SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 121 a 137

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1 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 Página. a) C ) 5 4,46 m 60 4 c 45 3,66 m 60. a B / 0,4 3. Por lo tanto, 3,58 C 6,4 5 c 6,4 8, 05 cm 30 a C C a 83 6,34 cm ,46 cm 55 Página 4. C c B / 0,855 C 58, ,6 0,4 a / B 5,35 cm 5. Un esquema de la situación es el siguiente: 0 km B 60 km 45º B M BM M B M M B , ,633 B ,633,36 60,36 M,45 km 45 Página 3 6. Según la notación de la imagen al margen de la página 3 del liro de texto. Llamaremos d a la distancia entre y H: Triángulo CH h + d h d Triángulo CHB a h + (c + d) Sustituimos h d en la segunda expresión: a d + (c + d) d + c + d + cd + c + cd Por otra parte, en CH: cos (80 ) d / d cos (80 ) cos a + c + cd + c c cos Trazando la altura correspondiente desde se procede como en el ejemplo del liro de texto y trazando la altura desde B se procede como en el caso que acaamos de realizar cos cm 8. a 8,065 +,609,455,655 cm a 4,98 cm Utilizaremos ahora el teorema del o: B,4 8 / 4,98 0,345 B 0,030 C ,030 8,9 Página 4 9.,69 +,899 0,998 cos,08 cm 4,36 cm plicando ahora el teorema del o: C,3 / 4,36 0,306 C,834 B 80,834 85,66 0. a) c cos 50 34, c 9,346 m Según el teorema del o: 50 / 9,346 0,30 8,068 B 80 8,068 50,93 ) c cos (5 4 ) 6.4,0398 c 80,0 m -9

2 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 Según el teorema del o: (5 4 ) / 80,086 0,8 60,55 B 80 60, , c) 4, , cos (38 4 ) 6,660 m,96 m Según el teorema del o: 3,8 (38 4 ) /,96 0,99,4 C 80, , cos cos 45 / ( 60) 0,5 4, cos C cos C 5 / ( 40) 0,5 C 8,80 8,80 / 4,40 El ángulo C mide el dole que el ángulo d) cos 0, , cos B 0, B 06, cos C 0, C 5, e) cos cos B 0, B 6, cos C 0, C,6 f) No tiene solución ya que < 5. Página a) cos 0, cos B 0, 484 B 6, cos C 0, 08 C 89, ) cos 0, 86 3, cos B 0, 54 B 58, cos C 0, 666 C 48, c) cos 0, , cos B 0, 85 B 8, cos C 0, C 04,48 Página 6 3. a) c cos 65 89,83 c 9,48 cm 65 / 9,48 0,669 4,0 B 0 65 / 9,48 0,956 B,94 ) c cos c 0,8 cm 0 / 0,8 0,458,4 B 3 0 / 0,8 0,54 B 3,5 c) c cos 45 9,9 c 0,9 cm 5 45 / 0,9 0,9 6,4 B 8 45 / 0,9 0,58 B 3,0 d) c cos 30 3,08 c 5,66 cm 6 30 / 5,66 0,530 3,0 B 0 30 / 5,66 0,883 B 6,05 e) c cos c 8 cm Página / B 8 60 / 8 60 B a) B 5 (8 4 ) / 8,6 0,655 B 40, ; B 39, Si B : -0

3 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 C c 8,6 ( 48 ) / (8 4 ) 63,88 cm Si B : C c 8,6 ( 5 ) / (8 4 ) 39,05 cm ) B 8 5 / 3, > No tiene solución c) B 8 30 / 0,333 B 9,4 ; B 60,53 Si B 9,4 : C ,4 30,53 c 30,53 / 30 8,4 cm Si B 60,53 : C ,53 0,53 No tiene solución d) B 4 0 / 5 0,8 B 6,9 ; B 8, Si B 6,9 : C ,9 8, c 5 8, / 0,4 m Si B 8, : C , 48, No tiene solución e) B 8 30 / 4 B 90 Según el teorema de Pitágoras: c , 93 m 5. C a 5 0 / 30 3,4 cm c 5 30 / 30,66 cm cos 0, , cos B 0, B 55, C 80 4,4 55, 8,8 8. Sea L el lado mayor y l el menor: L (0 / ) + (4 / ) (0 / ) (4 / ) cos 0 09 L 0,44 cm l (0 / ) + (4 / ) (0 / ) (4 / ) cos (80 0) 39 l 6,4 cm 9. Como en la actividad anterior, sea L el lado mayor y l el menor: L (6 / ) + (5 / ) (6 / ) (5 / ) cos (80 50) 4,89 L 4,99 m l (6 / ) + (5 / ) (6 / ) (5 / ) cos 50 5,6 l,3 m 0. Sea D la diagonal mayor y d la menor. Los ángulos interiores del paralelogramo miden 40 y (360 40) / 40. D cos 40 86,5 D 6,93 m d cos 40 4,43 D 6,44 m. Después de dos horas, el primer tren se encuentra a 30 km de la estación y el segundo se encuentra a 50 km de la estación: d cos 35 94,54 d 30,0 km Página cos 0, 8 34, cos B 0, 065 B ,58 C 80 34, 93,58 5,65. a 0 m, 5 m, c 30 m. l cao de tres horas, el primero se encuentra a.40 km del punto de partida y el segundo, a.60 km. El ángulo que uscamos verifica: cos , ,3 3. CD 80 CD DC 54 D 50 CD / CD / 54 6,5 m -

4 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 CBD 80 BCD BDC BD CD BCD / CBD / 40 44,6 m BD BDC DC Por el teorema del coo: B D + BD D BD cos BD 6,5 + 44,6 6,5 44,6 cos ,8 B 58,08 m c) p 4 cm S 54, 99 cm d) p dm S 49, 48 dm 8. Si las medidas son las siguientes: Página 30 Piensa y contesta El triángulo original queda dividido en tres triángulos de áreas: ar r 3 cr ar r cr ( a + + c) Esta demostración sirve para todo tipo de triángulos pues el segmento que une la intersección de la circunferencia inscrita con cada lado y el incentro siempre forma un ángulo recto con el lado correspondiente (4 8 39,04 ) 4 m ,4 cm 6. a) 30 4 m ) Los ángulos mayores del paralelogramo miden (360 30) / 50. Sea D la diagonal mayor y d la menor: D + cos ,49 D 8,40 m d + cos 30 4,5 D 6,89 m Página 3. a) p 5 cm S , 6 cm ) p 6 m S 6 9,39 m r El área del triángulo es: S 5,5( 5,5 0)( 5,5 9)( 5,5 ) 44, 04 El área del círculo es: cm S πr 3,4 4,56 cm Por lo tanto, el área que uscamos es: S S 44,04,56 3,48 cm Página 35. Teorema de los os:. a Demostración: B c C Si llamamos h a la altura correspondiente al lado c: B h / a h a B h / h a B a Trazando la altura h correspondiente al lado, se otiene de forma análoga: a c C Y por lo tanto, B a c. B C a c r B C Demostración: -

5 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 C Como CD es recto, CD es un diámetro que pasa por O ya que COD deerá ser un ángulo de D / r Y como B D pues son dos ángulos que aarcan el mismo arco: B / r / B r 3. a + c c cos a + c ac cos B c a + a cos C Demostración: Sea h la altura correspondiente al lado c y sea m la proyección del lado sore c y n la proyección de a sore c. Por Pitágoras: h + m a h + n Restando: a m n Por otra parte, c m + n m c n, por lo tanto: a (c n) n ; a c cn; a + c cn; demás, cos B n / a n a cos B, por lo tanto: a + c ac cos B Se procede de forma análoga para los lados a y c. Por otra parte, si el triángulo es rectángulo, por ejemplo en B: a + c ac cos B a + c Por lo tanto, el teorema de Pitágoras es un caso particular del teorema del coo. 4. Resolver un triángulo es determinar tres de sus elementos siendo los otros tres conocidos. O D B. Se conocen los tres lados se calculan los tres ángulos usando el teorema del coo.. Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos se calcula el lado restante aplicando el teorema del coo y los ángulos, aplicando el teorema de los os. 3. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos se aplica el teorema de los os. 4. Se conocen dos ángulos y un lado el ángulo restante se otiene teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 80. plicando el teorema de los os se otienen los dos lados que faltan. 5. El triángulo es único pues a 4 > 3. Resolvámoslo: B 3 30 / 4 0,440 B 6,3 Por lo tanto, C ,3 3,8 c 4 3,8 / 30 69,5 cm La otra posiilidad era que B 53,8 pero como en este caso + B 83,8, la solución no era válida. Por lo tanto, el triángulo es único. 6. La suma de dos de ellos dee ser mayor que el otro: 8 cm, 6 cm y 5 cm pueden ser los lados de un triángulo cm, cm y 4 cm no pueden.. a) a C ) p ( p a) ( p ) ( p c) donde p (a + + c) /. Es la fórmula de Fórmula de Herón ,5 30 /,3 cm c 4,5 8 / 4,63 cm 9. 4,5 35 / 0 0,58 4,96 es la única solución válida C ,96 30,04 c 0 30,04 / 35 3,35 cm 0.,6 m,5 +,6 + 4,3 cos 0, 96,6 4,8-3

6 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 5,90,6 +, ,69 cos B 0, 9845,5 4 0 B 0,0 C 80 5,90 0,0 54.c cos 80 8,9 c 5,3 m 3 80 / 5,3 0,55 33,38 es la única solución válida B ,38 66,6. a) c cos 35 4,40 c 6,89 m 0 35 / 6,89 0,83 56,35 ; 3,65 56,35 B ,35 88,65 3,65 B ,65, ) cos 0, , cos B 0, 58 B 58, C 80 86,4 58,8 34, c) C a 0 0 / 0 0 m 0 40 / 0 6,84 m d) 6 cm 0,6 m a B 0,68 8,6 > 0,6 el triángulo no existe e) C a 30,5 53 / 5 30,9 cm 30,5 5 / 5 3,39 cm f) B a 4, 48 / 68 3,83 cm 4, 64 / 68 45,5 cm < Es imposile ctividad personal. 4. a > y, por lo tanto, tiene una única solución B 40 4 / 60 0,446 B 6,49 es la única solución válida C ,49,5 c 60,5 / 4 83,4 cm cos 0, , cos B 0, B 46, C 80 9,0 46, 43, Por otra parte: p ( ) / 43 cm S 43 ( 43 36) ( 43 6) ( 43 4) 3,8 cm cos 0, , cos B 0, B 3,8 C 80 8,5 3,8 8,66 Por otra parte: p ( ) / 3,5 S 3,5 ( 3,5 3) ( 3,5 4) ( 3,5 68) 68,5. a cos 35 3, a, cm B 0 35 /, 0,99 B 8,8 ; B 0,8 Si B 8,8 C 80 8, ,8 Si B 0,8 C 80 0, ,8 S , 30 cm 8. m >,5 m y, por lo tanto, existe una única solución Según el teorema del o se dee cumplir: B,5 40 / 0,48 B 8,8 es la única solución posile El ángulo que falta por calcular es C ,8,8. -4

7 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 El lado que falta mide c,8 / 40,90 m 9.d cos 36 3, d 5,85 cm 0.C cos 0 C 3,08 km.el primero hará recorrido,5 km y el segundo,5 km, por lo tanto, la distancia es: d,5 +,5,5,5 cos 38,8 d,08 km Página 36.S , 480 cm 4 + 6, ,99 9,998 cos α 0, 0 6,865 8,99 3,945 α 34,594 Por lo tanto, β (360 34,594) / 45,406 6.El otro ángulo que forman las diagonales mide (360 50) / 30 Sea L es el lado mayor del paralelogramo y l el menor: l (5 / ) + (6 / ) (5 / ) (6 / ) cos 50 5,608 l,368 cm L (5 / ) + (6 / ) (5 / ) (6 / ) cos 30 4,89 L 4,989 cm Por lo tanto, el perímetro mide (, ,989) 4,4 cm. α º 5 cm 5 cm x y 3.Después de dos horas de viaje, el primero ha recorrido 30 km y el segundo, 50 km: d cos 35 94,544 d 30,0 km 4.Según el teorema del coo, el lado l que falta verifica: l cos ,384 l 33,08 m S , 35 m 5.El otro ángulo que forman las diagonales mide (360 5) / 05 Si L es el lado mayor del paralelogramo y l es el menor: l (6 / ) + (4 / ) (6 / ) (4 / ) cos 5 4,30 l 6,865 cm L (6 / ) + (4 / ) (6 / ) (4 / ) cos 05 68,80 L 8,99 cm Sea ahora α el ángulo mayor del paralelogramo y β el menor: 46º 4 km x 4 5 / 8 3,83 km y 4 46 / 8,906 km 5º 8. Si O es el centro del círculo, y B son los extremos de la cuerda de 0 cm y α es el ánguloob: cos α 5 5 El área del triángulo OB es: S ,6, 80 cm El área del sector circular OB es: 5 83,6 π S 64, 0 cm 360 El área de una semicircunferencia es: 5 π S 3 353, 5 cm El área que uscamos es: α 83,6 S S 3 (S S ) 353,5 5,30 300,95 cm 9. x / ,49 km -5

8 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 y / ,90 km 50º 55º x y El árol mide,53 + 3,53 m de altura y nos encontramos a 4,0 m del mismo. 3. El esquema de la situación es el siguiente: 50º 55º 40º 35º.00 m Por lo tanto, la distancia entre los aviones es: d.00 + ( ,49) y 3º x 469..,59 m 0 cm cm 30. d 8 4 / 43 8,59 m x 8,59 35 / 55 6,00 m Por lo tanto, la altura del edificio es de 8 + 6,00 m 4,00 m z h cm 8 m 35º 43º d 55º 4º x 8 m 3. Por una parte: d / 0 x / 0 d x 0 / / 0 Por otra parte: d / 50 ( + x) / 40 d ( + x) 50 / 40 0º m m 40º d 0º 50º x 0 / 0 ( + x) 50 / 40; x 0 40 ( + x) 50 0; 0,604x 0,6 ( + x) x,53 m Y entonces: d,53 0 / 0 4,0 m x Por semejanza de triángulos, x / (x + ) 0 / x 0 cm β 3 α 6 Según el teorema de los os: y / 6 0 / 3 y 0 6 / 3 6,96 cm De nuevo, por semejanza de triángulos, el lado que nos faltaa mide: 6,96 / (6,96 + z) 0 / z,8 cm Por otra parte, como x 0 cm ψ 3 Por lo tanto, aplicando el teorema de los os podemos calcular la altura h: h / 3,8 / 90 h,8 3 6,9 cm + B 0 + h 6,9 84, 985 cm 33. cos 50,4 / l l,4 / cos 50,8 m,4 m 50º 40º 40º -6

9 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 34.Traajamos sore un paralelogramo de lados 36 y 80 y diagonal mayor. Sea α el ángulo menor de dicho paralelogramo, el que uscamos, y sea β el mayor: cos β 0, β 4,3 α (360 4,3) / 3, Buscamos la diagonal mayor de un paralelogramo de lados 30 y 45 y ángulos 60 y (360 60) / 0. D cos D 65,38 La fuerza resultante es de 65,38 N. 36. CP 40 ya que PC es un ángulo recto. PB P 3 / 0,36 m Finalmente: PC,36 50 / 40 8, La altura del árol es de 8, m. 3. D + c c cos d + c c cos [(360 ) / ] 38. Tenemos un paralelogramo de lados 30 y 45 y diagonal mayor N 30 N 60 N 45 N Si α es el ángulo mayor del paralelogramo: cos α α 04,48 El ángulo menor del paralelogramo, es decir, el que forman la fuerza de 30 N y la de 45 N es: ,48 β 5, 5 Por otra parte: δ 30 04,48 / 60 0,484 δ 8,95 es la única solución válida Por lo tanto, φ δ + α 33,43 mientras que γ 360 φ β 5, Sea O el punto en el que se cortan los segmentos Q y BP: PQ (35 + 5) 90 PBQ Según el teorema de los os: PB 0 5 / 80 9,6 m Y como PQ es un ángulo recto: 30 P / 0 P m Finalmente, según el teorema de Pitágoras: B PB P 84,9444 6, 88 m Página a cos 86 a.4,5 a 4,355 cm B 4 86 / 4,355 0,885 B 6, es la única solución válida C 80 6, 86 3,8 S / 53, cm 4.C c cos 0 a 09 a 0,44 cm 0 / 0,44 0,58 35,50 B 60 35,50 4, ; B ( B ) 5 49 B B cos cos B ; 5 cos B 5 cos B 49 B;,86365 B 0,8409 cos B; tg B 5,803; B 80,, válida C 68, 3,56 a 5 3,56 / 80,,6 cm S ,56 / 666,8 cm P, ,6 cm 43.C a / 94 (30 a) / 36; -

10 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 a / 0,998 (30 a) / 0,588; a 8,88 m, m c, 50 / 36 4,49 m Finalmente: S 8,88, 50 80, 4 m c 44. r C 45. Por otra parte: C S c a c a C a r 4r a B + B a B a 46. Por una parte: c r a + c a + a cos C + + m a (a / ) + a cos C a cos C (a + c ) / a cos C (a / ) + m a Tenemos entonces: a B (a + c ) / (a / ) + m a a a + c m a + a + 4 a + c 4 + c a 4. El esquema es el siguiente: B 48. Llamaremos O al punto de corte entre C y DB: BC BDC BOC OD Por otra parte, según el teorema de los os: C / 6.09,45 m BD / 6.68,6 m CO / 68.03,49 m BO / 68,68 m O C CO 6.095,96 m DO BD BO.546,99 m Finalmente, según el teorema del coo: D O + DO O DO cos OD 6.095, , ,96.546,99 0, ,8 D 5.699,88 m utoevaluación. a < 0. B 35 / 8 0,860 B 59,358 ; B 0,64 Si B 59,358 C 80 59, ,64 c 8 85,64 / 35 3,90 cm Si B 0,64 C 80 0, ,36 c 8 4,36 / 35 5,56 cm cos 0, , cos B 0,805 B 36, α r / (d + r) 90 Por lo tanto, C 80 6,384 36,336, / 45 49, cm C c / 45 5,456 cm Por lo tanto, P , + 5,456 0,633 cm -8

11 TEM. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. a 3 5. El triángulo tiene lados de a 4 cm, 5 cm y c cm cos 0, , cos B 0, B 66,6 C 80 30,93 66,6 8,45 6. El ángulo mayor que forman las diagonales mide , Si L es el lado mayor del paralelogramo y l el menor: l ( / ) + (4 / ) ( / ) (4 / ) cos (45 50 ) 5,43 l 5,04 cm L ( / ) + (4 / ) ( / ) (4 / ) cos (35 0 ) 44,569 L,04 cm. C / 58 58,5 m BC 65 / 58,895 m S 65 58,5.84,84 m Y como S h /.84,84 65h / h 55,84 m La anchura del río es de 55,84 m. 8. a) B 6 05 / 6 0,36 B,3 es la única solución posile C 53,63 S ,63 / 38,6 cm ) No es un triángulo pues a) Si a m y m: 8 C / C 8 / 0, C 46,658 ; C 33,34 Si C 46,658 : c + cos 46,658 64,30 c 8,0 m B 46,658 / 8,0 0,635 B 39,403 es la única solución válida 80 39,403 46,658 93,939 Si C 33,34 : c + cos 33,34 5,698 c 6,604 m B 33,34 / 6,604 0,30 B,854 es la única solución válida 80 33,34,854 8,804 ) En el primer caso: 93,939 8,0,06 39,403 46,658 Por lo tanto,,06 r r 5,5 m En el segundo caso: 6,604,83 8,804,854 33,34 Por lo tanto,,83 r r,4 m -9