Problema encadenado 3

Transcripción

1 1. ibujar un trapezoide circunscrito a una circunferencia de radio 50 mm, conociendo dos de sus lados contiguos: a = 160 mm y b = 140 mm, sabiendo que el lado a es tangente a la circunferencia en su punto medio. 2. ibujar las circunferencias tangentes interiores a los tres triángulos mixtilineos mayores, de los cuatro que se forman entre la circunferencia inscrita y los lados del trapezoide. 3. ibujar el cuadrado equivalente al área suma de las circunferencias solución del apartado anterior. C Parte primera: ibujo del cuadrilátero. 1. Se dibuja la circunferencia de diámetro 50 mm. 2. Se dibuja un eje vertical, que corta en la parte inferior, de la circunferencia, en el punto. 3. Por este último punto, se dibuja una línea perpendicular al eje, sobre la que se lleva a ambos lados del punto la distancia de 80 mm, mitad del lado base, obteniendo el lado, a =. Como los cuatro lados del cuadrilátero son tangentes a la circunferencia, por circunscribirla, las distancias de los puntos de tangencia equidistan de los vértices correspondientes del cuadrilátero, por lo tanto Con centro en y se dibujan dos arcos de radios y T1, cortando a la circunferencia en los puntos de tangencia, T3 y T2 respectivamente. 5. Se dibuja la línea T2, midiendo sobre ella a partir del punto, la distancia de 140 mm, el lado b; obteniendo el vértice C. 6. Por lo dicho antes, se dibuja con centro en C y radio C, un arco que corta a la circunferencia en el punto T4. 7. Se dibujan las líneas CT4 y T3, que se cortan en el vértice, completando así el cuadrilátero C. rturo Replinger González Hoja 1/3

2 C 3 F s T 5 T 6 r2 1 2 E T 7 Parte segunda: dibujo de las circunferencias tangentes. 1. Como en este caso la circunferencia inscrita al cuadrilátero, es tangente a los lados, su centro está en las bisectrices de los ángulos de cada vértice, como los centros de las circunferencias buscadas, también están en las bisectrices, tienen su punto de tangencia en la intersección de la bisectriz con la circunferencia inscrita, lo que simplifica mucho el dibujo, pues de tratarse del problema: "circunferencias tangentes a dos rectas, los lados, y a una circunferencia, la inscrita"; se reduce a "circunferencia tangente a los lados del cuadrilátero y que pasen por el punto de tangencia que está en la bisectriz". 2. Vamos a fijarnos en la circunferencia que va a ser tangente a los lados que parten del vértice. Por tener las dos circunferenecias, la de radio 50 mm y la tangente, un punto común, el de tangencia T 5, la recta tangente comun, s, por ese punto, forma con el vértice un triángulo EF, luego resumiendo: el problema ha quedado reducido a " circunferencia inscrita en un triángulo, el EF", mucho más sencillo que el original. 3. La resolución se reduce a dibujar las bisectrices, que se cortan en el centro 1, 4. El proceso para las otras dos circunferencias, es similar. Hay que tener en cuenta, que los radios r 1 y r2 valen lo mismo, pues los segmentos, T1, T3 y T2 valen lo mismo. Esto simplifica algo el tercer apartado. rturo Replinger González Hoja 2/3

3 L 3 L 4 L 1 L' L3 L1 L² 4 = L² 2 + L² 3 = L² 1 + L² 1 + L² 3 = 2 x L² 1 + L² 3 H I J π x partado tercero: cuadratura de las tres circunferencias. Hay que determinar la cuadratura de las tres circunferencias, para obtener el cuadrado equivalente a ellas tres, para ello Se determina primero el cuadrado equivalente a la circunferencia de radio r 1, de manera similar a como se ha hecho en ejercicios anteriores. 2. Como ya se dijo, en ejercicicos anteriores, todos los circulos son semejantes, luego se puede establecer una proporcionalidad entre los radios de los circulos y sus cuadrados equivalentes. Construcción, también realizada en ejercicios anteriores. En este caso como los radio r 1 y r2 son iguales, sus cuadrados equivalentes, también lo son, por lo tanto solo hemos aplicado la proporcionalidad al radio obteniendo el lado L3. 3. Para obtener el cuadrado suma, se ha aplicado Pitágoras dos veces: 4. Una con los cuadrados de lado L1 equivalentes a los circulos de radios r 1 y r2, obteniendo L2. 5. La otra con este último lado, L2 y con el L3, obteniendo el cuadrado de lado, L 4. rturo Replinger González Hoja 3/3

4 1. ibujar un trapezoide circunscrito a una circunferencia de radio 50 mm, conociendo dos de sus lados contiguos: a = 160 mm y b = 140 mm, sabiendo que el lado a es tangente a la circunferencia en su punto medio. 2. ibujar las circunferencias tangentes interiores a los tres triángulos mixtilineos mayores, de los cuatro que se forman entre la circunferencia inscrita y los lados del trapezoide. 3. ibujar el cuadrado equivalente al área suma de las circunferencias solución del apartado anterior. C Parte primera: ibujo del cuadrilátero. 1. Se dibuja la circunferencia de diámetro 50 mm. 2. Se dibuja un eje vertical, que corta en la parte inferior, de la circunferencia, en el punto. 3. Por este último punto, se dibuja una línea perpendicular al eje, sobre la que se lleva a ambos lados del punto la distancia de 80 mm, mitad del lado base, obteniendo el lado, a =. Como los cuatro lados del cuadrilátero son tangentes a la circunferencia, por circunscribirla, las distancias de los puntos de tangencia equidistan de los vértices correspondientes del cuadrilátero, por lo tanto Con centro en y se dibujan dos arcos de radios y T1, cortando a la circunferencia en los puntos de tangencia, T3 y T2 respectivamente. 5. Se dibuja la línea T2, midiendo sobre ella a partir del punto, la distancia de 140 mm, el lado b; obteniendo el vértice C. 6. Por lo dicho antes, se dibuja con centro en C y radio C, un arco que corta a la circunferencia en el punto T4. 7. Se dibujan las líneas CT4 y T3, que se cortan en el vértice, completando así el cuadrilátero C. rturo Replinger González Hoja 1/3

5 C 3 F s T 5 T 6 r2 1 2 E T 7 Parte segunda: dibujo de las circunferencias tangentes. 1. Como en este caso la circunferencia inscrita al cuadrilátero, es tangente a los lados, su centro está en las bisectrices de los ángulos de cada vértice, como los centros de las circunferencias buscadas, también están en las bisectrices, tienen su punto de tangencia en la intersección de la bisectriz con la circunferencia inscrita, lo que simplifica mucho el dibujo, pues de tratarse del problema: "circunferencias tangentes a dos rectas, los lados, y a una circunferencia, la inscrita"; se reduce a "circunferencia tangente a los lados del cuadrilátero y que pasen por el punto de tangencia que está en la bisectriz". 2. Vamos a fijarnos en la circunferencia que va a ser tangente a los lados que parten del vértice. Por tener las dos circunferenecias, la de radio 50 mm y la tangente, un punto común, el de tangencia T 5, la recta tangente comun, s, por ese punto, forma con el vértice un triángulo EF, luego resumiendo: el problema ha quedado reducido a " circunferencia inscrita en un triángulo, el EF", mucho más sencillo que el original. 3. La resolución se reduce a dibujar las bisectrices, que se cortan en el centro 1, 4. El proceso para las otras dos circunferencias, es similar. Hay que tener en cuenta, que los radios r 1 y r2 valen lo mismo, pues los segmentos, T1, T3 y T2 valen lo mismo. Esto simplifica algo el tercer apartado. rturo Replinger González Hoja 2/3

6 L 3 L 4 L 1 L' L3 L1 L² 4 = L² 2 + L² 3 = L² 1 + L² 1 + L² 3 = 2 x L² 1 + L² 3 H I J π x partado tercero: cuadratura de las tres circunferencias. Hay que determinar la cuadratura de las tres circunferencias, para obtener el cuadrado equivalente a ellas tres, para ello Se determina primero el cuadrado equivalente a la circunferencia de radio r 1, de manera similar a como se ha hecho en ejercicios anteriores. 2. Como ya se dijo, en ejercicicos anteriores, todos los circulos son semejantes, luego se puede establecer una proporcionalidad entre los radios de los circulos y sus cuadrados equivalentes. Construcción, también realizada en ejercicios anteriores. En este caso como los radio r 1 y r2 son iguales, sus cuadrados equivalentes, también lo son, por lo tanto solo hemos aplicado la proporcionalidad al radio obteniendo el lado L3. 3. Para obtener el cuadrado suma, se ha aplicado Pitágoras dos veces: 4. Una con los cuadrados de lado L1 equivalentes a los circulos de radios r 1 y r2, obteniendo L2. 5. La otra con este último lado, L2 y con el L3, obteniendo el cuadrado de lado, L 4. rturo Replinger González Hoja 3/3