Investigación Operativa I Facultad de Ciencias Exactas UNCPBA. Año 2013

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Exactas UNCP ño 2013 Toma de decisiones bajo certidumbre: los datos se conocen en forma determinista. P ij = 1 Toma de decisiones bajo riesgo: los datos se pueden describir con distribuciones de probabilidades. 0 < P ij < 1 Toma de decisiones bajo incertidumbre: los datos son ambiguos. P ij desconocida 1

2 Estados de la naturaleza (eventos futuros que no pueden ser controlados por el decisor) probabilidad de ocurrencia p j Criterio de valor esperado VE* i = Maximización Ganancia esperada = máx i {VE i } VE* i = Minimización Costo esperado = mín i {VE i } VE i =a i1 p 1 +a i2 p 2 + +a in p n siendo a ij = retribución de la alternativa i dado el estado j p 1 +p 2 + +p n =1 ; i=1,2,..,m ; (j=1,2,,n) Se desea invertir U$S en la industria del desarrollo de software durante el próximo año. Se sabe que la inversión puede financiar un empleado durante 12 meses y se debe decidir a qué empresa conviene desarrollarle software, ya que el rendimiento de la inversión está directamente relacionado con las ventas Si se desarrolla para la empresa y el mercado está a la alza la inversión puede producir un rendimiento neto del 50 %. Si las condiciones del mercado de soft no son favorables (mercado a la baja ) el rendimiento puede ser negativo del 20 % de lo que se invirtió. La empresa es más segura, garantiza una ganancia del 25 % si el mercado está en alza y sólo de un 5 % si el mercado está en baja. Las nuevas publicaciones en revistas relacionadas al mercado de la producción de software predicen un 60 % de probabilidad de que el mercado esté en alza y un 40 % de probabilidad de que el mercado esté en baja. Determinar cuál es la alternativa que maximiza el rendimiento esperado del inversionista. Representar el problema mediante un árbol de decisiones 2

3 Rendimientos netos en un año sobre la Inversión ($) lternativas de Decisión Estados de la naturaleza "a la alza" "a la baja" VE Desarrollar para Desarrollar para Probabilidad 0,6 0,4 $ 6600 lza=0,6 $ D1: Desarrollar para Punto de decisión $ 6600 aja=0,4 $ Evento aleatorio D1 $ 5100 lza=0,6 $ 7500 D2: Desarrollar para aja=0,4 $

4 Se ofrece a un individuo la oportunidad de: ceptar con 50 % de posibilidades de ganar $70000 o nada Recibir $30000 con seguridad Criterio de VE Criterio de Conveniencia o Utilidad LTERNTIV I LTERNTIV? Diferentes individuos muestran distintas actitudes frente al riesgo. La Teoría de Utilidad se ocupa de las Preferencias del tomador de decisiones. La Función de utilidad del dinero es una manera de transformar los valores monetarios a una escala numérica apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones. La determinación de la utilidad es subjetiva, depende de la actitud acerca de aceptar el riesgo. U(M) = utilidad para $ M 4

5 Características de las funciones de Utilidad Indiferencia ante el riesgo: Indica la inexistencia de una actitud ante el riesgo, la función es lineal. versión al riesgo: Cuanto mayor sea el capital, menor será la utilidad del dinero. (utilidad decreciente) Propensión al riesgo: La utilidad del dinero es menor con relación a la indiferencia, valora poco lo que posee. Propiedad de la función de utilidad del dinero: el tomador de decisiones se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada. 5

6 Contrato con $ de inversión y resultados N1 = Ganar $ N2 o N3 = Perder todo Contrato con $ de inversión y resultados N1 o N2= Ganar $ N3 = perder todo Opción de no invertir Probabilidades: P(N1) = 0,50 P(N2) = 0,10 P(N3) = 0,40 En miles de $ N1 N2 N3 VE Orden C La decisión que maximiza el rendimiento esperado es la alternativa Lotería L (, ; p) es un evento aleatorio que tiene dos posibles resultados y, los cuales ocurren con probabilidades p y 1-p plicación del método de Von Neumann para el cálculo de utilidades Paso 1: Establecer las consecuencias en orden decreciente de deseabilidad: e 1, e 2,, e p Paso 2: sígnese arbitrariamente valores numéricos finitos u(e 1 ) y u(e p ) a las consecuencias e 1 y e p, respectivamente de tal forma que u(e 1 ) > u(e p ) Paso 3: Para cada consecuencia e j cuya deseabilidad esté entre e 1 y e p, determínese una probabilidad de equivalencia p j, con la propiedad de quien toma las decisiones es indiferente entre obtener e j con certeza y participar en la lotería L (e 1, e p ; p j ) Paso 4: Sea u(e j ) p j * u(e 1 ) + (1-p j ) * u(e p ) la utilidad de la consecuencia e j El método pretende medir la actitud subjetiva de un tomador de decisiones comparando una apuesta entre dos valores extremos y un equivalente monetario. El paso 3 es altamente subjetivo Una utilidad está normalizada si u(e j ) = 1 y u(e p )=0 haciendo a las utilidades idénticas a las probabilidades de equivalencia 6

7 Resolución, aplicando el método de Von Newmann para definir una función de utilidad 1º) > > 0 > > º) U( ) = 1 U( ) = 0 3º) Para sacar la utilidad de cada uno de los valores intermedios, U(e j ), se le pregunta al tomador de decisiones: con qué probabilidad aceptaría participar en una lotería donde puede ganar $ (con probabilidad p) o perder $ (con probabilidad 1-p), teniendo e j $ seguros en su poder? Se define: U(e j )=p*u( )+(1-p)*u( ) =p*1+(1-p)*0=p El tomador de decisiones asigna las probabilidades de indiferencia entre ambas alternativas para cada uno de los posibles e j : p( ) = 0,90 p(0) = 0,75 p( ) = 0,65 VLORES DE UTILIDD El valor esperado de la lotería será *0,9+( )*0,1= valor esperado > pago seguro Matriz de utilidades para el tomador de decisiones: N1 N2 N3 VE i Orden ,5 3 0,9 0,9 0,65 0,80 1 C 0,75 0,75 0,75 0,75 2 El orden determinado por la matriz de utilidades es, C y. La elección del tomador de decisiones es ya que es la opción que maximiza su utilidad esperada Investigación Informática de Operativa Gestión I 7

8 Calculamos la curva de indiferencia para determinar la aversión / propensión al riesgo del tomador de decisiones = * p + ( ) * (1-p) // es el equivalente monetario cierto = * p * p = * p / = p 0,56 = p ( ) Para p=0,56 el valor esperado de la lotería iguala el pago seguro de Continua calculando para todos los valores p( ) = 1 p( ) = 0,56 p(0) = 0,33 p( ) = 0,20 p( ) = 0 Resultado juego equitativo Vs. Evaluación subjetiva del juego VERSIÓN caba de completarse la fase de diseño y prueba de un producto. La alta gerencia está tratando de decidir la estrategia de mercadotecnia y producción apropiadas para usarse con este producto. Se consideran tres alternativas: agresiva (), básica () y cautelosa (C). La administración decide clasificar el estado del mercado (el nivel de demanda) como Fuerte (F) o Débil (D), se dan las retribuciones netas (medidas en millones de dólares): Calcular el rendimiento esperado y determinar la decisión recomendada sabiendo que se estima una probabilidad de 0,45 de que el mercado sea fuerte. Construir el árbol de decisiones asociado al problema. 8

9 Estados de la naturaleza Decisión Fuerte Débil VE gresiva 30-8 ásica 20 7 Cautelosa 5 15 Probabilidad 0,45 0,55 9,1 12,85 10,5 Las probabilidades surgen de datos históricos F =0,45 30 D =0,55-8 D2 9,1 F =0, ,85 12,85 D =0,55 7 Posible decisión Situaciones de resultado incierto C 10,5 F =0,45 D =0,

10 La administración decide realizar un estudio de investigación de mercados antes de aprobar la selección de la estrategia de mercadotecnia y producción, el grupo de investigación determinará si el estudio da lentador (l) o Desalentador (De). En el pasado cuando el mercado ha sido fuerte, se han emitido informes alentadores sólo el 60 % de las veces; y cuando el mercado ha sido débil se han emitido informes desalentadores el 70 % de las veces. Incorporar esta información al árbol de decisiones. Cuál será la decisión recomendada si el informe da lentador? Cuál será la decisión recomendada si el informe da Desalentador? Cuál es el valor del rendimiento esperado de llevar a cabo la prueba de mercado y tomar la decisión óptima? Si la prueba de mercado tiene asociado un costo de U$S (o 0,5 millón): Incorporar esta información al árbol de decisiones Cuál será la decisión que tomará la empresa? Probar o No probar hora suponga que las utilidades de todas las retribuciones posibles fueron calculadas: Incorporar las utilidades al árbol de decisiones Cuál es la decisión óptima? Probabilidades a priori P(F)=0,45 P(D)=0,55 Probabilidades condicionales P(l/F)=0,60 P(De/F)=1-P(l/F)=0,4 P(De/D)=0,7 P(l/D)=1-P(De/D)=0,3 Calcular probabilidades a posteriori P(F/l) (Teorema de ayes) P(D/l) P(F/De) Las probabilidades se P(D/De) obtienen usando muestreo o experimentos 10

11 ) P(F/l) = P(F l) / P(l) aplicando 3 y 4 P(F) * P(l/F) ) P(F/ l) = = = P(F) * P(l/F) + P(D) * P(l/D) ) P(F l) = P(F)*P(l/F) = P(l)*P(F/l) = 0.45*0.6=0.27 4) P(l) = P(F)*P(l/F) + P(D) * P(l/D) = 0.45* *0.3 = ) P(De) = P(F)*P(De/F) + P(D)*P(De/D) = 0.45* *0.7= De la misma manera hay que calcular P(D/l) = (0.55*0.3)/0.435= P(F/De) = (0.45*0.4)/0.565=0.319 P(D/De) = (0.55*0.7)/0.565=0.681 D1 F =0,621 D =0,379 15,598 F =0, l =0,435 lentador 15,598 C D =0,379 15,073 F =0, ,79 D =0, ,457 F =0, Desalentador (De) De =0,565 D3 4,122 D =0,681 F =0, ,81 C D =0,681 11,147 F =0, ,81 D =0,

12 l =0,435 lentador D1 15,098 C F =0,621 D =0,379 15,098 F =0,621 D =0,379 14,573 F =0,621 29,5-8,5 19,5 6,5 4,5 8,29 D =0,379 14,5 Prueba 12,957 Desalentador (De) De =0,565 D3 3,622 F =0,319 D =0,681 F =0,319 29,5-8,5 19,5 11,31 D =0,681 10,647 6,5 C F =0,319 4,5 11,31 D =0,681 14,5 P 12,957 Sin Prueba D2 9,1 F =0,45 D =0,55 F =0, ,85 12,85 D =0,55 7 F =0,45 C 5 10,5 D =0,

13 l =0,435 lentador D2 0,867 C F =0,621 D =0,379 0,711 F =0,621 D =0,379 0,867 F =0,621 0,962 0,30 0,941 0,748 0,695 0,776 D =0,379 0,910 Con Prueba 0,852 Desalentador (De) De =0,565 D3 0,511 F =0,319 D =0,681 F =0,319 0,962 0,30 0,941 0,841 C D =0,681 0,809 0,748 F =0,319 0,695 0,841 D =0,681 0,910 P 0,852 Sin Prueba 0,609 F =0,45 D =0,55 F =0,45 0,963 0,32 0,943 0,842 0,842 D =0,55 0,76 F =0,45 C 0,709 0,821 D =0,55 0,914 13

14 Teoría matemática que estudia situaciones llamadas de conflicto. En ella dos o más partes (jugadores) deben tomar cada una decisiones cuya efectividad depende de las decisiones tomadas por las demás. Los jugadores constituyen contendientes racionales u oponentes inteligentes con objetivos contrarios Cada jugador buscará maximizar su utilidad. La utilidad es una magnitud. Juego: situación de conflicto en la que dos o más adversarios intentan alcanzar un objetivo seleccionando cursos de acción de entre todos los que sean permitidos por las reglas. Reglas: posibles cursos de acción que pueden ser elegidos. Conocidas por todos los jugadores. Resultados: asociados a cada posible combinación de elecciones son definidos por adelantado y conocidos por todos los jugadores. Movida: elección de un curso de acción en particular de entre un conjunto de alternativas posibles. Partida: secuencias de movidas que se suceden en un juego desde el principio hasta el final. Hay una secuencia por cada jugador. 14

15 Estrategia de un jugador: Regla de decisión predeterminada que permite a un jugador elegir cada una de las movidas que conforman a una partida, ante el análisis de todas las posibles elecciones de los competidores. Estrategia pura: a aquella en la cual cada una de las movidas hechas por un jugador a lo largo de una partida corresponde a una única opción o curso de acción particular. Estrategia mixta: a aquella en la cual no siempre se opta por el mismo curso de acción a lo largo de una partida. ntes de iniciar el juego, un jugador conoce las estrategias de que dispone, las de su oponente y la matriz de pagos. Valor del juego: resultado de jugar una partida, cada jugador con su estrategia. Indica cual es el beneficio o perjuicio que recibe cada jugador. Solución del juego: conjunto de estrategias óptimas para cada jugador y valor del juego resultante de la aplicación de esas estrategias. 15

16 Según el Número de competidores 2 personas n personas Según el resultado de la suma de los beneficios para ambos jugadores Suma cero Suma no nula Según el número de estrategias de los competidores Juegos de m x n (con m = n ó m n) Juegos de m x 2 Juegos de 2 x n Representación mediante matrices de pago: si usa la estrategia i y la estrategia j, el pago de a es a ij, lo que significa que el pago a es a ij La ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro 1 2 n 1 a11 a12 a1n 2 a21 a22 a2n m am1 am2 amn 16

17 Si el jugador elige la estrategia x i El jugador juega de forma que lo menos que pueda ganar sea lo más grande posible, independiente de lo que haga V máx R R máx j1,2,..., n ( mín { a { a 1 i i1,2,..., m i1,2,..., m j1,2,..., n ij i mín ij } }) En el peor de los casos se asegura de ganar V1 Si el jugador elige la estrategia y j i1,2,..., m El jugador juega de forma que el número mayor que deba pagar sea lo menos posible, independiente de lo que haga V mín S S j mín máx { a 2 j j1,2,..., n j1,2,..., n i1,2,..., m ij ( ij } máx { a }) En el peor de los casos la pérdida segura es V2 17

18 Por sus definiciones V 1 <= V <= V 2 Si V 1 =V 2 Juego estable (tiene punto de silla ) Las estrategias son óptimas para los jugadores V = V1 = V2 se denomina VLOR DEL JUEGO Cada juego estable tiene un único valor y una estrategia óptima (pura) para cualquiera de los jugadores mín MXIMIN máx V = V 1 =V 2 =5 MINIMX Juego estrictamente determinado 18

19 Cuando V 1 < V 2, no existe solución por estrategias puras Juego inestable Las estrategias puras no son óptimas Las estrategias mixtas se definen por medio de vectores probabilísticos x probabilidad de que el jugador 1 use la estrategia i i y probabilidad de que el jugador 2 use la estrategia j X ( x, x,..., x Y ( y, y,..., y ) m n ) x x... x... y 1 1 Forma de evaluación: pago esperado y y 2 m n E( X, Y) j m n ij i1 j1 a x y i j Pago esperado para el jugador 1 Para cualquier juego matricial de suma cero entre dos personas existen estrategias óptimas X * e Y * tales que: E (X *,Y * ) = V 1 = V 2 = V * Siendo V 1 = Valor máximo de la ganancia mínima esperada del jugador 1 V 2 = Valor mínimo de la pérdida máxima esperada del jugador 2 V V 1 2 máx ( mín X mín ( máx Y Y X E( X, Y)) E( X, Y)) 19

20 Distintos Métodos para resolución de Juegos Criterio Minimax Gráfico Submatrices Laplace Hurwicks (optimismo) Savage Iteración (raun Robinson) 1 2 mín MXIMIN máx 5 6 V1=4 V2=5 MINIMX 20

21 Resolución por método gráfico y deducción analítica de probabilidades asociadas: MXIMIN mín máx V1=-3 V2=3 21

22 = = 46 Hay Solución 22

23 Las estrategias son las siguientes: X = ( 17/46, 20/46, 9/46 ) Y = ( 14/46, 12/46, 20/46 ) El valor del juego: Se elige una alternativa cualquiera de cualquier jugador, (Ej: 1) del jugador, y se suman los productos de cada pago según la alternativa de por su probabilidad. Entonces: V= (-1)*17/46 + 1*20/46 + 3*9/46 = 30/46 Laplace: todos los estados son igualmente probables Para el jugador : 1 máx ai 1 ai2 ai3... a n in Prom i

24 Hurwicz (optimismo): representa un rango de actitudes de la más optimista a la más pesimista. = 0, 1 (índice de optimismo) máx {H i } donde H i = * (máx j a ij ) + (1 - ) * (min j a ij ) Hi , ,6 Jugador ,6 Savage o criterio de arrepentimiento, reemplaza la matriz de resultados con una matriz de pérdidas o pesadumbres Para : R ij = Máx. de Columna Rij plicar Min i (máx j R ij)

25 K=nro. Iteración i=estrategia de j=estrategia de V min =ganancia mínima acumulada dividido k V max =ganancia máxima acumulada dividido k V*=(v max +v min )/2 k i j v min V max v* X =(x 1,x 2,x 3 ) Y =(y 1,y 2,y 3 ) x 1 es aproximadamente la cantidad de veces que eligió la estrategia 1 en k, entonces: x 1 = 2/7 (aproximadamente) x 2 = 3/7 (aproximadamente) x 3 = 2/7 (aproximadamente) De la misma forma calcular y 1, y 2 e y 3 aproximados. Y 1 = 0 y 2 = 4/7 y 3 =3/7 Los valores exactos son obtenidos mediante la resolución de problemas dobles de programación lineal y equivalen a x 1 =0.25, x 2 =0.5 y x 3 =0.25. Si aumentan la cantidad de iteraciones de raun Robinson nos vamos acercando a los valores reales. 25

26 Estrategia 1 de domina a la estrategia 3 de Estrategia 2 y 1 de dominan a la estrategia 3 de Estrategia 1 de domina a la estrategia 2 de Estrategia 1 de domina a la estrategia 2 de IMPORTNTE: Útil para reducir el tamaño de la matriz de pagos

27 HP (nalytic Hierarchy Process) es un procedimiento diseñado para resolver problemas complejos de criterios múltiples. Está diseñado para casos en los que las ideas, emociones y sentimientos se cuantifican en base a evaluaciones subjetivas del decisor respecto a la importancia relativa de cada uno de los criterios, y debe especificar sus preferencias con respecto a cada una de las alternativas de decisión y para cada criterio. 1. Descomponer el Problema en una jerarquía de elementos interrelacionados identificando objetivo, criterios (i=1,2,,m) y alternativas posibles (j=1,2,,n) OJETIVO CRITERIO 1 CRITERIO 2 CRITERIO 3 lternativa 1 lternativa 2 lternativa aa 3 lternativa 4 Para cada uno de los criterios: 2. Desarrollar la Matriz de Comparación por Pares de lternativas, estableciendo el Ranking de importancia relativa entre ambas alternativas 1 Igual importancia 3 Moderada superioridad de uno 5 Fuerte superioridad de uno sobre el otro. 7 Muy fuertemente superior 9 Extremadamente Superior Valores intermedios a usar cuando hace falta un término medio entre las cuantificaciones anteriores ESTLECER LOS VLORES RECIPROCOS PR LS COMPRCIONES INVERSS 3. Desarrollar la Matriz de normalizada, dividiendo cada número de una columna de la Matriz de Comparación por pares por la suma total de la columna 27

28 Desarrollar el Vector de Prioridad para el Criterio calculando el promedio de cada fila de la matriz normalizada. 5. La Consistencia de las opiniones utilizadas en la Matriz de comparación por pares puede ser determinada a través del cociente de consistencia (RC). Un RC inferior a 0.1 es aceptable, si RC es mayor a 0,1, las opiniones y juicios deberán reconsiderarse. 6. Los resultados obtenidos a partir del Desarrollo del Vector de Prioridad son resumidos en una Matriz de Prioridad, listando las alternativas por fila y los criterios por columna 7. Desarrollar una Matriz de Comparación de Criterios por pares similar a lo que se hizo para las alternativas. 8. Desarrollar un Vector de Prioridad Global multiplicando el Vector de prioridad de los Criterios, obtenido en el punto 7, por la Matriz de prioridad de las lternativas obtenida en el punto 6. 28