Institut de Matemàtica Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València, E Valencia.

Transcripción

1 Algunas aplicaciones de un resultado de Brauer R. Cantó, R. Bru, A.M. Urbano Institut de Matemàtica Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València, E Valencia Resumen Brauer [1 en 1952 demostró como cambiar un valor propio de una matriz A a partir de una permutación de rango 1 sin modificar el resto de valores propios de A. En este trabajo presentamos algunas aplicaciones que podemos deducir del resultado. En particular, obtenemos, bajo ciertas condiciones, que los polos de un sistema de control en lazo cerrado pueden colocarse de forma arbitraria mediante un feedback de estados, incluso en el caso en que el sistema no sea controlable. Otras aplicaciones están relacionadas con la forma de Jordan de A, el método de deflación de Wielandt para matrices arbitrarias y el de Hotelling para matrices simétricas. In 1953, Perfect [3 presentó una extensión del teorema de Brauer que permitía cambiar r valores propios λ 1,..., λ r, r < n, de la matriz A de orden n, mediante una perturbación de rango r sin cambiar el resto de sus valores propios λ r+1,..., λ n. También presentamos diversas aplicaciones que se deducen de este resultado. Sección en el CEDYA 2011: ALAMA 1. Teorema de Brauer A. Brauer en 1952 demostró el siguiente resultado para una matriz arbitraria. Teorema 1. Sea A una matriz arbitraria, de tamaño n n y con valores propios σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n }. Sea x k un vector propio de A asociado al valor propio λ k, y sea q un vector n-dimensional cualquiera. Entonces la matrix A + x k q T tiene como valores propios {λ 1,..., λ k 1, λ k + x T k q, λ k+1,..., λ n }. Demostración. Demostramos el teorema suponiendo, sin pérdida de generalidad, que el valor propio que cambiamos es λ 1. [ Sea S = [x 1 Y una matriz invertible y S 1 l1 =. Como Ax V 1 = λ 1 x 1 se verifica S 1 AS = [ l1 V [ l1 A [x 1 Y = V [ λ1 l [Ax 1 AY = 1 AY O V AY de donde obtenemos que σ(v AY ) = {λ 2,..., λ n }. Además, [ [ [ S 1 (x 1 q T l1 )S = (x V 1 q T 1 )S = q T q S = T x 1 q T Y O O O

2 Por tanto, S 1 (A + x 1 q T )S = S 1 AS + S 1 (x 1 q T )S [ [ λ1 l = 1 AY q + T x 1 q T Y O V AY O O [ λ1 + q = T x 1 l 1 AY + q T Y O V AY y como consecuencia σ(a + x 1 q T ) = {λ 1 + q T x 1 } σ(v AY ) = {λ 1 + q T x 1, λ 2,..., λ n }. Nota 1. Si se verifican las tres condiciones siguientes: 1. S cumple que S 1 AS = J A, siendo J A la forma de Jordan de A, 2. λ 1 tiene asociado una cadena de Jordan de longitud uno, es decir, l 1 AY = O 1 (n 1) 3. se elige q como vector ortogonal al resto de vectores propios de A, esto es, q T x i = 0, i = 2,..., n, i.e., q T Y = O 1 (n 1), entonces a partir de la demostración del Teorema 1 se tiene que [ S 1 (A + x 1 q T λ1 + q )S = T x 1 O siendo O V AY [ S 1 λ1 O AS = = J O V AY A. Por tanto, las matrices A y A + x 1 q T tienen la misma estructura de Jordan. Nota 2. En las condiciones del Teorema 1 se verifica que 1. El vector propio x k de la matriz A asociado al valor propio λ k que cambiamos, es también un vector propio de la matrix A + x k q T asociado al valor propio µ k = λ k + x T k q. 2. Los vectores propios de la matrix A + x k q T asociados a los valores propios λ i, i k, que no se modifican son: w i = x i qt x i µ k λ i x k, con µ k = λ k + x T k q. 3. Los vectores propios l T i por la izquierda de A asociados a los valores propios λ i, i k que no cambiamos, son también vectores propios por la izquierda de la matriz A + x k q T asociados a los mismos valores propios.

3 4. Si la matriz A es diagonalizable, entonces el vector propio por la izquierda de A + x k q T asociado a µ k = λ k + x T k q es: r T k = l T k + n i = 1 i k q T x i µ k λ i l T i. Como consecuencia inmediata tenemos los siguientes resultados. Corolario 1. Si λ k es el valor propio dominante de la matriz A y elegimos el vector q de forma que q T x k = λ k, obtenemos el método de deflación de Wielandt dado en 1944 (ver [5). Corolario 2. Sea A una matriz simétrica, de tamaño n n y con valores propios σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n }, y sea x k un vector propio normalizado de A asociado al valor propio λ k. Entonces, la matriz simétrica A + (µ k λ k )x k x T k tiene como valores propios {λ 1,..., λ k 1, µ k, λ k+1,..., λ n }. Nota Por ser A simétrica sabemos que es diagonalizable y que podemos elegir la matriz de vectores propios X = [x 1 x 2... x n ortogonal. En este caso, la matriz A + (µ k λ k )x k x T k es diagonalizable y los vectores propios asociados a los valores propios que no cambiamos siguen siendo los mismos que los de A. 2. Si µ k = 0 y λ k es el valor propio dominante, el corolario anterior proporciona el método de deflación de Hotelling para matrices simétricas [5. Corolario 3. Sea A una matriz arbitraria, de tamaño n n y con valores propios σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n }. Sea x k un vector propio de A asociado al valor propio λ k. Entonces, la matriz A + (µ k λ k )x k lk T tiene como valores propios {λ 1,..., λ k 1, µ k, λ k+1,..., λ n }, donde lk T es un vector propio por la izquierda de A asociado a λ k tal que lk T x k = 1. Nota Es inmediato comprobar que, al igual que en el caso anterior, los vectores propios siguen siendo los mismos y la estructura de Jordan de los valores propios que no cambiamos tampoco cambia. 2. Si µ k = 0 y λ k es el valor propio dominante, el corolario anterior proporciona el método de deflación de Hotelling para matrices no simétricas [5. 2. Teoría de Control Otra aplicación que podemos obtener a partir del teorema de Brauer es en Teoría de Control. Concretamente en el problema de asignación de polos cuando el sistema dado por el par (A, b) no es completamente controlable.

4 Consideremos el par (A, b) y sean σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n } los valores propios de A. Bajo qué condiciones existe un vector f tal que σ(a + bf T ) = {λ 1,..., λ k 1, µ k, λ k+1,..., λ n }? El siguiente resultado responde a dicha pregunta. Proposición 1. Consideremos el par (A, b), sean σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n } los valores propios de A y x k un vector propio de la matriz A T asociado al valor propio λ k. Si b T x k 0 existe un vector f tal que σ(a + bf T ) = {λ 1,..., λ k 1, µ k, λ k+1,..., λ n }. Nota Dado que el espectro de la matriz A T es el mismo que el de A, se aplica el Teorema de Brauer a la matriz A T para probar la proposición anterior. Teniendo en cuenta este resultado, podemos afirmar que el problema planteado tiene solución siempre que el vector propio x k de la matriz A T asociado al valor propio que queremos cambiar λ k, no sea ortogonal al vector b (es decir b T x k 0). Cuando esta condición se verifica para todos los vectores propios de A T se dice que el par (A, b) es completamente controlable. Esta caracterización es equivalente a decir que rank[b, Ab, A 2 b,..., A n 1 b = n (test de Popov, Belevitch y Hautus [2) y en este caso podemos cambiar cualquier valor propio. El problema de asignación de polos para sistemas de simple entrada y completamente controlables se resuelve transformando la matriz del sistema en una de las formas canónicas conocidas tales como forma Hessenberg, matriz compañera, etc. La ventaja del resultado propuesto es que no necesitamos, por regla general, que el par (A, b) sea completamente controlable y tampoco necesitamos obtener una forma canónica de A. 2. Si el valor propio µ k que introducimos es distinto del resto de valores propios que no cambiamos se verifica que los vectores propios de la matriz A T cambian en la forma descrita en la Nota 2. Por tanto, tenemos que el vector propio de A T asociado al valor propio que cambiamos se mantiene, al igual que los vectores propios de A T asociados a los valores propios que no podemos cambiar porque verifican que b T x i = 0. El resto de vectores propios cambian al vector propio w i correspondiente. 3. Teniendo en cuenta la forma en que cambian los vectores propios de la matriz A T al realizar el feedback de estados, no es difícil comprobar que si inicialmente el producto b T x j 0, una vez realizado el feedback de estados también se verifica que b T w j 0. Ejemplo 1. Consideremos el par (A, b) A = 1 2 1, b =

5 que no es completamente controlable puesto que la matriz de controlabilidad C(A, b) = [b Ab A 2 b = tiene rango 2. El espectro de la matriz A es σ(a) = σ(a T ) = {0, 1, 1} y los vectores propios de A T asociados a cada uno de los valores propios son: x T λ=0 = (α, α, 0) α 0 = b T x λ=0 = 0 x T λ=1 = (α, α, α) α 0 = b T x λ=1 = α x T λ= 1 = (α, 3α, α) α 0 = b T x λ= 1 = α Como podemos observar, aunque el sistema no es completamente controlable, podemos cambiar todos los valores propios excepto λ = 0. Por ejemplo, si queremos cambiar λ = 1 por µ = 0.5 lo único que tenemos que hacer es elegir como vector propio de A T asociado al valor propio λ = 1 el que verifica b T x λ=1 = α = = 0.5 = α = 0.5 Así pues, con f T = ( 0.5, 0.5, 0.5) tenemos A + bf T = y σ(a + bf T ) = {0, 0.5, 1} Los vectores propios de la matriz A T + fb T son w T λ=0 = x T λ=0 bt x λ=0 0.5 xt λ=1 = x T λ=0 = (α, α, 0) w T λ=0.5 = x T λ=1 = (α, α, α) wλ= 1 T = x T λ= 1 bt x λ= 1 ( = α 3, 10 3, 4 ) 3,. x T λ=1 = (α, 3α, α) α ( 0.5, 0.5, 0.5) 1.5 Como hemos comentado, se verifica que los productos b T w λ=0.5 y b T w λ= 1 son distintos de cero, mientras que b T w λ=0 = 0. Así pues, podemos continuar con el proceso de cambiar todos los valores propios menos el nulo. 3. Teorema de Rado En 1955 Perfect [3 presentó un resultado, probado por R. Rado, que es una extensión del Teorema de Brauer. Al igual que en el caso anterior, una

6 consecuencia inmediata de dicho resultado son los métodos de deflación por bloques. Teorema 2. [4, Theorem 5 Sea A una matriz arbitraria, de tamaño n n y con valores propios σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n }. Sea X = [x 1 x 2... x r una matriz n r, con rank(x) = r y tal que Ax i = λ i x i, i = 1, 2,..., r, y sea C una matriz arbitraria r n. Entonces la matriz A + XC tiene como valores propios {µ 1, µ 2,..., µ r, λ r+1, λ r+2,..., λ n }, donde µ 1, µ 2,..., µ r son los valores propios de la matriz Ω + CX, con Ω = diag(λ 1, λ 2,..., λ r ). Nota En el teorema anterior cambiamos en un solo paso los valores propios {λ 1,..., λ r } por {µ 1, µ 2,..., µ r }. Con relación a los vectores propios asociados {x 1, x 2,..., x r } ya no son, por regla general, vectores propios asociados a los nuevos valores propios de la matriz A + XC. 2. Si la matriz arbitraria C la elegimos de manera que cumpla CX = diag(µ 1 λ 1, µ 2 λ 2,..., µ r λ r ) tendremos que Ω + CX = diag(µ 1, µ 2,..., µ r ) y los vectores propios asociados {x 1, x 2,..., x r } a los valores propios que cambiamos pasan a ser los vectores propios asociados a los nuevos valores propios de la matriz A + XC. 3. Si la matriz A es diagonalizable, x r+1, x r+2,..., x n son los vectores propios asociados a los valores propios que no cambiamos λ r+1, λ r+2,..., λ n y Ω + CX = diag(µ 1, µ 2,..., µ r ), entonces los vectores propios de la matriz A + XC asociados a dichos valores propios son: w i = x i r j=1 donde c j es la fila j-ésima de la matriz C. c j x i µ j λ i x j i = r + 1, r + 2,..., n A partir del Teorema 2 podemos obtener los siguientes resultados. Corolario 4. Sea A una matriz simétrica, de tamaño n n y con valores propios σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n }. Sea X = [x 1, x 2,..., x r una matriz de vectores propios de A ortonormales y asociados a los valores propios λ 1, λ 2,..., λ r. Sea Ω = diag(λ 1, λ 2,..., λ r ), Θ = diag(µ 1 λ 1, µ 2 λ 2,..., µ r λ r ) y C = ΘX T, entonces la matriz simétrica B = A + XC tiene como valores propios {µ 1, µ 2,..., µ r, λ r+1, λ r+2,..., λ n }. Nota En este caso es inmediato comprobar que los vectores propios asociados a los valores propios que no cambian siguen siendo los mismos. 2. Si µ i = 0 para i = 1, 2,..., r y {λ 1, λ 2,..., λ r } son los r primeros valores propios dominantes de la matriz A, el resultado anterior es la extensión del método de deflación de Hotelling para matrices simétricas.

7 Corolario 5. Sea A una matriz arbitraria de tamaño n n y con valores propios σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n }. Sean X = [x 1, x 2,..., x r e L = [l 1, l 2,..., l r dos matrices n r, con rank(x) = rank(l) = r, tales que Ax i = λ i x i, l T i A = λ il T i y L T X = I. Sea Ω = diag(λ 1, λ 2,..., λ r ), Θ = diag(µ 1 λ 1, µ 2 λ 2,..., µ r λ r ) y C = ΘL T, entonces la matriz B = A + XC tiene como valores propios {µ 1, µ 2,..., µ r, λ r+1, λ r+2,..., λ n }. Nota Es inmediato comprobar que, al igual que en el caso anterior, los vectores propios siguen siendo los mismos y la estructura de Jordan de los valores propios que no cambiamos tampoco cambia. 2. Si µ i = 0 para i = 1, 2,..., r y {λ 1, λ 2,..., λ r } son los r primeros valores propios dominantes de la matriz A, el corolario anterior es la extensión del método de deflación de Hotelling para matrices no simétricas. Agradecimientos Este trabajo está financiado por el proyecto de la DGI MTM y el Programa de Apoyo a la Investigación y Desarrollo (PAID-06-10) de la UPV. Bibliografía [1 A. Brauer. Limits for the characteristic roots of matrices IV: Applications to stochastic matrices. Duke Math. J., vol. 19 (1952), [2 M. L. J. Hautus. Controllability and observability condition of linear autonomous systems. Ned. Akad. Wetenschappen, Proc. Ser. A, vol. 72, (1969), [3 H. Perfect. Methods of constructing certain stochastic matrices. II. Duke Math. J., vol. 22 (1955), [4 R. L. Soto, O. Rojo. Applications of a Brauer theorem in the nonnegative inverse eigenvalue problem. Linear Algebra and its Applications, vol. 416 (2006), [5 J. H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford Science, Oxford, Inglaterra, 1965.