UNIDAD 5. p. 99 UNIDAD 6. p. 117 UNIDAD 7. p. 135 UNIDAD 8. p. 163

Transcripción

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2 Dibujo técnico 2 Tabla de contenidos Conocimientos teóricos Aplicaciones prácticas UNIDAD 1 Curvas cónicas y técnicas p Generación de las curvas cónicas 1.1 Clasificación 1.2 Elementos de una curva cónica 2. La elipse 3. La parábola 4. La hipérbola 5. La circunferencia 5.1 Ángulos relacionados 5.2 Arco capaz 1. Construcciones de la elipse 1.1 Conocidos los ejes, por puntos 1.2 Conocidos los ejes, por afinidad 1.3 Conocidos los ejes, por haces proyectivos 1.4 Conocidos dos diámetros conjugados 1.5 Conocidos los ejes, método de la tarjeta 2. Construcción de la parábola 2.1 Conocidos el foco y la directriz 2.2 Conocidos el vértice, el eje y uno de sus puntos 3. Construcción de la hipérbola 3.1 Conocidos los ejes, por puntos UNIDAD 2 Ampliación de polígonos y escalas p Curvas técnicas 6.1 Curvas cíclicas 1. Triángulos 1.1 Elementos, triángulos relacionados 1.2 Relaciones entre los elementos de un triángulo 1.3 Segmento de Euler 1.4 Circunferencia de los nueve puntos 2. Polígonos regulares 2.1 Pentágono regular y número fi 2.2 Decágono regular y número fi 4. Trazados de curvas cíclicas 4.1 Evolvente de la circunferencia 4.2 La cicloide 4.3 La epicicloide 4.4 La hipocicloide 1. Trazados de triángulos 2. Trazados de polígonos regulares 3. Construcción de escalas 3. Proporcionalidad y semejanza 3.1 Tipos de escalas. Escalas normalizadas UNIDAD 3 Transformaciones geométricas p Concepto y tipos de transformaciones 1.1 Transformaciones isométricas 1.2 Transformaciones isomórficas 2. Homología 2.1 Homología en el espacio 2.2 Homología en el plano. Características 2.3 Rectas límite de una homología plana 2.4 Construcciones fundamentales en homología plana 2.5 Determinación de una homología plana 3. Afinidad 1. Utilización de las transformaciones 1.1 Aplicación de la homotecia 1.2 Aplicaciones de la homología 1.3 Aplicaciones de la afinidad 1.4. Resolución de tangencias por inversión 4. Inversión 4.1 Concepto de inversión y elementos 4.2 Inverso de un punto 4.3 Inversa de una recta 4.4 Inversa de una circunferencia UNIDAD 4 Generalización del estudio de tangencias p Potencia respecto a una circunferencia 1.1 Concepto de potencia. Expresiones de la misma 1.2 Eje radial de dos circunferencias. Propiedades 1.3 Centro radical de tres circunferencias. Propiedades 2. Propiedades de las tangentes a las cónicas 2.1 Elipse 2.2 Parábola 2.3 Hipérbola 1. Tangencias con circunferencias 1.1 Casos posibles 1.2 Resoluciones basadas en el eje radical 1.3 Resoluciones basadas en la inversión 2. Tangencias con otras cónicas 2.1 Tangentes a la elipse 2.2 Tangentes a la parábola 2.3 Tangentes a la hipérbola

3 Conocimientos teóricos Aplicaciones prácticas UNIDAD 5 Sistema diédrico. Movimientos p Cambios de plano 1.1 Nuevas proyecciones del punto 1.2 Nuevas proyecciones de la recta 1.3 Nuevas proyecciones del plano 2. Giro 2.1 Giro de un punto 2.2 Giro de una recta 2.3 Giro de un plano 3. Abatimiento 3.1 Abatimiento de un plano 3.2 Abatimiento de los elementos contenidos en un plano 1. De los cambios de plano 1.1 Obtener posiciones favorables de rectas 1.2 Obtener posiciones favorables de planos 2. De los giros 2.1 Obtener posiciones favorables de rectas 2.2 Obtener posiciones favorables de planos 3. De los abatimientos 3.1 Trazado de formas en verdadera magnitud 3.2 Restituir a proyecciones formas abatidas UNIDAD 6 Sistema diédrico. Verdaderas magnitudes p Distancias entre los elementos fundamentales. Posiciones favorables de resolución 1.1 Entre dos puntos 1.2 Entre punto y plano 1.3 Entre punto y recta 1.4 Entre rectas paralelas 1.5 Entre planos paralelos 1.6 Entre rectas que se cruzan 2. Ángulos entre elementos fundamentales. Posiciones favorables 2.1 Entre dos rectas 2.2 Entre dos planos 2.3 Entre recta y plano 2.4 Con los planos de proyección 1. Distancias en verdadera magnitud. Resolución en proyecciones 1.1 Entre dos puntos 1.2 Entre punto y plano 1.3 Entre punto y recta 1.4 Entre rectas paralelas 1.5 Entre planos paralelos 1.6 Entre rectas que se cruzan 2. Ángulos en verdadera magnitud. Resolución en proyecciones 2.1 Entre dos rectas que se cruzan 2.2 Entre dos planos 2.3 Entre recta y plano 2.4 Con los planos de proyección UNIDAD 7 Sistema diédrico. Poliedros regulares p Superficies y cuerpos. Introducción 1.1 Concepto de superficie 1.2 Generación y clasificación 1.3 Poliedros regulares 1.4 Fórmula de Euler 1.5 Poliedros conjugados 2. Características de los diferentes poliedros regulares 2.1 Tetraedro: elementos y relaciones 2.2 Hexaedro: elementos y relaciones 2.3 Octaedro: elementos y relaciones 2.4 Dodecaedro e icosaedro 1. Representaciones de los poliedros regulares 1.1 El tetraedro 1.2 El hexaedro o cubo 1.3 El octaedro 1.4 El dodecaedro 1.5 El icosaedro 2. Secciones planas, desarrollos y transformadas 2.1 Secciones planas de los poliedros 2.2 Intersecciones recta-poliedro 2.3 Desarrollos 3. Presencia de los poliedros regulares 3.1 Antecedentes históricos 3.2 Poliedros y arte UNIDAD 8 Superficies radiales p Superficies radiales de vértice propio 1.1 Concepto y clasificación 1.2 La pirámide: clasificación y elementos 1.3 El cono: clasificación y elementos 2. Superficies radiales de vértice impropio 2.1 Concepto y clasificación 2.2 El prisma: clasificación y elementos 2.3 El cilindro: clasificación y elementos 3. Secciones planas. Intersecciones con rectas 3.1 Sección plana. Métodos de determinación 3.2 Secciones planas particulares 3.3 Intersección recta-cuerpo 1. Representaciones más usuales de las diferentes superficies 1.1 La pirámide 1.2 El cono 1.3 El prisma 1.4 El cilindro 2 Secciones planas e intersecciones 2.1 Secciones planas de sólidos 2.2 Intersección recta-cuerpo 3 Desarrollos y transformadas 4. Desarrollos 4.1 Concepto 4.2 Desarrollo de un prisma oblicuo 4.3 Desarrollo del cono de revolución. Rectificación

4 Dibujo técnico 2 Tabla de contenidos Conocimientos teóricos Aplicaciones prácticas UNIDAD 9 Axonometria ortogonal y oblicua p Características del sistema axonométrico 2. Proyección de los elementos fundamentales 2.1 Representación del punto 2.2 Representación de la recta 2.3 Representación del plano 3. Trazas de un plano 3.1 Con las caras del triedro de referencia 3.2 Traza ordinaria de un plano 4. Determinación de intersecciones 4.1 De dos planos cualesquiera 4.2 Entre recta y plano 4.3 Entre dos superficies o sólidos 1. Paso de diédrico a axonométrico 1.1 Abatimiento de las caras del triedro 1.2 Perspectiva por intersección de proyecciones 2. Representación de sólidos 2.1 Cuerpos poliédricos 2.2 Cuerpos de revolución 5. Determinación de verdaderas magnitudes 5.1 Determinación de la cota de un punto 5.2 Abatimiento de un plano 6. Formas de definir un sistema axonométrico 1. Percepción visual y fotográfica 2. Fundamentos de la perspectiva cónica 2.1 Elementos a considerar 1. Construcción de perspectivas frontales 1.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva 1.2 Perspectiva de formas planas 1.3 Perspectiva de sólidos UNIDAD 10 La perspectiva cónica p Perspectiva cónica: tipos 4. Variaciones y tipologías de la perspectiva cónica 5. Representación de los elementos fundamentales 5.1 Representación del punto 5.2 Representación y tipos de rectas 5.3 Representación y tipos de planos 2. Construcción de perspectivas oblicuas 2.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva 2.2 Perspectiva de formas planas 2.3 Perspectiva de sólidos 6. Determinación de intersecciones 6.1 Intersección de planos 6.2 Intersección de recta y plano 1. Representación normalizada de cuerpos 1.1 Sistema europeo 1.2 Sistema americano 1.3 Elección del alzado y vistas necesarias 1.4 Vistas especiales 1. Representar los cortes indicados en las vistas de una pieza 2. Representar las vistas de una pieza dada 3. Despiece de un conjunto mecánico UNIDAD 11 Normalización 2. Cortes, secciones y roturas 2.1 Concepto de corte y sección; representación 2.2 Tipos de cortes 2.3 Tipos de secciones 2.4 Simplificación por rotura 4. Dibujo de construcción p Representación de elementos roscados 3.1 Tipos de roscas y dimensiones fundamentales 3.2 Representación simbólica de roscas 4. Acotación 4.1 Elementos de acotación 4.2 Sistema de distribución de cotas 4.3 Principios de acotación

5 Conocimientos teóricos Aplicaciones prácticas 1. Elementos de trabajo 3D 1.1 Las ventanas gráficas 1.2 El sistema de coordenadas personales SCP 1.3 Modos de visualización 1. Creación de objetos 3D UNIDAD 12 Dibujo en CAD, tres dimensiones p Superficies y sólidos 2.1 Superficies 2.2 Sólidos 2.3 Región 3. Órdenes de creación y edición de superficies y sólidos 3.1Generar sólidos a partir de las 2D Extrusión Revolución Solevar 3.2 Edición de sólidos Matriz 3D Girar 3D Simetría 3D 4. Operaciones boleanas en sólidos 4.1 Unión 4.2 Diferencia 4.3 Intersección 1. Espacio papel 1. Presentaciones en espacio papel e impresión de las mismas UNIDAD 13 Dibujo en CAD, espacio papel p Obtención de vistas a partir de un sólido 3D 2.1 Solview (configurar vista) y soldraw 2.2 Creación del perfil de un sólido 3. Acotación de vistas en espacio papel 4. Visualización de sólidos en perspectiva cónica 4.1 Crear cámaras 4.2 Visualización 3D UNIDAD 14 Dibujo en CAD, modelaje de sólidos p Configuración del modelizado 2. Ventana render 3. Utilización de materiales y texturas 4. Asignación de luces y determinación de sombras 4.1 Luz puntual 4.2 Luz distante 4.3 Foco de luz 5. Otros elementos paisajísticos y efectos realistas 5.1 Fondo 5.2 Niebla 1. Realizar renders de instalaciones sencillas Pág. 343 Términos utilizados Pág. 347 Bibliografía Cuestiones y ejercicios. Contenido básico de todas las unidades en formato hipermedia navegable mediante mapas conceptuales.

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7 1 Curvas cónicas y técnicas UNIDAD CONOCIMIENTOS TEÓRICOS 1 Generación de las curvas cónicas 1.1 Clasificación 1.2 Elementos de una curva cónica 2 La elipse 3 La parábola 4 La hipérbola 5 La circunferencia 5.1 Ángulos relacionados 5.2 Arco capaz 6 Curvas técnicas 6.1 Curvas cíclicas APLICACIONES PRÁCTICAS 1 Construcciones de la elipse 1.1 Conocidos los ejes, por puntos 1.2 Conocidos los ejes, por afinidad 1.3 Conocidos los ejes, por haces proyectivos 1.4 Conocidos dos diámetros conjugados 1.5 Conocidos los ejes, método de la tarjeta 2 Construcción de la parábola 2.1 Conocidos el foco y la directriz 2.2 Conocidos el vértice, el eje y uno de sus puntos 3 Construcción de la hipérbola 3.1 Conocidos los ejes, por puntos 4 Trazados de curvas cíclicas 4.1 Evolvente de la circunferencia 4.2 La cicloide 4.3 La epicicloide 4.4 La hipocicloide CUESTIONES Y EJERCICIOS

8 UNIDAD 1 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Curvas cónicas y técnicas Las curvas planas se subdividen en cónicas y técnicas; de las primeras hablaremos en los próximos apartados. Una parte de las técnicas, óvalos, espirales, volutas, etc., las conocemos de Dibujo técnico 1; en la presente unidad y como ampliación de las curvas técnicas, estudiaremos las denominadas curvas cíclicas. 1 GENERACIÓN DE LAS CURVAS CÓNICAS Las curvas cónicas se obtienen como sección plana de un cono de revolución; debemos empezar, por tanto, por referirnos a las superficies de revolución (de las que volveremos a hablar en la unidad 8) y, dentro de éstas, a la superficie cónica. Una superficie de revolución se genera por el movimiento de rotación, alrededor de un eje, de una línea a la que llamamos generatriz y de forma que sus puntos, durante todo el movimiento, se mantienen a la misma distancia del eje. Según el tipo de generatriz y de su posición en relación al eje, tendremos, por ejemplo, las diferentes superficies de revolución de la figura 1. Superficie cilíndrica Superficie cónica Superficie esférica Fig. 1 La superficie cónica se genera por el movimiento de una generatriz recta alrededor de un eje con el que se corta en un punto, al que llamamos vértice de la superficie cónica. El ángulo con que la generatriz corta al eje es constante; el espacio delimitado por la superficie cónica es el volumen llamado cono de revolución. Superficie parabólica Dos son, por tanto, los elementos necesarios para generar una curva cónica: la superficie cónica de revolución y un plano secante que, en función de su posición, determinará las curvas cónicas que veremos a continuación. 10

9 Curvas cónicas y técnicas CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD Clasificación Cuatro son las posiciones que puede ocupar el plano secante en relación a los elementos de la superficie cónica, siendo, por tanto, cuatro diferentes las curvas cónicas que podemos generar: Circunferencia. Cuando el plano secante es perpendicular al eje de la superficie cónica (Fig. 2). Hipérbola. Si el plano secante es paralelo al eje de la superficie cónica (Fig. 3). Es el único caso en que el plano secante corta las dos ramas de la superficie cónica, opuestas por el vértice. Parábola. Cuando el plano secante es paralelo a una de las generatrices de la superficie cónica (Fig. 4). Elipse. Si el plano secante es oblicuo al eje y a las generatrices de la superficie cónica, cortando a todas ellas (Fig. 5). Junto con la circunferencia, la elipse es la única curva cónica cerrada; las otras dos, parábola e hipérbola, son abiertas. Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 11

10 UNIDAD 1 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Curvas cónicas y técnicas De la circunferencia y de sus elementos ya hablamos en la unidad 5 de Dibujo técnico 1. Ahora, al estudiar las curvas cónicas, nos referiremos a las otras tres; el estudio de la circunferencia lo centraremos en los ángulos relacionados con la misma y, en especial, en el arco capaz. 1.2 Elementos de una curva cónica En todas las cónicas encontraremos los siguientes elementos, que describimos de forma general, y con las particularidades señaladas para cada una de las curvas: Monumento a la paz en Hiroshima con forma de paraboloide hiperbólico. Ejes de simetría. La elipse y la hipérbola tienen dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. La parábola tiene un único eje de simetría. Vértices. Son los puntos de intersección entre cada curva cónica y sus ejes respectivos. Centro. Es el punto de intersección de los ejes. Focos. Están situados sobre un eje de simetría. Son los puntos de contacto de las esferas inscritas en el cono con el plano secante que produce la sección cónica. La elipse y la parábola tienen dos focos, F y F, y la parábola, uno sólo. Circunferencia principal. Es el lugar geométrico de las proyecciones de los focos sobre las rectas tangentes a la cónica; su centro es el de la elipse o hipérbola, siendo su diámetro igual a la longitud del eje mayor de la cónica. Circunferencia focal. Es el lugar geométrico de los puntos simétricos de un foco en relación a las rectas tangentes a la cónica; su centro es el otro foco y su radio es igual a la longitud del eje mayor. En el caso de la parábola, tanto la circunferencia focal como la principal tienen radio infinito. 2 LA ELIPSE La elipse es una curva, cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F y F, es constante e igual a la longitud del eje mayor de la cónica. Los elementos que en el apartado 1.2 hemos definido de forma general para cualquier curva cónica, los concretamos en la figura 6 para la elipse. En ella tenemos: Fig. 6 Ejes. Eje mayor o real, el segmento AB, y eje menor o virtual, el segmento CD. Ambos se cortan en sus puntos medios determinando el centro O. Vértices. Son los puntos A, B, C y D. A la longitud AB se la 12

11 Curvas cónicas y técnicas CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 1 representa por 2a, y, de forma similar, a la longitud CD, por 2b. Las longitudes a y b representan a los semiejes mayor y menor, respectivamente. Focos. Son los puntos F y F. Conocidos los ejes, podemos determinar los focos haciendo centro en C o D y, con radio igual a la longitud a del semieje mayor, trazar un arco que cortará al eje mayor en los puntos F y F. El vértice C, por pertenecer a la elipse, ha de cumplir la definición dada como lugar geométrico, por tanto, la suma de distancias a los focos CF y CF ha de ser igual a la longitud 2a; en nuestro caso se cumple al ser CF = CF = a. La distancia entre los focos se denomina distancia focal de la elipse, representándose el segmento FF como 2c. En matemáticas, a partir de los valores a, b y c se establece la ecuación analítica de la elipse. Circunferencias focal y principal. Trazadas de acuerdo a las definiciones dadas en el apartado anterior. Podemos trazar dos circunferencias focales, cada una de ellas con centro en uno de los focos y con radio igual a la longitud 2a. Anfiteatro del s. I a.c. Pompeya, Italia. En las Aplicaciones prácticas veremos diferentes maneras de construir una elipse a partir, normalmente, de las longitudes de sus ejes. En todos los casos, y como en las restantes cónicas a excepción de la circunferencia, el trazado debe realizarse a mano alzada uniendo los puntos de la cónica previamente determinados. 3 LA PARÁBOLA La parábola es una curva, abierta y plana, lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado foco, F, y de una recta denominada directriz. Los elementos a considerar en una parábola (Fig. 7), son: Eje. Un único eje de simetría que es perpendicular a la directriz; sobre él se hallan el vértice y el foco de la parábola. Vértice. Es el punto A de intersección entre la parábola y el eje de simetría. Como todos los demás puntos de la parábola, equidista del foco y de la directriz. Foco. Junto con la directriz son los dos elementos fijos de referencia en el trazado de la parábola. La directriz es la forma que en la parábola toma la circunferencia focal al tener radio infinito. Parámetro. Es la distancia entre el foco y la directriz. Fig. 7 13

12 UNIDAD 1 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Curvas cónicas y técnicas 4 LA HIPÉRBOLA La hipérbola es una curva abierta y plana, lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F y F, es constante e igual a la longitud del eje mayor de la cónica; la hipérbola está formada por dos ramas simétricas respecto a los dos ejes de la curva. Los elementos a considerar en una hipérbola (Fig. 8), son: Fig. 8 Ejes. El eje real contiene los vértices (puntos A y B de intersección entre eje y cónica) y los focos. La mediatriz del segmento AB es el eje imaginario; sobre él medimos el segmento CD, de valor 2b. Como en la elipse, el eje real se representa por 2a. Ambos ejes lo son de simetría de la hipérbola. Focos. Son los puntos F y F, citados en la definición de la hipérbola, y situados en el eje real de la cónica. Se determinan haciendo centro en el punto O de intersección de los dos ejes y con un radio igual a la distancia AC. El segmento FF es la distancia focal e igual a 2c. Los parámetros a, semieje real, b, semieje imaginario, y c, semidistancia focal, están relacionados por la expresión c 2 = a 2 + b 2 obtenida aplicando el teorema de Pitágoras en la figura 8. Circunferencias focal y principal. Trazadas de acuerdo con los elementos descritos en 1.2. Podemos trazar dos circunferencias focales, cada una de ellas con centro en uno de los focos, siendo sus radios iguales a la longitud 2a. La circunferencia principal tiene su centro en O y su radio es igual a la longitud del semieje real. Asíntotas. Son rectas que pasan por el centro O de intersección entre los ejes de la hipérbola, y a las cuales la curva tiende a aproximarse sin llegar a incidir en ellas. Para determinar su posición, trazamos desde los focos rectas tangentes a la circunferencia principal, obteniendo así el punto T por el que pasará una de las asíntotas; la otra se obtiene de la misma manera, o por simetría de la anterior en relación a los ejes de la hipérbola. 5 LA CIRCUNFERENCIA Noria del Milenio (London eye). Londres. La circunferencia es una curva, cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro interior llamado centro; la distancia entre éste y cualquiera de los puntos de la circunferencia es el radio de la misma. 14

13 Curvas cónicas y técnicas CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD Ángulos relacionados En relación a una circunferencia podemos establecer los siguientes ángulos: Ángulo central Es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados dos radios de la misma (Fig. 9). La medida del arco es la del ángulo central correspondiente y viceversa. Este ángulo se utiliza como referencia para determinar el valor de los otros ángulos relacionados. Ángulo inscrito Llamamos ángulo inscrito a aquel que, con el vértice sobre la circunferencia, tiene sus lados secantes. La intersección de los lados con la circunferencia define un arco que diremos está comprendido o delimitado por el ángulo. El valor del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. En la figura 10, el triángulo AOV es isósceles, siendo iguales los ángulos de vértices A y V; su suma es lo que falta al ángulo de vértice en O del mismo triángulo para valer 180º. Por tanto, OAV + AVO = AOB, y dada la igualdad entre los dos primeros ángulos, podremos establecer que 2AVO = AOB y, finalmente, que AVO = AOB/2. La demostración anterior, efectuada cuando uno de los lados del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia, puede efectuarse de igual manera y, por tanto, generalizarse para cualquier posición de los lados del ángulo inscrito. Fig. 9 Fig. 10 Ángulo semiinscrito Puede considerarse como un caso particular del anterior, cuando uno de los lados del ángulo sea tangente a la circunferencia (Fig. 11). Su valor también será la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco delimitado por los lados del ángulo semiinscrito: AVB = VOB/2. Ángulo interior Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto del interior de la circunferencia (Fig. 12), y sus lados son secantes a la misma. Su valor es la semisuma de los dos ángulos centrales correspondientes a los arcos abarcados por sus lados y por las prolongaciones de éstos. Fig. 11 En cualquier triángulo, en el AVB, por ejemplo, el valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes; así, el ángulo AVB es igual a la suma de los ángulos AB B y A AB. Al ser éstos últimos ángulos inscritos en la circunferencia, su valor será la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco, y por tanto: AVB = AB B + A AB = AOB/2 + A OB /2 = ½ (AOB + A OB ) Fig

14 UNIDAD 1 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Curvas cónicas y técnicas Fig. 13 Ángulo exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia, siendo sus lados rectas secantes a ella (Fig. 13); en casos extremos, los lados pueden ser uno secante y otro tangente o ambos tangentes. Tal como hemos procedido con el ángulo interior, determinamos su valor: el ángulo AB B es igual a la suma de los ángulos VAB y AVB, interiores no adyacentes en el triángulo AVB ; por tanto, podremos establecer que: AVB = AB B - VAB = AOB/2 A OB /2 = ½ (AOB A OB ). Es decir, que el valor del ángulo exterior es la semidiferencia de los dos ángulos centrales correspondientes a los arcos abarcados por sus lados. 5.2 Arco capaz Sea un segmento AB y un ángulo α (Fig. 14); llamamos arco capaz del ángulo α sobre el segmento AB, al lugar geométrico formado por los vértices de los ángulos iguales a α y cuyos lados pasan por los extremos A y B del segmento. Para trazar el arco capaz del segmento AB, se traza por uno de sus extremos, el A en la figura, una semirrecta que forme un ángulo α con el segmento y, por el mismo extremo A, se traza una perpendicular a dicha semirrecta. La intersección de esta perpendicular con la mediatriz del segmento AB es el centro O del arco capaz. En la figura anterior el ángulo AOM es igual al ángulo α, por tener sus lados respectivamente perpendiculares. Por tanto, el ángulo central AOB será igual a 2α, y cualquier ángulo inscrito en la circunferencia que pasa por A y B tendrá por valor la mitad de AOB, es decir, el valor de α. Fig. 14 Tipo de curva Evolvente Ruleta Directriz Cicloide Ruleta Directriz Epicicloide Ruleta Directriz Posición Hipocicloide Ruleta Directriz Posición Recta Circunferencia Circunferencia Recta Circunferencia Circunferencia Exterior Circunferencia Circunferencia Interior Considerando al segmento AB como eje de simetría, el arco capaz se extendería en ambos semiplanos simétricamente respecto de AB; desde cualquiera de los puntos de los dos arcos simétricos se «ve» el segmento AB bajo el mismo ángulo α. El arco capaz tiene numerosas aplicaciones en diferentes construcciones de geometría plana (triángulos, por ejemplo), en navegación, etc. 6 CURVAS TÉCNICAS 6.1 Curvas cíclicas Las curvas cíclicas son curvas generadas por las posiciones del movimiento de un punto, perteneciente a una recta o a una circunferencia, que rueda sin resbalar sobre otra recta o circunferencia. A la circunferencia o recta que se mueve la llamamos ruleta o generatriz, y la recta o circunferencia que sirve de base recibe el nombre de directriz. Tenemos diferentes tipos de curvas cíclicas, que veremos en el apartado 4 de las Aplicaciones Prácticas; las resumimos en la tabla. 16

15 1 Curvas cónicas y técnicas APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD Una vez definidas las diferentes cónicas, veremos a continuación los pasos a seguir para su construcción; en todos los casos el proceso pasa por determinar diversos puntos de la cónica y por realizar su unión a mano alzada para formar cada una de las curvas. 1 CONSTRUCCIONES DE LA ELIPSE En jardinería, como elemento ornamental, se distribuyen parterres de flores en forma de elipse; para dibujar la elipse sobre el terreno debemos disponer de una cuerda con una longitud igual al eje mayor de la curva, que fijaremos en el suelo por sus extremos en dos puntos que harán las veces de focos de la elipse; apoyaremos una estaca, palo o cualquier elemento trazador sobre la cuerda y, manteniendo ésta tensada, lo iremos desplazando sobre el terreno en un recorrido que nos describirá la forma de elipse (Fig.15). 1.1 Conocidos los ejes, por puntos Fig. 15 Situamos los ejes dados AB y CD que, por ser ejes de simetría, se cortarán en sus respectivos puntos medios (Fig. 16). Conocidos los ejes, y aplicando la definición de elipse dada en el apartado 2 de los Conocimientos teóricos, determinamos la posición de los focos; para ello, con radio igual al semieje mayor, haremos centro en uno de los extremos del eje menor C o D, y trazaremos dos arcos que en su intersección con el eje mayor nos marcarán la posición F y F de los focos. Dividimos el espacio entre los focos por una serie de divisiones 1, 2, 3, etc.; si tomamos dos radios iguales a las distancias 1A y 1B, y haciendo centro alternativamente en los dos focos, describimos ocho arcos de circunferencia que, en sus intersecciones, nos determinan otros tantos puntos de la elipse. Repetimos el proceso con las distancias 2A y 2B, 3A y 3B, etc. para encontrar nuevos puntos de la elipse; todos los puntos encontrados cumplen la definición dada para la elipse, ya que desde cualquiera de ellos las sumas de distancias a los dos focos serán iguales a la longitud del eje real AB. Fig. 16 Finalmente, unimos los puntos obtenidos con los cuatro vértices de la curva, manualmente o con plantillas, para obtener la elipse. 1.2 Conocidos los ejes, por afinidad Trazamos dos circunferencias cuyos diámetros coincidan con las longitudes de los ejes de la elipse (Fig. 17), y trazamos una serie de radios comunes a las dos circunferencias, ocho en la figura. Por el punto de corte de cada radio con la circunferencia mayor, trazamos una paralela al eje menor, y por el punto de corte del mismo radio con la circunferencia menor, una paralela al eje mayor. La intersección de ambas paralelas es un punto de la elipse. Fig

16 UNIDAD 1 APLICACIONES PRÁCTICAS Curvas cónicas y técnicas Repetimos el proceso con todos los radios trazados y obtenemos un número suficiente de puntos que, junto a los cuatro vértices, nos permiten el trazado de la cónica. 1.3 Conocidos los ejes, por haces proyectivos Dibujamos el rectángulo EFGH, de lados iguales y paralelos a las longitudes de los ejes de la elipse y cuyos puntos medios coinciden con los extremos de cada eje. Dividimos el semieje OA y la mitad AH del lado del rectángulo en el mismo número de partes, cuatro en la figura 18. Santiago Calatrava. Puente Nuevo, puente peatonal. Plenzia, Vizcaya. Fig. 18 Las intersecciones de los haces D1 y C1, D2 y C2, D3 y C3 nos determinan puntos de la elipse. Repetimos el proceso en los restantes cuadrantes y obtenemos otros tantos puntos en cada uno de ellos. Como en los casos anteriores, la unión a mano alzada, o con plantilla, de los vértices con los puntos hallados nos permite completar el trazado de la elipse. 1.4 Conocidos dos diámetros conjugados Como en la circunferencia, en la elipse un diámetro es el segmento que une dos de sus puntos pasando por el centro; lógicamente, ahora no todos los diámetros tienen la misma longitud. En la elipse de la figura 19, el segmento AB es uno de sus diámetros; para este diámetro, y para cualquier otro, siempre hay un diámetro al que llamamos conjugado del primero; en nuestro caso es el diámetro CD, trazado por el punto medio de AB y paralelo a las tangentes a la elipse que pasen por los extremos de AB. Fig. 19 Si conocemos un par de diámetros conjugados de una elipse, AB y CD en la figura 20, también podemos efectuar su trazado. Empezaremos por dibujar un cuadrilátero cuyos lados pasen por los extremos de los diámetros conjugados y sean paralelos a éstos; en relación a uno de sus lados, trazamos una semicircunferencia y el rectángulo tangente que la circunscribe. 18

17 1 Curvas cónicas y técnicas APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD Fig. 20 En este rectángulo dibujamos dos radios que cortan a la semicircunferencia en los puntos 1 y 2; por afinidad referimos estos puntos al cuadrilátero trazado inicialmente. Desde 1 y 2 trazamos paralelas a los lados del rectángulo hasta determinar los puntos M y N y, desde ellos, paralelas a los lados del cuadrilátero; estas últimas paralelas interceptan sobre las diagonales cuatro puntos de la elipse; por ellos y por los extremos de los dos diámetros conjugados, pasa la curva cuyo trazado efectuaremos a mano alzada. El procedimiento que acabamos de ver también lo podemos usar cuando conocemos los dos ejes de la elipse, tras circunscribir un rectángulo a los mismos. 1.5 Conocidos los ejes, método de la tarjeta Otro procedimiento práctico para dibujar elipses es el denominado método de la tarjeta; por la cantidad de puntos que facilita, puede usarse con bastante precisión en dibujo técnico, resultando rápido y fácil. Sobre el canto de una tira de papel marcamos las longitudes correspondientes a los dos semiejes de la elipse, a partir de un extremo común (Fig. 21). Se hace coincidir el punto R sobre el semieje menor de la elipse a representar y el punto Q sobre el semieje mayor; la posición del punto P nos determina puntos de la elipse (Fig.22). Repetiremos el proceso tantas veces como queramos, obteniendo nuevos puntos que enlazaremos a mano alzada o con plantilla; en todos los casos los puntos Q y R estarán, respectivamente, sobre los semiejes mayor y menor de la elipse a dibujar. Fig. 21 Fig

18 UNIDAD 1 APLICACIONES PRÁCTICAS Curvas cónicas y técnicas 2 CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA 2.1 Conocidos el foco y la directriz Situamos sobre el papel la directriz y el foco F de la parábola a representar, según los datos conocidos. Desde el foco trazamos la perpendicular a la directriz, perpendicular que corresponde al eje de la cónica; el punto medio del segmento FO, situado sobre el eje, es el vértice V de la parábola (Fig.23). Para determinar puntos de paso de la parábola, dibujamos las paralelas a la directriz 1, 2, 3, 4, etc.; sobre cada una de estas paralelas habrá dos puntos de la parábola que, como todos sus puntos, serán equidistantes de la directriz y del foco. Tomamos con el compás un radio igual a la distancia de la paralela 1 a la directriz, y, haciendo centro en el foco F, trazamos dos arcos que cortarán la paralela 1 en dos puntos de la parábola. Fig. 23 Repetimos el proceso con la distancia de la paralela 2 a la directriz, y de las restantes paralelas; iremos encontrando nuevos puntos que, enlazados a mano alzada o mediante una plantilla de curvas, nos definirán la parábola. 2.2 Conocidos el vértice, el eje y uno de sus puntos Desde el vértice V y el punto conocido P trazamos, respectivamente, una perpendicular y una paralela al eje, que se cortarán en el punto A. Dividimos los segmentos VA y PA en el mismo número de partes, cuatro en la figura 24. Por las divisiones del segmento VA, trazamos paralelas al eje de la parábola y unimos las divisiones del segmento PA con el vértice V; los puntos de intersección son puntos de paso de la parábola. Completaremos el trazado de la parábola determinando los simétricos en relación al eje de la curva, tanto del punto P, dado inicialmente, como de los puntos hallados posteriormente. Fig

19 1 Curvas cónicas y técnicas APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD 3 CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA 3.1 Conocidos los ejes, por puntos A partir de los ejes AB y CD, determinamos los focos F y F ; para ello, con radio igual a la distancia AC, haremos centro en O para cortar con dos arcos la prolongación del eje AB en los puntos F y F (Fig. 25). Situamos las divisiones 1, 2, 3, etc. a partir de uno de los focos; con radios iguales a las distancias 1A y 1B, y haciendo centros, alternativamente, en los focos F y F, describimos ocho arcos que, al cortarse, nos determinarán cuatro puntos de la hipérbola. Repetimos el proceso con radios iguales a las distancias 2A y 2B, 3A y 3B, etc.; todos los puntos obtenidos cumplen con la definición de hipérbola al ser la diferencia de sus distancias a los focos igual al eje real AB = 2a. Fig. 25 A mano alzada, como en las otras cónicas, efectuaremos el trazado de la hipérbola uniendo los puntos obtenidos previamente. 4 TRAZADO DE CURVAS CÍCLICAS En engranajes, ruedas dentadas, etc., se utilizan las curvas cíclicas como las más idóneas para conformar los flancos de los dientes por su sencillez de trazado, por la disminución del rozamiento entre dientes que presentan este perfil y por su resistencia. Entre la gran diversidad de perfiles posibles, se prefieren los de mecanizado más fácil por el ahorro de herramientas y de tiempo; en este grupo están los de perfil cicloidal y, sobre todo, los de perfil de evolvente. De aquí el interés en conocer estas curvas. 4.1 Evolvente de la circunferencia Se llama evolvente a la curva plana descrita por un punto de una recta, generatriz, que gira sin deslizar sobre una circunferencia a la que llamamos circunferencia base o directriz. Para su trazado (Fig.26), dividimos la circunferencia directriz en un número de partes iguales, doce en la figura (la evolvente será más exacta cuantas más partes hagamos sobre la circunferencia). Por cada punto de división se trazan las tangentes a la circunferencia, llevando sobre cada una de ellas longitudes iguales a las rectificadas de los arcos correspondientes; dada la Fig

20 UNIDAD 1 APLICACIONES PRÁCTICAS Curvas cónicas y técnicas proximidad de los puntos, aproximamos la longitud de la cuerda a la de su arco. De esta manera, hacemos centro en T 1 y, con un radio igual a la distancia T 1 T 0, trazamos el arco A 0 A 1 ; a continuación, con centro en T 2 y radio igual a la distancia T 2 A 1, trazamos el arco A 1 A 2, prosiguiendo de la misma forma para completar los restantes puntos A 3, A 4, A 5, etc. de la evolvente. La unión a mano alzada, o mediante una plantilla de curvas, de los puntos determinados nos completa el trazado de la evolvente. 4.2 La cicloide La cicloide es la curva plana que describe un punto situado sobre una circunferencia (ruleta) que gira sin resbalar sobre una recta directriz. Conocida la circunferencia generatriz o ruleta, situamos sobre ella el punto P que, durante el movimiento de rotación de la ruleta, nos irá describiendo puntos de la cicloide. Empezaremos por dibujar (Fig.27), una recta tangente r, que hará la función de directriz de la cicloide, y sobre la cual llevaremos una longitud igual a la rectificada de la circunferencia; dividiremos esta longitud y la ruleta en el mismo número de partes, doce en la construcción de la figura. Por los puntos de división de la recta r levantaremos perpendiculares que, en su intersección con la paralela a r trazada por el centro O de la ruleta, nos determinarán los centros O 1, O 2, O 3... O 12 correspondientes a las posiciones de la ruleta en su desplazamiento. Por los puntos de división de la ruleta trazaremos paralelas a la recta directriz; sobre estas rectas se encontrarán los puntos P 1, P 2, P 3. P 12 de la cicloide, determinados en las intersecciones respectivas con las posiciones de la ruleta de centros O 1, O 2, O 3... O 12. A mano alzada, o con plantilla de curvas, uniremos los puntos P 1, P 2, P 3. P 12 para tener la cicloide. La curva representada en la figura 27 es la denominada cicloide normal. A partir de ella podemos determinar dos más, la alargada y la acortada; esta última sería la determinada por un punto interior de la ruleta, por Fig

21 1 Curvas cónicas y técnicas APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD ejemplo, el extremo de la válvula en la rueda de una bicicleta; para determinar la alargada, el punto sería exterior a la ruleta. Para trazar la cicloide acortada (Fig. 28), partimos de la cicloide normal; unimos cada uno de los puntos determinados de la cicloide normal con su respectivo centro de determinación, por ejemplo, P 5 O 5 ; sobre este segmento, y a partir de P 5, llevamos el segmento P 5 P 5 = PP igual al valor acortado de la cicloide. Repetimos el proceso con los restantes puntos de la cicloide normal. Fig. 28 De forma similar, en la figura 29, hemos obtenido la cicloide alargada: sumamos la longitud del segmento PP a los segmentos de unión de cada uno de los puntos de la cicloide normal con su respectivo centro. Así, por ejemplo, trazaremos el segmento P 7 P 7 igual a PP, medido a partir de la prolongación de O 7 P 7. Fig

22 UNIDAD 1 APLICACIONES PRÁCTICAS Curvas cónicas y técnicas 4.3 La epicicloide La epicicloide es la curva plana que describe un punto situado sobre una circunferencia (ruleta) que gira sin resbalar, mediante tangencia exterior, sobre otra circunferencia a la que llamamos directriz. Conocida la circunferencia generatriz o ruleta, situamos sobre ella el punto P que, con el movimiento de rotación de la ruleta, nos irá describiendo puntos de la epicicloide. Detalle de las ruedas y la biela de una máquina de vapor. Sobre la recta de unión del centro O de la ruleta con el punto P, situamos el centro O de la circunferencia directriz y efectuamos su trazado (Fig. 30). Dividimos la ruleta en partes iguales y, al llevar la longitud rectificada de cada una de estas partes sobre la directriz, obtenemos los puntos 1, 2, 3. 12; las prolongaciones de los radios que hacemos pasar por estas divisiones, en sus intersecciones con la circunferencia de centro O y radio igual al segmento O O, determinan los centros O 1, O 2, O 3... O 12, correspondientes a las posiciones intermedias de la ruleta en su desplazamiento. Trazamos circunferencias concéntricas con la directriz que pasen por los puntos de división de la ruleta, y, al cortarse con las posiciones de la ruleta de centros O 1, O 2, O 3... O 12, nos determinarán los puntos de paso P 1, P 2, P 3. P 12, correspondientes a la epicicloide normal. Fig

23 1 Curvas cónicas y técnicas APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD A partir de la epicicloide normal, podemos obtener las correspondientes epicicloides acortada y alargada (Fig. 31 y 32, respectivamente) procediendo como en el caso de la epicicloide: restando o sumando los segmentos PP sobre los segmentos de unión de cada uno de los puntos de la epicicloide normal con su respectivo centro de determinación. Fig. 31 Fig

24 UNIDAD 1 APLICACIONES PRÁCTICAS Curvas cónicas y técnicas 4.4 La hipocicloide La hipocicloide es la curva plana que describe un punto situado sobre una circunferencia (ruleta) que gira sin resbalar, mediante tangencia interior, sobre otra circunferencia a la que llamamos directriz. Rectificamos la longitud de la ruleta y la llevamos sobre la directriz, dividiendo ambas circunferencias en el mismo número de partes, doce en la construcción de la figura 33. A partir de aquí procederíamos como en la epicicloide, realizando el trazado interiormente a la directriz. Procediendo de forma similar a como hemos hecho en las curvas cíclicas anteriores, en este caso a partir de la hipocicloide normal, determinamos las hipocicloides acortada y alargada (Fig. 34). Fig. 33 Fig

25 Curvas cónicas y técnicas CUESTIONES Y EJERCICIOS UNIDAD 1 1. Describe las curvas cónicas estudiadas en esta unidad. Alguna de ellas podría obtenerse también como sección plana de otras superficies de revolución? Indícalo con una representación perspectiva que aclare tus afirmaciones. 2. Compara los elementos fundamentales (ejes, focos, circunferencias focales, etc.) correspondientes a las cónicas estudiadas; para cada una de ellas, determina su número, características, etc. 3. Compara las diferentes cónicas desde el punto de vista de la definición dada de cada una de ellas como lugar geométrico; cómo influyen estas definiciones en sus trazados por puntos? Elipse 4. Dibuja una elipse cuyos ejes midan 70 y 46 mm, por el procedimiento que hemos denominado por puntos en esta unidad. 5. Dibuja una elipse por afinidad, cuyos ejes midan 60 y 33 mm, respectivamente. 6. Sobre el segmento AB de la figura 35 tenemos situado uno de los focos de la elipse; determina la posición del otro foco y del eje menor de la curva. Traza la elipse mediante el procedimiento denominado de intersección de rayos proyectivos. Fig Determina los ejes de una elipse de la que conocemos sus dos focos y la posición de uno de sus puntos (Fig. 36). Traza la curva mediante el procedimiento de la tarjeta. 8. Traza una elipse de la que conocemos un par de sus diámetros conjugados, de longitudes 67 y 54 mm, siendo de 75º el ángulo bajo el que se cortan. Hipérbola 9. Dibuja una hipérbola de la que conocemos sus dos ejes; AB de 55 mm y CD de 33 mm. Parábola 10. Traza una parábola por puntos, sabiendo que la distancia del foco a la directriz es de 45 mm. Circunferencia 11. Por el punto de tangencia de dos circunferencias se traza una secante común a ambas; demostrar que: a) Los radios trazados en los extremos de la secante son paralelos. b) Las tangentes trazadas en esos mismos extremos serán también paralelas. 12. Llamamos ángulo exinscrito al ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, siendo secante uno de sus lados y el otro, exterior a la circunferencia. Demostrar que su medida es la semisuma de los ángulos centrales, correspondientes a los arcos comprendidos entre el vértice y los extremos del lado interior y la prolongación del lado exterior. Arco capaz 13. Desde la posición X de un barco sobre el mar, se divisan los tres puntos conocidos Fig. 36 Fig

26 UNIDAD 1 CUESTIONES Y EJERCICIOS Curvas cónicas y técnicas de la costa A, B y C de la figura 37, y se miden los ángulos AXB, de 45º y BXC, de 15º, que forman entre sí las visuales. Con estos datos fijar la posición del punto X en el mapa. 14. Determinar un punto interior a un triángulo ABC, equidistante de los lados a y b, y desde el cual se vea el tercer lado del triángulo bajo un ángulo de 60º. Lados a = 9 5 cm, b = 11 3 cm y c = 7 5 cm. Curvas cíclicas 15. Qué es una curva cíclica? Indica los tipos y la forma de generación de cada una de ellas. 16. Para una determinada curva cíclica, la hipocicloide por ejemplo, indica las diferencias entre la normal, alargada y acortada. 17. Traza la envolvente de una circunferencia directriz de radio 2cm. 18. Dibuja la cicloide normal, cuya ruleta es una circunferencia de radio 2,5 cm. 19. Dibuja una epicicloide en la que los radios de la ruleta y de la circunferencia directriz son, respectivamente, 20 y 50 mm. Traza las correspondientes epicicloides alargada y acortada, para puntos que disten 6 mm en cada uno de los casos. 20. Con los mismos datos de la actividad anterior traza la hipocicloide. Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD. Más actividades en el CD La belleza perece en la vida, pero es inmortal en el arte. LEONARDO DA VINCI 28