Estadística Aplicada. Probabilidades

Transcripción

1 Estadística Aplicada Probabilidades 1

2 Extrapolación y Predicción La Ciencia hace extrapolaciones y con ello ayuda a realizar predicciones. Por ejemplo, se hacen investigaciones con ciertos elementos (enfermos de amibiasis, fumadores empedernidos, plantas de maíz, etc.), cuyas conclusiones se aplican a otros elementos semejantes. Elementos estudiados Extrapolación predicción Elementos semejantes a los estudiados Se puede considerar que lo estudiado, o experiencia previa, es una muestra de todo un conjunto de otros elementos o nuevas experiencias semejantes a los estudiados. Este conjunto no estudiado es la población. Muestra Extrapolación predicción Población 2

3 Por lo tanto, Extrapolación y Predicción Si se pueden encontrar leyes deterministas que expresen relaciones (necesarias y suficientes) entre propiedades de las instancias estudiadas (muestras), entonces: Se pueden aplicar los resultados o conclusiones a todas las instancias (población) no estudiadas aún, que cumplan con las propiedades requeridas? Por que hay aleatoriedad? 1. Complejidad de los fenómenos y no se conoce todos los aspectos y leyes involucradas, pero el mundo es determinado. 2. Hay aleatoriedad intrínseca. 3. Pequeños cambios de condiciones iniciales tienen efectos muy grandes Para estudiar fenómenos aleatorios se usa la probabilidad 3

4 Extrapolación y Predicción Hay procesos o fenómenos en los que no se pueden encontrar relaciones entre sus propiedades, que sean necesarias y suficientes. Hay mucha variabilidad, hay indeterminismo. Se pueden encontrar ciertas leyes pero son de naturaleza probabilística y no determinística. Determinismo: Se descubren leyes que describen matemáticamente las variables importantes de un proceso, sin incluir consideraciones aleatorias. E=m.c 2, f=m.a, mecánica clásica, ecuaciones diferenciales para muy variados fenómenos, fluidos, dinámica poblacional, etc. Indeterminismo: No se encuentran leyes que describan matemáticamente a las variables del proceso. Se encuentran modelos, pero ahora son probabilísticos, incluyen variables aleatorias. 4

5 Origen de las Probabilidades Antecedentes En el siglo XVII el Sr. Chevalier de Meré plantea sus experiencias en el juego de naipes al matemático Blaise Pascal. La consulta motivó a Blaise Pascal a intercambiar ideas con su amigo el jurista y matemático Pierre de Fermat, siendo los cofundadores de la Teoría de Probabilidades. Hacia el siglo XVIII, James Bernoulli y Abrahan de Moivre continúan el desarrollo de la Teoría de los Juegos de Azar. En 1812 Pierre Laplace publica la Teoría Analítica de las Probabilidades. En 1823 Carl Gauss, matemático y físico alemán, publica un tratado sobre la teoría de errores dedicada a la curva normal. En 1901 Henry Lebesgue, matemático francés, formuló la Teoría de la Medida. En 1933 el matemático ruso Andrei Kolmogorov, basado en el trabajo de Lebesgue, publicó su teoría axiomática del cálculo de probabilidades. 5

6 Modelos Con un modelo matemático, determinístico o probabilístico, se puede derivar consecuencias siguiendo su lógica interna y en esta medida, efectuar predicciones. Estas siempre están sujetas a la validez del modelo. En el caso de los modelos probabilísticos, además se debe tener una idea del grado de incertidumbre en las predicciones individuales. 6

7 Modelos Un modelo es la representación de una cosa. Es una definición de las relaciones existentes entre las diferentes partes de un sistema. Algunos fundamentos esenciales para la aplicación de un determinado modelo se resumen de la siguiente manera: El modelo debe seleccionarse con base a los objetivos del estudio (naturaleza, cualidades y exactitud de los resultados) y las decisiones a tomar en función de dichos objetivos. El modelo será válido en la medida de la calidad de los datos. La naturaleza de las variables a manejar es factor determinante. Todo modelo ofrece un carácter de sistema. La variación de cualquier elemento produce un efecto sobre los resultados, aunque ningún elemento es determinante absoluto de dichos resultados. El modelo debe ser suficientemente sencillo como para facilitar su comprensión. Debe existir un justo balance entre la deseada simplificación del modelo y la calidad de los resultados esperados. Los aspectos omitidos en aras de la simplificación tendrán un efecto sobre la calidad de los resultados y por tanto en las decisiones que se tomen. 7

8 Los modelos pueden ser: Clases de Modelos Verbales los cuales utilizan palabras. Iconos o maquetas son construidos en tres dimensiones y a escala. Los analógicos, parten de la premisa de que el comportamiento de un sistema completo puede ser estudiado y analizado por medio del estudio del comportamiento de sistemas con características similares Los esquemáticos utilizan símbolos para evitar las ambigüedades de las palabras. los modelos matemáticos representan el mayor nivel de abstracción en la construcción de modelos. En las ciencias se utilizan modelos matemáticos para manejar una mejor información en la toma de decisiones. 8

9 Experimentos El uso de modelos en el trabajo de investigación se desarrolla de acuerdo al esquema: Estadística Realidad Diseño Modelo Análisis Experimentación 9

10 Experimentos El uso de modelos muchas veces requiere su verificación. Experimentos determinísticos: repetidas las mismas condiciones puede predecirse el resultado con suficiente exactitud. Experimentos aleatorios: Son aquellos que aun cuando las condiciones iniciales permanezcan inalterables el resultado varía. Ejemplos de experimentos: Romper una probeta de acero en el ensayo de tracción. Lanzar un dado. Pesar una persona seleccionada aleatoriamente de un grupo Cantidad de piezas defectuosas por hora de operación. Lanzamiento de un proyectil. En probabilidad un EXPERIMENTO constituye un proceso con un resultado que no se puede predecir certeramente con anterioridad. 10

11 Espacio Muestral Si S es el conjunto de los resultados de un experimento, este es aleatorio si y solo si S tiene más de un elemento. Contrariamente si S tiene un solo elemento el experimento correspondiente se llama determinístico. Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se le llama espacio muestral Un subconjunto del espacio muestral se le llama evento o suceso 11

12 Espacio Muestral En el caso de un dado, el espacio muestral es: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Son eventos del espacio muestral: {1,2,3} {3,4} {4,5} Si sale el número 2 al lanzar el dado habrá ocurrido el evento {1,2,3} Si sale el número 4 al lanzar el dado habrán ocurrido los eventos {3,4} y {4,5} Al lanzar el dado la probabilidad de obtener un 3 es: Casos favorables: 1 caso (evento) Casos posibles: 6 casos (espacio muestral) P(3): 1/6 12

13 Eventos del Espacio Muestral Según la definición clásica de Laplace La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos casos deben tener lugar preferente a los demás. Se tienen 2 cajas con 4 resistencias en C/U. En la primera caja son de 10Ω, siendo sus resistencias reales 9, 10, 11 y 12Ω. En la secunda caja son de 20Ω, siendo sus valores reales 18, 19, 20 y 21Ω. Se toma una resistencia de cada caja. Determinar el espacio muestral para este experimento. Dados los siguientes evento: A: que las resistencias sean mayor a 10Ω B: que las resistencias sean menor a 19Ω C: que la suma de las resistencia sea igual a 28Ω 13

14 Probabilidades Experimento aleatorio: Es un fenómeno empírico que se caracteriza por una propiedad fundamental y propia: su observación repetida, en condiciones constantes, no produce siempre el mismo resultado porque no existe regularidad determinística sino regularidad estadística o aleatoria. Fenómeno aleatorio: Ocurre espontáneamente sin la acción del hombre. Experimento aleatorio: Realizado dentro de un plan experimental. Evento aleatorio: Es el resultado de un experimento aleatorio. Regularidad estadística: Si para cada conjunto de repeticiones u observaciones del evento o fenómeno se calcula la frecuencia relativa de la aparición de una cierta propiedad, ésta tiende a estabilizarse alrededor de un valor fijo a medida que el número de repeticiones aumenta. 14

15 Probabilidades La probabilidad subjetiva de un evento La asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que se tenga sobre el tema. Por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica. La probabilidad frecuencial de un evento Es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Este método proporciona probabilidades aproximadas o estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. La probabilidad clásica de un evento E Se denota como por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral. 15

16 Probabilidades Todo evento en un espacio muestral tiene una probabilidad de ocurrir. La probabilidad de un evento representa la proporción de veces que se presentará el evento a largo plazo, si el experimento se repitiera una y otra vez. A veces las probabilidades pueden determinarse si se conoce la naturaleza física del evento. Una vez conocidas las probabilidades de ciertos eventos mediante el conocimiento científico o la experiencia, se puede calcular matemáticamente las probabilidades de otros eventos. Evento seguro E es aquel que ocurrirá P(E) = 1 Evento imposible Ê es contrario a E P(Ê) = 0 16

17 Combinación de Eventos A B A U B, la unión de eventos A y B, representa el conjunto de resultados que pertenecen a A, B o ambos. El evento A U B se presenta si ocurre A, B o ambos. A B, la intersección de A y B, conjunto de resultados que pertenecen tanto a A como a B. El evento A B se presenta siempre que A y B ocurren. A C, complemento del evento A, conjunto de resultados que no pertenecen a A. El evento A C se presenta siempre que no ocurra A. 17

18 Eventos mutuamente excluyentes A B Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen resultados comunes. Un conjunto de eventos A 1, A 2,, A n en mutuamente excluyente si dos de ellos no tienen resultado en común. P(A) + P(B) = 1 18

19 Axiomas de la Probabilidad 1. Sea S un espacio muestral. Entonces P(S)=1. Establece que el resultado de un experimento siempre está en el espacio muestral. 2. Para cualquier evento A, 0 < P(A) < 1 La frecuencia a largo plazo de cualquier evento siempre se encuentra entre 0 y 100%. 3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A U B) = P(A) + P(B). En el caso del lanzamiento de un dado la probabilidad de salir 2 ó 5 es: P(2) = 1/6 P(5) = 1/6 P(2 U 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Otra regla útil es P(A C ) = 1 P(A) 19

20 Axiomas de la Probabilidad Las probabilidades que el sistema computarizado falle se muestra en la tabla: Número de caídas Probabilidad 0,60 0,30 0,05 0,04 0,01 Sea A el evento de que haya más de 2 caídas del sistema durante la semana. B el evento de que el sistema se caerá por lo menos una vez. Determinar: El espacio muestral. Los subconjuntos del espacio muestral que correspondan a los eventos A y B. Calcular P(A) y P(B) 20

21 Regla de la suma de probabilidades Eventos no excluyentes o compatibles P(A U B)= Espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Evento A: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: {3, 4, 5, 6, 7, 8} En ambos eventos se repiten los elementos: 3, 4, 5, 6 Evento P(A B): {3, 4, 5, 6} P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) Eventos excluyentes P(A U B)= Espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Evento A: {1, 2, 3, 4} Evento B: {5, 6, 7, 8} Evento P(A B): 0 P(A U B) = P(A) + P(B) 21

22 Regla de la suma de probabilidades Se producen barras de aluminio mediante extrusión. Se especifican diámetro y longitud. Para algunas la longitud puede ser muy corta o larga, o estar bien. Para el diámetro se clasifican en delgado, grueso o bueno. La población es de 1000 barras, distribuyéndose en clases de la siguiente forma: Longitud Delgado Diámetro Bueno Grueso Corta Buena Larga Cuál es la probabilidad de que la barra sea buena? Cuál es la probabilidad de que sea demasiado corta? Cuál es la probabilidad de que sea demasiado corta o demasiado gruesa? 22

23 Probabilidad condicional e independencia Una probabilidad incondicional se basa en todo del espacio muestral Longitud Delgado Diámetro Bueno Grueso Corta Buena Larga De las 1000 barras cuál es la probabilidad de satisfacer la especificación de diámetro?. Si se toma una barra y se encuentra que satisface la longitud, cuál es la probabilidad de que también satisfaga la especificación de diámetro?. Longitud Delgado Diámetro Bueno Grueso Corta Buena Larga Una probabilidad condicional se basa en una parte del espacio muestral. P(diámetro bueno/longitud buena) = 900/942 = 0,955 23

24 Probabilidad condicional e independencia Si se toma una barra y se encuentra que satisface la longitud, cuál es la probabilidad de que también satisfaga la especificación de diámetro?. Longitud Delgado Diámetro Bueno Grueso Corta Buena Larga Si el evento A consiste en las barras con diámetro bueno, P(A) = 928/1000 Si el evento B consiste en las barras cuya longitud es buena, P(B) = 942/1000 Si la probabilidad de que tanto la longitud como el diámetro sean buenos: P(A B)=900/1000 La probabilidad condicional será: 900 P ( A / B ) P ( A B ) P ( B) 24

25 Probabilidad condicional e independencia En un proceso se elaboran latas de aluminio, la probabilidad de: Que aparezca una lata con fisura al costado es 0,02. Que aparezca una lata con fisura en la tapa es 0,03. Que tenga fisura en la tapa y al costado es 0,01. cuál es la probabilidad de que no tenga ninguna fisura? cuál es la probabilidad de que una lata tenga una fisura en el costado, dado que tiene una fisura en la tapa? cuál es la probabilidad de que una lata tenga una fisura en la tapa, dado que tiene una fisura al costado? 25

26 Eventos independientes En ocasiones el hecho de que ocurra un evento no modifica la probabilidad de que ocurra otro. En este caso la probabilidad condicional e incondicional son las mismas, se trata de eventos independientes. Longitud Corta Buena Larga Delgado Diámetro Bueno Grueso Si selecciona una barra del espacio muestral cuál es la probabilidad de que sea larga? P(larga) cuál es la probabilidad de que sea larga si es delgada? P(larga/delgada) Entonces: P(larga) = P(larga/delgada) P(A) = P(A/B) P(B) = P(B/A)

27 Eventos independientes Dado que A y B son eventos independientes: P( A B) P( A/ B) P( A B) P( B)* P( A/ B) P( B) Antes se encontró que para eventos independientes se cumple: P(A) = P(A/B) P(B) = P(B/A) La ecuación anterior se expresa como: P( A B) P( B)* P( A/ B) P( B)* P( A) Un vehículo tiene dos motores, A y B, el sistema falla solo si ambos motores fallan. La probabilidad de que el motor A falle es 0,05 y la de que el B falle es de 0,10. Los dos motores operan independientemente, cuál es la probabilidad de que el sistema falle? 27

28 Eventos independientes Un sistema tiene dos componentes, A y B. ambos deben operar para que el sistema funcione. La probabilidad de que el componente A falle es 0,08 y la de que el B falle es 0,05. Estos componentes operan independientemente, cuál es la probabilidad de que el sistema no falle? 28

29 Dado que: P(A B)=P(B)*P(A/B) Regla de la multiplicación Que la probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos de los cuales uno se encuentra condicionado a la realización del otro, es igual a la probabilidad individual de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro con relación al primero. Una caja contiene 8 pelotas de madera 5 blancas y 3 negras 12 de plástico 7 blancas y 5 negras Cuál es la probabilidad que al hacer una extracción sea una pelota blanca de madera? Madera 5 blancas 3 negras 8 Plástico 7 blancas 5 negras

30 Regla de la multiplicación Madera 5 blancas 3 negras 8 Plástico 7 blancas 5 negras La probabilidad de extraer una pelota de madera es: P(M)=8/20=0,40 Si el evento B/M consiste en extraer una pelota blanca de madera, su probabilidad de ocurrencia es: P(B/M)=5/8=0,625 Entonces la probabilidad de que una pelota blanca sea de madera es: P(M B)=P(M)*P(M/B)=0,40*0,625=0,25 Cuál es la probabilidad de que al extraer una pelota blanca sea de plástico? Demostrar que: P(M)*P(M/B) = P(B)*P(B/M)

31 Ley de probabilidad total Se dispone de vehículos con motores de 3 tamaños. El 45% de los vehículos vendidos tienen motor pequeño (MP), 35% motor mediano (MM) y 20 motor grande (MG). Se practican pruebas de emisiones 2 años luego de la venta, teniéndose los siguientes resultados: 10% de los vehículos MP fallan (F). 12% de los vehículos MM fallan (F). 15% de los vehículos MG fallan (F). MP MM MG MP F MM F MG F 31

32 Ley de probabilidad total cuál es la probabilidad que un automóvil elegido aleatoriamente falle en la prueba de emisiones? En este caso se tiene: P(MP)=0,45 P(MM)=0,35 P(MG)=0,20 La probabilidad que un automóvil falle dado que tiene un motor pequeño es P(F/MP)=0,10. La probabilidad que un automóvil falle dado que tiene un motor mediano es P(F/MM)=0,12. La probabilidad que un automóvil falle dado que tiene un motor grande es P(F/MP)=0,15. En este caso la probabilidad de falla es: P(F)=P(MP F)+P(MM F)+P(MG F) Antes se demostró que P(A B)=P(A)*P(B/A) 32

33 Ley de probabilidad total De la relación Eventos independientes: P(A B)=P(A)*P(B/A) La probabilidad de falla se puede expresar como: P(F)=P(MP F)+P(MM F)+P(MG F) Donde: P(MP F) = P(MP)*P(F/MP) P(MM F) = P(MM)*P(F/MM) P(MG F) = P(MG)*P(F/MG) Resultando: P(F)= P(MP)*P(F/MP)+P(MM)*P(F/MM)+P(MG)*P(F/MG) P(F)= 0,45*0,10+0,35*0,12+0,20*0,15 = 0,117 Análisis mediante el diagrama de árbol 33

34 Teorema de Bayes Permite calcular una de las probabilidades condicionales si se conoce la otra. P( A k / B) P( A )* P( B / A k k n i 1 i i P( A )* P( B / A ) En el caso anterior, si se elige aleatoriamente una ficha de un prueba de emisión con falla, cuál es la probabilidad de que un vehículo con motor pequeño? P(MP/F) P( MP)* P( F / MP) P( MP / F ) P( MP)* P( F / MP) P( MM)* P( F / MM) P( MG)* P( F / MG) 0,45* 0,10 P( MP / F ) 0,385 0,45* 0,10 0,35* 0,12 0,20* 0,15 ) 34