I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

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1 I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos: a = 5, b = 80, c = 60 Aplicando el teorema del coseno: = + A A = A = = + B B = B = = + C C = C = cos cos 0, , 43º cos cos 0,75 136, 47º cos cos 0, ,10º Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos: C = 150º, a = 30, b = 160 Aplicando el teorema del coseno: c = cos 150 = 34813,84 c = 186, ,58 sen A 0, 08 A 4, 61º sen A = sen 150 = = B = ,61 = 5,39º Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos: A = 60º, b = 10 m, C = 40º B = = 80º a 10 = a = 8,79 cm sen 60 sen 80 c 10 = c = 6,53 cm sen 40 sen 80 Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos: A = 55º, B = 38º, a = 1 cm C = = 87º 1 b = b = 9, 0 cm sen 55 sen 38 1 c c 14,63 cm sen 55 = sen 87 = Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos: B = 8º, a = m, b = 6 m 6 9º = sen A = 0,156 A = sen A sen 8 171º La segunda solución (A = 171º) no puede ser porque entonces los tres ángulos sumarían más de 180º (además el ángulo A no puede ser mayor que el ángulo B). Por tanto: C = = 143º Aplicando el teorema del coseno: c = cos 143 = 59,167 c = 7,69 m Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos: A = 30º, a = 3 cm, c = 5 cm , 44º = sen C = 0, 8333 C = sen 30 sen C 13,56º a) B = ,44 = 93,56º Aplicando el teorema del coseno: b = cos 93,56 = 35,86 b = 5,99 cm b) B = ,56 = 6, 44º Aplicando el teorema del coseno: b = cos 6,44 = 7,14 b =,67 cm Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos: a= 90 cm, b = 100 cm, A = 110º = sen B = 1, 0441 B sen 110 sen B Luego el triángulo con estos datos es imposible que eista.

2 Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos: a = 1 cm, A = 4º, c = 16 cm , 84º = sen C = 0,543 C = sen 4 sen C 147,16º a) B = ,84 = 13,16º Aplicando el teorema del coseno: b = cos 13,16 = 610,04 b = 4,70 cm b) B = ,16 = 8,84º Aplicando el teorema del coseno: b = cos 8,84 = 0,56 b = 4,53 cm Dos ángulos de un triángulo miden 30º y 40º respectivamente. El lado opuesto al ángulo de 40º mide 10 cm. Resuelve el triángulo. Llamamos A = 30º, B = 40º, b = 10 cm Entonces, C = = 110º : a 10 = a = 7,78 cm sen 30 sen c c 14,6 cm sen 40 = sen 110 = Dos lados de un triángulo miden 10 cm y 7 cm respectivamente, y forman un ángulo de 60º. Resuelve el triángulo. Llamamos a = 10 cm, b = 7 cm, C = 60º. Entonces Aplicando el teorema del coseno: c = cos 60 = 79 c = 8,89 cm 7 8,89 sen B 0, 68 B 43º sen B = sen 60 = = B = = 77º Calcula el área del siguiente triángulo: a = 1 dm, b = 7 dm, C = 10º 1 7 sen 10 36,373 dm S = = Calcula el área del siguiente triángulo: a = 1 cm, b = 16 cm, c = cm p = = 5 S = 5 ( 5 1) ( 5 16) ( 5 ) = = 93,67 cm Calcula el área del siguiente triángulo: A = 71º; b = 5,3 m; c = 5 cm 5,3 5 sen 71 1,58 dm S = = Calcula el área del siguiente triángulo: B = 135º, C = 18º, b = 45 dm A = = 7º 45 19,67 sen 7 00,88 dm S = = 45 c = c = 19,67 dm sen 135 sen 18

3 Las diagonales de un paralelogramo miden respectivamente 8 y 10 centímetros. Al cortarse forman un ángulo de 6º. Calcula el área de dico paralelogramo. Para acer este problema vamos a tener en cuenta dos propiedades: Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. El área de los cuatro triángulos es la misma. Luego utilizando la fórmula del área de un triángulo tenemos: OA 0B sen α 4 5 sen6 8,83 4 8,83 35,3 cm AOAB = = = ATOTAL = = En una circunferencia de radio 8 cm, se traza una cuerda de 6 cm. Cuánto vale el ángulo central que determinan los etremos de la cuerda? Aplicando el teorema del coseno tenemos que: = + α = α cos cos 9 cos α = = 0,71875 α = 135,95º 18 Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un pentágono de 14 cm de lado. Los otros dos ángulos del triángulo isósceles que se forma, miden: β= = 54º Aplicando el teorema del seno, se obtiene: 14 r = r = 11, 91 cm sen 7 sen 54 Calcula la apotema de un octógono regular de 10 cm de lado. Aplicando la definición de tangente de un ángulo, obtenemos: tg α= 5 ap = 5 = 1,07 cm ap tg,5 Calcula la longitud de las diagonales de un pentágono regular de 8 cm de lado Los otros dos ángulos del triángulo isósceles que se forma, miden: β= = 36º Aplicando el teorema del seno, se obtiene: 8 d = r = 1, 94 cm sen 36 sen 108 Una parcela tiene forma triangular, dos de cuyos lados miden 4 m y 56 m. Si el ángulo comprendido es de 36º, encuentra la dimensión del tercer lado. Aplicando el teorema del coseno (ya que conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ambos), tenemos: l = cos 36 = 1094,38 l = 33,08 m

4 Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km orientan sus antenas acia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º. A qué distancias de A y B se encuentra la emisora? El ángulo que falta vale α= = 75º Aplicando, dos veces, el teorema del seno obtenemos las dos distancias: 10 AP 10 sen 65 = AP = = 8, 75 km sen75 sen65 sen75 10 BP 10 sen 40 = BP = = 6,65 km sen 75 sen 40 sen 75 Una torre de comunicaciones se encuentra situada en lo alto de una montaña. Situados en cierto punto, el etremo de la antena se ve bajo un ángulo de 60º. Si nos acercamos 13 metros, el etremo de la antena se ve bajo un ángulo de 68º y la base de dica torre con un ángulo de 57º. Cuál es la altura de la torre? Aplicamos el teorema del seno en el triángulo ABD, para obtener BD, teniendo en cuenta que: B = º = 11 D = = 8º 13 BD 13 sen 60 = BD = = 80,89 m sen 8 sen 60 sen 8 Aora aplicamos de nuevo el teorema del seno en el triángulo BCD en donde: B C ( ) = = 11º y = = 147º 80,89 80,89 sen 11 = = = 16,65 m sen 11 sen 11 sen 11 Un barco se encuentra navegando con rumbo fijo. En un instante determinado divisa un faro de una isla próima con un ángulo de 6º (respecto de su línea de navegación). Sigue navegando y a,5 km del punto anterior sigue divisando el faro pero, en este caso, con un ángulo de 5º. Podrías determinar a qué distancia se encuentra el barco de la torre en la segunda posición? Aplicando la definición de tangente en los triángulos rectángulos ACD y BCD, obtenemos: tg 6 = y tg 5 = +,5 Operando: tg 6 = tg 6 (,5) + = +,5 tg 6 ( +,5) = tg 5,5 tg 6 = tg 5 tg 6 tg 5 = = tg 5,5 tg 6,5tg6= ( tg5 tg6) = = 1,54km tg 5 tg 6

5 Dos coces parten a la vez de un cruce del que salen dos carreteras: una en dirección norte y otra en dirección sureste. Uno de los coces toma la primera de ella con una velocidad uniforme de 7 km oras y el otro la segunda con una velocidad constante de 90 km por ora. A qué distancia se encontrarán al cabo de minutos? Como un coce va acia el norte y otro acia el sureste el ángulo que forman sus trayectorias es = 135º La distancia que recorren en dos minutos es: 7 km/ = 0 m/s m =. 90 km/ = 5 m/s m =. Tenemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego aplicamos el teorema del coseno: d = cos135 = ,65 d = 4994,3 m Se pretende realizar el trazado de cable telefónico entre tres puntos A, B y C en los que se colocarán los postes de coneión. Calcula la longitud total de cable necesario con los datos de la siguiente figura. El ángulo que falta vale α= = 5º Aplicando, dos veces, el teorema del seno obtenemos las dos distancias: 150 AB 150 sen 5 = AB = = 185,35 m sen 0 sen 5 sen BC 150 sen 135 = BC = = 310,1 m sen 0 sen 135 sen 0 Por tanto la longitud total de cable es: , ,1 = 645,47 m. Calcula la distancia entre D y E. Aplicando el teorema del seno en el triángulo ACD, obtenemos: 7, CD 7, sen 50 = CD = 5,7675 sen 73 sen 50 sen 73 Aplicamos aora el teorema del seno en el triángulo BCE, obtenemos: 5, 5 CE 5,5 sen 48 = CE = 4,163 sen 71 sen 48 sen 71 En el triángulo CDE aplicamos el teorema del coseno, ya que sabemos el valor del ángulo comprendido entre los dos lados que conocemos: B = = 36º Por tanto DE = 5, ,163 5,7675 4,163 cos 36 = 11,7837 DE = 3, 43 m

6 Un topógrafo situado en la llanura observa dos picos de una montaña con un ángulo de 60,3º. Si la distancia del observador a cada uno de los picos es de 1,3 km y 980 m, alla la distancia entre los dos picos de esa montaña. Conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego podemos aplicar el teorema del coseno: AB = cos 60,3 = ,31 AB = 1178,1 m Desde un avión se ven dos pueblos, situados en el mismo plano vertical que el avión, bajo ángulos de 54º y 9º respectivamente (el ángulo se mide entre la dirección del avión y la visual al pueblo). Si los pueblos distan entre sí 8 km, calcula a qué altura vuela el avión. Aplicando las propiedades de rectas paralelas cortadas por una oblicua, tenemos que: A = 9º y B = 54º Aplicando la definición de tangente en los triángulos rectángulos ACD y BCD, obtenemos: tg 9 = y tg 54 = + 8 Operando: tg 9 = = tg 9 ( + 8) + 8 tg 9 ( + 8) = tg 54 8 tg 9 = tg 54 tg 9 tg 54 = = tg 54 8tg9 8tg9= ( tg54 tg9) = = 5,39km tg 54 tg 9 Un avión vuela entre dos ciudades A y B, que distan entre sí 75 km. Las visuales desde A y B asta el avión forman con el orizontal ángulos de 36º y 1º de amplitud respectivamente. Calcula la altura a la que vuela el avión. Aplicando la definición de tangente en los triángulos rectángulos APC y BPC, tenemos: tg 36 = = tg 36 tg 1 = = ( 75 ) tg Operando, se obtiene que: = tg 36 tg 36 = 75 tg 1 tg 1 tg 36 + tg 1 = 75 tg 1 = ( 75 ) tg 1 75 tg 1 ( tg 36 + tg 1) = 75 tg 1 = = 16,98 tg 36 + tg 1 Por tanto el avión vuela a una altura de = tg 36 = 16,98 tg 36 = 1,33 km.

7 En el tejado de una casa ay una antena. Desde un punto del suelo se ven la casa y la antena bajo un ángulo de 0º y 38º respectivamente; 50 metros más atrás la antena se ve con un ángulo de 5º. Calcula la longitud de la antena. Aplicamos el teorema del seno en el triángulo ABD, para obtener BD, teniendo en cuenta que: B = º = 14 D = = 13º 50 BD 50 sen 5 = BD = = 93,94 m sen 13 sen 5 sen 13 Aora aplicamos de nuevo el teorema del seno en el triángulo BCD en donde: B C ( ) = 38 0 = 18º y = = 18º 93,94 93,94 sen 18 = = = 36,84 m sen 18 sen 18 sen 18 Sobre un montículo de 8 metros de altura se a instalado una antena de 10 m de longitud. Desde qué distancia se verán bajo ángulos iguales el montículo y la antena? Por tanto el ángulo es: tg α= tg α= = α= 18, 44º 4 3 Aplicando la definición de tangente en los dos triángulos rectángulos que se forman, tenemos: 8 18 tg α = y tg α= Aplicando la fórmula del ángulo doble y operando: 8 18 tg α tg α= = = 1 tg α = = 16 = = 115 = 576 = 4 Un río a ecavado un cañón. Si nos situamos en un punto A a un lado del río, observamos el punto, D, más alto de la orilla opuesta con un ángulo de 3º con la orizontal. Si avanzamos 40 metros y nos colocamos al borde del cañón, observamos el punto D con un ángulo de 60º con la orizontal, y vemos el agua de la orilla opuesta al río con un ángulo de 45º con la orizontal. Calcula la ancura del cañón y la altura de la pared. Sabemos que en el triángulo ABD: B = = 10º y D = = 8º 40 BD 40 sen 3 = BD = = 45,15 m sen 8 sen 3 sen 8 Aplicando en el triángulo rectángulo BPD las definiciones de seno y coseno obtenemos: y sen 60 = y = 45,15 sen 60 = 39,10 m 45,15 cos 60 = = 45,15 cos 60 =,575 m 45,15 Luego la ancura del río es,575 m y la altura de la pared 39,10 +,575 = 61,675 m.

8 Desde dos puntos A y B situados en la orilla de un río se ve un punto C de la otra orilla con un ángulo (respecto de la línea que une A y B) de 74º y 67º respectivamente. La distancia que separa A y B es de 45 metros. Calcula la ancura del río. Aplicando la definición de tangente en los triángulos rectángulos APC y BPC, tenemos: tg 74 = = tg 74 tg 67 = = ( 45 ) tg Operando, se obtiene que: = tg 74 tg 74 = 45 tg 67 tg 67 tg 74 + tg 67 = 45 tg 67 = ( 45 ) tg tg 67 ( tg 74 + tg 67) = 45 tg 67 = = 18,14 tg 74 + tg 67 Por tanto la ancura del río es = tg 74 = 18,14 tg 74 = 63,37 m. Desde dos puntos A y B, distantes 800 metros, y situados en la misma orilla de un río, se ven dos puntos C y D en la otra orilla. Se an medido los siguientes ángulos: BAD = 68º, BAC = 3º, ABD = 45º y ABC = 7º. Calcula la distancia entre C y D. Utilizando el teorema del seno en el triángulo ABD ( D = = 67º ) 800 BD 800 sen 68 = BD = BD = 805,80 m sen 67 sen 68 sen 67 Utilizando aora el teorema del seno en el triángulo ABC ( C = = 76º ) 800 BC 800 sen 3 = BC = BC = 436,91 m sen 76 sen 3 sen 76 Y, por último, aplicando el teorema del coseno en el triángulo BCD ( B = 7 45 = 7º ) CD = 805, , , , 91 cos 7 = 1016, 03 CD = 461,3 m Un cuadro está colocado en una pared de forma que su etremo más alto (lado superior) se encuentra a 3 metros de suelo, y su etremo más bajo (lado inferior) a,5 metros. Una persona de 175 cm de altura lo ve desde cierta distancia bajo un ángulo de 5º A qué distancia de la pared está situado esa persona? Con los datos que nos dan, tenemos que el cuadro mide 50 cm (3,5 m) y que su base está situada 75 cm por encima de la altura de la persona. Utilizando la definición de tangente en los dos triángulos rectángulos que se forman (ver la figura) obtenemos: tg α= y tg ( 5 +α ) = Aplicando la fórmula de la tangente de una suma y operando se obtiene: 75 tg tg 5 + tg α tg tg ( 5 ) + + α = = = = 1 tg 5 tg α tg 5 1 tg5 tg = tg 5 0, ,1 = 0 557,81 cm Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos las soluciones: 16,9 cm

9 Desde dos puntos A y B de la orilla de un río se ve la copa de un árbol situado en la otra orilla bajo ángulos de 36º y 5º. La distancia que separa A y B es de 3 metros y el ángulo con el que se ve esta distancia desde la base del árbol es de 95º. Calcula la altura del árbol. Como el árbol es perpendicular al suelo, resulta (aunque no lo parezca en el dibujo) que los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Aplicando en dicos triángulos la definición de tangente, obtenemos: tg 36 = = tg 36 tg 5 = y = y tg 5 Aplicando el teorema del coseno en el triángulo ABH, sustituyendo el la fórmula los valores de e y obtenidos antes y operando, obtenemos: 3 cos 95 9 cos 95 = + y y = + tg 36 tg 5 tg 36 tg 5 9tg 36 tg 5 = tg 5 + tg 36 tg36 tg5 cos 95 9tg 36 tg 5 = tg 5 + tg 36 tg36 tg5 cos 95 = 9tg 36 tg 5 ( ) = 1, 83 m tg 5 + tg 36 tg 36 tg 5 cos 95