dqn fo'ks"k dks.kksa ds f=dks.kferh; vuqikr

Transcripción

1 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr fdks.kfefr dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr finys ikb esa] geus ledks.k fhkqt esa U;wu dks.kksa ds fy, fdks.kferh; vuqikrksa dh ifjhkk"kk nh vksj muds chp dqn lecu/k LFkkfir fd;s bl ikb esa] ge viuh T;kferh; tkudkjh dk iz;ksx dj 0, 45 vksj 60 ds dks.kksa ds fy, fdks.kferh; vuqikrks a ds eku izkir djsaxs ge 0 rfkk 90 ds Hkh fdks.kferh; vuqikrksa ds eku fy[ksaxs ge ;g Hkh ns[ksaxs fd 0 rfkk 90 ds dqn fdks.kferh; vuqikr ifjhkkf"kr ugha gsa ge bl fdks.kfefr dh tkudkjh dk iz;ksx] vius nsfud thu ls yh xbz Å pkb;ka s vksj nwfj;ksa dh lk/kkj.k lel;kvksa dks Hkh gy djus esa djsaxs mís'; bl ikb dk v/;;u djus ds ckn vki lefkz gks tk, xs fd% 0, 45 rfkk 60 ds fdks.kferh; vuqikrksa ds eku Kkr dj ldsa( 0 rfkk 90 ds fdks.kferh; vuqikrksa ds eku fy[k ldsa( ;g crk ldsa fd 0 rfkk 90 ds dksu ls fdks.kferh; vuqikr ifjhkkf"kr ugha gsa( Å pkbz rfkk nwjh dh nsfud thu ls lacaf/kr lel;k, gy dj ldsa visf{kr iwz Kku ledks.k ΔBC, ftlesa dks.k B 90 gs] ds fy, ikbfkkxksjl izes; lw C B + BC 'kh"kz B ij ledksf.kd fhkqt BC esa] C dh leeq[k Hkqtk d.kz sin C, csec C C d.kz dh leeq[k Hkqtk 59

2 fdks.kfefr C dh layxu Hkqqtk d.kz cs C, sec C C tan C Cdh leeq[k Hkqtk Cdh layxu Hkqtk rfkk C ct C C csec C, sec C rfkk ct C sinc csc sin (90 θ) cs θ, cs (90 θ) sin θ tan (90 θ) ct θ, ct (90 θ) tan θ d.kz dh layxu ek/;fed ikb~;øe Hkqtk dh layxu Hqtk dh leeq[k Hqtk tan C sec (90 θ) csec θ rfkk csec (90 θ) sec θ ds dks.k ds fy, fdks.kferh; vuqikr ekuk,d fdj.k O,?kM+h dh lqbz dh fijhr fn'kk esa] fdlh Hkh le; ds varjky ds ckn?kwerh gs vksj x-v{k ds lkfk 45 dk dks.k cukrh gs] tslk fd vkñfr. esa n'kkz;k x;k gs O ij dksbz fcunq P yhft, PM OX [khafp, vc ledks.k ΔPMO esa] POM + OPM + PMO 80 ;k 45 + OPM ;k OPM ΔPMO esa, OPM POM 45 OM PM ekuk OM a bdkbz, rc PM a bdkbz ledks.k fhkqt PMO esa, OP OM + PM (ikbfkkxksjl izes;) a + a OP a a bdkbz vc sin 45 PM OP a a 45 X O M X Y Y vkñfr. P 59 cs 45 OM OP a a

3 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr fdks.kfefr PM a tan 45 OM a csec 45 sin 45 / sec 45 cs45 / tan 45 rfkk ct ds dks.k ds fy, fdks.kferh; vuqikr ekuk,d fdj.k O,?kM+h dh lqbz dh fijhr fn'kk esa?kwerh gs vksj x-v{k ds lkfk 0 dk dks.k cukrh gs] tslk fd vkñfr. esa n'kkz;k x;k gs O ij dksbz fcunq P yhft, PM OX [khafp, rfkk PM dks P rd c<+kb, ftlls PM P M. OP dks feykb, vc ΔPMO rfkk ΔP MO esa, O X OM OM...(mHk;fu"B) PMO P MO...(izR;sd 90 ) rfkk PM P M...(jpuk) ΔPMO ΔP MO OPM OP M 60 vkñfr. OPP,d leckgq fhkqt gs OP OP ekuk PM a bdkbz PP PM + MP (a + a) bdkbz...(θ MP MP) a bdkbz OP OP PP a bdkbz Y P 0 M X P Y 59

4 fdks.kfefr vc ledks.k ΔPMO esa, OP PM + OM ;k (a) a + OM OM a ;k OM a bdkbz...(ikbfkkxksjl izes;) ek/;fed ikb~;øe sin 0 PM OP a a cs 0 tan 0 OM OP PM OM a a a a csec 0 sin 0 / sec 0 cs0 / rfkk ct 0 tan 0 / ds dks.k ds fy, fdks.kferh; vuqikr ekuk,d fdj.k O?kM+h dh lqbz dh fijhr fn'kk es a?kwerh gs vksj x-v{k ds lkfk 60 dk dks.k cukrh gs O ij dksbz fcunq P yhft, PM OX [khafp, OM dks M rc c<+kb, ftlls OM MM gks PM dks feykb, ekuk OM a bdkbz ΔPMO rfkk ΔPMM esa] PM PM...(mHk;fu"V) PMO PMM...(izR;sd 90 ) X O Y 60 P M M X OM MM...(jpuk) Y 594 vkñfr.

5 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr ΔPMO ΔPMM POM PM M 60 ΔPOM,d leckgq fhkqt gs OP PM OM a bdkbz ledks.k ΔPMO esa, OP PM + OM...(ikbFkkxksjl izes;) fdks.kfefr (a) PM + a ;k PM a PM a bdkbz sin 60 PM OP a a cs 60 OM OP a a PM a tan 60 OM a csec 60 sin 60 sec 60 cs 60 / rfkk ct 60 0 tan rfkk 90 0 ds dks.kksa ds fy, fdks.kferh; vuqikr [k.mksa.,. rfkk. esa geus 45, 0 rfkk 60 ds dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikrks a dks ifjhkkf"kr fd;k gs 0 rfkk 90 ds dks.kksa ds fy, ge fueufyf[kr ifj.kkeksa dks eku ysaxs vksj mudks rdz }kjk fl) djus dh ppkz ugha djs axs 595

6 fdks.kfefr (i) sin 0 0 rfkk blfy, csec 0 ifjhkkf"kr ugha gs ek/;fed ikb~;øe (ii) cs 0 rfkk blfy, sec 0 (iii) tan 0 0 rfkk blfy, ct 0 ifjhkkf"kr ugha gs (iv) sin 90 rfkk blfy, csec 90 (v) cs 90 0 rfkk blfy, sec 90 ifjhkkf"kr ugha gs (vi) ct 90 0 rfkk blfy, tan 90 ifjhkkf"kr ugha gs 0, 0, 45, 60 rfkk 90 ds dks.kks a ds fdks.kferh; vuqikrks a dks lkj.khc) fd;k tk ldrk gs] ftlls mudk iz;ksx ljy gks tkrk gs fueu lkj.kh bu ekuksa dks ;kn j[kus esa lgk;rk djrh gs θ fdks.kferh; vuqikr 0 4 sin θ cs θ tan θ ifjhkkf"kr ugha ct θ ifjhkkf"kr ugha csec θ ifjhkkf"kr ugha sec θ ifjhkkf"kr ugha 4 vkb, ge dqn iz'u ysa tks bu ekuksa ds iz;ksx dks n'kkz, xs mnkgj.k.: tan 60 sin 0 dk eku Kkr dhft, gy: ge tkurs gsa fd tan 60 rfkk sin 0 596

7 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr tan 60 sin 0 ( ) 4 4 mnkgj.k.: ct 0 sec 45 + csec 45 cs 60 dk eku Kkr dhft, gy: ge tkurs gsa fd fdks.kfefr ct 0, sec 45, csec 45 rfkk cs 60 ct 0 sec 45 + csec 45 cs 60 ( ) ( ) + ( ) mnkgj.k.: eku Kkr dhft,: (cs 45 + tan 60 ) 6(sin 45 tan 0 ) gy: (cs 45 + tan 60 ) 6(sin 45 tan 0 ) + ( ) mnkgj.k.4: lr;kfir dhft, fd tan 45 csec 0 sec 60 + ct 45 5 sin 90 cs 0 0 tan 45 sec 60 5 sin 90 gy: ck;ka i{k + csec 0 ct 45 cs 0 597

8 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe nk;ka i{k tan 45 sec 60 5 sin 90 vr%, + 0 csec 0 ct 45 cs 0 mnkgj.k.5: n'kkzb, fd 4 ct 0 + sin 60 csec 60 tan gy: ck;ka i{k 4 ct 0 + sin 60 csec 60 4 tan 0 4 ( ) nk;ka i{k vr%, 4 ct 0 + sin 60 csec mnkgj.k.6 : lr;kfir dhft, fd 60 tan ct 60 + sec 0 sin 45 cs 0 + cs ct 60 + sec 0 sin 45 gy: ck;ka i{k cs 0 + cs 45

9 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr fdks.kfefr vr%, nk;ka i{k 4 4 ct 60 + sec 0 sin 45 cs 0 + cs 45 mnkgj.k.7: ;fn θ 0 gks] rks lr;kfir dhft, 4 gy: tan θ tan θ tan θ θ 0 ds fy,] ck;ka i{k tan θ tan ( 0 ) tan 60 vksj nk;ka i{k tan θ tan θ tan 0 tan 0 599

10 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe. vr%, ck;ka i{k nk;ka i{k tan θ tan θ tan θ mnkgj.k.8: ekuk 0. lr;kfir dhft, sin sin 4 sin gy: 0 ds fy,] ck;ka i{k sin sin ( 0 ) rfkk nk;ka i{k sin 90 sin 4 sin sin 0 4 sin

11 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr vr%, ck;ka i{k nk;ka i{k sin sin 4 sin mnkgj.k.9: lw sin ( B) sin cs B cs sin B dk iz;ksx djds sin 5 dk eku Kkr dhft, fdks.kfefr gy: fn;k gs sin ( B) sin cs B cs sin B eku yhft, 45 vksj B 0 gs...(i) (i) ls, sin (45 0 ) sin 45 cs 0 cs 45 sin 0 ;k sin 5 vr%, sin 5 gs : mijksdr mnkgj.k esa] ge 60 rfkk B 45 Hkh ys ldrs gsa mnkgj.k.0: ;fn sin ( + B) rfkk cs ( B), 0 < + B 90, B gks] rks rfkk B ds eku Kkr dhft, gy: Θ sin ( + B) sin 90 iqu% + B 90...(i) cs ( B) cs 0 B 0...(ii) (i) rfkk (ii) dks tksm+us ij, (ii) ls, 90 r 45 B 45 vr%, 45 rfkk B 45 60

12 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe mnkgj.k.: ;fn cs (0 + x) sin 0 gks] rks x dk eku Kkr dhft, gy: cs (0 + x) sin 0 cs Θ cs x 60 ;k x vr%, x 40 mnkgj.k.: ΔBC, 'kh"kz B ij ledksf.kd gs ;fn BC 5 lseh, BC 0 gks] rks Hkqtkvksa B rfkk C dh yeckb;k Kkr dhft, gy: gea s fn;k x;k gs% BC 0 i.e., 0 rfkk BC 5 lseh vc sin BC C 5 ;k sin 0 C ;k 5 C C 5 ;k 0 lseh ikbfkkxksjl izes; }kjk] 0 B C BC ( ) 0 5 lseh 75 lseh C 5 lseh B 5 lseh vkñfr.4 vr%] C 0 lseh rfkk B 5 lseh gs mnkgj.k.: ΔBC esa, dks.k C,d ledks.k gs] C 4 lseh rfkk B 8 lseh gs rfkk B Kkr dhft, gy: gesa fn;k x;k gs% C 4 lseh rfkk B 8 lseh 60

13 vc dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr C sin B B 4 vfkk 8 B 0... Θ sin 0 B 8 lseh vkñfr.5 4 lseh C fdks.kfefr vc 90 B...[ Θ + B 90 ] vr%, 60 rfkk B 0 mnkgj.k.4: 'kh"kz B ij ΔBC ledks.k fhkqt gs ;fn C gks] rks fueu ds eku Kkr dhft,% (i) sin cs C + cs sin C (ii) sin sin B + cs cs B gy: gesa fn;k x;k gs fd ΔBC esa] B 90 + C (Θ + B + C 80 ) 90 rfkk gesa ;g Hkh fn;k x;k gs fd C (i) C 45 sin cs C + cs sin C sin 45 cs 45 + cs 45 sin 45 + (ii) + sin sin B + cs cs B sin 45 sin 90 + cs 45 cs 90 60

14 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe + 0 mnkgj.k.5: ;fn tan x gy: gesa fn;k x;k gs fd 0 gks] rks x dk eku Kkr dhft, tan x 0 ;k tan x tan 60 x 60 ;k x 0 vr% x dk eku 0 gs ns[ksa vkius fdruk lh[kk -. fueufyf[kr esa izr;sd dk eku Kkr dhft,% (i) sin 60 + cs 45 (ii) sin 0 cs 45 + tan 60 (iii) 4 sin 60 + tan 0 8 sin 45 cs 45 (iv) 4(sin cs 4 60 ) (cs 45 sin 45 ) (v) tan 45 csec 0 sec 60 + ct 45 5 sin 90 cs 0 5 cs sec 0 tan 45 (vi) sin 0 + cs 0. fueufyf[kr esa izr;sd dks lr;kfir dhft,% (i) csec 0 cs 60 tan 45 sin 90 sec 45 ct 0 8 (ii) tan 0 + sin 45 + cs 0 + ct

15 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr fdks.kfefr (iii) cs 60 sin 60 cs 60 (iv) 4(sin cs 4 60 ) (cs 45 sin 90 ) (v) tan 60 tan 0 + tan 60 tan 0 tan 0. ;fn 0 gks] rks fueufyf[kr esa ls izr;sd dks lr;kfir dhft,% tan (i) sin + tan tan (ii) cs + tan (iii) cs 4 cs cs 4. ;fn 60 rfkk B 0 gks] rks fueufyf[kr esa ls izr;sd dks lr;kfir dhft,% (i) sin ( + B) sin cs B + cs sin B (ii) tan ( B) tan tan B + tan tan B ysdj, sin 0 rfkk cs 0 ds eku Kkr dhft,] tcfd fn;k x;k gs cs cs 6. lw cs ( + B) cs cs B sin sin B ysdj cs 75 dk eku Kkr dhft, 7. ;fn sin ( B), cs ( + B), 0 < + B < 90, > B gks] rks rfkk B Kkr dhft, 8. ;fn sin ( + B) rfkk cs ( + 4 B) 0 gks] rks rfkk B Kkr dhft, 9. 'kh"kz Q ij ledksf.kd fhkqt ΔPQR esa] PQ 5 lseh rfkk R 0 gs QR rfkk PR Kkr dhft, 0. ΔBC esa, B 90, B 6 lseh rfkk C lseh gs rfkk C Kkr dhft,. ΔBC esa, B 90 gs ;fn 0 gks] rks sin cs B + cs sin B dk eku Kkr dhft,. ;fn cs (40 + x) sin 0 gks] rks x Kkr dhft, 605

16 fdks.kfefr fueufyf[kr eas izr;sd ds fy, lgh fdyi pqfu;s (-5): ek/;fed ikb~;øe. sec 0 dk eku gs () (B) (C) (D) 4. ;fn sin sin gs, rc dk eku gs () 0 (B) 0 (C) 60 (D) 90 tan tan 60 cjkcj gs () sin 60 (B) sin 0 (C) cs 60 (D) tan 60-5 fdks.kfefr ds vuqiz;ksx vc rd geus,d dks.k ds fdks.kferh; vuqikrksa dks ifjhkkf"kr djuk lh[kk gs geus 0, 45 rfkk 60 ds dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikrksa dk eku Kkr djuk Hkh lh[kk gs ge 0 rfkk 90 ds dks.kks a ds mu fdks.kferh; vuqikrks a dks Hkh tkurs gs a tks vpnh izdkj ls ifjhkkf"kr gsa bl [k.m esa ge fdks.kfefr dk iz;ksx nks Lrqvksa ds chp dh nwjh ;k Lrqvksa dh Å pkbz Kkr djus esa] djuk lh[ksaxs ge nsfud fnup;kz ls iz'u ysaxs lcls igys ge dqn f'ks"k 'kcnksa dks ifjhkkf"kr djsxs ftudh gesa Å pkb;ksa vksj nwfj;ksa ds v/;;u djus ds fy, vk';drk im+ sxh.5. muu;u dks.k ;fn isz{kd],d Lrq P tks isz{kd ls vf/kd Å pkbz ij gs] dks ns[krk gs] rks ml Lrq dks ns[kus ds fy, viuh vka[kksa dks Åij mbkuk gksxk rfkk izs{kd dh vk [k dks Lrq ls feykus kyh n`f"v js[kk (line f sight) rfkk {ksfrt js[kk ds chp tks dks.k curk gs] muu;u dks.k dgykrk gs vkñfr -6 esa] izs{kd gs] P Lrq gs] P n`f"v js[kk rfkk B {ksfrt js[kk gs θ muu;u dks.k gs. P Lrq izs{kd. θ n`f"v js[kk {ksfrt js[kk vkñfr.6 B 606

17 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr.5. vueu dks.k tc izs{kd tks vf/kd Å pkbz ij gs] Lrq P ¼tks de Å pkbz ij gs½ dks ns[krk gs rks n`f"v js[kk vksj {ksfrt js[kk ds chp cuus kyk dks.k vueu dks.k dgykrk gs vkñfr -7 esa] P n`f"v js[kk rfkk K {ksfrt js[kk gs ;gk α vueu dks.k gs mnkgj.k.6:,d lh<+h,d edku dh f[km+dh ij yxh gqbz gs rfkk ;g Hkwfe ds lkfk 60 0 dk dks.k cukrh gs ;fn lh<+h dh yeckbz 6 ehvj gks] rks lh<+h ds ikn dh nhkj ls nwjh Kkr dhft, K P. (Lrq) {ksfrt js[kk. α izs{kd n`f"v js[kk vkñfr.7 B fdks.kfefr gy: ekuk C lh<+h gs] tks nhkj B ds lkfk yxh gs ;g lery Hkwfe BC ds lkfk 60 dk dks.k cukrh gs ;gk C 6 eh vc] ledks.k ΔBC esa, BC cs 60 C...(fn;k gs) ;k BC 6 C 60 vkñfr.8 B ;k BC 6 ;k eh vr% lh<+h dk ikn] nhkj ls ehvj dh nwjh ij gs mnkgj.k.7:,d m/kz/kj [kahks dh Nk;k bldh Å pkbz dh dhft, gs lw;z dk muurka'k Kkr h bdkbz gy: ekuk B,d Å/kZ/kj [kahkk gs ftldh Å pkbz h bdkbz rfkk bldh Nk;k BC gs rc] BC h bdkbz C θ h bdkbz vkñfr.9 B 607

18 fdks.kfefr ekuk lw;z dk muurka'k θ gs rc ledks.k ΔBC eas, ek/;fed ikb~;øe B h tan θ BC h/ ;k tan θ tan 60 θ 60 vr% lw;z dk muurka'k 60 gs mnkgj.k.8:,d ehukj Hkwfe ij lh/kh [km+h gs ehukj ds ikn ls 0 ehvj dh nwjh ij flfkr,d fcanq ls ehukj dk muu;u dks.k 0 0 gs ehukj dh Å pkbz Kkr dhft, (.7 yhft, ) gy: ekuk ehukj B dh Å pkbz h ehvj gs ekuk Hkwfe ij fcunq C ehukj ds ikn B ls 0 ehvj dh nwjh ij gs BC 0 eh iz'u }kjk, CB 0 ledks.k ΔBC esa, B tan 0 BC C 0 0 eh vkñfr.0 h eh B ;k h 0 0 h eh eh 0 eh 0.7 eh 7. eh vr% ehukj dh Å pkbz 7. ehvj gs

19 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr mnkgj.k.9:,d xqcckjk eksle fhkkx ds Hkwry LVs'ku ls,d dscy }kjk tqm+k gqvk gs dscy dh yeckbz 00 ehvj gs rfkk ;g {ksfrt ds lkfk 60 0 ij >qdk gqvk gs tehu ls xqcckjs dh Å pkbz Kkr dhft, gy: ekuk xqcckjs dh flfkfr gs tks 00 ehvj yecs dscy C ls ca/kk gs C Hkwfery BC ds lkfk 60 0 dk dks.k cukrk gs ekuk xqcckjs dh Å pkbz B h eh ledks.k ΔBC esa, fdks.kfefr B sin 60 C 00 eh h eh ;k h 00 ;k h vr% xqcckjs dh Å pkbz 86.6 ehvj mnkgj.k.0: vk /kh }kjk] nks Hkkxksa esa VwVs gq, ism+ dk Åijh Hkkx Hkwfe ls 0 0 dk dks.k cukrk gs ism+ dk Åijh Nksj] ftl txg ij Hkwfe dks Nwrk gs g txg ism+ ds ikn ls 0 ehvj dh nwjh ij gs ism+ dh dqy Å pkbz Kkr dhft, gy: ekuk B ism+ gs tks C ij vk /kh ls VwV x;k gs rfkk f'k[kj Hkwfe ij fcunq D ij Li'kZ djrk gs rfkk BD ds lkfk 0 0 dk dks.k cukrk gs rfkk BD 0 eh gs ekuk BC x eh ledks.k ΔCBD eas, C 60 vkñfr.. B ;k ;k BC tan 0 BD x 0 0 x eh...(i) D 0 0 eh vkñfr... C x eh B 609

20 fdks.kfefr iqu% ledks.k ΔCBD esa, ek/;fed ikb~;øe ;k BC sin 0 DC x DC ;k DC x 0 eh...[(i) ls] C DC vc] ism+ dh Å pkbz 0...(ii) BC + C ; k 0 eh 7. eh vr%] ism+ dh Å pkbz 7. eh gs mnkgj.k.: lw;z dk muu;u dks.k 60 ls 45 gksus ij,d ehukj dh Nk;k 0 ehvj c<+ tkrh gs ehukj dh Å pkbz Kkr dhft, gy: ekuk ehukj B dh Å pkbz h ehvj gs rfkk C vksj D g nks fcunq gsa] tgk ij muu;u dks.k Øe'k% 45 vksj 60 gsa rc CD 0 eh, CB 45 vksj DB 60 ekuk BD x eh rc BC BD + CD (x + 0) eh vc ledks.k ΔBC esa, h eh B tan 45 BC h ;k x C D B 0 eh x eh vkñfr. 60

21 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr x (h 0) eh...(i) fdks.kfefr iqu% ledks.k ΔBD esa, B tan 60 BD h x ;k ;k h x...(ii) (i) vksj (ii) ls, h (h 0) ;k h h 0 ;k ( )h 0 h 0 0 ( ) ( ) ( ) 5 ( + ) vr% ehukj dh Å pkbz.66 ehvj gs mnkgj.k.:,d k;q;ku tc 000 ehvj dh Å pkbz ij gksrk gs rks g,d vu; k;q;ku ds Åij ls xqtjrk gs rfkk ml le; s Hkwfe ds,d fcanq ls 60 rfkk 45 ds dks.k cukrs gsa nksuksa k;q;kuksa ds chp dh yacr nwjh Kkr dhft, gy: ekuk O izs{k.k fcunq gs rc ekuk P vksj Q nksuksa k;q;ku gsa P 000 eh vksj OQ 45 vksj OP 60 ledks.k ΔQO esa, P 000 eh Q Q tan 45 O O vkñfr.4 6

22 fdks.kfefr ;k Q O...(i) iqu% ledks.k ΔPO esa, ek/;fed ikb~;øe P tan 60 O r O...(ii) O (i) vksj (ii) ls, 000 Q eh PQ P Q (000 7) eh 68 eh vr%] vhkh"v nwjh 68 eh gs mnkgj.k.:,d ehukj ds ikn ls,d Hku ds f'k[kj dk muu;u dks.k 0 0 gs rfkk Hku ds ikn ls ehukj ds f'k[ku dk muu;u dks.k 60 0 gs ;fn ehukj dh Å pkbz 50 ehvj gks] rks Hku dh Å pkbz Kkr dhft, gy: ekuk ehkukj PQ dh Å pkbz 50 eh gs rfkk Hku B dh Å pkbz x ehvj gs rc QB 0 rfkk PBQ 60 ledks.k ΔBQ esa, rfkk ledks.k ΔPQB esa, x tan 0 BQ PQ tan 60 BQ...(i) P ;k 50 tan 60...(ii) BQ (i) dks (ii) ls Hkkx nsus ij] x tan 0 50 tan ;k x eh Q 0 60 vkñfr.5 B x eh vr% Hku dh Å pkbz 6.67 ehvj 6

23 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr mnkgj.k.4:,d O;fDr unh ds,d fdukjs ij [km+k gksdj nwljs fdukjs ij yxs ism+ ds f'k[kj dk muu;u dks.k 60 0 ikrk gs tc g 40 ehvj ihns gv tkrk gs] rks dks.k 0 0 gks tkrk gs ism+ dh Å pkbz vksj unh dh pksm+kbz Kkr dhft, gy: ekuk ism+ B dh Å pkbz h ehvj gs ekuk BC x eh] unh dh pksm+kbz dks n'kkzrk gs eku C rfkk D g fcunq gsa tgk ij muu;u dks.k Øe'k% 60 0 rfkk 0 0 gsa ledks.k ΔBC esa, fdks.kfefr B tan 60 BC h x ;k ;k h x...(i) iqu% ledks.k ΔBD eas, B tan 0 BD 0 60 D C B 40 eh vkñfr.6 x eh h eh ;k h x (ii) (i) rfkk (ii) ls x x + 40 ;k x x + 40 ;k x 40 x 0 (i) ls, h vr%] unh dh pksm+kbz 0 eh rfkk ism+ dh Å pkbz 4.64 eh 6

24 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe mnkgj.k.5: 00 ehvj Å ph ehukj ds Åij [km+h gksdj Lkfr] ehukj dh fijhr fn'kkvksa esa [km+h nks dkjksa dks ns[krh gs ;fn muds vueu dks.k 45 0 rfkk 60 0 gksa] rks dkjksa ds chp dh nwjh Kkr dhft, gy: ekuk ehukj PM dh ÅpkbZ 00 eh gs ekuk rfkk B nksuksa dkjksa dh flfkfr;k gsa ekuk dkj ds fy, vueu dks.k 60 rfkk dkj B ds fy, 45 gs vc rfkk QP 60 PB RPB 45 PB ledks.k ΔPMB esa, Q 60 P 45 R PM tan 45 MB 00 ;k MB ;k MB 00 eh...(i) iqu% ledks.k ΔPM eas, 00 eh M B vkñfr.7 PM tan 60 M 00 ;k M 00 M M eh...(ii) vr% nksuksa dkjksa dh chp dh nwjh M + MB ( ) eh [(i) vksj (ii) ls] eh 64

25 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr mnkgj.k.6: leku Å pkbz ds nks LraHk 00 ehvj pksm+h lm+d ds nksuks vksj yxs gsa lm+d ij LrHkksa ds chp flfkr,d fcunq ls nksuksa LrEHkksa ds muu;u dks.k Øe'k% 60 0 rfkk 0 0 gsa LraHkksa ds chp fcanq dh flfkfr rfkk izr;sd LraHk dh Å pkbz Kkr dhft, gy: ekuk B vksj CD nks LrEHk gsa rfkk izr;sd dh Å pkbz h ehvj gs ekuk lm+d ij dksbz fcunq O gs ekuk BO x eh gs rc] OD (00 x) eh fdks.kfefr iz'u }kjk, OB 60 vksj COD 0 ledks.k ΔBO esa, C B tan 60 BO h x ;k ;k h x...(i) ledks.k ΔCDO eas, h eh B x eh 60 0 O (00 x) eh vkñfr.8 h eh D CD tan 0 OD ;k h 00 x...(ii) (i) rfkk (ii) ls, x 00 x ;k x 00 x ;k 4x 00 x 5 (i) ls, h ;k 4. vhkh"v fcunq,d LRkEHk ls 5 ehvj rfkk nwljs ls 75 eh dh nwjh ij gs izr;sd LraHk dh Å pkbz 4. eh gs 65

26 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe mnkgj.k.7: Hkwfe ds fdlh fcunq ls,d k;q;ku dk muu;u dks.k 45 0 gs 5 lsdum dh mm+ku ds ckn muu;u dks.k 0 0 gks tkrk gs ;fn k;q;ku 000 ehvj dh vpj Å pkbz ij mm+ jgk gks] rks k;q;ku dh pky Kkr dhft, gy: ekuk k;q;ku dh nksuksa flfkfr;ka vksj B gsa rfkk O izs{k.k fcunq gs ekuk OCD {ksfrt js[kk gs rc OC 45 rfkk BOD 0 B iz'u }kjk, C BD 000 eh ledks.k ΔCO esa, 000 eh C tan 45 OC O 45 0 C D 000 ;k OC vkñfr.9 ;k OC 000 eh...(i) ledks.k ΔBDO esa, BD tan 0 OD ;k 000 OC + CD ;k CD...[(i) ls] ;k CD 000 ( ) eh 5 lsd.m esa k;q;ku }kjk r; dh x;h nwjh B CD 96 m k;q;ku dh pky fdeh@?kuvk fdeh@?kuvk 66

27 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr mnkgj.k.8: fdlh ehukj ds vk/kkj ls a vksj b dh nwfj;ksa ij,d gh js[kk es a Øe'k% flfkr nks fcanqvksa P rfkk Q ls ns[kus ij ehukj ds Åijh fljs ds muu;u dks.k iwjd ik, tkrs gsa fl) dhft, fd ehukj dh Å pkbz ab gs gy: ekuk ehukj B dh Å pkbz h gs P vksj Q fn, gq, fcunq gsa lkfk gh] PB a rfkk QB b gs fdks.kfefr ekuk PB α rfkk QB 90 α ledks.k ΔBQ esa, B QB tan ( 90 α) h b ;k ct α...(i) h ledks.k ΔBP esa, B PB h a tan α ;k tan α (i) vksj (ii) dks xq.kk djus ij]...(ii) P α 90 α Q b a vkñfr.0 B ;k h ab h h ct α. tan α b a ;k h ab vr%] ehukj dh Å pkbz ab gs ns[ksa vkius fdruk lh[kk -.,d yecr nhkj ij >qdh gqbz lh<+h Hkwfe ds lkfk 60 0 dk dks.k cukrh gs lh<+h dk ikn fcunq nhkj ls ehvj dh nwjh ij gs lh<+h dh yeckbz Kkr dhft,.,d ehukj ds vk/kkj ls 50 eh dh nwjh ds,d fcunq ls],d O;fDr ehukj ds 'kh"kz fcunq dk muu;u dks.k 60 0 ekirk gs ehukj dh Å pkbz Kkr dhft, 67

28 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe.,d ehukj ds vk/kkj ls 50 eh dh nwjh ij flfkr,d fcunq ls] ehukj ds 'kh"kz fcunq dk muu;u dks.k 0 0 gs ehukj dh Å pkbz Kkr dhft, 4.,d irax ls ca/kk gqvk /kkxk 00 ehvj yeck gs ;g {ksfrt ry ds lkfk 60 0 dk dks.k cukrk gs ;g ekurs gq, fd /kkxs esa dksbz <hy ugha gs] irax dh Å pkbz Kkr dhft, 5.,d irax {ksfrt ry ls 00 ehvj Å pkbz ij mm+ jgh gs ;fn {ksfrt ry ds fdlh fcunq ij irax dk /kkxk 60 0 dk dks.k cukrk gs] rks ;g ekurs gq, fd /kkxs esa dksbz <hy ugha gs] /kkxs dh yeckbz Kkr dhft, 6.,d ehukj ds ikn ls 00 ehvj dh nwjh ij Hkwfe ry ij flfkr,d fcunq ls ehukj dh pksvh dk muu;u dks.k Kkr dhft,] tcfd ehukj dh Å pkbz 00 ehvj gs 7.,d m/kz/kj ism+ ehvj Å pk gs ;g gk ds >ksads ls VwV x;k gs bldk Åijh fljk tehu dks Nwrs gq, 60 0 dk dks.k cukrk gs tgk ls ism+ VwVk gs] ml LFkku dh Hkwfe ls Å pkbz D;k gs\ 8.,d `{k gk ls bl izdkj VwVrk gs fd g Hkwfe dks vius ikn ls 0 ehvj dh nwjh ij Li'kZ djrk gs rfkk Hkwfe ds lkfk 45 0 dk dks.k cukrk gs `{k dh Å pkbz Kkr dhft, 9. fdlh,d fcunq ij,d ehukj dk muu;u dks.k 45 0 gs ehukj ds ikn fcunq dh vksj 40 ehvj tkus ij muu;u dks.k 60 0 gks tkrk gs ehukj dh Å pkbz Kkr dhft, 0. nks O;fDr,d 80 ehvj Å ph pv~vku ds nksuksa vksj [km+s gksdj] pv~vku ds f'k[kj ds muu;u dks.k 0 0 vksj 60 0 ds ikrs gsa nksuksa O;fDr;ksa ds chp dh nwjh Kkr dhft,. 60 ehvj Å ps,d Hku ds 'kh"kz fcunq ls],d ehukj ds 'kh"kz,a ikn fcunq ds vueu dks.k Øe'k% 45 0 rfkk 60 0 gsa ehukj dh Å pkbz Kkr dhft,.,d 4 ehvj yech lh<+h {ksfrt ry ls 0 0 dk dks.k cukrh gs tc ;g,d dejs dh f[km+dh ls yxh gqbz gs lh<+h dk ikn fcunq] {ksfrt ry ds mlh fcunq ij flfkj j[kk tkrk gs rfkk lh<+h ds fijhr fn'kk esa flfkr dejs dh f[km+dh ls yxkus ij] ;g Hkwfe ry ds lkfk 60 0 dk dks.k cukrh gs dejksa ds chp dh nwjh Kkr dhft,.,d Hku dh igyh eafty ds Åijh fljs dk mlds ikn ls 5 ehvj dh nwjh ij flfkr,d fcanq ls muu;u dks.k 0 0 gs ;fn mlh fcunq ls nwljh eafty ds Åijh fljs dk muu;u dks.k 45 0 gks] rks nwljh eafty dh Å pkbz D;k gksxh\ 4.,d k;q;ku Hkwfe ls fdyksehvj dh Å pkbz ij mm+ jgk gs vksj izs{kd ds lkfk 60 0 dk dks.k cukrk gs 0 lsdum ds ckn izs{kd ds lkfk ;g dks.k 0 0 gks tkrk gs k;q;ku dh pky fdeh@?kavk esa Kkr dhft, 5.,d ehukj ds ikn ls,d Hku ds f'k[kj dk muu;u dks.k 0 0 gs rfkk Hku ds ikn ls 68

29 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr ehukj ds f'k[kj dk muu;u dks.k 60 0 gsa ;fn ehukj dh Å pkbz 50 ehvj gks] rks Hku dh ÅpkbZ Kkr dhft, fdks.kfefr vkb, nksgjk, fdks.kferh; vuqikrksa ds ekuksa dh lkj.kh fdks.kferh; vuqikr sin θ 0 θ cs θ 0 tan θ 0 ifjhkkf"kr ugha ct θ ifjhkkf"kr ugha 0 csec θ ifjhkkf"kr ugha sec θ lgk;d sclkbv: ifjhkkf"kr ugha vkb, vh;kl djsa. fueufyf[kr esa ls izr;sd dk eku Kkr dhft,% (i) 4 cs sin 45 sin 0 69

30 fdks.kfefr (ii) sin 45 tan 45 + (sin 90 + tan 0 ) 5 sin 0 + cs 45 (iii) sin 0 cs 0 4 tan 0 + tan 45 ek/;fed ikb~;øe (iv) ct 45 sec 0 + csec 0. fueufyf[kr esa ls izr;sd dks fl) dhft,% (i) ct 0 cs 60 4 sin 45 4 sec (ii) sin 0 + tan 60 5 cs 45 4 (iii) cs 60 cs 45 + sin 60 sin 45 sin 45 cs 0 + cs 45 sin 0 (iv) ct 0 ct 60 ct 90 ct 0 + ct 60. ;fn θ 0 gks] rks lr;kfir dhft,% (i) sin θ sin θ cs θ (ii) cs θ sin θ tan θ (iii) tan θ tan θ 4. ;fn 60 rfkk B 0 gks] rks lr;kfir dhft,% (i) sin ( + B) sin + sin B (ii) sin ( + B) sin cs B + cs sin B (iii) cs ( B) cs cs B + sin sin B (iv) cs ( + B) cs cs B sin sin B (v) tan cs cs 5. lw cs ( B) cs cs B + sin sin B dk iz;ksx djds cs 5 dk eku Kkr dhft, 6. ;fn sin ( + B) rfkk cs ( B) B Kkr dhft,, 0 < + B 90, > B gks] rks rfkk 60

31 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr 7.,d izs{kd,d Hku ls 40 ehvj dh nwjh ij [km+k ;g ns[krk gs fd,d >ams ds] tks fd Hku ij yxk gqvk gs] 'kh"kz vksj ikn fcunqvkas ds muu;u dks.k Øe'k% 60 rfkk 45 gsa a Hku dh Å pkbz vksj >ams dh yackbz Kkr dhft, 8.,d igkm+h dh pksvh ls] iwz fn'kk dh vksj yxs gq, nks Øfed fdyksehvj ds irfkjksa ds vueu dks.k Øe'k% 60 rfkk 0 gsa igkm+h dh ÅpkbZ Kkr dhft, fdks.kfefr 9. 7 ehvj Å ps,d Hku ds f'k[kj ij,d dscy ehukj ds f'k[kj dk muu;u dks.k 60 0 rfkk blds ikn dk vueu dks.k 45 0 gs ehukj dh Å pkbz Kkr dhft, 0. leqnz rv ij flfkr,d ehukj ds f'k[kj ij,d O;fDr ns[krk gs fd,d uk] tks mldh vksj vk jgh gs] dk vueu dks.k 0 0 ls 60 0 gksus esa 0 feuv dk le; yxrk gs uk leqnz rv ij fdruh nsj esa vk tk,xh\. nks uksa,d izdk'k LrEHk dh vksj fijhr fn'kkvksa ls vk jgh gsa ukksa ls izdk'k LrEHk dk muu;u dks.k Øe'k% 0 rfkk 45 gsa ;fn bu ukksa ds chp 0 ehvj dh nwjh gks] rks izdk'k LrEHk dh Å pkbz Kkr dhft,. lw;z dk muurka'k 60 0 ls 0 0 gksus ij lery tehu ij [km+h,d ehukj dh Nk;k 45 ehvj vf/kd yech ikbz x;h ehukj dh Å pkbz Kkr dhft,. nks ehukjksa ds chp {ksfrt nwjh 80 ehvj gs nwljh ehukj ds f'k[kj ls igyh ehukj ds f'k[kj dk vueu dks.k 0 0 gs ;fn nwljh ehukj dh Å pkbz 60 ehvj gks] rks igyh ehukj dh Å pkbz Kkr dhft, 4. xyh ds,d edku dh f[km+dh] ftldh Å pkbz Hkwfe ry ls 0 ehvj gs] ls xyh dh fijhr fn'kk esa lkeus cus edku ds 'kh"kz ikn ds muu;u rfkk vueu dks.k Øe'k% 60 0 rfkk 45 0 gsa fijhr fn'kk esa cus edku dh Å pkbz Kkr dhft, (.7 yhft,) 5.,d pksdh ij -6 ehvj yach izfrek yxh gs Hkwfe ds,d fcunq ij izfrek ds f'k[kj dk muu;u dksk 60 0 gs Hkwfe ds,d fcunq ij pksdh ds f'k[kj dk muu;u dks.k 45 0 gs pksdh dh Å pkbz Kkr dhft, ns[ksa vkius fdruk lh[kk ds mùkj.. (i) 4 5 (ii) 5 67 (iii) 0 (iv) (v) 0 (vi) 6

32 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe 5. sin 0, cs rfkk B rfkk B 5 9. QR 5 rfkk PR 0 lseh rfkk C 0.. x 0. C 4. B eh eh eh eh eh eh eh eh eh. 5.5 eh eh. 6.4 eh fdeh@?kavk eh vkb, vh;kl djsa ds mùkj. (i) 4 (ii) 7 40 (iii) (iv) ( + ) rfkk B eh, 9.8 eh eh eh 0. 5 feuv. 6.6 eh eh..8 eh eh eh

33 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr ek/;fed ikb~;øe vh;kl dk;z&fdks.kfefr fdks.kfefr vf/kdre vad: 5 le; : 45 feuv vuqns'k. izr;sd iz'u dk mùkj iqflrdk ds vyx&vyx i`"b ij nhft,. fueu lwpuk viuh mùkj iqflrdk esa nhft, uke ukekadu la[;k f"k; vh;kl dk;z dk izdj.k (Tpic) irk. vki vius vh;kl dk;z dh tkap v/;;u dsunz ij vius f"k; v/;kid ls djkbz, ftlls vkids dk;z dk mfpr ifj"dj.k fey lds viuk vh;kl dk;z jk"vªh; eqdr f ky;h f'k{kk lalfkku dks er Hksft,. layxu vkñfr esa] sin dk eku gs% () 5 (B) lseh 5 lseh (C) 5 C lseh B (D) 6

34 fdks.kfefr ek/;fed ikb~;øe. ;fn 4 ct gs] rks sin sin + cs cs dk eku gs () 7 (C) 6 5 (B) 7 6 (D) 4. sec 0 dk eku gs% () (B) (C) (D) 4. B ij ledks.kh; ΔBC esa, ;fn B 6 lseh rfkk C lseh gs] rks dk eku gs () 60 (B) 0 (C) 45 (D) 5 sin 6 sec 4 5. dk eku gs cs54 csec49 () (B) 6 (C) 6 (D) 6. ;fn sin gs] rks n'kkzb, fd cs 4 cs 0 64

35 dqn f'ks"k dks.kksa ds fdks.kferh; vuqikr 7. lw sin ( B) sin cs B cs sin B ds iz;ksx ls sin 5 dk eku Kkr dhft, 8. tan 5 tan 5 tan 60 tan 65 tan 75 dk eku Kkr dhft, fdks.kfefr + sin sin 9. n'kkzb, fd sec + tan 0. ;fn sin θ + sin θ gs] rks n'kkzb, fd cs θ + cs 4 θ. fl) dhft, fd ct + csec + cs ct csec + sin.,d izs{kd,d Hku ls 40 ehvj dh nwjh ij [km+k ;g ns[krk gs fd,d /tnam] tksfd Hku ij yxk gqvk gs] ds f'k[kj vksj ikn fcanqvkas ds muu;u dks.k Øe'k% 60 vksj 45 gs Hku dh Å pkbz vksj /tnam dh yackbz Kkr dhft,