CAPITULO 6: ANALISIS DE LA TEORÍA DE LA DECISIÓN

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1 CAPITULO 6: ANALISIS DE LA TEORÍA DE LA DECISIÓN Objetivos del Capítulo. Capacitar en la identificación de criterios a tener en cuenta en un proceso de toma de decisiones, Desarrollar la capacidad de modelización matemática de problemas empresariales atendiendo a diversos criterios. Desarrollar la capacidad de identificar cuál es la metodología matemática más adecuada para un problema concreto dentro de las varias que se estudian. Estar preparado para la elaboración, resolución y posterior refinamiento de un modelo matemático para la toma de decisiones empresariales. 6.0 Introducción La característica principal de la gestión económica de la empresa es la del proceso de convertir información en acción, a este proceso lo llamamos toma de decisiones. Decisión: Es una elección entre dos o mas líneas de acción diferentes. El objeto de la teoría de la decisión es racionalizar dicha elección. Para ello hay que proceder de modo sistemático, evaluando todas las posibilidades de elección como las consecuencias que puedan derivarse de cada opción. El estudio de la teoría de la decisión provee de herramientas para la toma de decisiones importantes. La teoría de la decisión adopta un enfoque científico, contrapuesto a la intuición y experiencia como únicos criterios que se utilizaban anteriormente. 6.1 Las decisiones en la empresa El método científico utilizado por la teoría de la decisión presenta un esquema lógico de actuaciones a la hora de plantear la solución de un problema. Este esquema cumple las siguientes fases: 1. Definición del problema 2. Enumeración de posibles alternativas (Ai: Alternativas o estrategias) 3. Identificación de los posibles escenarios o estados de la naturaleza en la que las diferentes alternativas pueden desarrollarse. Variable o no controlables por el sujeto decisor: temperatura, actuaciones de la competencia ect. (Ej: Estados de la naturaleza) CAPITULO 6: ANALISIS DE LA TEORÍA DE LA DECISIÓN 188

2 4. Obtención de resultados y valoración de los mismos: Desenlaces asociados a una alternativa concreta dado un estado específico de la naturaleza. (X ij : Resultados) 5. Predicción de probabilidad sobre la ocurrencia de cada estado de la naturaleza.(pj: Probabilidad) 6. Fijación de criterios de decisión que permitan la elección de una estrategia o alternativa. Es una forma de utilizar la información para seleccionar una alternativa concreta. 7. Identificación del tipo de decisión: Para ello clasificamos las decisiones en estáticas y en decisiones secuenciales. Decisiones estáticas Son aquellos problemas de decisión en los que sólo se adopta una decisión y no se analizan las posibles alternativas/decisiones posteriores a una alternativa/decisión previa. Decisiones secuenciales: Problema de decisión en el que se consideran una secuencia de decisiones, es decir, decisiones posteriores dependientes de una decisión inicial. 8. Identificación del contexto en el que se toma la decisión: A su vez, el problema de decisión, tanto en la perspectiva estática como secuencial, puede ser de tres tipos, en función del grado de conocimiento que se tenga sobre la ocurrencia de los estados de la naturaleza (incertidumbre, riesgo, certeza) Certeza: Cuando conocemos con seguridad el estado de la naturaleza que se va a producir. En un problema estático se traduce en una matriz de una sola columna con un sólo estado de la naturaleza, en un problema secuencial se refleja en un sólo estado de la naturaleza para cada una de las decisiones adoptadas. Situaciones de riesgo: cuando no conocemos el estado de la naturaleza que se va a producir, pero si conocemos las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos. Situaciones de incertidumbre: Cuando desconocemos qué estado de la naturaleza se va a producir y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. 6.2 Problemas de decisión estáticos El proceso de decisión se sintetiza en una matriz de decisión, matriz de consecuencias o matriz de ganancias.. Es una matriz que consta de tantas filas como alternativas o estrategias se contemplen, y de tantas columnas como estados de naturaleza sean posibles, siendo sus elementos los resultados correspondientes a cada alternativa en un estado de naturaleza específico. Ai = {a1, a2,.. an} E j = {e 1, e 2,.. e m } 6.2 Problemas de decisión estáticos 189

3 x x x x x x X matriz n m x x x Ejemplo: Jhon Pérez ha heredado $ El ha decidido invertir su dinero por un año. Un inversionista le ha sugerido cinco inversiones posibles: oro, bonos, negocio en desarrollo, certificado de depósito, acciones. Jhon debe decidir cuanto invertir en cada opción. La siguiente tabla representa las ganancias que obtendría para cada escenario posible de comportamiento del mercado. ALTERNATIVAS MATRIZ DE GANANCIAS Gran alza ESTADOS DE LA NATURALEZA pequeña sin pequeña alza cambios baja gran baja Oro Bonos Negocio Cert. de depósito Acciones Cuadro 6.1 Matriz de Ganancias 6.3 Elección del criterio de decisión en condiciones de incertidumbre: Situación en la que podemos descubrir los estados posibles de la naturaleza pero desconocemos la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. Los criterios de decisión más empleados en estos casos son un reflejo de la actitud hacia el riesgo que tienen los responsables en la toma de decisiones. El criterio de decisión se toma basándose en la experiencia de quien toma la decisión, este incluye un punto de vista optimista o pesimista, agresivo o conservador. Los criterios aplicados son: Maximin o de Wald, Minimax o Savage, Maximax, Principio de razonamiento insuficiente o criterio de Laplace, Criterio de Hurwics Criterio maximin o de Wald: Perfil pesimista (el decisor cree que el peor caso ocurrirá) o conservador (el decisor quiere asegurar una ganancia mínima posible). Se llama máximo porque elige el máximo resultado entre los mínimos resultados. Se elige lo mejor dentro de lo peor. Para encontrar una solución óptima: se marca la ganancia mínima de todos los estados de la naturaleza posible y se identifica la decisión que tiene el máximo de las ganancias mínimas. EL CRITERIO MAXIMIN 6.3 Elección del criterio de decisión en condiciones de incertidumbre: 190

4 ALTERNATIVAS Gran alza ESTADOS DE LA NATURALEZA pequeña sin pequeña alza cambios baja gran baja Mínimas Ganancias Oro Bonos Negocio Cert. de depósito Acciones Cuadro 6.2 Criterio Maximin La decisión óptima con este criterio sería invertir en certificados de depósito. Criterio mínimax o Savage: Este criterio se ajusta también a criterio pesimista o conservador. La matriz de ganancias es basada en el costo de oportunidad. El decisor incurre en una pérdida por no escoger la mejor decisión. Para encontrar la solución óptima se determina la mejor ganancia de todas las alternativas en cada estado de la naturaleza (mejor ganancia por columna) y se calcula el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión (como la mejor ganancia por columna menos la ganancia de cada una de las celdas de la columna), posteriormente se encuentra el máximo costo de oportunidad para todos los estados de la naturaleza y se selecciona la alternativa de decisión que tiene el mínimo costo de oportunidad. ALTERNATIVAS MATRIZ DE GANANCIAS Gran alza ESTADOS DE LA NATURALEZA pequeña sin pequeña gran alza cambios baja baja Oro Bonos Negocio Cert. de depósito Acciones Cuadro 6.3 Matriz de Ganancias ALTERNATIVAS MATRIZ DE COSTO DE OPORTUNIDAD Gran alza ESTADOS DE LA NATURALEZA pequeña sin pequeña gran alza cambios baja baja Máximo costo de oportunidad Oro Bonos Negocio Cert. de depósito Acciones Cuadro 6.4 Matriz de Costo de Oportunidad 6.3 Elección del criterio de decisión en condiciones de incertidumbre: 191

5 La decisión óptima con este criterio invertir en bonos por tener el menor costo de oportunidad El criterio maximax: Este criterio se basa en el mejor de los casos. Considera los puntos de vista optimista y agresivo. Un decisor optimista cree que siempre obtendrá el mejor resultado sin importar la decisión tomada. Un decisor agresivo escoge la decisión que le proporcionará una mayor ganancia. Para encontrar la decisión óptima se marca la máxima ganancia para cada alternativa de decisión y se selecciona la decisión que tiene la máxima de las máximas ganancias. ALTERNATIVAS Gran alza EL CRITERIO MAXIMAX ESTADOS DE LA NATURALEZA pequeña sin pequeña gran alza cambios baja baja Máximas Ganancias Oro Bonos Negocio Cert. de depósito Acciones Cuadro 6.5. El Criterio Maximax La decisión óptima sería invertir en un negocio en desarrollo por presentar la máxima ganancia posible. Criterio de razonamiento insuficiente o criterio Laplace: Puede ser tomado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista. El decisor asume que todos los estados de la naturaleza son equiprobables. Para encontrar la decisión óptima se selecciona la decisión con el mayor valor esperado. 1 E(X1) = E(Oro) = 100*0, *0, *0, *0,2 + 0*0,2 = 100 E(X 2 ) = E(Bonos)=250*0, *0, *0,2 100*0,2 150*0,2 = 70 E(X 3 ) = E(Negocio) = 500*0, *0, *0,2 200*0,2 600*0,2 = 10 E(X4) = E(Certif.) = 60*0,2 + 60*0,2 + 60*0,2 + 60*0,2 + 60*0,2 = 60 E(X 5 ) = E(Acciones) = 200*0, *0, *0,2 200*0,2 150*0,2 = Elección del criterio de decisión en condiciones de incertidumbre: 192

6 La decisión óptima sería invertir en Oro. Criterio de Hurwicz: Es un criterio intermedio entre maximin y el maximax: Supone la combinación de ponderaciones de optimismo y pesimismo. Sugiere la definición del llamado coeficiente de optimismo (α), y propone que se utilice como criterio de decisión una media ponderada entre el máximo resultado asociado a cada alternativa, y el mínimo resultado asociado a la misma. 0 α 1 cuanto más cercano a 1 mayor es el optimismo. Max 1 Min Para hallar la solución óptima se marca el máximo y el mínimo de cada alternativa. Según el coeficiente de optimismo del decidor (α), se multiplica el máximo por éste y el mínimo se multiplica por (1 α). Luego se suman los dos. Luego elegimos el máximo entre todas las alternativas. En nuestro ejemplo, si suponemos que el empresario es neutral α=0,5 ALTERNATIVAS Gran alza EL CRITERIO HURWICS ESTADOS DE LA NATURALEZA pequeña sin pequeña gran alza cambios baja baja Maximas Ganancias Con =0,5 Oro Bonos Negocio Cert. de deposito Acciones Cuadro 6.6 El Criterio Hurwics T(Xi)=T(Oro)=0.5* *( 100)=100 Se elige 6.4 En situación Riesgo. Conocemos la lista de estados de la naturaleza y su probabilidad de ocurrencia. Como los eventos son excluyentes tenemos: La suma de probabilidades de todos los estados de la naturaleza debe ser iguales a la unidad. El criterio que se utiliza para comparar los resultados correspondientes a cada línea de actuación es la mayor esperanza matemática. 6.4 En situación Riesgo. 193

7 ALTERNATIVAS EL CRITERIO DE LA GANANCIA ESPERADA Gran alza ESTADOS DE LA NATURALEZA pequeña sin pequeña gran alza cambios baja baja Ganancias Esperada Oro Bonos Negocio Cert. de depósito Acciones Probabilidad 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 Cuadro 6.7 El Criterio de la Ganancia Esperada El utilizar como único criterio de decisión la esperanza matemática supone asumir ciertas hipótesis: Que al sujeto decisor no le importe la dispersión del resultado (no tiene en cuenta la desviación típica) Que no exista riesgo de ruina: Es el riesgo que el desenlace de una estrategia pueda suponer un quebranto económico tal que no pueda ser superado por la empresa. En dicho caso el decisor pasaría a elegir sólo entre aquellas alternativas cuyos resultados más desfavorables puedan ser asumidos por la empresa. Tiene que ver con la capacidad de asumir pérdidas. Para solucionar estas limitaciones se construyen unas funciones de utilidad. a. Consideración de la variabilidad de los resultados: Penalizar la esperanza económica por una medida que dé idea de la variabilidad de los datos, considerando la multiplicación de dicha medida de variabilidad por un coeficiente indicativo de temor al riesgo (a) del sujeto decisor. La función de utilidad se halla restando al valor esperado de cada alternativa el coeficiente de aversión por la desviación típica. Si a 1 Mayor aversión al riesgo. El inversor presenta un perfila más conservador Si a 0 Poca aversión al riesgo. El inversor presenta un perfil más arriesgado. Función de utilidad = U(Xi) = E(Xi) a*σx Observemos que cuando a tiende a 1 la cantidad a restar es mayor, por tanto la utilidad esperada es menor lo que corresponde a un perfil conservador. varianza como medida de variabilidad de los resultados : j 6.4 En situación Riesgo. 194

8 ó í: En nuestro ejemplo: Si Jhon Pérez tiene una aversión al riesgo del 15%: a = 0, ó ó Se elige la alternativa que maximiza la función de utilidad: En nuestro ejemplo sería: X 2 = Bonos =71,71 Máximo beneficio teniendo en cuenta la aversión al riesgo b. Consideración del riesgo de ruina: La probabilidad de ruina es la probabilidad de que un resultado Xij sea menor que un cierto ingreso (si la matriz que estamos analizando es de costos) o beneficio crítico que como mínimo ha de obtener la empresa. Es decir, en el peor de los casos, cuáles serían las pérdidas que se estaría dispuesto a asumir, o beneficio que cómo mínimo se exige a la inversión. En nuestro ejemplo, si estamos dispuestos a asumir pérdidas hasta 180 unidades monetarias, se rechazan las inversiones en negocio y en acciones ya que podrían generar pérdidas que no se podrían asumir ( 600; 200). Se tendría que elegir entre el oro, bonos o certificados de depósito a través de la esperanza matemática o bien considerando la función de utilidad que penalice la dispersión de resultados ( a través de la desviación típica). 6.5 Problemas de decisiones estáticas Problema 1: Un empresario agricultor se plantea escoger entre tres alternativas de cultivo (trigo, remolacha o patata) con tres estados de la naturaleza (tiempo lluvioso, tiempo normal o tiempo seco) y la probabilidad de tiempo respectivamente (30% lluvioso, 50% normal y 6.5 Problemas de decisiones estáticas 195

9 20% seco). Y una aversión al riesgo del 20% y un beneficio crítico de 100 u.m. Para el criterio Hurwicz se considera un coeficiente de optimismo del 50% a. Situación de riesgo: P1= 0,3 P1= 0,5 P1= 0,2 lluvia normal seco Trigo Remolacha Patata E(X 1 ) = E(trigo) = 250*0, *0, *0,2 = 260 E(X 2 ) = E(remolacha) =100*0, *0, *0,2 = 265 E(X 3 ) = E(patata) = 150*0, *0, *0,2 =195 Para solucionar estas limitaciones se construyen unas funciones de utilidad. Consideración de la variabilidad de los resultados En nuestro ejemplo: Si el empresario agricultor tiene una aversión al riesgo del 20%: a=20%: Se elige la alternativa que maximiza la función de utilidad: En nuestro ejemplo sería: X1 = trigo = 253 Máximo beneficio teniendo en cuenta la aversión al riesgo Consideración del riesgo de ruina: Si fijamos un ingreso típico de 100 unidades monetarias: Se rechaza el cultivo de remolacha ya que puede llegar a presentar un ingreso inferior ( 100 u.m.) al ingreso crítico. Se tendría que elegir entre el trigo y la patata a través de la esperanza matemática o bien considerando la función de utilidad que penalice la varianza. b. En situación de incertidumbre 6.5 Problemas de decisiones estáticas 196

10 b1. Criterio Laplace T(X 1 ) = = 740 Se elige el trigo T(X2) = = 700 T(X3) = = 600 b2. Criterio pesimista, de Wald ó Maximin: Se elige lo mejor dentro de lo peor. Trigo = 200 Se elige Remolacha = 100 Patata = 150 b3. Criterio optimista o maximax: Se elige el máximo de los máximos. Trigo = 290 Remolacha = 450 Se elige Patata = 250 b4. Criterio de Hurwicz: Es un criterio intermedio entre maximin y el maximax: Supone la combinación de ponderaciones de optimismo y pesimismo. Sugiere la definición del llamado coeficiente de optimismo (α), comprendido entre cero y uno: 0 α 1 cuanto más cercano a 1 mayor es el optimismo T(Xi) = α * MaxXij + (1 α) MinXij En nuestro ejemplo, si suponemos que el empresario es neutral α=0,5 T(X1) = 0.5* *200 = 245 T(X2) = 0.5* *( 100) = 175 T(X3) = 0.5* *(150) = 200 b5. Criterio de Savage Se construye una matriz de perjuicios o de costo de oportunidad 6.5 Problemas de decisiones estáticas 197

11 matriz de consecuencias E1 E2 E3 Trigo Remolacha Patata matriz de arrepentimientos o costo de oportunidad E1 E2 E3 Trigo Remolacha Patata Arrepentimiento máximo para la opción trigo = 160 Se escoge el trigo Arrepentimiento máximo para la opción remolacha = 350 Arrepentimiento máximo para la opción patata = La Utilización de la Información Perfecta y el Concepto de Valor Esperado en Contexto de Riesgo. Como es lógico, en un contexto de riesgo se debe decidir con el máximo valor esperado. La Ganancia que se espera obtener al conocer con certeza la ocurrencia de ciertos estados de la naturaleza se le denomina: Ganancia Esperada de la Información Perfecta (GEIP). Este concepto corresponde al costo de oportunidad de la decisión seleccionada usando el criterio de la ganancia esperada. Esta decisión es la que genera una menor pérdida para quien tiene que tomar la decisión. En este caso nos aseguran con toda probabilidad la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza, por eso la llamamos información perfecta. El GEIP se calcula como el producto de la máxima ganancia para cada estado de la naturaleza por su respectiva probabilidad, y a este resultado le restamos el máximo valor esperado. max max En nuestro ejemplo de Jhon Pérez, podríamos calcular, por ejemplo, el valor máximo que podemos pagar por un estudio donde nos aseguren la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza. Podemos entonces calcular la ganancia esperada de la información perfecta (GEIP) 6.6 La Utilización de la Información Perfecta y el Concepto de Valor Esperado en Contexto de Riesgo. 198

12 ALTERNATIVAS EL CRITERIO DE LA GANANCIA ESPERADA Gran alza ESTADOS DE LA NATURALEZA pequeña sin pequeña gran alza cambios baja baja Ganancias Esperada Oro Bonos Negocio Cert. de depósito Acciones Probabilidad 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 Cuadro 6.7 El Criterio de la Ganancia Esperada GEIP= (500*0,2 + 0,30* ,3* *0,1 + 60*0,1) 130 = 141 Quiere decir esto, que si puedo obtener información, que me asegure la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza, puedo pagar por ella un máximo de 141 unidades monetarias. 6.7 La utilización de la información imperfecta y el concepto de valor esperado en contexto de riesgo. La información adicional, no siempre es perfecta, muchas veces los estudios adicionales que se encargan tienen cierto margen de error. La información adicional mejora la probabilidad obtenida de la ocurrencia de un determinado estado de la naturaleza y ayuda al tomador de decisiones a escoger la mejor opción. La estadística Bayesiana construye un modelo a partir de información adicional obtenida a partir de diversas fuentes. El teorema de Bayes: donde = probabilidad revisada = probabilidad a priori = probabilidad condicionada = sumatoria probabilidad conjunta 6.7 La utilización de la información imperfecta y el concepto de valor esperado en contexto de riesgo. 199

13 A partir del teorema de Bayes podemos calcular la Ganancia esperada con la Información Adicional (GECIA): La expresión matemática para su cálculo es la siguiente: donde: Max Max = Máximo valor esperado a posteriori = Sumatoria de probabilidades conjuntas Para su cálculo seguimos los siguientes pasos: 1. Clasificamos la información adicional obtenida como probabilidad condicionada distinguiendo cada uno de los escenarios planteados. 2. Calculamos la probabilidad conjunta con la fórmula de Bayes para cada alternativa en cada escenario planteado. 3. Calculamos la sumatoria de probabilidades conjuntas para cada escenario planteado. 4. Calculamos la probabilidad revisada para cada alternativa en cada escenario. 5. Calculamos la ganancia esperada con la probabilidad revisada para cada uno de los escenarios planteados. 6. Calculamos el GECIA También podemos calcular el valor esperado de la información adicional, es decir, el mayor valor esperado por contar con una mejor información. Se calcula como la diferencia entre el GECIA y el mayor valor esperado con la información a priori. Ejemplo: Max Retomemos el ejemplo de Jhon Pérez. Supongamos que hemos contratado un informe adicional que nos indica la probabilidad de ocurrencia de una gran alza, pequeña alza, etc. 6.7 La utilización de la información imperfecta y el concepto de valor esperado en contexto de riesgo. 200

14 condicionada a que el crecimiento económico sea positivo o negativo. Los resultados se pueden ver en la siguiente tabla. Pasos: Probabilidad Condicionada ALTERNATIVAS ESTADOS DE LA NATURALEZA Gran pequeña sin alza alza cambios pequeña baja Gran baja Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 0,000 Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 1,000 Cuadro 6.8 Estados de la Naturaleza 1. Clasificamos la información adicional obtenida como probabilidad condicionada distinguiendo cada uno de los escenarios planteados. En este caso viene ya en la tabla. 2. Calculamos la probabilidad conjunta con la fórmula de Bayes para cada alternativa en cada escenario planteado. En caso de crecimiento positivo la probabilidad conjunta que se produzca una gran alza sería Probabilidad conjunta = = 0.80*0.20 = 0.16 En caso de crecimiento positivo la probabilidad conjunta que se produzca una pequeña alza sería: Probabilidad conjunta = = 0.70*0.30 = 0.21 Y así vamos completando para cada escenario (crecimiento positivo, crecimiento negativo), la probabilidad de ocurrencia de cada alternativa. De esta forma vamos completando una tabla que nos permita recoger toda la información de forma ordenada como la que se presenta más adelante. 3. Calculamos la sumatoria de probabilidades conjuntas para cada escenario planteado. Para el caso de crecimiento positivo la sumatoria sería: Sumatoria Probabilidad Conjunta = = = 0.56 Para el caso de crecimiento negativo la sumatoria sería: 6.7 La utilización de la información imperfecta y el concepto de valor esperado en contexto de riesgo. 201

15 Sumatoria Probabilidad Conjunta = = = Calculamos la probabilidad revisada para cada alternativa en cada escenario. En caso de crecimiento positivo la probabilidad revisada que se produzca una gran alza sería Calculamos la ganancia esperada con la probabilidad revisada para cada uno de los escenarios planteados. En caso de crecimiento positivo la probabilidad revisada que se produzca una gran alza para la alternativa del oro sería: = 100* * * * *0 = Calculamos el GECIA: para ello marcamos el mayor valor esperado para cada uno de los escenarios planteados Max = 249* *0.44 = Calculamos GEIA Max = = 63 EL CRITERIO DE LA GANANCIA ESPERADA CON INFORMACION ADICIONAL ALTERNATIVAS ESTADOS DE LA NATURALEZA Gran alza pequeña alza sin cambios pequeña baja gran baja Ganan cias Espera da a priori Ganancias Esperada Revisada Crec.Posi tivo Crec.Nega tivo Oro Bonos Negocio Cert. de depósito Acciones Probabilidad S = La utilización de la información imperfecta y el concepto de valor esperado en contexto de riesgo. 202

16 Probabili dad Condicio nada Probabili dad Conjunta Probabili dad Revisada Crecim. Positivo Crecim. Negativo Crecim. Positivo Crecim. Negativo Crecim. Positivo Crecim. Negativo Cuadro 6.9 El Criterio de la Ganancia Esperada con Información Adicional GECIA=GANANCIA ESPERADA CON LA INFORMACIÓN ADICIONAL Max GECIA = 249*0, *0.44 = 193 GEIA=GANANCIA ESPERADA DE LA INFORMACIÓN ADICIONAL GEIA = = 63 Max CONCLUSIÓN: Cantidad máxima que puede pagar por un informe externo es de 63 u.m. 6.8 Decisiones secuenciales y árboles de decisión: Problema de decisión en el que se consideran una secuencia de decisiones, es decir, decisiones posteriores dependientes de una decisión inicial. El análisis del problema de decisión bajo el enfoque secuencial suele ser preferible al enfoque estático, dado que es normal que una decisión tomada en el momento inicial condicione decisiones en los momentos posteriores de tiempo. En este caso, se sintetiza la representación del problema a través de un árbol de decisión dado que su representación en una matriz no es viable. Un árbol de decisión es un grafo o dibujo que explica las secuencias de las decisiones o alternativas a tomar y los diversos estados de la naturaleza que se pueden presentar o acontecimientos que pueden suceder. Es una forma de abordar el problema de decisión cuando hay que adoptar una secuencia de decisiones excluyentes. Los elementos fundamentales del problema de decisión se representan en un árbol de decisión de la siguiente forma: 6.8 Decisiones secuenciales y árboles de decisión: 203

17 METODOS CUANTITATIVOS PARAA LOS NEGOCIOS 2009 Puntos o nudos de decisión entre alternativas o estrategias: Nudos aleatorios: Ocurrencia de los posibles estados de la naturaleza: Resultadoss esperados: Δ El primer nudo (1) siempre es decisional: representa la decisión inicial que ha de tomar el decisor. El árbol toma la siguiente forma: Se supone que la elección de una alternativa supone el abandono del resto. El resultado de dicha decisión depende a su vez de un suceso incierto como es el estado de la naturalezaa que se produzca. Una vez producido un posible estado de la naturaleza, es posible elegir de nuevo entre distintas alternativas, siendo sus resultados dependientes del estado de la naturaleza que se produzca. La solución de un problema de decisión secuencial, consiste en buscar la secuencia de decisiones óptimas a adoptar. Vamos a resolverloo en un contexto de riesgo. La técnica de resolución consiste en ir determinando los valores monetarios esperados en cada punto de decisión, haciéndolo de derecha a izquierda, empezando por los resultadoss finales. Distinguimos entre. El valor de los nudos aleatorios (que son de los que parte los estados de la naturaleza) es la media ponderadaa de los resultados posibles. El valor de los nudos decisionales s se obtiene tomando la esperanza matemáticaa correspondiente a la mejor decisión posible. Para la construcción del árbol seguiremos los siguientes pasos: Identificación clara del problema. Establecer las estrategias o alternativas primarias entre las que debera elegir el momento actual Establecer las diferentes alternativas y los diferentes sucesos que se van a ir produciendo a lo largo de este horizonte temporal. Hay dos matizaciones: 6.8 Decisiones secuenciales y árboles de decisión: 204

18 3.1 Sucesos inciertos: tienen que ser mutuamente excluyentes. 3.2 Sucesos aleatorios: Tienen que ser definidos de manera exhaustiva, es decir, la suma de las probabilidades de los diferentes sucesos debe ser igual a uno. 4. Representación completa del árbol de decisión con los diferentes nudos y ramas. Las secuencias alternativas que hemos representado tienen que reflejar fielmente la información con la que cuenta el sujeto decidor en cada momento para tomar diferentes decisiones en el horizonte temporal. 5. Valoración de cada una de las alternativas y sucesos aleatorios que nos lleva al final a una valoración de las diferentes ramas de un árbol. 6. Determinar las decisiones optimas, y para ello utilizaremos el método de resolución de marcha atrás. Para esto tenemos que valorar todos los nudos del árbol. Limitaciones del método: El método es valido si el decisor utiliza como criterio decisor maximizar el valor esperado. Se puede corregir con la desviación típica. En cada nudo aleatorio se calcula la función de utilidad de los resultados posibles. En cada nudo decisional se toma la alternativa con mayor función de utilidad. El método exige que el decisor pueda soportar el riesgo de ruina. En caso de que los resultados no sean temporalmente homogéneos habrán de ser actualizados a la misma fecha. Otra situación puede ser tomar el criterio de elección de maximizar la probabilidad de ganancia y no la de maximizar el valor esperado. Este criterio de elección es útil cuando existen muchas situaciones de ganancia nula. Ejemplo: Frank Jones es un estudiante de último semestre de la Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas y quiere empezar a hacer currículo. La Universidad ha convocado unas becas para trabajar en el servicio. Los solicitantes deben superar dos pruebas: una teórica que se realizara y una práctica para quienes superen la prueba teórica. La beca esta dotada de una retribución mensual de nuevos soles libres de toda carga. Por otra parte, municipio de la ciudad ha convocado mediante concurso la provisión de un puesto de Ayudante de Administración que se dedicara a la formación técnica de los empleados. El puesto tiene una remuneración mensual de 1500 nuevos soles y habrá que superar una entrevista personal con el jefe de personal y un examen teórico practico para quienes superen la prueba teórica. Frank esta nervioso, pues no sabe a que carta jugar. Por un lado se siente seguro de sus conocimientos teóricos y piensa que si solicita la beca tiene un 70% de posibilidades de aprobar la prueba teórica y un 40% de aprobar la practica, pero si se decanta por concursar en el municipio considera que con su nerviosismo las posibilidades de superar la entrevista 6.8 Decisiones secuenciales y árboles de decisión: 205

19 METODOS CUANTITATIVOS PARAA LOS NEGOCIOS 2009 se reducen al 40% y la probabilidad de superar el examen teórico practico la estima en el 50%. Dado que la primera prueba para la beca de la Universidadd y para el municipio coinciden, decidir: a. b. a cual deberá asistir si lo que desea Frank es maximizar su ganancia mensual esperada? a cual deberá asistir si lo que desea Frank si su objetivo es maximizar la probabilidad de obtener algunaa ganancia? Solución: a) Lo primero es construir el árbol con las resultados alternativas, probabilidades asociadas y Una vez representados los nudos y las ramas, con suss probabilidades, así como los resultados asociados a ese cada camino, se procede de derecha a izquierda para determinarr el valor asociadoo a cada vértice. El valor asociado a un nudo aleatorio es la esperanzaa matemática de los valores situados al final de las ramas que parten de el: 1 Comenzamos por el nodo 4: E(4) = = 400 Tal será el valor asociado al nodo 4, que se ha de situar junto a el en el árbol. Y del mismo modo se opera con los demás nodos. E(2) = = Decisiones secuenciales y árboles de decisión: 206

20 METODOS CUANTITATIVOS PARAA LOS NEGOCIOS 2009 Del mismo modo, procediendo de derecha a izquierda, se calculan los valores asociados a los nodos 5 y 3. E(5) = 1.500* *0.5 = 750 E(3) = 750* *0.6 = 3000 El valor asociado a cualquier nudo decisional es igual al mayor de los valores asociados a los nudos en los que tienen destino las ramas que se desprenden de el. Si Frank sigue el criterio de elegir la opción a la que le corresponda la mayor gananciaa mensual esperada, se decidirá por asistir a la prueba del municipio con un valor esperado de 300 nuevos soles mensuales. El árbol queda de la siguiente forma: b. Si se decide por la Beca, la probabilidad de obtener alguna ganancia mensual, será la probabilidad de aprobar las dos pruebas de la misma, es decir superar la primera prueba y luego la segunda: í í í á í í í á í í í á í í í í í á % Del mismo modo se obtienen: í í á í í á í í í í á % Con respecto al concurso convocado por el ayuntamiento 6.8 Decisiones secuenciales y árboles de decisión: 207

21 METODOS CUANTITATIVOS PARAA LOS NEGOCIOS 2009 í í á í í á í í á í í í á % í á í á í á í í á % Por consiguiente el árbol de decisión también puede representarse de la siguiente forma: Las distribuciones de probabilidad asociadas a las dos opciones se recogen en la siguientee tabla: Respuestas: a. Opciones Beca Valores probables Probabilidades ,20 Ayuntamiento 0 0,80 Cuadro 6.10 Opciones y Probabilidades a cual deberá asistir si lo que desea Frank es maximizar su ganancia mensual esperada? Según los valores esperadoss reflejados en la tabla, se debe elegir Ayuntamiento (300) por presentar mayor valor esperado frente al Ayuntamiento (280). Los resultados deben corregirse con medidas de dispersión y medidas que incluyan el riesgo que se quiere asumir. 0,28 0,72 Valor esperado Decisiones secuenciales y árboles de decisión: 208

22 Corrección de la dispersión de los resultados con la desviación típica y construcción de las respectivas funciones de utilidad si el coeficiente de aversión al riesgo (α) es del 10%: ó varianza como medida de variabilidad de los resultados : ó í: Dado que para la beca, la esperanza matemática vale 280 nuevos soles, su desviación típica será: ó ó Por tanto, la dispersión de los valores posibles de la variable ganancia mensual, en relación a su media, es mayor en la opción del Municipio que en la opción de la Beca. b) a cual deberá asistir si lo que desea Frank si su objetivo es maximizar la probabilidad de obtener alguna ganancia? Según los valores esperados reflejados en la tabla, se debe elegir Beca (28%) por presentar mayor probabilidad de ganancia frente al Ayuntamiento (20%). 6.9 Actividades para el Aprendizaje. Luego de visitar estas direcciones de páginas web, elaborar un resumen y/o desarrollar los ejercicios propuestos para el tema correspondiente: Decisión: Herramientas para el Análisis de Decisión: Análisis de Decisiones Riesgosas: Resolver los ejercicios al capitulo correspondiente: 6.9 Actividades para el Aprendizaje. 209

23 Cátedra de Métodos Cuantitativos para los Negocios. Programación Matemática Bienvenidos a los cursos del Área de Operaciones Descargar ejercicios: Actividades para el Aprendizaje. 210