A continuación intentaré llegar a una conclusión que satisfaga el objetivo de esta investigación.

Transcripción

1 Transformaciones en la gráfica de y = sen n (x) donde n Z + Introducción Seno se define como la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa 1. Es una de las seis proporciones principales de la trigonometría. La función seno y = sen (x) es aquella función la cual relaciona los valores que toma el eje y con el seno de un ángulo en radianes. Junto con las funciones y = cos (x) y y = tan (x) son las más importantes en la trigonometría, los usos que tienen estas relaciones en las matemáticas son muchísimos. Es normal encontrar una función y = sen (x) + 3 o y = sen (x + 3) 5, sin embargo no tiende a ser común encontrar una función de seno elevado a un número entero positivo: por ejemploy = sen (x). Este tipo de funciones empiezan a aparecer cuando se estudian las identidades trigonométricas, o bien, suelen ser recurrentes en ejercicios cuando se diferencia e integra en cálculo, normalmente para comprobar si el estudiante entiende la regla de la cadena. Realmente, al estudiar la función de seno, nunca se llevan al plano cartesiano este tipo de funciones, la gráfica de funciones y = sen n (x) donde n Z + nunca las estudié a fondo, y esto fue lo que me motivó a escoger este tema. Normalmente solo estudié transformaciones de tipo y = A sen B(x C) + D en las gráficas de seno, a pesar de que estas transformaciones son las más básicas que afectan a la gráfica de una función seno, siempre me quede con la inquietud de qué tipo de transformaciones afectan a la gráfica de seno al ser elevada a un número entero positivo. Es posible que al elevar seno a un número entero positivo haya algún patrón que afecte en las características (sea ya amplitud, periodo, etc.) de la gráfica de seno como sucede en el caso de y = A sen B(x C) + D? De esto se trata mi exploración, mi objetivo es poder establecer características de los comportamientos de la gráfica de una función y = sen n (x) con respecto a n Z +. A continuación intentaré llegar a una conclusión que satisfaga el objetivo de esta investigación. 1 Baldor, J. (4). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. México: Publicaciones Cultural.Pág 34.

2 La primera función que vamos a analizar es y = (sen(x)), o como normalmente es expresada y = sen (x). Gráfica 1. Gráficas de las funciones f(x) = sen (x) y g(x) = sen (x) Teniendo las gráficas de las dos funciones podemos hacer una tabla comparativa que ayude a encontrar los cambios que sucedieron al elevar la función seno al cuadrado. Tabla 1. Comparación de las gráficas de las funciones f(x) = sen (x) y g(x) = sen (x) Aspecto f(x) = sen (x) g(x) = sen (x) Dominio R R Rango [-1,1] [,1] Amplitud 1 1 Periodo Movimiento Horizontal o - Movimiento vertical hacia Vertical Paridad de la función Impar, ya que f( x) = f(x) arriba de.5 unidades Par, ya que g( x) = g(x) A pesar de que el dominio de las funciones es el mismo, todo lo demás cambió. El rango de la función g(x) = sen (x)cambió a [,1] puesto que el resultado de todo número elevado al cuadrado, siempre es positivo. Por eso no existen valores negativos en el eje y.

3 La amplitud de g(x) = sen (x) se redujo a la mitad al igual que el periodo. A pesar de que la función f(x) = sen (x) es par, la función g(x) = sen (x) es impar. Otra observación importante que hacer es que cuando f(x) = entonces g(x) =, ejemplos de esto en la gráfica se evidencian en las coordenadas (, ), (,) ó (, ). Sabiendo ya los cambios que se producen cuando tenemos una función g(x) = sen (x), podríamos intentar usar las funciones h(x) = sen 4 (x) y i (x) = sen 1 (x) para comprobar si los comportamientos vistos en la gráfica anterior g(x) también aplican a estas, por ser n en estos casos un número par. Gráfica. Gráficas de las funciones f(x) = sen (x),g(x) = sen (x), h(x) = sen 4 (x)y i(x) = sen 1 (x) En esta gráfica sin necesidad de hacer una tabla comparativa de las cuatro funciones, podemos observar que las gráficas de las funciones h(x) = sen 4 (x) y i(x) = sen 1 (x), poseen las mismas características que la función g(x) = sen (x). Es decir, los dominios siguen siendo R, los rangos tampoco cambiaron: las gráficas tienen un rango de {,1}; las amplitudes continúan siendo 1, el periodo es igual en las tres gráficas g, h, i, es decir; y cuando comprobamos la paridad de la función seguimos teniendo que h( x) = h(x) y i( x) = i(x). Esto demuestra que cada vez que n es un Z + par, la gráfica de la función siempre va a tener estas características. La única diferencia entre las gráficas de estas funciones es que se puede ver que los espacios bajo las curvas de las gráficas de h(x) = sen 4 (x)y de i(x) =

4 sen 1 (x) tienen menos área que las de g(x) = sen (x) ya que hay muchos más valores en el eje y cercanos al. Habiendo ya visto lo que sucede con la gráfica de una función y = sen n (x) en el caso de que n sea un número par, podríamos intentar ver qué sucede con la gráfica cuando n es un número impar. Gráfica 3. Gráfica de las funciones f(x) = sen (x) y j(x) = sen 3 (x) Al igual que en las anteriores funciones, podemos hacer una tabla comparativa para ver detalladamente los cambios que le ocurrieron a la gráfica. Tabla. Comparación de las gráficas de las funciones f(x) = sen (x) y j(x) = sen 3 (x) Aspecto f(x) = sen (x) j(x) = sen 3 (x) Dominio R R Rango [-1,1] [-1,1] Amplitud 1 1 Periodo Movimiento Horizontal - - y/o Vertical Paridad de la función Impar, ya que f( x) = f(x) Impar, ya que j( x) = j(x) Gracias a la tabla comparativa podemos decir que aparentemente no hubo ningún tipo de transformación de la gráfica, ya que en ningún aspecto se diferencia la gráfica de f(x) = sen (x) con la de j(x) = sen 3 (x). Las gráficas se cortan entre sí

5 cada, y con el eje x cada, por eso cuando f(x) =, j(x) =.A pesar de todo esto, podemos ver en la Gráfica 3 que sí hubo un ligero cambio, hay muchos más valores cercanos a en el eje y en la gráfica de j(x) = sen 3 (x) que en la de f(x) = sen (x). Lo que significa que la gráfica se achata más, es decir, se pega más al eje x. Si tomáramos un rango de observación a es posible observar que el área debajo la curva de j(x) = sen 3 (x) en este rango es mucho menor a la de la curva de la gráfica de f(x) = sen (x). Para verificar esto podemos tomar las funciones j(x) = sen 3 (x), k(x) = sen 5 (x) y l(x) = sen 7 (x) donde n es impar. Gráfica4. Gráficas de las funciones f(x) = sen (x), j(x) = sen 3 (x), k(x) = sen 5 (x) y l(x) = sen 7 (x) A pesar de que no cambia el periodo (), la amplitud (1), el rango [-1,1] o el dominio (R) cuando n es un número impar (como se puede observar en la Gráfica 4) -lo que nos permite afirmar que cuando n sea impar siempre tendrá estas características-, sí cambia el área debajo de la curva entre y, que es nuestro rango de observación. Este comportamiento ocurre tanto cuando n es un número par como cuando n es un número impar, como se puede observar. Con esta gráfica podemos ver que a medida que el exponente aumenta el área que hay debajo de las curvas se vuelve más pequeño, y hay muchos más valores de x en el eje y cercanos a. Las curvas parecen contraerse, a medida que n va aumentando, independientemente si n es par o impar. A pesar de los cambios que vimos que ocurrían si n era par o impar, en realidad no nos decían mucho de las transformaciones de una gráfica y = sen n (x).

6 Este comportamiento de contracción de las curvas de la gráfica y = sen n (x) a medida que n aumenta, genera una pregunta: de qué manera afecta n al área que está debajo de las curvas de la gráfica y = sen n (x)? Para resolver esta pregunta usaremos integrales definidas. Estudiaremos el área que se encuentra debajo de las curvas y = sen n (x), donde n es Z Para este análisis se tomará n 36, puesto que estadísticamente una muestra es considerada grande cuando el universo es mayor a 3, así se tienen más datos para poder analizar. Se utilizará como límite superior y como límite inferior (que es el rango de observación propuesto anteriormente), ya que no importa si n es par o impar, siempre hay una curva positiva en esos puntos del eje x. Empezaremos con la integral definida def(x) = sen(x) en el área designada. sen(x)dx = cos(x) = cos() ( cos()) = Otro ejemplo de integración es el de f(x) = sen (x): sen (x) dx = 1 (1 cosx)dx = 1 [ dx 1 cosx dx] = 1 [x 1 senx] = 1 [( 1 sen) ( 1 sen())] = 1 Ahora muestro la integración de f(x) = sen 3 (x): sen 3 (x) dx = (sen x)(senx)dx = (1 cos x)(senx)dx = senxdx cos x(senx)dx = senxdx + cos x( senx)dx Para resolver la segunda integral hacemos u = cosx y du = -senx por lo tanto: = [cosx + cos3 x ] x reemplazando el valor de x tanto par como para, se obtiene: sen 3 (x) dx = 4 3

7 Para resolver la integral de f(x) = sen 4 (x): sen 4 (x) dx = (sen x) dx = ( 1 cosx ) = 1 4 (1 cosx + cos x)dx = cos4x (1 cosx + ) dx 4 = 1 4 (1 cosx cos4x ) dx = 1 4 (3 cosx cos4x ) dx = 1 4 (3 x () 1 senx + (1 ) 1 4 sen4x) dx = 3 8 Procediendo de manera análoga como se resolvió sen 3 (x) dx, tenemos que: sen 5 (x) dx = La siguiente tabla muestra estos resultados para n 36 Tabla 3. Tabla de Integrales Definidas y = sen n (x)donde n es1 Z + 36 Valor de n sen n Valor de n (x)dx sen n (x)dx 1, 19,568 1, , , ,517 6,98 4,56 7,914 5,496 8,859 6,487 9,813 7,478 1,773 8,469 11,739 9,461 1,79 3,454 13,68 31,447 14,658 3,44 15,637 33,433 16,617 34,47 17,599 35,41 18,583 36,415

8 área bajo la curva Los datos de la anterior tabla muestran una disminución del área a medida que n aumenta, justo se mostraba en las gráficas. Esta tabla muestra una disminución del área debajo de las curvas, esto concuerda con las contracciones de las curvas que se vieron en las Gráficas, por eso se buscara un modelo que logre explicar el patrón de disminución que tiene el área con el exponente n de la función y = sen n (x).,5 área bajo la curva f(x)=sen n x, con respecto a n 1,5 1, n El dominio de esta gráfica es Z +, su rango es (,], pero, en el contexto de este análisis sería de (, ]. A partir de lo anterior, me surge la siguiente pregunta tendrá el mismo comportamiento la función y = sen n (x) si n ε R +? Por ejemplo, encontremos el área para: sen 1 (x) dx sen 3 (x) dx sen 1 4(x) dx sen (x) dx sen e (x) dx Al observar estos resultados, y compararlos con la gráfica, notamos que encaja perfectamente en la curva por lo que puedo concluir que el dominio y el rango de esta gráfica son R +.

9 A continuación encuentro el modelo tecnológico que rige esta función.,5 Gráfica 5. Gráfica de y =, 1797x,458 para x 36, 1,5 y =,1797x -,458 R² =,9975 1,,5, En el anterior diagrama de dispersión se observa un comportamiento potencial, que se puede apreciar con su línea de tendencia. Aquí se muestra el modelo potencial y =,1797x,458 el cual se ajusta en un 99,75% (coeficiente de determinación) a la tabla de datos anteriormente presentada. Nótese que x= es una asíntota vertical pues la función tendería a serla recta y=1 y por lo tanto el área sería infinito. De igual manera, y= es también una asíntota porque a medida que x tienda a infinito, f(x) tiende a. Con el modelo encontrado, se puede averiguar el área de una función y = sen n (x) entre un rango de a, o bien encontrar n a partir de un área determinada que se nos dé entre estos rangos. La asíntota de esta gráfica tiende a -a pesar de que en la Gráfica 5 no se evidencie- puesto que a medida que n aumente el área debajo de las curvas va a ir disminuyendo.

10 Conclusión A través del trabajo se intentó ver qué tipo de influencia tenía n Z + en las gráficas de y = sen n (x). Para ello se utilizaron diferentes herramientas matemáticas pasando desde la gráfica de una función de seno, hasta tareas más complejas como la integración definida en cálculo. Los resultados del trabajo fueron los siguientes: y = sen n (x) donde n Z + Aspecto f(x) = sen n (x) (n es par) f(x) = sen n+1 (x) (n es impar) Dominio R R Rango [,1] [-1,1] Amplitud 1 1 Periodo Movimiento Horizontal - - y/o Vertical Paridad de la función Par, ya que f( x) = f(x) Impar, ya que f( x) = f(x) sen n (x),1797n,458 A pesar de que el modelo no tiene un 1% de precisión, se acerca bastante a predecir el comportamiento de las áreas bajo la curva, conociendo ahora que n juega un papel importante a la hora de trabajar con gráficas y = sen n (x). El modelo presenta imprecisiones en cuanto n empieza a crecer de manera exagerada, puesto que es más difícil predecir el comportamiento de áreas que se hacen tan decimalmente pequeñas que hacen que la imprecisión sea más frecuente. Lo que indica que para hacer un modelo más preciso todavía se necesitarían tomar muchos más datos. El objetivo de esta investigación fue cumplido, ya que a través de ella se pudo evidenciar las transformaciones que afectan a la gráfica de y = sen n (x) en relación con n Z +, centrándose especialmente en los casos en los que n es par o impar, y cómo cambia n el área que ocupa la curva de estas funciones a medida que aumenta n. Sin lugar a dudas sería interesante investigar más a fondo las transformaciones de seno, puesto que al haber estudiado unos pocos aspectos de esta gráfica requirió un trabajo que incluyó diferentes áreas de la matemática, lo cual le da un interés de estudio por su facilidad de análisis, pero a la vez, por su profundidad de estudio.

11 Bibliografía Baldor, J. (4). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. México: Publicaciones Cultural. Brinton Thomas, G., Weir, M. D., Hass, J., & Giordano, F. R. (5). Cálculo: una variable. Pearson. Matemática Tuya. (s.f.). Matemática Tuya. Recuperado el 18 de Enero de 15, de Sullivan, M. J. (6). Álgebra y Trigonometría. Séptima Edición. México: Pearson Education. Vitutor. (s.f.). Vitutor. Recuperado el 18 de Enero de 15, de

12 Transformaciones en la gráfica de y = sen n (x) Colegio Alemán- Deutsche Schule Barranquilla 19 de febrero del 15