Ecuación matricial de Stein relacionada con la matriz de transferencia de sistemas dinámicos lineales sobre anillos conmutativos

Transcripción

1 Ecuación matricial de Stein relacionada con la matriz de transferencia de sistemas dinámicos lineales sobre anillos conmutativos M. Isabel García-Planas 1, M. Montserrat López-Cabeceira 2 1 Dpt. de Matemàtica Aplicada I, Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona. maria.isabel.garcia@upc.edu. 2 Dpto. de Matemáticas, Universidad de León, León. mmlopc@unileon.es. Resumen Este trabajo está inmerso en el campo de la Teoría de Control sobre un anillo conmutativo R con elemento unidad. Dado un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo representado por x + (t Ax(t + Bu(t sobre R, analizamos las condiciones bajo las cuales la matriz de transferencia H(s (si A 1 B del sistema es polinomial, mediante un feedback proporcional y derivado u(t F A x(t F E x + (t. El problema de determinar controladores polinomiales está relacionado con las soluciones de la ecuación de Stein AXN +X BY. Para completar nuestro problema, discutimos dicha ecuación sobre R y en particular sobre un dominio de ideales principales. Palabras clave: Matriz polinomial, Valores propios, Ecuación de Stein. 1. Introducción Sea R un anillo conmutativo con elemento unidad. En general, un sistema dinámico lineal n-input m-dimensional p-output sobre R viene dado por las ecuaciones de control Ex + (t Ax(t + Bu(t e y(t Cx(t. En nuestro artículo nos centramos en el análisis de conducta de los estados x(t y en una matriz E invertible mediante acción de feedback. Desde este punto de vista, partimos de un sistema dinámico n-input m-dimensional, dado por una terna Σ (I n, A, B (que escribiremos sencillamente como el par Σ (A, B si no hay lugar a confusión, con coeficientes constantes sobre R, controlado por la ecuación I n x + (t Ax(t + Bu(t. Así, aplicando la transformada de Laplace, reducimos el control de estados del sistema a la expresión x (t (I n s A 1 Bu (s, (ver [7]. Se denomina polinomio característico del sistema a ℵ(s det(i n s A. La matriz racional H(s (I n s A 1 B (1 es la matriz de transferencia del sistema y, recíprocamente, se dice que el par Σ (A, B es una realización de la matriz de transferencia H(s. 1

2 M. I. García-Planas, M. M López-Cabeceira Dado un sistema Σ (A, B, interesan aquellas propiedades de Σ que se mantengan invariantes mediante cambios de base y mediante acciones de feedback. Así, diremos que dos sistemas son feedback equivalentes si se puede transformar uno en el otro mediante un número finito de cambios de base y de acciones de feedback (ver [1] y [8] entre otros. Es claro que el control del sistema Σ (I n, A, B se simplifica en aquellos casos para los cuales la matriz de transferencia es polinomial. Por lo tanto, buscamos una acción de feedback global sobre los estados que, al modificar el vector de impulsos de la forma u(t F A x(t F E x + (t, determine un nuevo sistema Σ (E, A, B (I n BF E, A BF A, B dado por la ecuación de control (I n BF E x + (t (A BF A x(t + B u(t, verificando que la nueva matriz de transferencia H (s (s(i n BF E (A BF A 1 B (si n A sbf E BF A 1 B (2 sea polinomial (i.e. ℵ (s ha de ser una unidad. Además, teniendo en cuenta que un sistema accesible tiene todos sus autovalores asignados al infinito si y sólo si el polinomio característico del sistema es una unidad, es suficiente con variar la asignación de polos mediante una acción de feedback sobre el sistema. Es decir, buscamos matrices de feedback F A y F E tales que ℵ (s det(si n A + sbf E + BF A sea una unidad del anillo R. Véase [1], [3] y [7] para una lectura general sobre teoría de control dinámico. En el caso en que R sea el cuerpo de los números reales, se sabe que la búsqueda de las matrices de feedback que permiten el paso a un sistema dinámico con matriz de transferencia polinomial H(s, está ligado a encontrar dos matrices polinomiales N(s y D(s, coprimas por la derecha, tales que N(sD 1 (s H(s. Así mismo, dicho problema también está conectado con la resolución de la ecuación de Stein AXN + X BY. Véase [2], [5] y [11] para el estudio sobre el cuerpo R. En las secciones 2, 3 y 4 estudiamos la ecuación de Stein, sobre un anillo conmutativo con unidad R, y las restricciones necesarias para su resolución. La clave para esta caracterización reside en la existencia de una matriz F tal que A + BF sea invertible. Véase [4] y [8] para condiciones sobre la existencia de F. En particular, véase [6], [8] y [10, p.53] para propiedades de anillos estables. Finalmente, en la sección 5 analizamos el problema sobre una estructura de dominio de ideales principales. 2. Ecuación de Stein y sistemas lineales sobre anillos conmutativos con unidad En esta sección vamos a ver como el problema de encontrar acciones de feedback de manera que el sistema a lazo cerrado sea tal que su matriz de transferencia sea polinomial, es equivalente a estudiar cuándo la ecuación de Stein AXN +X BY asociada al sistema tiene una solución invertible. En particular, veremos que la existencia de dicha solución implica la existencia de una matriz F tal que A + BF sea invertible. Teorema 1 Sea R un anillo conmutativo con unidad y sea Σ (A, B con A M n (R y B M n m (R un sistema lineal. Entonces son condiciones equivalentes: i Existen dos matrices F E, F A M m n (R tales que la matriz polinomial P (s (si n A + sbf E + BF A es unimodular. 2

3 Ecuación de Stein relacionada con sistemas sobre anillos conmutativos ii Existe una matriz F A M m n (R tal que A BF A es invertible y existe una matriz Y tal que la siguiente ecuación matricial de Stein AXN + X BY, con N matriz nilpotente de orden r ( l + 1, siendo l el grado de la matriz polinomial P (s 1, tiene una solución X no singular. Demostración: Supongamos cierto i. Puesto que P (s es unimodular es invertible y su inversa es una matriz polinomial P (s 1 Q l s l Q 1 s + Q 0 de un grado l, siendo Q l 0. Así, de (si n A + sbf E + BF A (Q l s l Q 1 s + Q 0 I n obtenemos las igualdades ( A + BF A Q 0 I n y (I n + BF E Q i + ( A + BF A Q i+1 0 para i 0, 1,..., l 1 e (I n + BF E Q l 0. Así, recursivamente para i 0, 1,..., l obtenemos Q i ( 1 i ( A + BF A 1 ((I n + BF E ( A + BF A 1 i. Además, obsérvese que la primera igualdad implica que la matriz A+BF A es invertible y que de la última igualdad se obtiene ((I n +BF E ( A+BF A 1 l+1 0. Es decir, la matriz (I n + BF E ( A + BF A 1 es nilpotente de orden l + 1 ya que Q l 0. Consecuentemente, la matriz ( A + BF A 1 (I n + BF E es también nilpotente de orden l + 1, (basta aplicar el cambio de base dado por la matriz invertible A + BF A. Por otra parte, sea N M n (R una matriz nilpotente de orden l+1 en su forma reducida, entonces existe X Gl(n; R tal que ( A + BF A 1 (I n + BF E XNX 1. De esta manera, considerando Y F A XN F E X, tenemos que las matrices X e Y verifican la ecuación de Stein AXN + X BY. Recíprocamente. Supongamos ahora que existe una matriz F A M m n (R tal que A BF A es invertible y que la ecuación AXN + X BY tiene una solución con X invertible, siendo N una matriz nilpotente de orden r. Consideremos la matriz F E (F A XN Y X 1 M m n (R. Es directo probar que la matriz (I n + BF E ( A + BF A 1 es nilpotente de orden r: ((I n + BF E ( A + BF A 1 r T N r T 1 0, siendo T (( A + BF A X. Así, teniendo en cuenta que ((I n + BF E ( A + BF A r 1 0, ya que N es una matriz nilpotente de orden r, podemos definir las matrices para i 0, 1,..., r 1 Q i ( 1 i (( A + BF A 1 (I n + BF E i ( A + BF A 1, verificándose (I n + BF E Q r 1 0 y Q r 1 0. Finalmente, considerando la matriz polinomial Q(s r 1 i0 Q is i se tiene que P (sq(s I n. Obsérvese que r l Factorización coprima de la matriz de transferencia En esta sección vamos a estudiar la factorización coprima de un sistema Σ (A, B a partir de una solución invertible de la ecuación de Stein AXN + X BY. Recordemos que un par de matrices polinomiales, N(s M n m (R[s] y D(s M m (R[s], se dice coprimo por la derecha si y sólo si existen dos matrices polinomiales X(s M m n (R[s] e Y (s M m (R[s] tales que X(sN(s + Y (sd(s I m. Dada la matriz de transferencia H(s (si n A 1 B asociada a un sistema Σ (A, B, una factorización coprima (por la derecha del sistema viene dada por H(s N(sD 1 (s. Proposición 1 Sea Σ (A, B un sistema tal que existen F E, F A M m n (R verificando que la matriz P (s si n A + sbf E + BF A es invertible. Entonces, el par (N(s, D(s, con N(s P 1 (sb y D(s I m (F A + sf E P 1 (sb, es una factorización coprima del sistema Σ (A, B. 3

4 M. I. García-Planas, M. M López-Cabeceira Demostración: Es sencillo comprobar que las matrices X(s sf E + F A e Y (s I m dotan de carácter coprimo por la derecha al par de matrices (N(s,D(s. Por otra parte, N(sD 1 (s P 1 (sb(i m (F A + sf E P 1 (sb 1 P 1 (s(i n B(F A + sf E P 1 (s 1 B (P (s B(F A + sf E 1 B (si n A 1 B matriz de transferencia del sistema Σ (A, B. Nótese que durante la anterior cadena de igualdades hemos usado la propiedad B(I m XB 1 (I n BX 1 B. Por último, veamos que det D(s det P 1 (s det P (s det(i m (F A +sf E P 1 (sb det P 1 (s det I m det(p (s BIm 1 (F A +sf E det P 1 (s det(si n A, por lo que det D(s es invertible si y sólo si det(si n A es invertible. Nótese que durante la última cadena de igualdades hemos usado la propiedad det A 11 det(a 22 A 21 A 1 11 A 12 det A 22 det(a 11 A 12 A 1 22 A 21, con A 11 y A 22 invertibles no necesariamente del mismo tamaño (véase [10, p.30]. Teorema 2 Sea Σ (A, B un sistema tal que existe F A M m n (R verificando que la matriz A BF A es invertible y existe una matriz Y tal que la ecuación matricial de Stein AXN + X BY, con N matriz nilpotente, tiene una solución X no singular. Entonces, el par (N(s, D(s con coeficientes N 0 XC, N i ( 1 i XN i C para i 1,..., l, D 0 I m F A ( A + BF A 1 B, D 1 Y C y D i+1 ( 1 i+1 Y N i C para i 1,..., l, siendo C X 1 ( A + BF A 1 B, es una factorización coprima del sistema Σ (A, B. Demostración: Por el teorema 1 y la proposición 1 tenemos que, por una parte, N(s l i0 N is i P 1 (sb Q 0 B + Q 1 Bs Q l Bs l, de donde se sigue N 0 Q 0 B ( A+BF A 1 B XX 1 ( A+BF A 1 B XC y N i Q i B ( 1 i (( A+BF A 1 (I n + BF E i ( A + BF A 1 B ( 1 i XN i X 1 ( A + BF A 1 B ( 1 i XN i C para i 1,..., l. Por otra parte, D(s l+1 i0 D is i I m (sf E + F A P 1 (sb I m (sf E + F A (Q 0 B + Q 1 Bs Q l Bs l, de donde se sigue D 0 I m F A Q 0 B I m F A ( A + BF A 1 B y D i F A Q i B F E Q i 1 B ( 1 i F A ((I n + BF E ( A + BF A 1 i ( A + BF A 1 B ( 1 i 1 F E ((I n +BF E ( A+BF A 1 i 1 ( A+BF A 1 B ( 1 i+1 (F A XN i F E XN i 1 X 1 ( A + BF A 1 B ( 1 i+1 Y N i 1 C, para i 1,..., l Resolución de la ecuación de Stein Los resultados anteriores se basan en la existencia de una solución invertible de la ecuación de Stein. En esta sección vamos a determinar condiciones bajo las cuales existe dicha solución. Consideramos la ecuación matricial AXN + X BY con N matriz nilpotente de orden r y linealizamos la ecuación de Stein tensorializando mediante el operador vectorializador (N t A + I n I n vec X (I Bvec Y (ver [9]. A continuación damos una serie de resultados necesarios para el desarrollo de la siguiente sección. No incluimos algunas demostraciones por tratarse de resultados técnicos con demostración directa. Lema 1 Sea M M m n (R una matriz arbitraria. Entonces se verifica: la matriz X r 1 i0 Ai BMN i es una solución de la ecuación AXN + X BM; la matriz N t A es nilpotente de orden r; la matriz N t A+I es invertible y la ecuación de Stein AXN +X BM tiene solución única. Lema 2 Sea la ecuación de Stein AXN + X BM y sea N 1 P NP 1 una matriz nilpotente semejante a N. Entonces X 1 XP 1 es solución de la ecuación AX 1 N 1 +X 1 BM 1 con M 1 MP 1 si y sólo si X es solución de la ecuación de Stein AXN +X BM. 4

5 Ecuación de Stein relacionada con sistemas sobre anillos conmutativos Lema 3 Sea Σ 1 (A 1, B 1 (P 1 AP + P 1 BF A, P 1 BQ con P Gl(n; R, F A M m n (R y Q Gl(m; R. Entonces X es solución de la ecuación de Stein AXN + X BM si y sólo si X 1 P 1 X es solución de la ecuación A 1 X 1 N + X 1 B 1 M 1 con M 1 Q 1 (M + F A P 1 XN. Lema 4 Sean Σ (A, B y Σ 1 (A 1, B 1 dos sistemas feedback equivalentes sobre R. Entonces, A es invertible módulo B si y sólo si A 1 es invertible módulo B 1. Además, si (A 1, B 1 (P 1 AP + P 1 BF A, P 1 BQ y existe K 1 tal que A 1 + B 1 K 1 es invertible, entonces la matriz A + BK es invertible siendo K (F A + QK 1 P 1. Lema 5 Sean A una n n-matriz, B una n m matrix y N una n n-matriz nilpotente de orden r n. Si la ecuación de Stein AXN + X BM tiene solución X invertible para una M dada, entonces el sistema Σ (A, B es accesible. Demostración: Por hipótesis se tiene X BM AXN invertible y por el lema 1 X r 1 i0 Ai BMN i. Así, por ser r n, es claro que la matriz de accesibilidad del sistema verifica U n (B AB A 2 B... A n 1 B R. Nota 1 La existencia de feedbacks F A y F E que hacen que la matriz de transferencia de un sistema Σ (A, B a lazo cerrado sea invertible, está ligada a una solución invertible de la ecuación de Stein AXN +X BY y a la invertibilidad de A módulo B. Es conocido que sobre anillos polo asignables, todo sistema accesible Σ (A, B verifica que A es feedback invertible módulo B. Los cuerpos, anillos locales, dominios de ideales principales, anillos Dedekind y anillos de dimensión cero o uno son anillos polo asignables (ver [4]. 5. Ecuación de Stein sobre un dominio de ideales principales Sea el anillo R un dominio de ideales principales. Vamos a analizar sobre R las dos condiciones: i la solución de la ecuación de Stein ha de ser invertible y ii la matriz A del sistema ha de ser feedback invertible módulo B. En particular, damos de forma explícita la solución al problema para algunas formas reducidas de sistemas Caso accesible de impulso simple Teorema 3 Sea Σ (A, B un sistema accesible de impulso simple. Si N es una matriz nilpotente de orden n, entonces existe una matriz M para la cual la matriz X, solución de la ecuación de Stein AXN + X BM, es invertible. Demostración: Primero veamos que si el orden de nilpotencia es r < n entonces la solución de la ecuación no puede ser invertible. Se tiene X (B... ( 1 r 1 A r 1 B ( 1 r A r B... ( 1 n 1 A n 1 B (M... MN r t (B... ( 1 r 1 A r 1 B (M... MN r 1 t Además, el lema 3 nos permite considerar el sistema en su forma reducida, así Σ R (A R, B R (( ( 0 t 0 1, I n M. X ( 1 r 1. MN r 1 5

6 M. I. García-Planas, M. M López-Cabeceira y obviamente la matriz X no es invertible. Supongamos pues que el orden de nilpotencia de la matriz N es n, y que por el lema 2, podemos considerar una equivalente y en particular en su forma reducida triangular (ver [10], N (a ij con a ij 0 j i. En este caso y 1 y 2 y 3... y n a X. 12 y 1 a 13 y 1 + a 23 y ( 1 n n 1 i1 a iny i n 1 i1 a ii+1y 1 Puesto que el orden de nilpotencia de la matriz N es n, se tiene que a ii+1 0 para todo i 1,... n 1. Por lo tanto, considerando M tal que y 1 0, tenemos el resultado. Corolario 1 Sea Σ (A, B un sistema accesible de impulso simple a coeficientes en un dominio de ideales principales. Entonces, existen dos feedbacks proporcional F A y derivado F E tales que la matriz P (s (si n A + sbf E + BF A es invertible. Demostración: Existen matrices P Gl(n; R, Q Gl(1; R y F M 1 n (R tales que (P 1 AP + P 1 BF, P 1 BQ (A R, B R. Tomando F ( la matriz A R + B R F es invertible, entonces por el lema 4 se obtiene F A tal que la matriz A + BF A es invertible. Finalmente, por el teorema 1, basta considerar F E (F A XN Y X Caso accesible m n Teorema 4 Sea R un dominio de ideales principales. Sea Σ (A, B un sistema accesible n-dimensional m-input, con m n, tal que se puede reducir por equivalencia feedback a ( B In t 0 d n (m n ( ( D 0 n (m n, A a 1 a n 1 a n sobre R. Entonces existe solución invertible a la ecuación de Stein AXN + X BM. Demostración: Sea c (a 1,..., a n 1 el ideal generado por los primeros n 1 elementos de la última fila de la matriz de estados A, entonces existen c 1,... c n 1 tales que c c 1 a c n 1 a n 1. Además, por ser Σ accesible, Σ es accesible existiendo elementos r, s R tales que rc + sd 1. Sean u (rc 2... rc n 1 t y v (a 2... a n 1 t. Veamos entonces que las matrices N, M 1 M n(r y M M m n (R N ( 0 0 t 0 u 0 n 2 0 rc 1 0 t 0, M 1 ( s 0 t 1 0 I n 2 0 a n rc 1 0 t 1, M ( M 1 0 verifican la ecuación de Stein A X N + X B M, siendo por el lema 1 X B M A B M N DM 1 A DM 1N s 0t 1 0 I n 2 0. rc 0 t d En primer lugar, es directo comprobar el carácter nilpotente de orden 2 de la matriz N y el carácter invertible de la matriz X. En segundo lugar, A X N + X 0 0t n 2 0 s 0t 1 0 I n t 0 u 0 n X a 1 v a n rc 0 t d rc 1 0 t 0 6.

7 Ecuación de Stein relacionada con sistemas sobre anillos conmutativos s 0 t 1 0 I n 2 0 a n rc 1 d 0 t d 0 0 t n 2 0 a 1 s a n cr v a 1 + a n d 1 0t 0 0 I n t d 0 0t 0 u 0 (n X rc 1 0 t 0 s 0t 1 0 I n 2 0 DM a n rc 1 0 t 1 B M. 1 Finalmente, obtenemos el resultado por el lema 3: sean las transformaciones A P 1 AP + P 1 BF A y B P 1 BQ, entonces X P 1 X es solución de la ecuación de Stein AXN + X BM para N N y M Q 1 (M + F A P 1 X N. Lema 6 Con las mismas condiciones dadas en el teorema 4, existe una matriz F A tal que A + BF A es invertible. Demostración: El caso n 1 es trivial por ser un sistema accesible. Supongamos n 2. Por una parte, por ser el sistema Σ accesible se tiene que el ideal (a 1, d es R, en particular, (a 1, a 2, d R. Por otra parte, un dominio de ideales principales R es 2-estable, es decir para cada fila uni-modular (µ 1,..., µ r, γ, con r 2, existen elementos α 1,..., α r de R tales que la fila (µ 1 + α 1 γ,..., µ r + α r γ es uni-modular. Así, existen α 1, α 2 R tales que (a 1 + α 1 d, a 2 + α 2 d R, es decir existen elementos a 11 y a 12 de R tales que a 11 (a 1 +α 1 d+a 12 (a 2 +α 2 d 1. Consideramos el sistema Σ (A, B, siendo B B y ( ( A A + B F A A + B a12 a 11 a12 a 11 α 1 α 2 a 1 + α 1 d a 2 + α 2 d una matriz invertible. Por último, la matriz F A se obtiene aplicando el lema 4 a la cadena de sistemas feedback equivalentes Σ Σ Σ. Supongamos ahora n > 2. Por ser el sistema Σ accesible sobre un anillo 2-estable se tiene que (a 1,..., a n 1, d es uni-modular y existen elementos α 1,..., α n 1 de R tales que el ideal (a 1 + α 1 d,..., a n 1 + α n 1 d es R. De esta manera, obtenemos un sistema Σ (A, B equivalente feedback al anterior, dado por B B y la acción de feedback A A + B F A A + B ( α 1 α n 1 0 ( a 1 a, n 1 a n siendo a i a i + α i d para i 1,..., n 1, y verificando que la última fila de la matriz de estados A es uni-modular. Además, es conocido que en un anillo s-estable toda fila unimodular de longitud mayor o igual que s + 1 se puede completar a una matriz invertible mediante un bloque H de tamaño (n 1 n. Por tanto, la acción de feedback dada por F A (Ht 0 t verifica que la matriz A A + B F A es invertible. Finalmente, la matriz F A se obtiene aplicando el lema 4 a la cadena de sistemas feedback equivalentes Σ Σ Σ Σ, donde Σ (A, B con B B. Corolario 2 Con las mismas condiciones dadas en el teorema 4, existen feedbacks F A y F E tales que la matriz P (s (si n A + sbf E + BF A es invertible. Demostración: Basta considerar como F A la matriz obtenida en el lema 6 y, por el teorema 1, F E (F A XN Y X 1. 7

8 M. I. García-Planas, M. M López-Cabeceira 5.3. Caso accesible m < n Teorema 5 Sea R un dominio de ideales principales. Sea Σ (A, B un sistema accesible n-dimensional m-input, con m n 1, sobre R tal que se puede reducir por equivalencia feedback a ( ( B In 1 0 t, A 0 0 a 1 a n sobre R. Entonces existe solución invertible a la ecuación de Stein AXN + X BM. Demostración: Consideremos los sistemas Σ (A, B y Σ (A, B, siendo el sistema Σ la forma reducida del sistema Σ, y el sistema Σ el dado por las matrices A A y B (B 0. Por ser el sistema Σ accesible, tenemos la accesibilidad de los sistemas Σ y Σ. Por otra parte, por el lema 3 la ecuación de Stein AXN +X BM tiene solución invertible si y sólo si la ecuación de Stein A X N + X B M tiene solución invertible. Además, es directo comprobar que la ecuación de Stein A X N + X B M tiene solución invertible si y sólo si la ecuación de Stein A X N + X B M tiene solución invertible. Así, tenemos que mediante la anterior cadena de implicaciones, resolver la ecuación asociada a un sistema accesible n-dimensional (n 1-input es equivalente a resolver la ecuación asociada a un sistema accesible n-dimensional n-input (la cual tiene solución por el teorema 4. Corolario 3 Con las mismas condiciones dadas en el teorema 5, existen feedbacks F A y F E tales que la matriz P (s (si n A + sbf E + BF A es invertible. Referencias [1] J. W. Brewer, J. W. Bunce and F. S. VanVleck, Linear systems over commutative rings, Marcel Dekker, New York (1986. [2] J. Brewer, D. Katz and W. Ullery, Pole Assignability in Polynomial Rings, Power Series rings and Prüfer Domains, J. of Algebra, 106 (1987, pp [3] M. Carriegos, Equivalence Feedback en Sistemas Dinámicos lineales. Tesis Doctoral, Valladolid, España, (1999. [4] M. V. Carriegos and I. García-Planas, On matrix inverses modulo a subspace, Linear Algebra Appl., 379 (2004, pp [5] F. Chun-Hsiung, Pole assignment at infinity and polynomial matrix equations, Int. J. of Systems Sci., 25(9 (1994, pp [6] D. Estes and J. Ohm, Stable range in commutative rings, J. Algebra, 7(3 (1967, [7] I. Gohberg, P. Lancaster and L. Rodman, Matrix Polynomials, Computer science and applied mathematics series, Academic Press, London (1982. [8] J. A. Hermida-Alonso, M.M. López-Cabeceira and M.T. Trobajo, When are dynamic and static feedback equivalent? Linear Algebra Appl., 405 (2005, pp [9] C. C. MacFuffee, The theory of matrices, Chelsea Publ. Com. New York, Corrected reprint of firts edition. [10] B. R. McDonald, Linear Algebra over Commutative Rings, Marcel-Dekker (1984. [11] B. Zhou, G. R. Duan and Z. Y. Li, A stein matrix equation approach for computing coprime matrix fraction description, IET Control Theory Appl., 3(6 (2009, pp