DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO TEMA 5. CURVAS TÉCNICAS Y CURVAS CÓNICAS. Departamento de Artes Plásticas y Dibujo

Transcripción

1 IUJ ÉI HILLER E 5. URVS ÉIS Y URVS ÓIS. epartamento de rtes lásticas y ibujo

2 E 5. URVS. 1º H. urvas técnicas Óvalo y ovoide Volutas y Espirales urvas cíclicas: cicloide, epicicloide, hipocicloide. urvas cónicas La superficie cónica rigen de las curvas cónicas Elipse Hipérbola arábola angentes a las cónicas. 2º H. efinir y diferenciar las diferentes curvas cíclicas: cicloide, epicicloide e hipocicloide. Evolvente de la circunferencia. Lemniscata de ernoulli. Lemniscata de Geromo. Rectas tangentes a una elipse: Recta tangente en un punto de la elipse. Rectas tangentes desde un punto exterior. Rectas tangentes paralelas a una dirección. Intersección de recta con elipse. Rectas tangentes a una hipérbola: Recta tangente en un punto de la hipérbola. Recta tangente desde un punto exterior. Rectas tangentes paralelas a una dirección. Intersección de recta e hipérbola. Rectas tangentes a una parábola. Recta tangente en un punto de la parábola. Rectas tangentes desde un punto exterior. Rectas tangentes paralelas a una dirección. Intersección de recta y parábola.

3 URVS ÉIS Las curvas técnicas, óvalo, ovoide, espirales, evolventes, etc., se pueden construir con trazados regulares como con arcos de circunferencias y con los enlaces en cada unión de cada curva. ara construir una curva técnica como un óvalo, un ovoide o una voluta hay que hallar los centros de los arcos a trazar y los puntos de tangencia de los enlaces. Los óvalos y los ovoides están formados a partir de circunferencias tangentes entre sí. Son formas muy utilizadas en el diseño industrial y arquitectónico, dada la sencillez de su trazado. El óvalo es una curva cerrada que tiene dos ejes de simetría axial. Sus ejes son perpendiculares y se cortan en un punto medio. Los ovoides son curvas cerradas que tienen dos ejes perpendiculares, pero no se cortan en un punto medio. Son simétricos en un solo eje. anto para óvalos como para ovoides utilizamos cuatro curvas tangentes entre sí. Las espirales y las volutas son otro tipo de curvas. La espiral está generada por un polígono o circunferencia que va girando progresivamente hasta el infinito. ada vuelta de 360º determina un paso de espiral o una espira. Una evolvente es una curva generada por arcos de circunferencia o a mano alzada, cuyos centros están en las divisiones de la circunferencia y el arco es trazado hasta la recta tangente a ese centro. Las molduras y arcos son construcciones basadas en enlaces de tangencias tanto interiores como exteriores. Son oros, escocias, vasos, etc. muy utilizados en arquitectura a lo largo de la historia. Las curvas cíclicas son curvas generadas por un punto situado en una circunferencia al girar sobre una recta o sobre otra circunferencia, sin resbalar, realizando un recorrido igual a la longitud de la circunferencia. Las cicloides son: cicloide, epicicloide e hipocicloide. ÓVL ÓVL ISRI E U R 60º VIE E VLU 3 US ESIRL ÁURE EVLVEE E U IRUEREI ILIE LURS RS HÉLIE ÓI ombre de lumno ítulo de lámina urso 2º HILLER

4 Los óvalos. Los óvalos son formas que recuerdan a las elipses. Se construyen trazando cuatro arcos iguales dos a dos. Los óvalos son simétricos según sus dos ejes perpendiculares, eje mayor y eje menor. Los centros de los arcos también serán simétricos. onstrucción de un óvalo conociendo el EJE YR. es el segmento eje mayor del óvalo. 1. Se divide el segmento en tres partes iguales obteniendo los puntos y. 2. on centro en Y se trazan las circunferencias de radios y. 3. Los puntos de intersección de estas dos circunferencias, y, serán los centros de los otros dos arcos del óvalo. Unir, como siempre en tangencias, los centros de los arcos para marcar los puntos de tangencia. onstrucción de un óvalo conociendo el EJE ER. Q es el segmento eje menor del óvalo. 1. Se dibuja una circunferencia de diámetro Q y se traza el diámetro perpendiculares t. 2. Se une, que es igual a, con que es el punto que se obtiene cuando se corta la circunferencia antes dibujada con el eje mayor, perpendicular a Q. 3. Se actua de igual manera con Q que será y. 4. on centro en en estos puntos se trazan los cuatro arcos que forman el óvalo: entro en y radio. Etc. Q onstrucción de un óvalo circunscrito a un rombo. (construcción de un óvalo conociendo los dos ejes). Las diagonales del rombo coinciden con los ejes del óvalo. 1. Se dibuja un arco con centro en y radio igual a la mitad del eje mayor. Este arco corta a la prolongación del eje menor en. 2. Se traza un arco con centro en y radio que corte al lado del rombo en. 3. Se dibuja la mediatriz del segmento. Esta mediatriz corta al eje mayor en y al eje menor en. 4. Los simétricos de y con respecto a los ejes serán y. 5. altaría unir, como en todas estas curvas, los centros de los arcos para acotar los puntos de tangencia. con y con. onstrucción de un óvalo inscrito en un rombo. Se dibujan las mediatrices de los lados del rombo. Las intersecciones de dichas mediatrices son los centros y. Estos centros estarán siempre en el eje mayor del rombo. y 5 son los vértices y del rombo. (figura 1). uando el rombo tiene dos ángulos de 60º, tenemos un caso particular ya que las mediatrices de los lados coinciden con las medianas y los vértices del rombo. Se utiliza para simular las elipses en las construcciones de perspectivas en la isométrica. (figura 2) (figura 1) (figura 2) 5 5 ombre de lumno urso 2º HILLER ítulo de lámina ÓVLS Y VIES.

5 Los ovoides. El ovoide es una curva plana, cerrada formada por cuatro arcos de circunferencia: uno de ellos es una semicircunferencia y dos de ellos son simétricos. El ovoide tiene un eje un eje, llamado eje mayor, y un diámetro llamado también eje menor. El ovoide es simétrico unicamente sobre su eje mayor. onstrucción de un ovoide conociendo el EJE YR. es el segmento eje mayor del ovoide. 1. Se divide el segmento en seis partes iguales. (teorema de thales). Se numeran y se llama a número 2 como y al número on centro en y radio se dibuja un arco que corte a la prolongación del eje menor (diámetro de la circunferencia ) en los centros y. 3. Se unen los centros y con. 4. Se dibujan los arcos correspondientes onstrucción de un ovoide conociendo el diámetro o EJE ER. es el segmento diámetro del ovoide y eje menor. 1. Se dibuja la circunferencia de centro, centro del segmento, y radio. 2. Los puntos y serán los centros de los arcos y. 3. Se traza una perpendicular por el centro de, que será el eje mayor. 4. onde la perpendicular corte a la circunferencia será. 5. Se unen los centros y con para delimitar los arcos con los puntos de tangencia. 6. Se trazan los arcos de centros,, y. onstrucción de un ovoide conociendo el diámetro y el eje mayor. es el eje mayor y el diámetro. 1. Se dibuja la circunferencia de diámetro y cuyo centro es. 2. Se traza por el punto la recta perpendicular a, que corta a la semicircunferencia en. 3. Sobre la perpendicular anterior y a partir del punto se lleva el eje mayor. 4. partir de los puntos, y se llevan hacia el interior los segmentos, Q y R, iguales al radio del arco menor del ovoide, que se elige arbitrariamente. 5. Se hallan las mediatrices de los segmentos o2 y Qo2 que cortan a la prolongación del diámentro en los puntos y. R Q ombre de lumno urso 2º HILLER ítulo de lámina ÓVLS Y VIES.

6 Espirales. - La espiral es una línea curva que se da vueltas alrededor de un punto. ueden ser infinitas tanto hacia el interior como hacia el exterior. Se llama paso a la distancia radial que existe entre dos vueltas consecutivas. - Las Volutas no son espirales propiamente dicho aunque lo parezcan. Son curvas formadas por arcos de circunferencia, cuyos radios se van ampliando o reduciendo. Los centros de los arcos pueden ser desde dos hasta cualquier nº de vértices que tenga un polígono regular. - La evolvente del círculo es una curva que se genera por rectas tangentes a una circunferencia. - Las hélices son curvas que se generan por un punto que se mueve sobre una superficie de revolución. onstrucción de volutas de varios centros. - Voluta de dos centros (espiral de Honnecourt). Está formada por circunferencias tangentes entre sí con centros en dos puntos dados: 1. Se dibuja una recta y en ella se colocan los dos centros. 2.Se dibuja una semicircunferencia con centro en y radio. 3. on centro en se dibuja otra circunferencia tangente a la primera. ( centro y radio ). sí sucesivamente. - Voluta de tres centros (centros en los vértices de un triángulo). 1. Se dibuja el polígono regular. En este caso un triángulo. Si nos dan el paso, éste sería de la siguiente manera: medida del lado del triángulo = 1/3 del paso, luego medida del paso /3. 2. Se prolongan los lados de manera que no se corten las prolongaciones. 3. esde el vértice y con radio se dibuja un arco de medida el ángulo del lado y la prolongación. 4. esde y enlazando con el arco anterior se dibuja un segundo arco hasta que corte a la prolongación del vértice. 5. esde y enlazando donde corte el arco anterior se dibuja otro arco. ontinuar así tantas veces como sea necesario. Se pueden dibujar volutas con las prolongaciones de cualquier polígono regular onstrucción de la Espiral de rquímedes. Es la consecuencia del desplazamiento de un punto con un movimiento angular regular con respecto a otro punto fijo central. 1. Sea el paso de la espiral. 2. Se divide la circunferencia en tantas partes como vamos a dividir. En nuestro caso en 12 partes iguales. 3. Se trazan las circunferencias concéntricas con centro en en punto y radios,,,... sí nos darán los puntos,,, etc. 4. Se unen a mano alzada o con plantilla los punto anteriores, que configurarán la espiral. o onstrucción de la Espiral áurea. Está basada en la construcción del rectángulo áureo, está formada por arcos de circunferencia tangentes entre sí que cumplen que r/r = f. ara construirla dibujaremos un rectángulo de oro y en él la sucesión de divisiones áureas en forma de cuadrados y rectángulos áureos. razaremos los arcos áureos como se indica en la figura. onstrucción de la evolvente de la circunferencia conociendo el radio. 1. Se dibuja la circunferencia. 2. Se divide en un número igual de partes (8 en el ejemplo) 3. or cada división se dibujan tangentes. 4. El primer arco 1. Esta distancia es la rectificación del arco En la tangente desde 2 se pone la distancia - rectificación de 1-8 dos veces o bien se rectifica el arco 2-8. Se realiza la misma operación con todos los puntos. Los puntos obtenidos,,,, etc. se unen a mano alzada o con plantilla. Se puede hacer una variante con arcos de circunferencia desde 1, 2, 3, 4, etc. y radios 1, 2, 3, 4, etc E 7 5 ombre de lumno 6 urso 2º HILLER ítulo de lámina ÓVLS Y VIES.

7 URVS ÓIS. Las curvas cónicas son el resultado de seccionar un con un L. Excepto la circunferencia, todas las demás, elipse, parábola, hipérbola, etc., se construyen a mano alzada uniendo puntos que se hallan con diferentes procedimientos según la curva. En el diseño de objetos tridimensionales, para construir curvas en isométrica por ejemplo, las circunferencias se proyectan en elipses. ELEES E U ÓI: Elipse como ejemplo. Ejes de simetría. En la elipse = 2a y = 2b Vértices: son los puntos extremos de los ejes de la curva ocos: puntos fijos situados sobre el eje, como y. La distancia entre ellos es de 2c. b entro: el punto. Es el centro de simetría de la curva. ircunferencia rincipal: Es el lugar geométrico de las proyecciones de los focos sobre las a rectas tangentes a la cónica. on centro en y radio igual a la mitad del eje mayor, a. ircunferencia focal: Es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las rectas tangentes a la cónica. circunferencia focal circunferencia principal Si el plano secante es perpendicular al eje del cono la sección generada es una IRUEREI EJE Si el plano secante se inclina de manera que corte al eje de forma oblicua y corta también a S las generatrices obtendremos una ELISE. L SEE L SEE IRUEREI ELISE Si el plano secante es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz la sección será una RÁL EJE Si el plano secante es paralelo al eje y corta a las dos directrices, la curva tendrá dos ramas y será una HIÉRL EJE L SEE L SEE RÁL HIÉRL Superficie cónica: superficie que surge por el movimiento de una línea recta llamada generatriz que apoyandose en un punto, conocido como vértice, recorre una línea curva cerrada llamada directriz. iene dos ramas simétricas respecto a un eje que pasa por los vértices. ombre de lumno ítulo de lámina urso 2º HILLER

8 elipses radios vectores Una elipse es un curva plana cerrada, lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos, los focos, es constante e igual al eje mayor. Ejes de simetría. = 2a y = 2b. erpendiculares. Se cortan en el centro. La elipse es simétrica con respecto a los dos ejes. Vértices: son los puntos extremos de los ejes de la curva ocos: puntos fijos situados sobre el eje, como y. La distancia entre ellos se llama distancia focal. Los radios vectores son las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse con los focos. La suma de los dos radio vectores es el eje mayor. entro: el punto. Es el centro de simetría de la curva. ircunferencia rincipal: Es el lugar geométrico de las proyecciones de los focos sobre las rectas tangentes a la cónica. on centro en y radio igual a la mitad del eje mayor, a. ircunferencia focal: Es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las rectas tangentes a la cónica. Es la circunferencia de r= y centro y respectivamente. b a circunferencia principal circunferencia focal parábola Una parábola es una curva plana abierta, lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de uno fijo, el foco y una recta, la directriz. vértice Ejes de simetría. la parábola tiene un eje de simetría que coincide con el eje. Vértices: (V) Es el punto extremo del eje de la curva. El otro extremo de la curva y por lo tanto su otro vértice estarán en el infinito. El vértice es un punto de la parábola por lo que la distancia de la directriz al vértice será la misma que del vértice al foco. (El vértice está en el centro entre el foco y la directriz y a su vez el foco estará al doble de distancia entre la directriz y el vértice) oco: Es un punto fijo y está en el eje. () El otro foco estará en el infinito. Los radios vectores son las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con el foco. La distancia de un punto cualquiera de la curva a la directriz es la misma que del punto al foco, por lo que los radios vectores serán de igual medida. ircunferencia rincipal: l tener un vértice en el infinito, la circunferencia principal tendrá su centro en el infinito y será una recta tangente que pasa por el vértice. ircunferencia focal: l tener también un radio infinito se convierte en una recta que coincide con la directriz. v circunferencia focal IRERIZ eje radios vectores hipérbola La hipérbola es una curva plana y abierta, lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos y, es constante y es igual al eje principal, distancia entre los vértices V y V. circunferencia focal Ejes de simetría. iene dos eje, el eje mayor y el eje imaginario. Son perpendiculares entre sí y se cortan en el punto. La hipérbola es simétrica con respecto a los dos ejes. El eje real será la distancia entre los dos vértices o extremos de la curva y. La distancia 1 2 de al centro es a. El eje real será 2a. ocos: y. Están situados en el eje mayor. Radios vectores: son las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los dos focos. ircunferencia rincipal: entro en y diámetro ircunferencia focal: iene dos circunferencia focales. Es la circunferencia de radio y centro en cada uno de los focos. síntotas. Son rectas que pasan por el centro de la curva y son tangentes a esta en el infinito. Son simétricas respecto de los ejes y. circunferencia principal ombre de lumno ítulo de lámina urso 2º HILLER

9 1.- Hallar el resto del eje y el eje menor dados un foco y =/2 La distancia entre un foco y un punto de la recta más la distancia entre y el otro foco es igual al eje mayor. (+ = or lo tanto dibujaremos la ½ del eje que falta simétrico de. ambién dibujaremos el simétrico de en =. or trazaremos una perpendicular a. espués cogiendo con el compás la distancia la llevamos desde dibujando un arco hasta que corte a la recta perpendicular a que pasa por en y en, el eje menor. 2.- Hallar los focos de la ELISE dado los ejes. El punto y el son puntos de la curva por lo tanto cumplirán que + = or lo tanto para hallar los focos dados los dos ejes solamente tenemos que coger la medida de /2 igual a y ponerla a partir de o de mediante un arco de circunferencia. onde corte el arco al eje será y. 3.- onstruir la elipse conociendo sus ejes. or puntos Una de tantas formas de trazar una elipse es mediante puntos teniendo en cuenta la definición de elipse: la suma de los segmentos a un punto de la curva desde los focos es igual al eje principal = + = ara construir la curva primero hallaremos los focos y cogiendo como en el ejercicio anterior la distancia y llevándola desde sobre el eje. Una vez hallados los ocos, dividiremos el eje en partes aleatorias, en este caso 3. uantas más divisiones hagamos más puntos tendremos para dibujar la curva a mano alzada o con plantillas. Se coge la medida 1 y se lleva con el compás desde los focos y también desde dibujando arcos de circunferencia con radio 1. Seguidamente se coge la medida 1 se procede de la misma manera: arcos de circunferencia de radio 1 desde y desde. onde corten los arcos de radio 1 desde y 1 desde tendremos un punto de la curva 1 y también los simétricos onstruir la elipse conociendo sus ejes. or afinidad ibujar la circunferencia de radio y la circunferencia de radio ibujar radios aleatorios, ya sabéis, cuantos más mejor. uando los radios corten a la circunferencia en y a la circunferencia en, dibujamos verticales (paralelas a ) desde y horizontales (paralelas a ) desde. onde corten estas rectas tendremos el punto 1 perteneciente a la elipse. e esta forma haremos con el resto de radios dibujados. Uniremos los puntos a mano alzada o con plantilla. 1 ombre alumno urso:. lámina ombre lámina : urvas cónicas. Elipse, parábola, hipérbola.

10 5.- Hallar la recta tangente a la elipse por el punto dado. Hay diferentes métodos para dibujar la tangente: Unir mediante las rectas r y t el punto con los focos y que hallaremos previamente mediante un arco de radio desde. ibujar la bisectriz del ángulo obtenido cuando se cortan r y t en el punto. Segundo método: dibujamos la circunferencia focal: desde y con radio. ibujamos una recta t desde que pase por y que corte a la circunferencia focal en. Unimos con y dibujamos la mediatriz de este segmento. r t 6.- Hallar las rectas tangente a la elipse por el punto dado exterior. esde el punto exterior dibujaremos una circunferencia de radio hasta que corte en la circunferencia focal (acordaros radio = desde ) en los puntos y. Unimos con y trazamos la mediatriz del segmento. Si unimos con nos dará el punto de tangencia, lo cual también podemos aprovechar para dibujar la tangente de a. l unir con obtendremos el punto de tangencia de la otra recta tangente. RÁLS 1.- ado el eje, el foco y el vértice de una parábola, se pide: hallar y dibujar la directriz y al menos dos puntos simétricos de la curva. 2 3 El punto V, vértice de la parábola es un punto más de la curva, por lo tanto cumplirá la definición de parábola: la distancia de punto de la parábola hasta la directriz es la misma que del punto al foco. Sabiendo ésto, si tenemos el foco y el vértice V, la directriz estará a la misma distancia de V que de V. ara hallar la directriz pondremos el compás en V y con radio V trazaremos un arco hasta cortar al eje en punto de la directriz. ibujaremos la directriz mediante una recta normal al eje. ara construir la curva utilizaremos el método por puntos: dibujaremos puntos en el eje de forma aleatoria: 1, 2, 3,... y dibujaremos paralelas a la directriz. on radio d1, d2, d3,... dibujaremos arcos de circunferencia que corten a la vez a las paralelas en los puntos simétricos 1, 2, 3,... ibujar la curva a mano alzada o con plantillas. 1 v d 2 3 eje ombre alumno urso:. lámina ombre lámina : urvas cónicas. Elipse, parábola, hipérbola.

11 v 2.- ado el eje, la directriz y el foco de una parábola, se pide: hallar el vértice y dibujar al menos dos puntos de la curva. eniendo el foco y la directriz d dibujaremos V en la mitad de ambos, en el eje, mediante una mediatriz. Una vez que tenemos los puntos clave trazamos la curva como en el ejercicio anterior. eje v d 3.- ado el eje, la directriz y un punto de una parábola, se pide que halles el vértice y el foco y otro punto de la curva (que no sea el simétrico). ibujaremos una normal desde hasta la directriz. Esta distancia será la misma que de a. se halla con un arco de circunferencia desde con radio. ibujar otro punto o trazar la curva como en ejercicios anteriores. eje 4.- ada la siguiente parábola y un punto de la misma se pide que traces la recta tangente a la curva por. Se une el foco con el punto y se traza la perpendicular desde hasta la directriz (punto ). ibujar la mediatriz de o bien la bisectriz del ángulo. v 5.- ada la parábola y un punto exterior a ella: razar las rectas tangentes a la curva y que pasen por. Hallar el foco, dibujar una circunferencia desde con radio que corte a la directriz en y en Q. ibujar perpendiculares a la directriz desde y desde Q que cortarán a la curva en los puntos de tangencia y. ibujar las tangentes desde a y. 6.- ados el eje, la directriz, una recta tangente de la parábola y punto de la misma, se pide: hallar el vértice, el foco y dibujar la curva. Q eje Este ejercicio en concreto es como el de una parábola sabiendo el eje, la directriz y un punto de la curva. erpendicular a d por y esa misma distancia desde hallamos el foco. Hallar V y dibujar la curva. ombre alumno urso:. lámina ombre lámina : urvas cónicas. Elipse, parábola, hipérbola.