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1 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION.

2 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION. Como se ha podido ver en los temas de la unidad anterior, al realizar operaciones algebraicas (sumas, restas, multiplicaciones), se debe tener en cuenta y considerar las leyes de los signos y de los exponentes, también lo relacionado a términos semejantes para poder reducir las expresiones a las que se haya llegado como resultado. Pues como en algunas áreas, quizás alguna vez te hayas percatado que existen formas de poder llegar a los mismos resultados pero aplicando alguna técnica, o procedimiento que facilite, sea menos laborioso, o que implique menos tiempo, pues este es el caso donde se tienen algunas operaciones donde puede simplificarse el proceso por lo que se conoce simple inspección. Es decir que por una visualización se conozca el resultado, sin necesidad de hacer muchas operaciones. Para ello se debe tener el manejo correcto del lenguaje algebraico, las leyes de los exponentes y los signos para que se ahorre trabajo y logre el resultado. Este tipo de operaciones donde se puede aplicar lo que se ha mencionado, se conoce como productos notables. Estos productos notables son operaciones como multiplicaciones que contienen términos que con la práctica constante se puede identificar que permiten lograr el resultado en menor tiempo. El hecho de que se tenga un tema de estudio referente a esto, es que estos productos notables aparecen y son de uso muy frecuente en el área de algebra y de diferentes áreas de la matemática, así como de asignaturas posteriores, por ello su comprensión y dominio s sumamente importante. Algunos de Estos productos notables son los siguientes. a) Cuadrado de un binomio b) Binomios conjugados c) Binomios con término común.

3 Antes de iniciar propiamente con el estudio del tema, procedemos a realizar un repaso muy general acerca de las operaciones aritméticas, ya que son necesarias para comprender mejor los conceptos. Potencia de un número; se entiende como una multiplicación del número dado por si mismo tantas veces como sea el valor de la potencia, y se puede tener por ejemplo: El Cuadrado de un término, es decir elevar un término a la potencia 2, que significa multiplicar el número dado por si mismo 2 veces, esto es: Sea por ejemplo el número cualquiera a al cuadrado: que se escribe algebraicamente: a 2 = (a)(a) El cubo de un número: es decir elevar un término a la potencia 3, que significa multiplicar el numero dado por si mismo 3 veces, esto es: Sea por ejemplo el numero m al cubo: m 3 = (m)(m)(m), Ahora bien, evidentemente también se puede elevar a cualquier potencia no solo las letras o variables como en los casos anteriores, sino también los números que ya comúnmente conocemos, por ejemplo 5 al cuadrado que es igual a 5 por 5, y da como resultado 25. Es decir: 5 2 = (5)(5)= 25 Si tenemos por ejemplo el 3 a la cuarta potencia se escribe como: 3 4 y se multiplica entonces 4 veces el 3, esto es: (3)(3)(3)(3)= 81 También se puede tener términos algebraicos como los ya vistos, que se eleven a una potencia, como por ejemplo: (4x) 3 que significa multiplicar 3 veces el 4x,

4 Es decir. (4x)(4x)(4x) que da como resultado: 64x 3 Puede verse y pensarse que esto sea repetitivo, porque ya se ha mencionado en los conceptos básicos, y la razón de describirlo de nuevo es reafirmar que se aplican las leyes de los exponentes porque se están realizando multiplicaciones. Ahora bien así como se realizan operaciones de potencias de números o términos positivos, también se realiza con los negativos, por ejemplo: (-3) 2 = (-3)(-3)= 9, (-2y) 3 = (-2y)(-2y)(-2y)= - 8y 3, (-7) 2 = (-7)(-7) = 49 (-4x 2 y 3 ) 2 = (-4x 2 y 3 )(-4x 2 y 3 )= 16x 4 y 6 Ejercicios de repaso. Con el fin de obtengas mayor habilidad en la operación de potenciación, obtener el resultado de las potencias de las siguientes cantidades: (6) 2 = (-4) 2 = (5) 3 = (-2) 4 = (3) 5 = (-5) 3 = (1/3) 2 = (-2/5) 3 = (1/2) 4 = (-1) 5 = Ahora procede de manera contraria, desglosa las multiplicaciones que se deben realizar de cada uno de los términos indicados: (2a) 3 = (-3y) 2 = (2xy 2 ) 3 = (-5m 2 n 3 ) 2 = Ejercicio de reafirmación de conceptos. Completa la siguiente tabla de potenciación de términos y cantidades como en los ejemplos resueltos que están en rojo.

5 Expresión algebraica Operaciones a realizar resultado (3x) 2 (3x)(3x) 9x 2 (9m) 3 (5a) 2 (9m)(9m)(9m) (-4x)(-4x)(-4x)(-4x)-4x) 729m 3 64 x 6 (-1/5)(-1/5) 27 y 3 (-3)(-3)(-3) ( ½ y 4 ) 2 (6b 2 )(6b 2 )(6b 2 ) (6b 2 ) 25a 4 b 2 Una vez que se ha realizado el estudio de los términos de potenciación, procederemos entonces a la explicación de los productos notables, que se estudiarán: cuadrado de un binomio, binomios conjugados, y binomios con término común; Iniciamos con el: CUADRADO DE UN BINOMIO. SE TRATA DE UNA EXPRESIÓN QUE CONTIENE 2 TERMINOS, DE AHÍ SU NOMBRE DE BINOMIO, EN LA CUAL HAY UNA OPERACIÓN QUE PUEDE SER UNA SUMA O RESTA, LOS TERMINOS PUEDEN SER ALGEBRAICOS O BIEN UNO ALGEBRAICO Y OTRO NUMÉRICO, Y ESTE BINOMIO ESTA ELEVADO AL CUADRADO, ES DECIR A LA POTENCIA 2, COMO POR EJEMPLO: (x+y) 2 (a-3) 2 (m+n) 2 (b+1) 2 ( x-2) 2 ( 3x+ 2y) 2

6 Ahora bien es conveniente decir en este momento que el resultado de este cuadrado de un binomio origina tres términos, ya que por ejemplo para cada caso, las operaciones que tendrían que hacerse según lo que ya se ha dicho son: (x+y) 2 (a-3) 2 = (x+y)(x+y) = (a-3)(a-3) (m+n) 2 (b+1) 2 =( m+n)(m+n) =( b+1)(b+1) ( x-2) 2 = (x-2)(x-2) ( 3x+ 2y) 2 = (3x-2y)(3x-2y) Y como puede verse se debe aplicar las operaciones de multiplicación y de reducción de términos semejantes que ya se ha visto, pero como se trata de optimizar tiempo y esfuerzo, entonces diremos que existen reglas que lo permiten hacer y para cada producto notable ya están definidas, y para el caso del cuadrado del binomio la regla es la siguiente: REGLA PARA OBTENER EL CUADRADO DE UN BINOMIO: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término Algunos ejemplos: 1.- (x+y) 2 = x 2 + (2)(xy) + y 2 = x 2 + 2xy + y (m+3) 2 = m 2 + (2)(3m) = m 2 + 6m (k - 2) 2 = k 2 (2)(2k) = k 2 4k observe que en estos dos últimos Casos el Segundo término es negativo, 4.- (5 - b) 2 = 5 2 (2)(5b) + b 2 = 25 10b +b 2 debido al signo del binomio.

7 5.- (n+4) 2 = n2+ 2(4)(n) = n 2 + 8n (y- 1) 2 = y2-2(1)(y) = y 2-2y + 1 Es importante mencionar que el resultado obtenido del cuadrado de un binomio se llama: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Es decir: Cuadrado de un Al desarrollarlo binomio Obtenemos TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Por ejemplo (a+b) 2 es el cuadrado del binomio que deseamos obtener, luego el resultado será: según lo explicado: a al cuadrado = a 2, luego El doble del primer término por el segundo: (2) por a por b, es decir 2ab y finalmente el cuadrado del segundo término: b = b 2, por lo que al reunir todos los términos y considerando que el signo del binomio es positivo, entonces resulta: a 2 +2ab+b 2, que es lo que se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Ejercicios de práctica. Con el fin de que desarrolles destreza en la aplicación de la regla, resuelve los ejercicios de cuadrado de un binomio siguientes: a. (m-n) 2 = b. (b-4) 2 = c. (x+6) 2 = d. (p+q) 2 = e. (a-b) 2 = f. (3x-4y) 2 = g. (2a-3b) 2 =

8 Respuestas. a. m 2-2mn+n 2 c. x 2 +12x+36 e. a 2-2ab+b 2 g. 4a 2-12a 2 b 2 +9b 2 Actividad miscelánea. Como se ha mencionado, el resultado del cuadrado de binomio se llama trinomio cuadrado perfecto, ahora es momento de que identifiques de manera inversa cuáles son los binomios de donde provienen los trinomios cuadrados perfectos que se encuentran en la segunda columna, y también desarrolles los binomios hasta completar la tabla. Binomio Trinomio cuadrado perfecto (y+4) 2 q 2 2q +4 ( h+k) 2 y 2 + 6y +9 (a-3) 2

9 BINOMIOS CONJUGADOS Consideremos el producto de la suma de dos términos "a+b" por su diferencia "a-b". Al desarrollar el producto con las operaciones conocidas resulta: (a+b)(a-b) = = a 2 - b 2 Este tipo de expresiones, donde se tienen dos binomios con los mismos términos, pero con el signo contrario, se conoce como BINOMIOS CONJUGADOS, y el resultado es lo que se llama: diferencia de cuadrados. Puede observarse y reafirmarse en el ejemplo anterior que efectivamente al realizar las multiplicaciones, y reducir los términos semejantes, se cancelan algunos de éstos, quedando solo una resta de los cuadrados tanto del primero como del segundo término. Algunos ejemplos de binomios conjugados con su respectivo resultado son: 1. (a - 3) (a + 3) = a ( y+4) (y-4) = y (m+1) (m-1) = m ( b+2) (b-2) = b (x + 5) (x - 5) = x (n +6) (n-6) = n (x +7)(x-7)= x (y+1)(y-1)= y (a+b)(a-b) = a 2 b (P+Q)(P-Q)= P 2 -Q 2 Como puede observarse, el resultado se obtiene elevando el primer término al cuadrado y restándole el segundo término, también elevado al cuadrado.

10 Ejercicios de práctica. Obtén los resultados de los siguientes binomios conjugados. 11. (a - 9) (a + 9) = 12. ( y+1) (y-1) = 13. (n+1) (n-1) = 14. ( p+5) (b-5) = 15. (b+ 7) (b - 7) = 16. (2x - 1) (2x + 1) = 17. ( b+3) (b-3) = 18. (6x+2) (6x-2) = 19. ( 4y+3) (4y-3) = 20. (m+ 9) (m - 9) = Ahora completa en los espacios que faltan la siguiente tabla donde se muestran los resultados (diferencia de cuadrados) y los binomios conjugados de donde proceden. Binomios conjugados (c+ 2) (c - 2) (a+ 9) (a - 9) (k 4)(k+4) Diferencia de cuadrados b a 2 x 2 y 2 BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN Multiplicación de binomios con un término común

11 Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios en forma que uno de los términos es el mismo y tienen la forma "a+3" por "a+2". En este caso el termino común es a. Al desarrollar el producto (a+3)(a+2)= a 2 + (3+ 2)a + (3)(2)= a 2 + 5a + 6 La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue: Cuadrado del primer término, más la suma (o resta) de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos Ejemplos: Por ejemplo en el siguiente caso: (y-2)(y+4), el termino común es y, luego los no comunes son -2 y 4, por lo que al aplicar la regla tenemos: Cuadrado del termino común: y 2 en este caso tenemos que obtener el resultado de -2+4= 2 finalmente la multiplicación de estos no comunes (-2)(4) = -8 Es decir resulta: y 2 +2y -8 Otro caso es: (m- 5)(m-3) el común es m, y los no comunes son -5 y -3 por lo que: Cuadrado del termino común: m 2 en este caso tenemos que obtener el resultado de -5-3= -8 finalmente la multiplicación de estos no comunes (-5)(-3) = 15 Es decir resulta: m 2-8y +15

12 Cada uno de los resultados del producto de binomios con término común, es conocido como trinomio de segundo grado en una sola variable. Ejercicios de práctica. Resuelve los siguientes ejercicios de producto de binomios con término común. Respuestas. 1. (a+4)(a-6)= 2. (n+2)(n+3)= 3. (x-1)(x+2)= 4. (y+2)(y+5)= 5. (p+3)(p+6)= 6. (q-4)(q-2)= 7. (a+2)(a+1)= 8. (m+3)(m+5)= 9. (n+1)(n+3)= 10. (x-2)(x-3)= 2. n 2 + 5n y 2 +7y q 2-6q+8 8. m 2 +8m x 2-5x +6 Ejemplos complementarios. Completa la siguiente tabla donde se encuentran los binomios con término común y el resultado, te será de ayuda para adquirir dominio y comprensión del tema. Binomios conjugados Diferencia de cuadrados b 2 4b + 3 (c+ 3) (c - 1) a 2 + 7a+12 (n+ 1) (n +2)

13 (y 1)(y+4) x 2-2x+1 FACTORIZACIÓN La factorización es una operación que nos recuerda lo que es la multiplicación ya que en una multiplicación los términos a multiplicar son llamados factores, por lo que se trata en este caso de que a partir del resultado, se conozca cuales son los términos que lo originan. Los 3 casos de productos notables ya explicados, dan origen a resultados que si se identifican, se puede saber con precisión los factores. Por ejemplo, se ha mencionado que el cuadrado de un binomio da como resultado un trinomio cuadrado perfecto. Luego entonces si conocemos y podemos identificar que la expresión es un TCP (trinomio cuadrado perfecto), entonces sabremos cual es el binomio que lo origina, como ya en firma anterior has practicado llenando las tablas del tema. Pasemos pues a la factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe: 1.- Identificar los términos primero y tercero que sean cuadrados perfectos obteniéndoles su raíz cuadrada. 2.- El término intermedio debe corresponder al doble producto de la raíz cuadrada de los dos términos del punto anterior. Por ejemplo, Si se tiene al trinomio a 2 +2ab+b 2 Se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos a 2 : su raíz cuadrada es: a b 2 : su raíz cuadrada es: b El término intermedio corresponde al doble producto de las raíces de los dos anteriores es decir 2ab Por lo tanto a 2 +2ab+b 2 es un trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo 2.

14 x 2 +6x+9 se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos x 2 : su raíz cuadrada es: x 9 2 : su raíz cuadrada es: 3 El término intermedio corresponde al doble producto de las raíces de los dos anteriores es decir 2(3)(x)= 6x Por lo tanto x 2 +6x+9 es un trinomio cuadrado perfecto. Y sus factores son: (x+3)(x+3) es decir es un binomio al cuadrado: (x+3) 2 Ejemplo 3 m 2-2m +1 Se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos m 2 : su raíz cuadrada es: m 1 2 : su raíz cuadrada es: 1 El término intermedio corresponde al doble producto de las raíces de los dos Anteriores es decir 2(m)(1) = 2m Por lo tanto m 2 +2m+1 es un trinomio cuadrado perfecto. Y sus factores son: (m-1)(m-1) es decir es un binomio al cuadrado: (m -1) 2 Hay que enfatizar que el signo del binomio será el del signo intermedio del trinomio. Ejemplos para practicar. Factoriza los siguientes trinomios (obtén el binomio), y 2 2xy +y 2 = m 2 8m +16 = b 2 10b +25 =

15 q 2 6q +9 = a 2 2a +1 = FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS. En una sección anterior se describió el proceso para obtener el producto de binomios conjugados, lo cual da como resultado una diferencia de cuadrados, y en esta sección se realizará lo contrario, es decir, a partir de la diferencia de cuadrados, determinar los binomios conjugados. Es conveniente para facilitar mejor la comprensión que se realice un repaso del tema de binomios conjugados. En primer lugar hay que recordar que la diferencia de cuadrados son dos términos que están elevados al cuadrado y entre ellos existe la operación de resta. Por ejemplo: n 2 25, al obtener la raíz cuadrada de cada uno tenemos: n 2 : su raíz cuadrada es n 25 su raíz cuadrada es 5 También verificamos que haya una resta entre ellos, lo cual efectivamente se cumple. Luego cada uno de los binomios se arman con la raíz cuadrada obtenida de cada uno, en este caso n y 5, pero con la condición de que uno sea con signo positivo y otro negativo, esto es: (n+5)(n-5) Ejemplo 3 Segundo ejemplo: a 2 1, al obtener la raíz cuadrada de cada uno tenemos: a 2 : su raíz cuadrada es a 1 su raíz cuadrada es 1 También verificamos que haya una resta entre ellos, lo cual efectivamente se cumple. Luego cada uno de los binomios se arman con la raíz cuadrada obtenida de cada uno, en este caso a y 1, pero con la condición de que uno sea con signo positivo y otro negativo, esto es: (a+1)(a-1)

16 a 2 b 2, al obtener la raíz cuadrada de cada uno tenemos: Ejemplo 4 a 2 : su raíz cuadrada es a b 2 su raíz cuadrada es b También verificamos que haya una resta entre ellos, lo cual efectivamente se cumple. Luego cada uno de los binomios se arman con la raíz cuadrada obtenida de cada uno, en este caso a y b, pero con la condición de que uno sea con signo positivo y otro negativo, esto es: (a+b)(a-b) r 2 16, al obtener la raíz cuadrada de cada uno tenemos: r 2 : su raíz cuadrada es r 16 su raíz cuadrada es 4 También verificamos que haya una resta entre ellos, lo cual efectivamente se cumple. Luego cada uno de los binomios se arman con la raíz cuadrada obtenida de cada uno, en este caso r y 4, pero con la condición de que uno sea con signo positivo y otro negativo, esto es: (r+4)(r-4) Ejemplos de práctica. Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados. b 2 4= c 2 d 2 = a 2 9 = p 2 q 2 = z 2 49= FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO (Se sugiere repasar el tema de binomios con término común) Para realizar la operación contraria al producto de binomios con término común se procede de la siguiente forma: teniendo en cuenta que el término de segundo grado para ilustrar el proceso en el ejemplo 1 es x, pero puede ser alguna otra variable.

17 Trinomio de la forma: x 2 +bx+c El proceso de factorización consiste en poder relacionar los valores (coeficientes) de b y c. Para poder factorizar esta expresión debemos retomar los conceptos de productos notables. En este punto debemos saber que el producto de dos binomios de la forma "x + m" nos arrojan como resultado este tipo de trinomio. Por tanto la factorización de este trinomio debe ser de la forma: Resolviendo el producto notable tenemos: Comparando este resultado con la forma estudiada llegamos a la conclusión de que: De esta manera para poder factorizar un trinomio de este tipo debemos de buscar dos números que sumados nos den como resultado el coeficiente del término lineal "b" y multiplicados den como resultado el término independiente "c". Ejemplos: 1.- Factorizar: Lo primero que vamos buscar son número que multiplicados entre sí den -8 y sumados -2. La combinación son los números -4 y 2. Tenemos que combinar estos números para que después de multiplicarlos, los resultados los sumemos y den -2x como respuesta. Y como el término cuadrático es x, ese será el término común en cada binomio. Es decir: (x - 4 ) (x + 2 ) 2.- Factorizar:

18 Lo primero que vamos buscar son número que multiplicados entre sí den como resultado -30 y sumados 13. La combinación son los números 15 y -2. Tenemos que combinar estos números para que después de multiplicarlos, los resultados los sumemos den 13x como respuesta. Solución: (x + 15 ) (x - 2 ) Ejercicios de práctica.. Factoriza: a) x 2 +6x +9 = b) a 2 +a -2 = c) m 2-4mx +3 = d) b 2 +2b -8 = e) y 2-4y +3 = f) x 2-4x +4 = Respuestas. b) (a-1)(a+2) d) (b-2)(b+4) f) (x-2)(x-2) factoriza las siguientes expresiones algebraicas, identificando si son trinomios cuadrados perfectos, o diferencia de cuadrados o trinomios cuadráticos. Comprueba las soluciones volviendo a aplicar la regla de productos notables y debe dar como resultado la expresión inicial que se muestra. 1. a 2 +2ab +b 2 =

19 2. y 2 y+12 = 3. y 2 9 = 4 x 2-6x +9 = 5. x 2 y 2 = 6. m 2 25= 7. w 2 +4w +4= 8. x 2 -x -12 = 9. a 2-3a +2= 10. x 2-6x +9 = 11. a 2 +3a-10 = 12. x 2-7x +12 = 13. n 2 64 = 14. z 2-14z +49 = Respuestas. En las soluciones dadas a continuación se especifica el tipo de producto notable de que se trata, y la respuesta la debes encontrar aplicando las reglas ya descritas anteriormente. 1. T.C.P. 3. diferencia de cuadrados 5. diferencia de cuadrados 7. T.C.P. 9. trinomio cuadrático 11. trinomio cuadrático 13. diferencia de cuadrados EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

20 En las siguientes situaciones, se muestran algunas aplicaciones de los productos notables, se recomienda poner especial atención al planteamiento del ejemplo para que complementado con el lenguaje algebraico que se emplea se comprenda de manera correcta la solución. Ejemplo1. Una inmobiliaria va a diseñar un centro comercial en un terreno que se encuentra en una esquina, el terreno es de forma cuadrada de longitud a = 62 metros. Después de un tiempo, la empresa debe dejar una franja de terreno de ancho b = 3 metros por dos de los lados para que funcione como banqueta, además en la esquina del terreno será destinado un cuadrado de longitud igual al ancho de la banqueta para que sea levantado un letrero espectacular. La parte restante será destinada para construcción de la plaza comercial. De acuerdo con esta información representa gráficamente el total del terreno y la parte que queda como banqueta. a) Calcule el área e terreno que será destinada a la plaza. b) calcule el área de las banquetas c) calcule el área que será ocupada por el letrero. Solución. De acuerdo con la información tenemos una figura como la siguiente. En este caso ocuparemos como puede verse un producto notable que es un binomio al cuadrado, solo que la parte que relaciona a los términos es una resta porque hay que eliminar terreno y así saber la parte que corresponde a cada sección.

21 Ocuparemos la siguiente denominación: a= longitud total del terreno= 62 metros b= ancho de la banqueta = 3 metros Área que será destinada para el letrero: cuadrado de 3metros: (3)(3) = 9m 2 Área que será destinada a las 2 banquetas: 2(a-b)(b)=2(62-3)(3) = 354 m 2 Área que queda para la construcción de la plaza: (a-b) 2 = a 2-2ab+ b 2 = (62-3) 2 = 3481 m 2. Área total: lado por lado: (a)(a)=3844 m 2 Ejemplo 2. Juanito Perez va a fabricar un zaguán de mayor tamaño que el que tiene actualmente en su casa para poder tener mayor espacio de entrada. El zaguán que va a diseñar debe tener 2 metros mas de largo y uno mas de altura, calcule cual debe ser el área total que tendrá, si actualmente el zaguán es de forma cuadrada que mide 3.5 metros de lado. Determine también el área que aumenta. Solución. En este caso tenemos una situación de un binomio con término común, de donde la figura que nos puede auxiliar para resolver lo que se solicita es la siguiente:

22 La expresión matemática para proceder a la respuesta es: Lado del zaguán: x área inicial: (x)(x) = (3.5)(3.5)= m 2 Largo aumentado: x+2 Altura aumentada: x+1 Área final total del zaguán. = (x+2)(x+1) = x 2 + 3x + 2 = (3.5+2)(3.5+1) = m 2 AREA QUE AUMENTA: = 12.5 m 2 Ejercicio propuesto para resolver. Un trabajador que acaba de recibir su pensión va a construir un local comercial en la esquina de una calle céntrica, el terreno inicialmente de forma cuadrada tiene y metros de lado. Al terreno se le va a agregar 2 metros en dos de los lados para prados donde puedan ser atendidos los clientes, en base a dicha información y la figura mostrada, determine:

23 a) la expresión matemática y producto notable que representa la solución del problema b) El área total que se tendrá si el local mide y=5 metros de lado c) Calcule el área de los 2 prados. d) El área total del terreno incluyendo los prados y el cuadrado en blanco diseño. Juan Adolfo Álvarez Martínez.