(x)) = n. Si f(x) no tiene raíces en K entonces la proposición se cumple trivialmente. Sean a 1,..., a r, r raíces distintas del polinomio f(x) que están en K, entonces f(x) = (x a 1 )q(x). Nótese que gr(q(x)) = n 1 y q(x) K [x], se tiene que f(a 2 ) =(a 2 a 1 )q(a 2 ) = 0, f(a 3 ) = (a 3 a 1 )q(a 3 ) = 0,..., f(a r ) = (a r a 1 )q(a r ) = 0. Como K no tiene divisiones de cero, entonces a 2,..., a r son raíces distintas de q(x) las cuales están en K. Según la hipótesis de inducción, r 1 n 1, de donde r n. Ejemplo Veamos que el polinomio f(x) = x 3 + 3x + 2 Z 5 [x] es irreducible. Si f(x) es reducible entonces existen q(x) y p(x) no constantes tales que f(x) = p(x)q(x), por lo tanto gr(p(x)) = 1 o gr(q(x)) = 1. En otras palabras un factor lineal divide a f(x). De acuerdo con la proposición 1.2.4, f(a) = 0 para algún a Z 5, pero f(0) 0, f(1) = 1 0, f(2) = 1 0, f(3) = 1 0, f(4) = 3 0. Así pues, f(x) es irreducible. Ejemplo Descompongamos en factores lineales el polinomio f(x) = x Z 5 [x]. Notemos que f(x) = x 4 1 = (x 1)(x 3 + x 2 + x + 1) Z 5 [x]. Con el polinomio g(x) = x 3 + x 2 + x + 1 podemos proceder como en el ejemplo anterior: g(0) 0, g(1) = 4 0, g(2) = 0, luego f(x) = (x 1)(x 2)(x 2 + 3x + 2), donde el polinomio x 2 + 3x + 2 resulta al dividir g(x) entre x 2 (véase la sección siguiente donde trataremos el algoritmo de la división). En total se tiene que f(x) = (x 1)(x 2)(x + 2)(x + 1) Algoritmos de la división y Euclides en K[x] En esta sección daremos una mirada constructiva al álgebra de los polinomios K[x], con K un cuerpo arbitrario. Este enfoque nos permitirá construir procedimientos (algoritmos) para calcular el máximo común divisor de dos o más polinomios y también para expresar éste como combinación de los polinomios dados. Para 0 f(x) K[x] recordemos que el grado de f(x), denotado por gr(f(x)), es el mayor exponente de x que aparece en f(x). El término principal de f(x), denotado por lt(f(x)), es el término de f(x) con mayor grado. El coeficiente principal de f(x), denotado por lc((x)f), es el coeficiente del término principal de f(x).

14 8 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS Así pues, si f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, donde a 0,..., a n K y a n 0, entonces gr(f(x)) = n, lt(f(x)) = a n x n y lc(f(x)) = a n. La principal herramienta en el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos o más polinomios es el algoritmo de la división (también conocido como división larga de polinomios), el cual ilustraremos inicialmente con el siguiente ejemplo. Ejemplo Sean f(x) = x 3 2x 2 + 2x + 8 y g(x) = 2x 2 + 3x + 1 polinomios en Q[x]. Dividimos f(x) por g(x) para obtener el cociente 1 2 x 7 4 y el resíduo 27 4 x , de la siguiente manera: x 3 2x 2 + 2x + 8 2x 2 + 3x + 1 x x2 1x 1 x x2 + 3x x2 + 21x x Se tiene entonces que f(x) = ( 1 x ( 7 2 4) g(x) + 27 x + ) Vamos a analizar los pasos de la división anterior. Primero multiplicamos g(x) por 1 x y restamos el producto resultante de f(x). La idea fue multiplicar g(x) por 2 un término apropiado, precisamente por 1 x, tal que el término principal de g(x) 2 tantas veces este término cancele el término principal de f(x). Después de esta cancelación obtenemos el primer resíduo h(x) = f(x) 1xg(x) = x2 + 3x En general, si tenemos dos polinomios f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 y g(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0, con n = gr((x)f) m = gr(g(x)), entonces el primer paso en la división de f(x) por g(x) es restar de f(x) el producto a n b m x n m g(x). Usando la notación introducida anteriormente, notamos que el factor de g(x) en este producto es lt(f(x)) lt(f(x)) g(x) y así obtenemos h(x) = f(x) g(x) lt(g(x)) lt(g(x)) como resíduo. Llamaremos a h(x) una reducción de f(x) por g(x) y el proceso de calcular h(x) es denotado por f(x) g(x) h(x). Volvamos al ejemplo 1.3.1; después de la cancelación repetimos el proceso para h(x) = 7 2 x2 + 3 lt(h(x)) x+8 restando g(x) = 7 2 lt(g(x)) 2 x2 21x 7 de h(x), y obteniendo el 4 4 segundo (y en este ejemplo el último) resíduo r(x) = 27x Esto puede escribirse 4 4 usando nuestra notación de reducción como f(x) g(x) h(x) g(x) r(x) El uso repetido, como arriba, de los pasos de reducción será denotado por

15 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISIÓN Y EUCLIDES EN K[X] 9 f(x) g(x) + r(x) Nótese que en la reducción f(x) g(x) h(x), el grado de h(x) es estrictamente menor que el grado de f(x). Cuando se continua el proceso el grado permanece bajando hasta que es menor que el grado de g(x). De esta forma obtenemos una prueba constructiva del teorema Proposición Sea g(x) un polinomio no nulo en K[x]. Entonces para cada f(x) K[x] existen q(x) y r(x) en K[x] tales que f(x) = q(x)g(x) + r(x), con r(x) = 0 ó gr(r(x)) < gr(g(x)). Además, q(x) y r(x) son únicos (q(x) es llamado el cociente y r(x) el resíduo). Demostración. Podemos suponer que f (x) 0 ya que de lo contrario tomamos 0 = 0g(x) + 0. Sean entonces f (x), g (x) K[x] no nulos, digamos f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 + a 0, g (x) = b m x m + b m 1 x m b 1 + b 0. Podemos suponer que n m ya que de lo contrario se tiene f (x) = 0g (x) + f (x). Consideremos para cada polinomio de K[x] su término principal, así por ejemplo, lt (f (x)) = a n x n y lt (g (x)) = b m x m. La división de polinomios, tal como vimos en el ejemplo 1.3.1, implica realizar las siguientes operaciones f (x) lt (f (x)) lt (g (x)) g (x) = r 1 (x). Si r 1 (x) = 0 ó gr (r 1 (x)) < g (x), entonces hemos terminado ya que tomamos q (x) = lt(f(x)) y r(x) = r lt(g(x)) 1 (x). Supongamos entonces que r 1 (x) 0 y gr (r 1 (x)) g (x), repetimos el anterior procedimiento para r 1 (x) y g (x): r 1 (x) lt (r 1 (x)) lt (g (x)) g (x) = r 2 (x). Esto puede escribirse usando nuestra notación de reducción como f(x) g(x) r 1(x) g(x) r 2(x).

16 10 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS Si r 2 (x) = 0 ó gr (r 2 (x)) < g (x), entonces hemos terminado ya que se tiene f (x) = r 1 (x) + lt (f (x)) lt (g (x)) g (x) = lt (r 1 (x)) lt (f (x)) g (x) + lt (g (x)) lt (g (x)) g (x) + r 2 (x) = q (x) g (x) + r 2 (x), donde q (x) := lt(r 1(x)) lt(g(x)) + lt(f(x)) lt(g(x)). Supongamos entonces que r 2 (x) 0 y gr (r 2 (x)) g (x), repetimos el anterior procedimiento para r 2 (x) y g (x); pero notemos que este procedimiento termina ya que gr (f (x)) > gr (r 1 (x)) > gr (r 2 (x)) > Esta prueba además indica como construir el cociente q(x) y el resíduo r (x): para calcular el nuevo cociente q N (x), al último cociente le adicionamos lt(r O(x)), donde lt(g(x)) r O (x) es el último resíduo, es decir, q N (x) = q O (x) + lt(r O(x)) lt(g(x)). Para calcular el nuevo resíduo r N (x), al último resíduo le restamos lt(r O(x)) g (x), es lt(g(x)) decir, r N (x) = r O (x) lt(r O(x)) lt(g(x)) g (x). Finalmente, observemos que el algoritmo anterior sugiere que el cociente y el resíduo son únicos: sean c(x) y s (x) polinomios que cumplen las mismas condiciones de q (x) y r(x), entonces q (x) g (x) + r (x) = c (x) g (x) + s (x), luego [q (x) c (x)] g (x) = r (x) s (x), por el grado se tiene que [q (x) c (x)] g (x) = r (x) s (x) = 0, de donde r (x) = s (x) y q (x) = c (x). Nótese que la prueba anterior da un algoritmo para calcular q(x) y r(x). Este algoritmo es conocido como el algoritmo de la división: ENTRADA: f(x), g(x) K[x] con g(x) 0 SALIDA: q(x), r(x) tales que f(x) = q(x)g(x) + r(x) y r(x) = 0 ó gr(r(x)) < gr(g(x)) INICIO: q(x) := 0 ; r(x) := f(x) MIENTRAS r(x) 0 Y gr(g(x)) gr(r(x)) HAGA q(x) := q(x) + lt(r(x)) lt(g(x)) r(x) := r(x) lt(r(x)) g(x) lt(g(x)) Algoritmo 1.3.1: Algoritmo de la división

17 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISIÓN Y EUCLIDES EN K[X] 11 Los pasos en en ciclo MIENTRAS del algoritmo corresponden al proceso de reducción mencionado. El ciclo se ejecuta hasta que el polinomio r(x) en el algoritmo satisface r(x) = 0 ó tiene grado estrictamente menor que el grado de g(x). Como mencionamos antes esto es denotado por f(x) g(x) + r(x). Ejemplo Vamos a repetir el ejemplo usando el algoritmo de la división. INICIO: q(x) := 0, r(x) := f(x) = x 3 2x 2 + 2x + 8. Pasamos a través del ciclo MIENTRAS: q(x) := 0+ x3 2x 2 = 1 2 x r(x) := x 3 2x 2 + 2x + 8 x3 2x 2 (2x 2 + 3x + 1) = 7 2 x x + 8. Pasamos a través del ciclo MIENTRAS: q(x) := 1 2 x x2 2x 2 = 1 2 x 7 4 r(x) := ( 7 2 x x + 8) 7 2 x2 2x 2 (2x 2 + 3x + 1) = 27 4 x El ciclo MIENTRAS se detiene ya que gr(r(x)) = 1 < 2 = gr(g(x)). Obtenemos el cociente q(x) y el resíduo r(x) como en el ejemplo Con el algoritmo de la división podemos dar una prueba constructiva de que K[x] es un DIP (véase el corolario 1.2.2). Proposición Cada ideal de K[x] es principal. Demostración. Sea I un ideal no nulo de K[x] y g(x) I tal que g(x) 0 y n = gr(g(x)) es mínimo. Para cualquier f(x) I tenemos, por la proposición 1.3.2, que f(x) = q(x)g(x) + r(x) para algunos polinomios q(x), r(x) K[x], con r(x) = 0 ó gr(r(x)) < gr(g(x)) = n. Si r(x) 0, entonces r(x) = f(x) q(x)g(x) I, y esto contradice la escogencia de g(x). Entonces r(x) = 0, f(x) = q(x)g(x) y por lo tanto I g(x). La igualdad se sigue del hecho que g(x) está en I. Basados en al algoritmo de la división, pasamos ahora a estudiar el algoritmo de Euclides el cual permite calcular el máximo común divisor de dos o más polinomios. Veamos primero cómo calcular el polinomio g de la demostración de la proposición Para comenzar nos concentraremos en ideales I K[x] generados por dos polinomios no nulos, digamos, I = f 1 (x), f 2 (x). Recordemos que el máximo común divisor de f 1 (x) y f 2 (x), denotado por m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)), es un polinomio g(x) tal que g(x) divide a f 1 (x) y f 2 (x); si h(x) K[x] divide a f 1 (x) y f 2 (x), entonces h(x) divide a g(x); y además asumiremos que lc(g(x)) = 1, es decir, g(x) es mónico. Proposición Sean f 1 (x), f 2 (x) K[x] polinomios no nulos. Entonces, el m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) existe y f 1 (x), f 2 (x) = m.c.d.( f 1 (x), f 2 (x)).

18 12 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS Demostración. Por la proposición existe g(x) K[x] tal que f 1 (x), f 2 (x) = g(x). Ya que g(x) es único salvo una constante no nula, podemos asumir que lc(g(x)) = 1. Veamos que g(x) = m.c.d.( f 1 (x), f 2 (x)). Ya que f 1 (x), f 2 (x) g(x), g(x) divide tanto a f 1 (x) como a f 2 (x). Sea h(x) tal que h(x) divide a f 1 (x) y f 2 (x). Ya que g(x) está en el ideal f 1 (x), f 2 (x), existen u 1 (x), u 2 (x) K[x] tal que g(x) = u 1 (x)f 1 (x) + u 2 (x)f 2 (x). De esta forma h(x) divide a g(x), y hemos terminado. Como consecuencia de lo anterior, si tenemos un algoritmo para calcular el máximo común divisor, entonces podemos realmente encontrar un generador para el ideal f 1 (x), f 2 (x). El algoritmo para calcular el máximo común divisor es el algoritmo de Euclides. Este algoritmo depende del algoritmo de la división y del siguiente hecho. Proposición Sean f 1 (x), f 2 (x) K[x] polinomios no nulos. Entonces, para cada q(x) K[x]. m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = m.c.d.(f 1 (x) q(x)f 2 (x), f 2 (x)), Demostración. Es fácil ver que f 1 (x), f 2 (x) = f 1 (x) q(x)f 2 (x), f 2 (x). Entonces, por la proposición anterior, m.c.d.( f 1 (x), f 2 (x)) = f 1 (x), f 2 (x) = f 1 (x) q(x)f 2 (x), f 2 (x) = m.c.d.(f 1 (x) q(x)f 2 (x), f 2 (x)). Ya que el generador de un ideal principal es único, salvo una constante invertible, y ya que el m.c.d. de dos polinomios tiene coeficiente principal igual a 1, entonces m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = m.c.d.(f 1 (x) q(x)f 2 (x), f 2 (x)). Se tiene entonces el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d.: ENTRADA: f 1 (x), f 2 (x) K[x], polinomios no nulos SALIDA: f(x) = m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) INICIO: f(x) := f 1 (x), g := f 2 (x) MIENTRAS g(x) 0 HAGA f(x) g(x) + r(x), donde r(x) es el resíduo de la división de f(x) por g(x) f(x) := g(x) g(x) := r(x) f(x) := 1 lc(f(x)) f(x) Algoritmo 1.3.2: Algoritmo de Euclides Observemos que el algoritmo termina ya que el grado de r(x) en el ciclo MIEN- TRAS es estrictamente menor que el grado de g(x), el cual es el inmediatamente anterior r(x), y por lo tanto, el grado de r(x) es estrictamente decreciente a medida que el algoritmo avanza. Además, el algoritmo da el m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) como dato de salida ya que según la proposición 1.3.6, en cada paso a través del ciclo MIENTRAS

19 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISIÓN Y EUCLIDES EN K[X] 13 se tiene que m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = m.c.d.(f(x), g(x)) = m.c.d.(r(x), g(x)), siempre que g(x) 0. Cuando g(x) = 0 entonces m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = m.c.d.(f(x), 0) = 1 f(x). El último paso en el algoritmo asegura que el resultado final tiene coeficiente principal 1, es decir, es mónico. lc(f(x)) Para ilustrar el algoritmo consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo Sean f 1 (x) = x 3 3x + 2 y f 2 (x) = x 2 1 polinomios en Q[x]. INICIO:f(x) = x 3 3x + 2, g(x) = x 2 1. Pasamos a través del ciclo MIENTRAS: x 3 3x + 2 x 2 1 2x + 2 f(x) := x 2 1 g(x) := 2x + 2. Pasamos a través del ciclo MIENTRAS: x 2 1 2x + 2 x 1 2x f(x) := 2x + 2 g(x) := 0. El ciclo MIENTRAS se detiene f(x) = 1 f(x) = x 1. lc(f(x)) Entonces m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = x 1. Retornamos nuestra atención al caso de ideales generados por más de dos polinomios no nulos, I = f 1 (x),..., f s (x). Proposición Sean f 1 (x),..., f s (x) polinomios no nulos de K[x]. (i) f 1 (x),..., f s (x) = m.c.d.(f 1 (x),..., f s (x)). (ii) Si s 3, entonces m.c.d.(f 1 (x),..., f s (x)) = m.c.d.(f 1 (x), m.c.d.(f 2 (x),..., f s (x)). Demostración. La prueba de la parte (i) es similar a la demostración de la proposición Para probar la parte (ii), sea h(x) := m.c.d. (f 2 (x),...,, f s (x)). Entonces, por (i), f 2 (x),..., f s (x) = h(x), y por lo tanto, f 1 (x),..., f s (x) = f 1 (x), h(x). Nuevamente por (i), m.c.d.(f 1 (x),..., f s (x)) = m.c.d.(f 1 (x), h(x)) = m.c.d.(f 1 (x), m.c.d.(f 2 (x),...,, f s (x)), como se había anunciado. Con las ideas constructivas desarrolladas en esta sección podemos ahora resolver algunos problemas sencillos, pero interesantes, relacionados con polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo. Esto lo haremos a través de los siguientes ejemplos.

20 14 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS Ejemplo Sean f 1 (x),..., f s (x) K[x] polinomios no nulos. Queremos encontrar el conjunto solución en K del sistema simultáneo f i (x) = 0, 1 i 0. Para resolver este problema podemos razonar al menos de dos maneras: una forma es calculando las raíces en K de cada f i (x) y luego realizar la intersección de los conjunto solución encontrados. La otra forma es calcular f(x) := m.c.d.(f 1 (x),..., f s (x)) mediante el algoritmo de Euclides y luego encontrar las raíces en K de f(x). La justificación de este segundo método la da la proposición Veamos un ejemplo concreto. Resolvamos el sistema simultáneo real x 6 1 = 0, x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 = 0. Aplicamos el algoritmo de Euclides al par de polinomios dados para calcular el máximo común divisor f(x) (podemos obviar la terminología propia del algoritmo): x 6 1 x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 2x 3 5x 2 2x + 5 x 2 2x + 2 x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 2x 3 5x 2 2x x x x 3 5x x x x ( f(x) = 4 57 ) 57 4 x = x 2 1 Por lo tanto, las solciones del sistema dado son x = ±1. Ejemplo Otro problema interesante es decidir si un polinomio f(x) está en el ideal generado por un conjunto finito de polinomios dados, I = f 1 (x),..., f s (x). Para esto primero calculamos g(x) := m.c.d.(f 1 (x),..., f s (x)), luego usamos el algoritmo de la división para dividir f(x) por g(x). El resíduo de la división es cero si, y sólo si, f(x) está en el ideal I = f 1 (x),..., f s (x) = g(x). Usando la notación de reducción se tiene que f(x) I = g(x) si, y sólo si, f(x) g(x) + 0. Veamos un ejemplo ilustrativo. El polinomio f(x) = x 5 + x 3 + x 2 7 I = x 6 1, x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3? La misma pregunta para g(x) = x 4 + 2x 2 3. Según el ejemplo 1.3.9, m.c.d.(x 6 1, x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3) = x 2 1, y con el algoritmo de la división encontramos que el resíduo de dividir f(x) entre x 2 1 es 2x 6, por lo tanto, f(x) / I. En cambio, la divisón de g(x) entre x 2 1 tiene como residuo 0, es decir, g(x) I.

21 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISIÓN Y EUCLIDES EN K[X] 15 Ejemplo Sea I un ideal del anillo K[x], queremos calcular una base para el K-espacio cociente K[x]/I. Si I = 0, entonces una base de K[x] es {1, x, x 2, x 3,... }. Sea I no nulo; entonces I es principal, I = g(x), con g(x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 0 (siempre podemos tomar el generador de I mónico). Notemos entonces que X := {x n 1, x n 2,..., x, 1} es una base de K[x]/I. En efecto, dado f(x) K[x] dividimos f(x) entre g(x) y encontramos q(x), r(x) K[x] tales que f(x) = g(x)q(x) + r(x), con r(x) = 0 ó gr(r(x)) < gr(g(x)). Pasando al cociente encontramos que cada elemento f(x) de K[x]/I es una K-combinación lineal de los elementos de X. Sean b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 K tales que b n 1 x n 1 +b n 2 x n b 1 x + b 0 = 0, entonces b n 1 x n 1 + b n 2 x n b 1 x + b 0 g, pero gr(g(x)) = n, entonces todos los coeficientes b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 son necesariamente nulos. Ejemplo Sea p un entero irreducible, veamos que si f(x) = p 0 + p 1 x + + x n es un polinomio irreducible de Z p [x] de grado n, entonces Z p [x] / f(x) es un cuerpo de p n elementos: puesto que f(x) es irreducible, entonces f(x) es maximal, con lo cual Z p [x] / f(x) es un cuerpo (véase [10]). Como vimos en el ejemplo anterior, Z p [x] / f(x) es un Z p -espacio de dimensión n, es decir, Z p [x] / f(x) = Z n p, con lo cual el número de elementos de este espacio es p n. Este resultado se puede extender a cualquier cuerpo finito K de q elementos de tal forma que en este caso K[x]/ f(x) = q n. Ejemplo Terminamos esta sección con un algoritmo que calcula no solo el m.c.d. sino los polinomios coeficientes en la expansión del m.c.d. de dos polinomios como combinación de éstos (véase la proposición 1.3.5). ENTRADA: f 1 (x), f 2 (x) K[x] polinomios no nulos SALIDA: f(x) = m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)), u 1 (x), u 2 (x) K[x] tales que f(x) = u 1 (x)f 1 (x) + u 2 (x)f 2 (x) INICIO: f(x) := f 1 (x), g(x) := f 2 (x), u 1 (x) := 1, u 2 (x) := 0, v 1 (x) := 0, v 2 (x) := 1, w(x) = 1, z(x) = 0 MIENTRAS g(x) 0 HAGA f(x) g(x) r(x), donde r(x) es el residuo de la división de f(x) por g(x) + f(x) := g(x), g(x) := r(x) w(x) := u 1 (x) q(x)v 1 (x), donde q(x) es el cociente de la división de f(x) por g(x) z(x) := u 2 (x) q(x)v 2 (x) u 1 (x) := v 1 (x), u 2 (x) := v 2 (x), v 1 (x) = w(x), v 2 (x) = z(x) 1 f(x) := lc(f(x)) f(x) 1 u 1 (x) := lc(f(x)) u 1(x) 1 u 2 (x) := lc(f(x)) u 2(x) Algoritmo 1.3.3: Algoritmo de Euclides con coeficientes Vamos a aplicar este algoritmo a los polinomios del ejemplo 1.3.9: ENTRADA: f 1 (x) = x 6 1, f 2 (x) = x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 INICIO: f(x) := x 6 1, g(x) := x 4 +2x 3 +2x 2 2x 3, u 1 (x) = 1, u 2 (x) = 0, v 1 (x) = 0, v 2 (x) = 1, w(x) = 1, z(x) = 0.

22 16 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS Primer paso por el ciclo MIENTRAS: x 6 1 x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 2x 3 5x 2 2x + 5 x 2 2x + 2 x 6 1 x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 2x3 5x 2 2x + 5 f(x) := x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 g(x) := 2x 3 5x 2 2x + 5 w(x) := 1 (x 2 2x + 2)(0) = 1 z(x) := 0 (x 2 2x + 2)(1) = x 2 + 2x 2 u 1 (x) := 0 u 2 (x) := 1 v 1 (x) := 1 v 2 (x) := x 2 + 2x 2. Segundo paso por el ciclo MIENTRAS: x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 2x 3 5x 2 2x x2 1x x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3 2x 3 5x 2 2x x2 f(x) := 2x 3 5x 2 2x + 5 g(x) := x2 w(x) := 0 ( 1 2 x )(1) = 1 2 x 9 4 z(x) := 1 ( 1 2 x )( x2 + 2x 2) = 1 2 x x2 7 2 x u 1 (x) := 1 u 2 (x) := x 2 + 2x 2 v 1 (x) = 1 2 x 9 4 v 2 (x) = 1 2 x x2 7 2 x

23 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISIÓN Y EUCLIDES EN K[X] 17 Tercer paso por el ciclo MIENTRAS: 2x 3 5x 2 2x x2 8 0 x x 3 5x 2 2x x2 0 f(x) := g(x) := 0 w(x) = 1 4 x2 ( 8 57 x 20 ) ( 57 z(x) = ( x 2 + 2x 2 ) 4 57 x x x 9 4 ( 8 57 x ) = 8 57 x x ) ( 1 2 x x2 7 2 x ) = u 1 (x) := 1 2 x 9 4 u 2 (x) := 1 2 x x2 7 2 x v 1 (x) = 8 57 x x v 2 (x) = 4 57 x x El ciclo MIENTRAS se detiene y: Por tanto, f(x) := 1 lc(f) f = 4 57 f = x2 1 u 1 (x) := 1 lc(f) u 1 = 4 57 ( 1 2 x 9 4 ) = 2 57 x 3 19 u 2 (x) := 1 lc(f) u 2 = 4 57 (1 2 x x2 7 2 x ) = 2 57 x x x ( 2 57 x 3 19 )(x6 1) + ( 2 57 x3 + 5 m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = x 2 1 = 57 x x )(x4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3).

24 18 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS Podemos complementar este ejemplo y expresar h(x) := x 4 + 2x 2 3 como combinación lineal de f 1 (x) y f 2 (x). En primer notemos que h(x) está en el ideal generado por f 1 (x) y f 2 (x): en efecto, con el algoritmo de la división encontramos que h(x) = (x 2 1)(x 2 + 3), por lo tanto, h(x) = u 1 (x)(x 2 + 3)(x 6 1) + u 2 (x)(x 2 + 3)(x 4 + 2x 3 + 2x 2 2x 3) Teorema de Gauss En esta sección probaremos el siguiente teorema debido a Gauss: Sea R un DF U. Entonces, R [x] es un DF U. La prueba de este resultado requiere de algunas definiciones y afirmaciones preliminares (una demostración diferente usando localizaciones de anillos conmutativos por sistemas multiplicativos puede ser consultada en [10]). Definición Sea R un DF U y sea f(x) = p 0 + p 1 x + + p n x n un polinomio no nulo de R [x]. Se denomina contenido del polinomio f(x) al m.c.d. de sus coeficientes y se denota por c(f(x)), c(f(x)) := m.c.d. {p 0, p 1,..., p n }. Se dice además que f(x) es un polinomio primitivo si c(f(x)) = 1. Ejemplo Sean f(x) = 8 + 3x + 4x 2 y g(x) = 30 12x + 6x 2 Z [x], entonces c(f(x)) = 1 y c(g(x)) = 2. Obsérvese que f(x) es primitivo pero g(x) no lo es. Para el caso cuando R = F es un cuerpo, el concepto de contenido y polinomio primitivo pierden sentido ya que el contenido de cada polinomio no nulo es 1. Proposición Sean R un DF U y a 1,..., a n R. (i) Si d := m.c.d.(a 1,..., a n ) y a i = da i, con a i R, 1 i n, entonces m.c.d.(a 1,..., a n) = 1. (ii) Para cada c R {0}, m.c.d.(ca 1,..., ca n ) = cd. Demostración. (i) Sea e := m.c.d.(a 0, a 1,..., a n), entonces a i = ea i, para cada i, por lo tanto, dea i = a i, es decir, de divide a cada a i, luego de divide a d, con lo cual d = deb, de donde e R y así 1 = ee 1 es también m.c.d. de a 0, a 1,..., a n. (ii) Sea r := m.c.d.(ca 1,..., ca n ), entonces para cada i, ca i = rq i ; además, ca i = cda i, luego cd divide a cada ca i, con lo cual cd r, es decir, r = cds, y por lo tanto ca i = cdsq i, es decir, a i = dsq i y de esta manera ds divide a cada a i, es decir, ds d. Resulta de aquí que s R con lo cual cd es también máximo común divisor de los elementos ca 1,..., ca n. Proposición Sea R un DF U. Entonces,

25 1.4. TEOREMA DE GAUSS 19 (i) Cada polinomio no nulo f(x) de R [x] se puede expresar en la forma f(x) = cf 1 (x), donde c := c(f(x)) y f 1 (x) es un polinomio primitivo. Si f(x) tiene otra descomposición en la forma f(x) = df 2 (x), con d R y f 2 (x) primitivo, entonces c y d son asociados lo mismo que f 1 (x) y f 2 (x). (ii) El producto de polinomios primitivos es primitivo. (iii) El contenido de un producto de polinomios no nulos es igual al producto de los contenidos, salvo asociados. Demostración. (i) Sea f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, entonces f 1 (x) = a 0 + a 1x + + a nx n, con ca i = a i, 0 i n. Según la parte (i) de la proposición anterior m.c.d.(a 0, a 1,..., a n) = 1. Veamos ahora la unicidad: sea f(x) = cf 1 (x) = df 2 (x), con f 2 (x) = b 0+b 1x+ + b nx n primitivo; entonces m.c.d.(ca 0,..., ca n) = m.c.d.(db 0,..., db n)u, con u R, luego por la parte (ii) de la proposición anterior, c = du, con u R, de donde f 2 (x) = uf 1 (x). (ii) Sean f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m polinomios primitivos de R[x] y sea p(x) := f(x)g(x). Sea q un irreducible de R, entonces q no divide todos los coeficientes a i de f(x) ni tampoco todos los coeficientes q j de g(x); sea a r el primer coeficiente de f(x) que q no divide y b s el primero de g(x) que q no divide. Notemos que el coeficiente de x r+s en p(x) es p r+s = a 0 b r+s + +a r 1 b s+1 + a r b s + a r+1 b s a r+s b 0, por lo tanto q no divide p r+s. Así pues, dado cualquier irreducible q R algún coeficiente de p(x) no es divisible por q, es decir, p(x) es primitivo. Para tres o más polinomios, el resultado se obtiene por recurrencia. (iii) Sea p(x) = f(x)g(x), donde f(x) y g(x) son polinomios no nulos de R [x]. Según (i), p(x) = c(p(x))p 1 (x), f(x) = c(f(x))f 1 (x), g(x) = c(g(x))g 1 (x), donde p 1 (x), f 1 (x), g 1 (x) son primitivos, por lo tanto c(p(x))p 1 (x) = c(f(x))c(g(x))f 1 (x)g 1 (x). Según (ii), f 1 (x)g 1 (x) es primitivo, luego por la unicidad de (i) se tiene que c(p(x)) coincide con c(f(x))c(g(x)), salvo asociados. Para tres o más polinomios, el resultado se obtiene por recurrencia. Sea R un DI y sea F su cuerpo de fracciones (véase [10]). La función R [x] F [x] p 0 + p 1 x + + p n x n p p 1 1 x + + p n 1 xn es un homomorfismo inyectivo de anillos, el cual permite considerar a R [x] como subanillo de F [x] de tal forma que se tiene R R[x] F [x]. De otra parte,

26 20 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS cada polinomio f(x) = p 0 q 0 + p 1 q 1 x + + pn q n x n F [x] se puede expresar en la forma f(x) = f 0(x) := 1f q q 0(x), donde f 0 (x) R [x] y q R {0}. En efecto, basta tomar q := q 0 q n y f 0 (x) = r 0 + r 1 x + + r n x n, con r i := qp i q i, 1 i n. Proposición Sea R un DF U y sea F su cuerpo de fracciones. Si f(x) R [x] es irreducible no constante, entonces f(x) considerado como polinomio de F [x] es irreducible. Recíprocamente, si f(x) R [x] es un polinomio primitivo tal que considerado como elemento de F [x] es irreducible, entonces f(x) es irreducible como elemento de R [x]. Demostración. Para la primera afirmación supóngase que f(x) es reducible como polinomio de F [x]. Existen entonces polinomios m(x), n(x) en F [x] de grado 1 tales que f(x) = m(x)n(x). Cada uno de estos factores se puede escribir como m(x) = m 1(x), n(x) = n 1(x), donde m m n 1(x) y n 1 (x) R[x] y m, n R {0}; además, m 1 (x) es producto de su contenido m 1 y un polinomio primitivo m 1(x) R[x], lo mismo se tiene para n(x). Resulta, mnf(x) = m 1 n 1 m 1(x)n 1(x), relación que podemos considerar en R [x]. Si c := c(f(x)), entonces mnf(x) = mncf 1 (x) = m 1 n 1 m 1(x)n 1(x), con f 1 (x) primitivo, como m 1(x)n 1(x) es primitivo podemos aplicar la proposición y obtenemos que m 1 n 1 = mncu, con u R, de donde f(x) = cf 1 (x) = cum 1(x)n 1(x), pero notemos que gr(m 1(x)) = gr(m(x)) 1, gr(n 1(x)) = gr(n(x)) 1, por lo tanto, f(x) es reducible en R[x]. La afirmación recíproca es evidente ya que f(x) es primitivo y R[x] F [x]. Teorema (Teorema de Gauss). Sea R un DF U. Entonces, R [x] es un DF U. Demostración. Existencia. Sea f(x) R[x] un polinomio no nulo y no invertible; debemos probar que f(x) tiene una descomposición en producto de irreducibles. Como f(x) es no nulo, entonces f(x) se puede expresar en la forma f(x) = c(f(x))f (x), donde f (x) es primitivo (véase la proposición 1.4.4). Consideremos dos casos. Caso 1. gr(f (x)) = 0. Entonces f (x) = 1 y procedemos a descomponer c(f(x)) en R; como f(x) no es invertible, entonces c(f(x)) no es invertible y por lo tanto tiene una descomposición en producto finito de irreducibles de R, los cuales a su vez son irreducibles de R[x] y obtenemos la descomposición irreducible de f(x) buscada. Caso 2. gr(f (x)) 1. Si c(f(x)) es invertible, entonces pasamos a descomponer f (x); si c(f(x)) no es invertible, entonces primero lo descomponemos como vimos en el caso anterior, y luego procedemos a descomponer f (x). Así pues, solo nos resta ver la descomposición de f (x). Consideremos a f (x) como elemento de F [x], donde F es el cuerpo de fracciones de R; si f (x) es irreducible, entonces por la proposición 1.4.5, f (x) es irreducible en R [x], y hemos terminado. Supongamos pues que f (x) es reducible en F [x]. Entonces gr(f (x)) 2; como F [x] es DF U, entonces f (x) es factorizable en un producto

27 1.4. TEOREMA DE GAUSS 21 finito de polinomios irreducibles de F [x]: f (x) = f 1 (x) f r (x), f i (x) F [x] e irreducible, gr(f i (x)) 1, 1 i r, r 2. Cada polinomio f i (x) se puede expresar en la forma f i (x) = f i (x) q i, con f i(x) R[x], q i R {0}. A su vez cada f i(x) se puede escribir en la forma f i(x) = c(f i(x))f i (x), con f i (x) R[x] primitivo. Notemos que f i (x) es irreducible de R[x] ya que si fuese reducible, entonces por la proposición sería reducible en F [x], pero esto no es posible ya que f i (x) es irreducible. Sean q := r i=1 q i y c := r i=1 c(f i(x)), entonces qf (x) = cf 1 (x) f r (x). Como f (x) y cada f (x) es primitivo, entonces por la proposición 1.4.4, existe u R tal que f (x) = uf 1 (x) f r (x). Esta es la descomposición irreducible buscada para f (x). Unicidad. Supongamos que f(x) tiene dos descomposiciones en la forma f(x) = g 1 (x) g r (x) = h 1 (x) h s (x), donde los g i (x), h j (x) son polinomios irreducibles de R[x] de grado 0. Resulta c 1 g 1(x) c r g r (x) = d 1 h 1(x) d s h s (x), con c i := c(g i (x)), d j := c(h j (x)), g i(x), h j(x) primitivos, 1 i r, 1 j s. Pero como g i (x) = c i g i(x) es irreducible de R[x], entonces se presentan dos posibilidades: c i es irreducible de R y g i(x) = 1 o bien c i R y g i(x) es irreducible de R[x] de grado 1; lo mismo se tiene para cada h j (x). Podemos entonces escribir c 1 c t c t+1 c r g 1(x) g t(x)g t+1(x) g r(x) = d 1 d m d m+1 d s h 1(x) h m(x)h m+1(x) h s(x), con c 1,..., c t irreducibles de R, c t+1,..., c r R, g 1(x) = = g t(x) = 1 y g t+1(x),, g r(x) irreducibles de R[x] de grado 1; d 1,..., d m irreducibles de R, d m+1,..., d s R, h 1(x) = = h m(x) = 1 y h m+1(x),, h s(x) irreducibles de R[x] de grado 1. Pero de la proposición se tiene que luego c 1 c t c t+1 c r = d 1 d m d m+1 d s u, con u R g 1(x) g t(x)g t+1(x) g r(x) = h 1(x) h m(x)h m+1(x) h s(x), con v R, c 1 c t = d 1 d m w, con w R g t+1(x) g r(x) = h m+1(x) h s(x), con y R, Como R es un DF U, t = m y d i = c i w i, con w i R, 1 i t; además como F [x] es DF U, entonces r t = s m, es decir, r = s y h j(x) = g j(x)z j, con z j F, t + 1 j r. Sea z j = a j b j, entonces en R[x] tenemos b j h j(x) = a j g j(x), pero como h j(x) y g j(x) son primitivos, entonces a j = b j v j, con v j R. Resulta, h j(x) = g j(x)v j. Volviendo al principio de la prueba de la unicidad concluimos que h i (x) = g i (x)w i, 1 i t, y h j (x) = g j (x)d j c 1 j v j, t + 1 j r. Esto completa la demostración. Corolario Si R es un DF U, entonces R [x 1,..., x n ] también es un DF U. Demostración. Consecuencia directa del teorema de Gauss.

28 22 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS El problema de factorizar o determinar si un polinomio sobre un DF U, o sobre su cuerpo de fracciones, es irreducible en general no es muy fácil de resolver. Existen algunos criterios que vamos a considerar a continuación para el caso particular de Z y Q. Proposición Si f(x) Z [x] es mónico y se factoriza como el producto de dos polinomios racionales, entonces f(x) se factoriza como el producto de dos polinomios enteros mónicos. Demostración. Si gr(f(x)) = 0, entonces f(x) = 1 y se tiene la descomposición trivial f(x) = 1 1. Sea f(x) = p 0 + +p n 1 x n 1 +x n de grado 1 el cual es producto de dos polinomios con coeficientes racionales, f(x) = p(x)q(x) = p (x) q (x) p 0 q 0, con p 0, q 0 Z {0} y p (x), q (x) Z[x] {0}. Resulta, p 0 q 0 f(x) = c(p (x))c(q (x))p (x)q (x), con p (x), q (x) primitivos. De la proposición se sigue que f(x) = up (x)q (x), con u = ±1. Como f(x) es mónico, entonces 1 = ±lc(p (x))lc(q (x)). Si 1 = lc(p (x))lc(q (x)), entonces lc(p (x)) = 1 = lc(q (x)) y tenemos la factorización deseada, ó, lc(p (x)) = 1 = lc(q (x)) y la factorización requerida es f(x) = ( p (x))( q (x)). Si 1 = lc(p (x))lc(q (x)), entonces lc(p (x)) y lc(q (x)) son de signo contrario y las fatorizaciones requeridas se obtienen cambiando el signo de alguno de los dos factores. Proposición (Criterio de Eisenstein). Sea f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z [x], con n 1. Si existe p Z irreducible tal que (i) p a n. (ii) p a i para cada 0 i n 1. (iii) p 2 a 0 Entonces f(x) es irreducible sobre Q. Demostración. Basta probar la proposición para f(x) := a 0 + a 1 x + + a n x n primitivo. En efecto, sea f(x) = cf 1 (x), con c := c(f(x)) y f 1 (x) := a 0 + a 1x + + a nx n primitivo; notemos entonces que ca i = a i para cada 0 i n, con lo cual p a n, p 2 a 0; además p a j para cada 0 j n 1: en efecto, ya que p a j entonces p c o p a j, pero p c pues de lo contrario dividiría a a n. Así pues, f 1 (x) satisface las mismas condiciones de f(x). Sea entonces f(x) primitivo; supóngase que f(x) es reducible sobre Q. Entonces por la proposición 1.4.5, f(x) es reducible sobre Z y por lo tanto existe b(x) Z[x] tal que b(x) f(x), b(x) / Z[x] y b(x) no es asociado de f(x), luego existe c(x) Z[x] tal que c(x) / Z[x] y f(x) = b(x)c(x) = (b 0 + b 1 x + + b r x r )(c 0 + c 1 x + + c s x s ).