Relación entre la cantidad de azúcar en un líquido y su velocidad de enfriamiento

Transcripción

1 Relación entre la cantidad de azúcar en un líquido y su velocidad de enfriamiento Introducción: Desde que tenía pocos años de edad, siempre me preguntaba por qué algunos jugos se enfriaban más rápido que otros. Me intrigaba saber cuál era la razón de que esto sucediera, ya que a mí siempre me ha gustado tomar los líquidos cuando están bastante fríos y con algunos jugos me tocaba esperar mucho más tiempo que con otros para que estos se enfriaran y poder tomármelos. Luego por temas de salud empecé a tomar jugos con menor cantidades de azúcar que con la que normalmente solía tomar. Unos días después empecé a notar que estos jugos bajos en azúcar se enfriaban un poco más rápido que los que tenían mayores cantidades de esta, pero esta hipótesis que yo me inventé fue algo que nunca comprobé, pero siempre he creído que es correcta. Para saber si es correcta la suposición que yo tengo con respecto a que la velocidad de enfriamiento de los jugos es distinta con diferentes cantidades de azúcar, es que yo voy a realizar esta exploración, con el objetivo de encontrar una función que relacione la cantidad de azúcar en un líquido y a la velocidad de enfriamiento de este. Para ver si las cantidades de azúcar si afectan la velocidad de enfriamiento de los líquidos, se va a realizar un experimento, el cual consiste en preparar 5 disoluciones de agua con azúcar, cada una con distintas concentraciones y también se tomará una muestra de solo agua. Las mezclas de azúcar serán hechas con ayuda de materiales como una probeta y un peso. Para hacer una mezcla al 5% de azúcar se utilizan 100 ml de agua y 5 g de azúcar y así con cada concentración, siempre 100 ml de agua más el porcentaje de azúcar en gramos. Estas seis muestras de agua con diferentes concentraciones de azúcar serán expuestas a una misma temperatura (por debajo de -15 C) dentro de un congelador, todas durante el mismo tiempo. Todas las 6 muestras tendrán una temperatura inicial igual, todas a temperatura ambiente (30 C). Luego se meterán todas las muestras al congelador durante el mismo tiempo (1 hora) como ya se había mencionado. Cuando el tiempo se acabe, serán medidas de nuevo las temperaturas de todas las muestras con un termómetro. Después se va a ver la diferencia que hay entre la temperatura inicial y las temperaturas finales de las muestras. Entre más diferencia haya entre una temperatura y otra, más rápida es la velocidad de enfriamiento del líquido. Pero 1

2 para verificar esto, se averiguará una ecuación que relacione el cambio en la temperatura de los líquidos y su velocidad de enfriamiento. Tabla 1: Datos de temperatura inicial y final de las muestras de agua con azúcar al 0%, 5%, 10%, 15%, 20% y 25% Cantidad de azúcar en agua % Vaso 1 Vaso 2 Vaso 3 Vaso 1 Vaso 2 Vaso 3 Vaso 1 Vaso 2 Vaso 3 Temperatura inicial del 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 Temperatura final del 6,000 6,000 7,000 7,000 6,000 7,000 8,000 9,000 9,000 Cantidad de azúcar en agua % Vaso 1 Vaso 2 Vaso 3 Vaso 1 Vaso 2 Vaso 3 Vaso 1 Vaso 2 Vaso 3 Temperatura inicial del 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 Temperatura final del 10,000 10,000 10,000 11,000 11,000 10,000 12,000 11,000 12,000 Luego de realizar el experimento, estos fueron los datos que se obtuvieron. Se ven claramente las seis distintas muestras 1, que son primero el agua con 0% de azúcar, es decir agua pura (obviando las pequeñas cantidades de químicos 1 Se le llamaran muestras a las distintas soluciones con porcentajes diferentes de azúcar. 2

3 utilizadas en el proceso de purificación del agua), luego las 5 disoluciones de agua con azúcar con distintas concentraciones (5%, 10%, 15%, 20%, 25%), de cada disolución se hicieron tres pruebas 2, que en las tablas se muestran como vaso 1, vaso 2 y vaso 3, las cuales todas tenían la misma cantidad de líquido (20 ml). En la tabla se muestra que todas las disoluciones empezaron con la misma temperatura, la cual es de 30 C (todas las temperaturas de las pruebas fueron medidas antes de que fueran expuestas en el congelador) y también se muestran las temperaturas de cada prueba después de una hora metidas en el congelador, que se encuentran en la tabla como temperaturas finales. Con cada muestra, se puede ver que todas sus pruebas se encuentran si no a la misma temperatura, a un grado centígrado mas o a uno menos pero en ninguna muestra hay diferencia de 2 o más grados centígrados en sus pruebas. Ese margen de un grado centígrado evidencia que los datos fueron bien tomados y que hubo pocos errores, es decir, los datos tomados en este experimento son confiables y muy probablemente correctos. Luego de haber tomado todos los datos en el experimento, estos se tuvieron que procesar para poder encontrar los cambios en la temperatura de cada muestra. Lo que primero se hizo fue sacar el promedio de la temperatura final de las tres pruebas de cada muestra. Y luego por medio de una simple resta se encontró el cambio de temperatura de cada muestra, es decir, la diferencia entre la temperatura inicial y la temperatura final (temperatura inicial temperatura final = cambio de temperatura). Los resultados de esto fueron: Tabla 2: Promedio de las temperaturas finales y el cambio de temperatura de las muestras Temperatura inicial del Promedio temperatura final del líquido ( C) Cambio de la temperatura del Cantidad de azúcar en agua % ,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 6,000 7,000 9,000 10,000 11,000 11,000 24,000 23,000 21,000 20,000 19,000 19,000 2 Se le llamaran pruebas a cada repetición del experimento con la misma muestra. 3

4 Cambio de la temperatura del líquido ( C) En la tabla se ve claramente como los promedios de las temperaturas finales de las muestras van ascendiendo directamente proporcional con los porcentajes de azúcar en agua, a medida que aumentan las muestras sus porcentajes de azúcar en agua también aumentan sus temperaturas finales. Pero al estar las temperaturas finales aumentando de manera proporcional con los porcentajes de azúcar en agua, al momento de hacer la resta para encontrar el cambio de temperatura en las muestras ocurre todo lo contrario, los cambios de temperatura van de manera descendente con respecto a los porcentajes, es decir, es una relación inversamente proporcional. Durante cada muestra el cambio en la temperatura va descendiendo, excepto en las últimas dos muestras, las de 20% y 25% que se ve un estancamiento, ya que ambas tuvieron una diferencia de temperatura de 19 C. La interpretación de esos datos es que a medida que la concentración de azúcar en agua va aumentando, el cambio de temperatura del líquido va disminuyendo. Como ya se mencionó al principio de la exploración, si el cambio en la temperatura es muy amplio, quiere decir que la velocidad de enfriamiento del líquido es rápida y si el cambio de temperatura es pequeño, entonces el líquido se enfriará de una manera lenta. Es decir que a medida que se aumente la cantidad de azúcar en un líquido, este tendrá una velocidad de enfriamiento más lenta y por ende se demorará más en enfriarse. Para representar los datos expuestos en la última tabla se hizo una grafica: Gráfica 1: Efecto del azúcar en el cambio de temperatura del líquido y = 0,0022x 3-0,0386x 2-0,0812x + 24,02 R² = 0, Concentración de azúcar en agua % 4

5 Esta grafica es la representación de los datos de la tabla pasada. Los puntos que se encuentran en la grafica son los valores del cambio de temperatura en cada muestra. Se nota claramente que la relación entre la concentración de azúcar en agua y el cambio de temperatura es inversamente proporcional, ya que la grafica va de manera descendiente. Con la grafica también se puede ver que en las concentraciones de 20% y de 25% deja de descender la grafica y se mantiene en el mismo lugar ya que en esas dos concentraciones hubo el mismo cambio de temperatura, pero esto es en promedio porque en las tablas de datos se ve que no todas las pruebas fueron iguales para estas dos concentraciones. Pero será que ya la grafica no bajará más? Qué solo varía el cambio de temperatura hasta una concentración de 20% y por eso la de 25% es igual a esta? La respuesta es no, porque cada vez que la concentración se vaya aumentando, el jugo se irá convirtiendo más denso y eso hace que el cambio de temperatura sea más lento pero si seguirá bajando, pueda que muy brevemente pero si lo hará. 3 De la gráfica se escogió una función polinomial de grado 3 por las razones que todos sus datos pertenecen a los reales y porque no existe ninguna asíntota con el eje y. No se escogió una función logarítmica por ejemplo, ya que en la gráfica se evidencia que no hay ninguna asíntota en el eje y. Además con ayuda de EXCEL se obtuvo el valor de R cuadrado, el cual es de 0,995. Esto quiere decir que es la gráfica más apropiada para los datos obtenidos en el experimento, ya que al R cuadrado al estar más cerca de 1, quiere decir que esa función se ajusta más a esos datos. Luego por medio de cálculos manuales con los datos de la gráfica, se encontró la siguiente ecuación: y = 0,0022x 3 0,0386x 2 0,0812x + 24,02 Proceso para obtención de la ecuación: A3 + A2 + A1 + A0 = Y = = = = 19 3 Recuperado de la web el 10/02/

6 Para realizar esta tabla, se tomaron las coordenadas de 4 puntos de la gráfica. (5,23), (10,21), (15,20) y (25,19). Luego las x se fueron elevando primero a la 1, luego a la 2 y por último a la tres, así respectivamente con cada valor de x. Después de ser completada la tabla con los respectivos datos, se utilizó una calculadora científica, en la cual, con la opción STAT, luego Edit y por último CALC y CubicReg se resolvió y dio la ecuación dada previamente en la exploración. Con esta ecuación se pueden resolver varios problemas, pero es bastante limitada, ya que solo involucra hasta concentraciones de 25%, solo puede ser con muestras de agua con azúcar, tiene que ser con pruebas de 20 ml y el congelador donde serán expuestos tiene que estar a una temperatura de -15 C. Además mostrará datos de cambio de temperatura en solo una hora, al igual que los datos tomados en el experimento ya realizado. Por medio de esta ecuación se podrán encontrar los cambios de temperatura del líquido sabiendo la concentración de este o al revés también, es decir, sabiendo el cambio de temperatura se puede encontrar la concentración del líquido. Todo esto se hace simplemente reemplazando la x o la y, siendo x la concentración de azúcar en agua y siendo y el cambio de temperatura del líquido. Por ejemplo: Problema 1: Sabiendo que la concentración de azúcar en agua es de 18% en un vaso con 20 ml de este. Se mete una hora en el congelador, de cuánto será su cambio de temperatura? Solución: a) Reemplazamos x en la ecuación: y = 0,0022 (18) 3 0,0386 (18) 2 0,0812 (18) + 24,02 b) Resolvemos todas las potencias: y = 0,0022 (5832) 0,0386 (324) 0,0812 (18) + 24,02 c) Resolvemos todas las multiplicaciones: y = ,06 2, ,02 d) Resolvemos todas las sumas: y = 20,

7 Respuesta: El líquido tendrá un cambio en la temperatura de 20 C aprox. Ya está demostrado que esta ecuación averigua el cambio de temperatura de los líquidos con distintas concentraciones de azúcar, se puede evidenciar en la gráfica 1 como el resultado del problema pasado coincide con los datos de la gráfica. Pero esta ecuación todavía no averigua las velocidades, por medio de la derivada de esta misma es que se podrá averiguar la velocidad con la que el líquido se enfría. Esto se realizará reemplazando datos en la derivada de la ecuación, pero en este caso x representará el cambio de temperatura que tuvo el líquido, la variable y representará la velocidad de enfriamiento de el líquido. Proceso para derivar la ecuación: Fórmula de la derivada: f(x)=x n f (x)=nx n-1 y = 0,0022x 3 0,0386x 2 0,0812x + 24,02 y = 3(0,0022x 3-1) 2(0,0386x 2-1 ) 0,0812x ,02 y = 0,006x 2 0,077x 0,081 Por medio de esta derivada y = 0,006x 2 0,077x 0,081 es que se encontrará la velocidad de enfriamiento de los líquidos. Por ejemplo: Problema 2: Cuál es la velocidad de enfriamiento de agua con azúcar al 18%, si su temperatura disminuyo en 20 C durante una hora en un congelador? Solución: a) Reemplazamos x en la derivada de la ecuación: y = 0,006 (20) 2 0,077 (20) 0,081 b) Resolvemos la potencia: y = 0,006 (400) 0,077 (20) 0,081 c) Resolvemos las multiplicaciones: y = 2,400 1,540 0,081 d) Resolvemos todas las sumas: y = 0,779 Respuesta: La velocidad de enfriamiento de la mezcla de agua con azúcar al 18% en un congelador durante una hora es de 0,779 Δ temperatura / 60 minutos. 7

8 Problema 3: Cuál es la velocidad de enfriamiento del agua con azúcar al 5% en un congelador durante 60 minutos, sabiendo que su temperatura disminuyó 23 C? Solución: e) Reemplazamos x en la derivada de la ecuación: y = 0,006 (23) 2 0,077 (23) 0,081 f) Resolvemos la potencia: y = 0,006 (529) 0,077 (23) 0,081 g) Resolvemos las multiplicaciones: y = 3,174 1,771 0,081 h) Resolvemos todas las sumas: y = 1,322 Respuesta: La velocidad de enfriamiento de la mezcla de agua con azúcar al 5% en un congelador durante una hora es de 1,322 Δ temperatura / 60 minutos. Comparando los resultados de los problemas 2 y 3 se ve claramente como la velocidad de enfriamiento es más rápida cuando la temperatura del líquido cambia más significativamente. Y según los datos de la gráfica 1, cuando el líquido tiene un cambio grande en su temperatura es porque su concentración de azúcar es poca. De esto se deduce que a menor concentración de azúcar, mayor será la velocidad de enfriamiento de este líquido. Gráfica 2: 8

9 Esta es la gráfica de la derivada y = 0,006x 2 0,077x 0,081, se muestra que es una función polinómica de segundo grado, ya que es una parábola y que el dominio son todos los números reales. Esta gráfica evidencia que son correctos los resultados de los problemas 2 y 3. Ya que el eje y es la velocidad de enfriamiento del líquido y el eje x es la variación de temperatura del líquido. Conclusión: Durante toda la exploración se pudo evidenciar con datos matemáticos que el azúcar si influye en la velocidad de enfriamiento de los líquidos. Aunque solo se trato con un solo líquido en el experimento (agua), con este era más fácil experimentar y además como la motivación para la exploración estaba basada en los jugos, la mayoría de los jugos son hechos a base de agua, por esto fue la única utilizada. Se supone que los demás líquidos también tengan el mismo comportamiento, de que al echar azúcar al líquido este se pone más denso y es más difícil que se enfríe 4, pero habrá alguna excepción? Si las hay, son químicos, pero estos no nos interesan ya que esta exploración estaba basada en líquidos consumibles por el cuerpo humano principalmente. El resultado de esta exploración se halló de manera directa, por medio de los datos de la exploración realizada, estos fueron graficados y luego con los puntos que la gráfica mostraba se creó una ecuación polinómica de tercer grado, la cual luego fue derivada para tener un modelo matemático que encuentre las velocidades de enfriamiento de los líquidos, en este caso agua. La ecuación derivada fue igualmente graficada. Esta ecuación corresponde a una polinómica de segundo grado y es el modelo matemático que se buscó durante esta exploración: y = 0,006x 2 0,077x 0,081 4 Recuperado de la web el 10/02/

10 Bibliografía: Aurelio Baldor (1941). Algebra Elemental. Publicaciones Cultural ódice América, S.A. Recuperado de la web el día 10/02/ Recuperado de la web el día 10/02/ LA-TEMPERATURA-Y-LA-PRESION Recuperado de la web el día 10/02/ ter=2.html Recuperado de la web el día 10/02/